任意给一闭合光滑平面曲线，该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零？
这确实是个非常有趣的问题，涉及到一些物理和几何的精妙之处。 我们来好好捋一捋这个情况。
首先，我们要明确几个概念。
闭合光滑平面曲线： 想象一下一个没有断开、没有尖角、在二维平面上画出的一个圆滑的圈。比如一个完美的圆、一个椭圆，或者一个更复杂的、摸上去手感很顺滑的任何封闭形状。
法向的力： 力是作用在曲线上的一个矢量，它总是垂直于曲线在该点的切线方向，而且指向曲线的内侧或外侧。我们题目中说“法向的相等的力”，这意味着在曲线上的每一个点，作用在它上面的力的大小都一样，并且都沿着该点的法线方向。
合外力： 就是作用在整个曲线上的所有力的总和。我们需要把曲线上的每一个微小的点所受的力加起来，看看最终结果是什么。
现在，让我们来仔细分析一下。
想象一下我们把这条闭合曲线想象成一个非常非常精细的、由无数个微小线段组成的“链条”。在链条的每一个微小线段上，都有一个力作用着。这个力是垂直于这个微小线段（也就是垂直于曲线的切线）的，并且它的大小是恒定的。
如果这个力是指向内侧的（我们称之为向心力），那我们就能立刻想到很多例子：
一个在圆周上运动的小球，绳子拉着它就是一种向心力。
行星围绕太阳公转，太阳的引力就是向心力。
在这种情况下，整个绳子或者引力场的作用是在把物体拉向中心。对于我们的闭合曲线来说，如果每个点受到的力都指向曲线的内侧，而且大小相等，那么这些力是否会相互抵消呢？
让我们考虑一个简单的例子：一个圆。圆上的每个点都受到一个指向圆心的、大小相等的力。想象一下，在圆的最上面，力指向圆心（向下）；在最下面，力指向圆心（向上）；在最左边，力指向圆心（向右）；在最右边，力指向圆心（向左）。
如果我们把这些力在水平和竖直方向上进行分解，你会发现：
在圆的左边和右边作用着的水平力，它们大小相等，方向相反，会相互抵消。
在圆的上面和下面作用着的竖直力，它们大小相等，方向相反，也会相互抵消。
即使是对于一个不规则的闭合光滑平面曲线，我们也可以做类似的思考。在曲线上某个点A，有一个法向力F_A。在曲线的“相对”位置上的另一个点B，也有一个法向力F_B。如果这些力都指向曲线的内侧，并且大小相等，那么我们可以想象，对于每一个作用在某个方向上的力，总能在曲线的其他地方找到一个大小相同、方向“相对”抵消的力。
比如，在一个凸起的地方，力会倾向于把它压平；在一个凹陷的地方，力会倾向于把它撑开。如果所有这些“压平”和“撑开”的力量，以及它们在各个方向上的分量都能够被精确地抵消，那么合外力就是零。
关键点在于“相等”和“法向”。 法向意味着这些力不会直接“拖动”曲线沿着切线方向移动。它们的作用更像是在试图改变曲线的形状或者维持其形状。
如果这些力都是指向外侧的（离心力），情况又会如何？
想象一下，我们给一个橡皮筋套在一个模型上，然后让橡皮筋的每个点都向外撑。在圆的例子里，从圆心向外指的力，在左边和右边会抵消，在上下也会抵消。
那么，在数学上，我们可以用积分来表示合外力。假设曲线为 $gamma(t)$，对于参数 $t$ 从 $a$ 到 $b$（代表整个闭合曲线），曲线上的每个点 $P = gamma(t)$ 都受到一个力 $vec{F}(P)$。这个力是法向的，并且 $|vec{F}(P)| = F_0$（一个常数）。
合外力 $vec{F}_{total}$ 就是所有这些力的积分：
$$ vec{F}_{total} = oint_{gamma} vec{F}(P) , ds $$
其中 $ds$ 是曲线上的一个微小弧长。
力 $vec{F}(P)$ 可以写成法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 和力的大小 $F_0$ 的乘积：
$$ vec{F}(P) = F_0 vec{n}(P) $$
所以合外力是：
$$ vec{F}_{total} = oint_{gamma} F_0 vec{n}(P) , ds = F_0 oint_{gamma} vec{n}(P) , ds $$
现在的问题就变成了计算这个积分 $oint_{gamma} vec{n}(P) , ds$ 是否为零。
对于一个闭合光滑平面曲线，有一个重要的概念叫做曲率。曲率描述了曲线弯曲的程度。而法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 是不断变化的，它随着我们沿着曲线移动而旋转。
考虑一个特殊的、非常直观的情况：如果这个闭合光滑平面曲线是一个圆。那么每个点受到的法向力都指向圆心，大小相等。我们刚才分析了，在这个情况下，合外力是零的。
那么，对于更一般的闭合光滑平面曲线呢？
如果力总是指向内侧，并且大小相等。我们可以把曲线想象成被一个“内向”的力场包裹着。在这种情况下，这些力在“压迫”着曲线。如果这个力场是非常对称的，比如均匀地从各个方向“挤压”着曲线，那么取消的可能性非常大。
反过来，如果力总是指向外侧，并且大小相等。我们可以想象成曲线被“撑开”。
直观上来说，如果这些力仅仅是法向的并且大小相等，它们似乎很容易因为方向的不断变化而被抵消。我们可以在一个方向上看到一个指向内侧的力，在另一个方向上看到一个大小相等但方向“相对”的力。
结论是：是的，该曲线所受的合外力为零。
为了更严谨地说明这一点，我们可以借助向量微积分中的一些定理，比如高斯散度定理在平面上的一个类似物（格林公式）。虽然格林公式通常处理的是线积分和面积分之间的关系，但我们可以从这个角度理解。
我们关心的不是力如何在空间中散开（散度），而是力在曲线上累积的效果。更直接的方式是思考法向单位矢量在闭合曲线上的积分。
想象我们沿着曲线移动，法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 的方向在不断改变。对于一个闭合曲线，随着我们绕一圈回到起点，法向矢量的总的“旋转”是 $2pi$ 弧度（即 $360^circ$）。
如果力是向内的，那么在曲线上，我们可以把切线方向定义为一个参数 $t$，从 $0$ 到 $2pi$ （假设曲线长度归一化或者我们只考虑方向）。法向矢量 $vec{n}(t)$ 是切线矢量 $vec{t}(t)$ 旋转 $90^circ$ 得到的。
关键在于，对于一个光滑的闭合曲线，随着我们沿着曲线前进一个单位弧长 $ds$，法向矢量会有一个微小的变化 $dvec{n}$。这个变化的方向是沿着曲线的切线方向的（可以想象一下一个圆的法向矢量，它随着圆周移动是在旋转的）。
如果这些力都是指向内侧且大小相等，我们可以想象成在曲线的每一个点上，都有一个力在“拉”向曲线的“中心”区域，而且拉力的大小是一样的。由于曲线是光滑且闭合的，无论它是什么形状，在任何一个方向上施加的内向的力，都会在曲线的其他地方有“对应”的力来抵消它。例如，在一个凸起的地方，力会把这个凸起压平；在凹陷的地方，力会把这个凹陷撑起来。如果所有这些力的分量能够精确地在任何方向上相互抵消，那么合外力自然为零。
打个比方：想象你有一个橡皮筋圈，用无数根同样长度的线，分别从橡皮筋上的每个点拉向橡皮筋的中心。无论橡皮筋是什么形状，只要它没有断裂，这些线拉力的大小都相等，并且方向都指向中心，那么这些线产生的合力一定是零的。它们只是在维持或改变橡皮筋的形状，但整体上并没有一个“拉”或“推”的作用在橡皮筋这个整体上。
所以，是的，该曲线所受的合外力为零。 这个结论源于法向力的性质以及闭合光滑曲线的几何特性，使得不同点上的法向力在积分叠加后会相互抵消。
首先，我们要明确几个概念。
闭合光滑平面曲线： 想象一下一个没有断开、没有尖角、在二维平面上画出的一个圆滑的圈。比如一个完美的圆、一个椭圆，或者一个更复杂的、摸上去手感很顺滑的任何封闭形状。
法向的力： 力是作用在曲线上的一个矢量，它总是垂直于曲线在该点的切线方向，而且指向曲线的内侧或外侧。我们题目中说“法向的相等的力”，这意味着在曲线上的每一个点，作用在它上面的力的大小都一样，并且都沿着该点的法线方向。
合外力： 就是作用在整个曲线上的所有力的总和。我们需要把曲线上的每一个微小的点所受的力加起来，看看最终结果是什么。
现在，让我们来仔细分析一下。
想象一下我们把这条闭合曲线想象成一个非常非常精细的、由无数个微小线段组成的“链条”。在链条的每一个微小线段上，都有一个力作用着。这个力是垂直于这个微小线段（也就是垂直于曲线的切线）的，并且它的大小是恒定的。
如果这个力是指向内侧的（我们称之为向心力），那我们就能立刻想到很多例子：
一个在圆周上运动的小球，绳子拉着它就是一种向心力。
行星围绕太阳公转，太阳的引力就是向心力。
在这种情况下，整个绳子或者引力场的作用是在把物体拉向中心。对于我们的闭合曲线来说，如果每个点受到的力都指向曲线的内侧，而且大小相等，那么这些力是否会相互抵消呢？
让我们考虑一个简单的例子：一个圆。圆上的每个点都受到一个指向圆心的、大小相等的力。想象一下，在圆的最上面，力指向圆心（向下）；在最下面，力指向圆心（向上）；在最左边，力指向圆心（向右）；在最右边，力指向圆心（向左）。
如果我们把这些力在水平和竖直方向上进行分解，你会发现：
在圆的左边和右边作用着的水平力，它们大小相等，方向相反，会相互抵消。
在圆的上面和下面作用着的竖直力，它们大小相等，方向相反，也会相互抵消。
即使是对于一个不规则的闭合光滑平面曲线，我们也可以做类似的思考。在曲线上某个点A，有一个法向力F_A。在曲线的“相对”位置上的另一个点B，也有一个法向力F_B。如果这些力都指向曲线的内侧，并且大小相等，那么我们可以想象，对于每一个作用在某个方向上的力，总能在曲线的其他地方找到一个大小相同、方向“相对”抵消的力。
比如，在一个凸起的地方，力会倾向于把它压平；在一个凹陷的地方，力会倾向于把它撑开。如果所有这些“压平”和“撑开”的力量，以及它们在各个方向上的分量都能够被精确地抵消，那么合外力就是零。
关键点在于“相等”和“法向”。 法向意味着这些力不会直接“拖动”曲线沿着切线方向移动。它们的作用更像是在试图改变曲线的形状或者维持其形状。
如果这些力都是指向外侧的（离心力），情况又会如何？
想象一下，我们给一个橡皮筋套在一个模型上，然后让橡皮筋的每个点都向外撑。在圆的例子里，从圆心向外指的力，在左边和右边会抵消，在上下也会抵消。
那么，在数学上，我们可以用积分来表示合外力。假设曲线为 $gamma(t)$，对于参数 $t$ 从 $a$ 到 $b$（代表整个闭合曲线），曲线上的每个点 $P = gamma(t)$ 都受到一个力 $vec{F}(P)$。这个力是法向的，并且 $|vec{F}(P)| = F_0$（一个常数）。
合外力 $vec{F}_{total}$ 就是所有这些力的积分：
$$ vec{F}_{total} = oint_{gamma} vec{F}(P) , ds $$
其中 $ds$ 是曲线上的一个微小弧长。
力 $vec{F}(P)$ 可以写成法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 和力的大小 $F_0$ 的乘积：
$$ vec{F}(P) = F_0 vec{n}(P) $$
所以合外力是：
$$ vec{F}_{total} = oint_{gamma} F_0 vec{n}(P) , ds = F_0 oint_{gamma} vec{n}(P) , ds $$
现在的问题就变成了计算这个积分 $oint_{gamma} vec{n}(P) , ds$ 是否为零。
对于一个闭合光滑平面曲线，有一个重要的概念叫做曲率。曲率描述了曲线弯曲的程度。而法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 是不断变化的，它随着我们沿着曲线移动而旋转。
考虑一个特殊的、非常直观的情况：如果这个闭合光滑平面曲线是一个圆。那么每个点受到的法向力都指向圆心，大小相等。我们刚才分析了，在这个情况下，合外力是零的。
那么，对于更一般的闭合光滑平面曲线呢？
如果力总是指向内侧，并且大小相等。我们可以把曲线想象成被一个“内向”的力场包裹着。在这种情况下，这些力在“压迫”着曲线。如果这个力场是非常对称的，比如均匀地从各个方向“挤压”着曲线，那么取消的可能性非常大。
反过来，如果力总是指向外侧，并且大小相等。我们可以想象成曲线被“撑开”。
直观上来说，如果这些力仅仅是法向的并且大小相等，它们似乎很容易因为方向的不断变化而被抵消。我们可以在一个方向上看到一个指向内侧的力，在另一个方向上看到一个大小相等但方向“相对”的力。
结论是：是的，该曲线所受的合外力为零。
为了更严谨地说明这一点，我们可以借助向量微积分中的一些定理，比如高斯散度定理在平面上的一个类似物（格林公式）。虽然格林公式通常处理的是线积分和面积分之间的关系，但我们可以从这个角度理解。
我们关心的不是力如何在空间中散开（散度），而是力在曲线上累积的效果。更直接的方式是思考法向单位矢量在闭合曲线上的积分。
想象我们沿着曲线移动，法向单位矢量 $vec{n}(P)$ 的方向在不断改变。对于一个闭合曲线，随着我们绕一圈回到起点，法向矢量的总的“旋转”是 $2pi$ 弧度（即 $360^circ$）。
如果力是向内的，那么在曲线上，我们可以把切线方向定义为一个参数 $t$，从 $0$ 到 $2pi$ （假设曲线长度归一化或者我们只考虑方向）。法向矢量 $vec{n}(t)$ 是切线矢量 $vec{t}(t)$ 旋转 $90^circ$ 得到的。
关键在于，对于一个光滑的闭合曲线，随着我们沿着曲线前进一个单位弧长 $ds$，法向矢量会有一个微小的变化 $dvec{n}$。这个变化的方向是沿着曲线的切线方向的（可以想象一下一个圆的法向矢量，它随着圆周移动是在旋转的）。
如果这些力都是指向内侧且大小相等，我们可以想象成在曲线的每一个点上，都有一个力在“拉”向曲线的“中心”区域，而且拉力的大小是一样的。由于曲线是光滑且闭合的，无论它是什么形状，在任何一个方向上施加的内向的力，都会在曲线的其他地方有“对应”的力来抵消它。例如，在一个凸起的地方，力会把这个凸起压平；在凹陷的地方，力会把这个凹陷撑起来。如果所有这些力的分量能够精确地在任何方向上相互抵消，那么合外力自然为零。
打个比方：想象你有一个橡皮筋圈，用无数根同样长度的线，分别从橡皮筋上的每个点拉向橡皮筋的中心。无论橡皮筋是什么形状，只要它没有断裂，这些线拉力的大小都相等，并且方向都指向中心，那么这些线产生的合力一定是零的。它们只是在维持或改变橡皮筋的形状，但整体上并没有一个“拉”或“推”的作用在橡皮筋这个整体上。
所以，是的，该曲线所受的合外力为零。 这个结论源于法向力的性质以及闭合光滑曲线的几何特性，使得不同点上的法向力在积分叠加后会相互抵消。
网友意见
首先对于原问题，这个问题是说对于每个点受到一个若干大小的力。这样绕着曲线一圈求和，相当于对不可数个向量求和，如果考察分量的话，相当于要对不可数个实数相加，而这并没有良好的定义。因此对于这个问题无法回答，除非给出不可数个实数相加的定义。
但是可以对于这个问题略加修改。在物理中有“压强”的概念。我们可以假定，对于单位长度的曲线段，总受单位法向量的力。比如，考察一条线段，单位长度总受法向量 的力，那么长度为 的线段，所受合力就是积分 。对于曲线，在局部而言（即曲线段很小的时候）可以近似看成是直的，这一小段受的合力就是相对于这一小段长度的那么长的法向量。把各个小曲线段的合力加起来就是整个曲线受的总的合力。因此也可以用如上的积分去计算。
在这个意义下，题主的命题是对的（当然，题主还有一点没有说明。必须还要假定这些法向的力都指向曲线的同侧）。下面是证明。
设闭曲线 ： 。让曲线按长度参数化，即 。设在 处的单位法向量是 （都指向内侧或外侧），则由切向量是 可得单位法向量是 。因此 是光滑函数，即确实指向的是曲线的同侧（否则不会光滑），并且有
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