对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？
在几何学和拓扑学的世界里，一个核心的问题是：我们是否可以随意地给一个拓扑流形添加一个“好的”结构，比如一个微分结构？简而言之，答案是：不一定。
让我们一步一步地深入探讨这个问题，理解其中的缘由。
什么是拓扑流形？
首先，我们需要明白什么是拓扑流形。想象一下我们周围的世界。当我们放大观察一个局部区域时，它看起来非常像一个平坦的欧几里得空间（比如二维平面或三维空间）。一个拓扑流形就是对这种“局部像欧几里得空间”的几何对象进行形式化的定义。
更具体地说，一个拓扑空间 $M$ 被称为一个$n$ 维拓扑流形，如果它满足以下条件：
1. 豪斯多夫性 (Hausdorff): 任何两个不同的点都存在不相交的邻域。这确保了流形不会“太紧密”。
2. 第二可数性 (Second Countable): 流形存在可数个开集的开覆盖。这保证了流形不会“太大”，允许我们进行一些计数和构造。
3. 局部欧几里得性 (Locally Euclidean): $M$ 中的每一点 $p$ 都有一个邻域 $U$ 同胚于欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的一个开集。这个同胚映射 $phi: U o V subset mathbb{R}^n$ 称为一个局部坐标系。
简单来说，拓扑流形就是一种“局部看起来像 $mathbb{R}^n$”的拓扑空间。我们熟悉的球面、圆环面、甚至我们居住的地球（在局部看来）都可以被看作是拓扑流形。
什么是微分结构？
现在，我们想在拓扑流形上添加一个“微分结构”。微分结构赋予了流形“光滑性”，使得我们可以讨论切线空间、微分、积分等概念。一个微分结构是通过光滑的坐标变换来定义的。
如果我们有一个拓扑流形 $M$，并且它有多个局部坐标系（我们称之为坐标图），例如 $(U_i, phi_i)$ 和 $(U_j, phi_j)$，其中 $U_i$ 和 $U_j$ 是 $M$ 的开集，$phi_i: U_i o V_i subset mathbb{R}^n$ 和 $phi_j: U_j o V_j subset mathbb{R}^n$ 是同胚映射。
那么，在它们的交集 $U_i cap U_j$ 上，我们可以定义一个过渡映射 (transition map)：
$psi_{ji}: V_i cap phi_i(U_i cap U_j) o V_j cap phi_j(U_i cap U_j)$
$psi_{ji} = phi_j circ phi_i^{1}$
这个过渡映射是一个从 $mathbb{R}^n$ 的一个开子集到 $mathbb{R}^n$ 的另一个开子集的映射。
一个微分结构就是在拓扑流形上选择一组坐标图，使得所有这些过渡映射都是光滑的（即，它们的导数在任何地方都存在）。换句话说，如果两个坐标系可以“无缝地”连接在一起，并且它们的连接方式是光滑的，那么这个流形就拥有了一个微分结构。
拥有微分结构的拓扑流形被称为微分流形。
问题的核心：拓扑等价 vs. 微分等价
我们知道，拓扑流形关注的是“形状”的可延展性，它允许我们进行连续的形变。而微分结构则要求在这些形变中保持“光滑性”。
现在回到我们的问题：对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？
答案是：不能。
这个问题的答案涉及到一些更深层次的数学发现，尤其是在高维拓扑学中。
为什么有些拓扑流形不能赋予微分结构？
我们知道，任何可微分的 $n$ 维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 都可以被赋予一个标准的微分结构。而一个拓扑流形，如果能被“分解”成一系列与 $mathbb{R}^n$ 的开子集同胚的块，并且这些块之间的连接（坐标变换）是光滑的，那么它就有一个微分结构。
这里就引出了一个关键概念：拓扑分类与微分分类。
拓扑分类： 目标是找到所有“形状相同”（同胚）的拓扑空间。
微分分类： 目标是找到所有“形状相同并且可以在光滑映射下相互转换”（微分同胚）的微分流形。
一个重要的结果是，高维空间中的拓扑性质比微分性质要“丰富”得多。
例子和直观理解：
思考一下二维情况。任何一个同胚于圆的拓扑空间（比如一个被拉伸或压缩的橡胶圈），我们都可以给它赋予一个光滑的微分结构。我们可以想象，无论这个橡胶圈被拉伸得多么厉害，只要它保持了“洞”的数量和连接性，我们总能在上面定义一套光滑的坐标。
然而，当我们进入更高维度时，事情就变得不一样了。
关键发现：奇异球面 (Exotic Spheres)
在20世纪50年代，数学家们（最著名的是斯蒂芬·斯梅尔，Stephen Smale）发现了奇异球面。
我们熟悉的$n$ 维球面 $S^n$（比如二维球面就是我们熟悉的球的表面）可以被赋予一个标准的微分结构。
后来人们发现，对于某些维度（比如7维），存在着不止一种微分结构可以赋予给拓扑上同胚于 $n$ 维球面的空间。
更令人惊讶的是，斯梅尔证明了，7维球面 $S^7$（拓扑意义上）可以被赋予15种不同的、互不微分同胚的微分结构！
这意味着：
1. 存在拓扑同胚于 $n$ 维球面的空间，但它们无法被赋予一个微分结构。 这是因为，即使一个空间在拓扑上是“球”，但所有可能的局部坐标系的集合，无论如何组合，都无法使得所有的过渡映射都变成光滑的。
2. 存在拓扑同胚于 $n$ 维球面的空间，但它们可以被赋予多个不同的微分结构。 比如7维球面。
那么，是不是所有拓扑流形都可以赋予一个“合适”的微分结构呢？
即使是这个“放松”后的问题，答案仍然是不能。
为什么？
原因在于，即使一个拓扑流形满足豪斯多夫性和第二可数性，并且是局部欧几里得的，我们可能无法在它的所有局部坐标系之间找到一个相容的、光滑的坐标覆盖。
想象一下，我们试图为某个奇特的拓扑空间“铺设”局部坐标系。我们可能能够找到很多局部坐标系，它们能覆盖整个空间，并且在局部看起来都很“正常”。但当两个坐标系的覆盖区域重叠时，它们的“连接方式”——也就是过渡映射——可能不是光滑的。
更具体地说，这可能与以下几个方面有关：
拓扑的不规则性： 即使在局部看来是欧几里得的，但全局的拓扑结构可能非常“缠绕”或“扭曲”，以至于无法用光滑的函数来描述不同局部之间的“连接”。
“好”的局部坐标系的不可构造性： 尽管我们知道存在同胚于 $mathbb{R}^n$ 的局部块，但我们可能无法系统地找到一组坐标系，使得它们的组合是光滑的。
一个重要的定理：
有一个重要的定理（由瑟斯顿，William Thurston 等人发展）表明，在任何维度，都存在拓扑流形，它们不能被赋予一个微分结构。这些流形被称为非微分流形（nonsmoothable manifolds）。
总结一下：
1. 微分流形是拓扑流形加上一个光滑的坐标结构。
2. 不是所有的拓扑流形都可以赋予一个微分结构。
3. 核心原因在于，即使一个空间在拓扑上满足流形的定义，也可能不存在一组“协调一致”的局部坐标系，使得它们之间的过渡映射都是光滑的。
4. 高维拓扑学中存在“奇异球面”等例子，它们揭示了拓扑等价与微分同胚是不同的概念，并且存在比我们想象的更丰富的几何结构。
因此，当我们谈论一个“流形”时，数学家们通常会区分：
拓扑流形 (Topological Manifold): 仅满足拓扑性质（局部欧几里得、豪斯多夫、第二可数）。
微分流形 (Differentiable Manifold): 拓扑流形，并且具有一个光滑的微分结构。
所以，问题“对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？”的答案是否定的。存在着纯粹的拓扑流形，它们无法被赋予我们所理解的“光滑”属性，也因此无法成为微分流形。
让我们一步一步地深入探讨这个问题，理解其中的缘由。
什么是拓扑流形？
首先，我们需要明白什么是拓扑流形。想象一下我们周围的世界。当我们放大观察一个局部区域时，它看起来非常像一个平坦的欧几里得空间（比如二维平面或三维空间）。一个拓扑流形就是对这种“局部像欧几里得空间”的几何对象进行形式化的定义。
更具体地说，一个拓扑空间 $M$ 被称为一个$n$ 维拓扑流形，如果它满足以下条件：
1. 豪斯多夫性 (Hausdorff): 任何两个不同的点都存在不相交的邻域。这确保了流形不会“太紧密”。
2. 第二可数性 (Second Countable): 流形存在可数个开集的开覆盖。这保证了流形不会“太大”，允许我们进行一些计数和构造。
3. 局部欧几里得性 (Locally Euclidean): $M$ 中的每一点 $p$ 都有一个邻域 $U$ 同胚于欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的一个开集。这个同胚映射 $phi: U o V subset mathbb{R}^n$ 称为一个局部坐标系。
简单来说，拓扑流形就是一种“局部看起来像 $mathbb{R}^n$”的拓扑空间。我们熟悉的球面、圆环面、甚至我们居住的地球（在局部看来）都可以被看作是拓扑流形。
什么是微分结构？
现在，我们想在拓扑流形上添加一个“微分结构”。微分结构赋予了流形“光滑性”，使得我们可以讨论切线空间、微分、积分等概念。一个微分结构是通过光滑的坐标变换来定义的。
如果我们有一个拓扑流形 $M$，并且它有多个局部坐标系（我们称之为坐标图），例如 $(U_i, phi_i)$ 和 $(U_j, phi_j)$，其中 $U_i$ 和 $U_j$ 是 $M$ 的开集，$phi_i: U_i o V_i subset mathbb{R}^n$ 和 $phi_j: U_j o V_j subset mathbb{R}^n$ 是同胚映射。
那么，在它们的交集 $U_i cap U_j$ 上，我们可以定义一个过渡映射 (transition map)：
$psi_{ji}: V_i cap phi_i(U_i cap U_j) o V_j cap phi_j(U_i cap U_j)$
$psi_{ji} = phi_j circ phi_i^{1}$
这个过渡映射是一个从 $mathbb{R}^n$ 的一个开子集到 $mathbb{R}^n$ 的另一个开子集的映射。
一个微分结构就是在拓扑流形上选择一组坐标图，使得所有这些过渡映射都是光滑的（即，它们的导数在任何地方都存在）。换句话说，如果两个坐标系可以“无缝地”连接在一起，并且它们的连接方式是光滑的，那么这个流形就拥有了一个微分结构。
拥有微分结构的拓扑流形被称为微分流形。
问题的核心：拓扑等价 vs. 微分等价
我们知道，拓扑流形关注的是“形状”的可延展性，它允许我们进行连续的形变。而微分结构则要求在这些形变中保持“光滑性”。
现在回到我们的问题：对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？
答案是：不能。
这个问题的答案涉及到一些更深层次的数学发现，尤其是在高维拓扑学中。
为什么有些拓扑流形不能赋予微分结构？
我们知道，任何可微分的 $n$ 维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 都可以被赋予一个标准的微分结构。而一个拓扑流形，如果能被“分解”成一系列与 $mathbb{R}^n$ 的开子集同胚的块，并且这些块之间的连接（坐标变换）是光滑的，那么它就有一个微分结构。
这里就引出了一个关键概念：拓扑分类与微分分类。
拓扑分类： 目标是找到所有“形状相同”（同胚）的拓扑空间。
微分分类： 目标是找到所有“形状相同并且可以在光滑映射下相互转换”（微分同胚）的微分流形。
一个重要的结果是，高维空间中的拓扑性质比微分性质要“丰富”得多。
例子和直观理解：
思考一下二维情况。任何一个同胚于圆的拓扑空间（比如一个被拉伸或压缩的橡胶圈），我们都可以给它赋予一个光滑的微分结构。我们可以想象，无论这个橡胶圈被拉伸得多么厉害，只要它保持了“洞”的数量和连接性，我们总能在上面定义一套光滑的坐标。
然而，当我们进入更高维度时，事情就变得不一样了。
关键发现：奇异球面 (Exotic Spheres)
在20世纪50年代，数学家们（最著名的是斯蒂芬·斯梅尔，Stephen Smale）发现了奇异球面。
我们熟悉的$n$ 维球面 $S^n$（比如二维球面就是我们熟悉的球的表面）可以被赋予一个标准的微分结构。
后来人们发现，对于某些维度（比如7维），存在着不止一种微分结构可以赋予给拓扑上同胚于 $n$ 维球面的空间。
更令人惊讶的是，斯梅尔证明了，7维球面 $S^7$（拓扑意义上）可以被赋予15种不同的、互不微分同胚的微分结构！
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1. 存在拓扑同胚于 $n$ 维球面的空间，但它们无法被赋予一个微分结构。 这是因为，即使一个空间在拓扑上是“球”，但所有可能的局部坐标系的集合，无论如何组合，都无法使得所有的过渡映射都变成光滑的。
2. 存在拓扑同胚于 $n$ 维球面的空间，但它们可以被赋予多个不同的微分结构。 比如7维球面。
那么，是不是所有拓扑流形都可以赋予一个“合适”的微分结构呢？
即使是这个“放松”后的问题，答案仍然是不能。
为什么？
原因在于，即使一个拓扑流形满足豪斯多夫性和第二可数性，并且是局部欧几里得的，我们可能无法在它的所有局部坐标系之间找到一个相容的、光滑的坐标覆盖。
想象一下，我们试图为某个奇特的拓扑空间“铺设”局部坐标系。我们可能能够找到很多局部坐标系，它们能覆盖整个空间，并且在局部看起来都很“正常”。但当两个坐标系的覆盖区域重叠时，它们的“连接方式”——也就是过渡映射——可能不是光滑的。
更具体地说，这可能与以下几个方面有关：
拓扑的不规则性： 即使在局部看来是欧几里得的，但全局的拓扑结构可能非常“缠绕”或“扭曲”，以至于无法用光滑的函数来描述不同局部之间的“连接”。
“好”的局部坐标系的不可构造性： 尽管我们知道存在同胚于 $mathbb{R}^n$ 的局部块，但我们可能无法系统地找到一组坐标系，使得它们的组合是光滑的。
一个重要的定理：
有一个重要的定理（由瑟斯顿，William Thurston 等人发展）表明，在任何维度，都存在拓扑流形，它们不能被赋予一个微分结构。这些流形被称为非微分流形（nonsmoothable manifolds）。
总结一下：
1. 微分流形是拓扑流形加上一个光滑的坐标结构。
2. 不是所有的拓扑流形都可以赋予一个微分结构。
3. 核心原因在于，即使一个空间在拓扑上满足流形的定义，也可能不存在一组“协调一致”的局部坐标系，使得它们之间的过渡映射都是光滑的。
4. 高维拓扑学中存在“奇异球面”等例子，它们揭示了拓扑等价与微分同胚是不同的概念，并且存在比我们想象的更丰富的几何结构。
因此，当我们谈论一个“流形”时，数学家们通常会区分：
拓扑流形 (Topological Manifold): 仅满足拓扑性质（局部欧几里得、豪斯多夫、第二可数）。
微分流形 (Differentiable Manifold): 拓扑流形，并且具有一个光滑的微分结构。
所以，问题“对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？”的答案是否定的。存在着纯粹的拓扑流形，它们无法被赋予我们所理解的“光滑”属性，也因此无法成为微分流形。
网友意见
不能。可以用四維流形拓樸著名的Donaldson's Theorem來幫助構作反例。Donaldson's Theorem 斷言，對任何四維緊緻單連通微分流行 ，如果它的intersection form
是definite的，那麼它一定可以diagonalized。Freedman構作了一個稱之為 -流形的反例。這個四維緊緻單連通拓撲流形的intersection form是在一個八維晶格（稱之為 -lattice，和 李群的root lattice 有關）的對稱正定二次型，但是不能diagonalized。所以根據Donaldson's Theorem， -流形不可能是微分流形。
Donaldson's Theorem的證明涉及Seiberg-Witten invariant，是一個極為深刻硬核的結果。其實解釋為何 -流形不是微分流形可以用Rokhlin‘s Theorem這個稍微‘elementary'的定理。它是Atiyah-Singer Index Theorem 的特例：對於任何四維緊緻spin微分流形 ，它的intersection form的signature一定可以被16整除。用Atiyah-Singer可以證明這個signature等於 乘以 的Dirac operator的指標，而剛好這個Dirac operator的kernel和cokernel擁有quaternionic structure，所以它們的複維數（從而Dirac operator的指標）是偶數。這就是Rokhlin's Theorem證明的梗概。
回到我們的 -流形。已知它是spin的（有關如何判斷一般拓撲流形（可能不能定義切叢）是否spin可參考
CW复形上的示性类如何定义和计算？ - Alex的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/481719162/answer/2078636482）。上面提到它的intersection form是八維晶格上的正定二次型，所以signature是8，不能被16整除。根據Rokhlin's Theorem我們又一次得出 -流形不可能是微分流形的結論。
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