如何计算投掷多个骰子得到某个给定总点数的概率？
好的，咱们来聊聊投掷多个骰子，然后想算出特定总点数的概率这回事。别担心，这玩意儿听起来有点数学，但拆解开来其实挺有意思的，就像玩一个复杂的拼图一样。咱们一步一步来。
核心问题： 假设咱们有 $n$ 个标准的六面骰子，每个骰子点数是从 $1$ 到 $6$ 的整数，咱们想知道投掷这些骰子后，它们的点数加起来等于某个特定的总数 $S$ 的可能性有多大。
先从简单的说起：一个骰子
如果只有一个骰子，那就太简单了。你想得到点数 $3$ 的概率？太容易了，骰子六个面，只有一个面是 $3$，所以概率就是 $1/6$。想得到 $7$？ 那不可能，骰子最大就 $6$，所以概率是 $0$。
两个骰子：开始有点意思了
现在咱们有两个骰子。假设你想知道两个骰子加起来等于 $7$ 的概率。
1. 列出所有可能性： 两个骰子，每个有 $6$ 种可能，所以总共有 $6 imes 6 = 36$ 种不同的组合。咱们可以想象一个表格，第一行代表第一个骰子的点数（1到6），第一列代表第二个骰子的点数（1到6）。表格里的每一个格子就代表一种组合，比如 (1,1), (1,2), ..., (6,6)。
2. 找出符合条件的组合： 哪些组合加起来等于 $7$ 呢？
第一个骰子是 $1$，第二个骰子是 $6$ (1, 6)
第一个骰子是 $2$，第二个骰子是 $5$ (2, 5)
第一个骰子是 $3$，第二个骰子是 $4$ (3, 4)
第一个骰子是 $4$，第二个骰子是 $3$ (4, 3)
第一个骰子是 $5$，第二个骰子是 $2$ (5, 2)
第一个骰子是 $6$，第二个骰子是 $1$ (6, 1)
总共有 $6$ 种组合。
3. 计算概率： 概率就是“符合条件的组合数量”除以“所有可能的组合数量”。所以，两个骰子加起来等于 $7$ 的概率是 $6 / 36 = 1/6$。
三个骰子：复杂性在增加
如果咱们有三个骰子，想知道总和是 $10$ 的概率。
1. 总的组合数： 三个骰子，每个有 $6$ 种可能，所以总共有 $6 imes 6 imes 6 = 216$ 种组合。
2. 符合条件的组合数： 这个就有点麻烦了，咱们得仔细找。假设三个骰子的点数分别是 $d_1, d_2, d_3$。我们需要 $d_1 + d_2 + d_3 = 10$，并且 $1 le d_1, d_2, d_3 le 6$。
如果第一个骰子是 $1$：剩下两个骰子的和需要是 $9$。可能的组合有 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)。
如果第一个骰子是 $2$：剩下两个骰子的和需要是 $8$。可能的组合有 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)。
如果第一个骰子是 $3$：剩下两个骰子的和需要是 $7$。可能的组合有 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。
如果第一个骰子是 $4$：剩下两个骰子的和需要是 $6$。可能的组合有 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)。
如果第一个骰子是 $5$：剩下两个骰子的和需要是 $5$。可能的组合有 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)。
如果第一个骰子是 $6$：剩下两个骰子的和需要是 $4$。可能的组合有 (1,3), (2,2), (3,1)。
把所有这些情况加起来：$4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$ 种组合。
3. 计算概率： $27 / 216 = 1/8$。
推广到 $n$ 个骰子和总数 $S$
当骰子数量变多，手动列举所有组合就变得非常不现实了。这时候就需要更系统的方法。
方法一：动态规划 (Dynamic Programming)
这是一种非常强大的计算机科学思想，也很适合解决这类问题。我们可以这样想：
咱们用一个表格（或者数组）来记录，到目前为止，投掷了多少个骰子，以及这些骰子可能出现的各种总点数有多少种。
状态定义： 假设我们定义一个函数 `count(k, s)`，表示投掷了 $k$ 个骰子，总点数恰好为 $s$ 的可能性有多少种。
基本情况 (Base Case):
当 $k=1$ 时，`count(1, s)` 只有当 $1 le s le 6$ 时为 $1$，其他情况为 $0$。
递推关系 (Recurrence Relation):
现在考虑投掷 $k$ 个骰子，总点数为 $s$。这最后一个（第 $k$ 个）骰子可能掷出的点数是 $v$（$1 le v le 6$）。如果最后一个骰子掷出了 $v$，那么前面 $k1$ 个骰子的总点数就必须是 $sv$。
所以，`count(k, s)` 就等于将所有可能的 $v$ 的情况加起来：
`count(k, s) = count(k1, s1) + count(k1, s2) + count(k1, s3) + count(k1, s4) + count(k1, s5) + count(k1, s6)`
这个公式的意思是：投掷 $k$ 个骰子得到总数 $s$ 的所有方法，就是把“投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s1$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $1$” 和 “投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s2$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $2$”……一直加到 “投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s6$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $6$”。
怎么用这个？
我们可以从 $k=1$ 开始，计算出所有可能的总点数及其数量。然后用这个结果去计算 $k=2$ 的所有总点数及其数量，以此类推，直到我们计算出 $k=n$ 的时候，就能知道投掷 $n$ 个骰子得到特定总数 $S$ 的数量了。
举个例子，计算三个骰子总和为 $10$ 的方法数：
1. 1个骰子:
`count(1, 1)=1`, `count(1, 2)=1`, ..., `count(1, 6)=1`
2. 2个骰子:
`count(2, 2)` (1+1) = `count(1,1)` = 1
`count(2, 3)` (1+2, 2+1) = `count(1,2) + count(1,1)` = 1+1 = 2
`count(2, 7)` (1+6, 2+5, ..., 6+1) = `count(1,6) + count(1,5) + ... + count(1,1)` = 1+1+1+1+1+1 = 6
（这个和咱们前面算的两个骰子加起来是7的点数一样）
3. 3个骰子:
`count(3, 10)` = `count(2, 9) + count(2, 8) + count(2, 7) + count(2, 6) + count(2, 5) + count(2, 4)`
咱们需要先算出 `count(2, ...)` 的值。
`count(2, 4)` = `count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1 = 3
`count(2, 5)` = `count(1,4) + count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1+1 = 4
`count(2, 6)` = `count(1,5) + count(1,4) + count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1+1+1 = 5
`count(2, 7)` = 6 (前面算过)
`count(2, 8)` = `count(1,6) + count(1,5) + count(1,4) + count(1,3) + count(1,2)` = 1+1+1+1+1 = 5
`count(2, 9)` = `count(1,6) + count(1,5) + count(1,4) + count(1,3)` = 1+1+1+1 = 4
把这些代入：`count(3, 10)` = $4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$。
总的组合数是 $6^3 = 216$。
概率就是 $27/216 = 1/8$。
这个方法的优势： 即使骰子数量很多，只要计算的上限（总点数 $S$ 和骰子数量 $n$）在计算机内存允许的范围内，它就能高效地算出结果。
方法二：生成函数 (Generating Functions)
这是一种更数学化的方法，尤其在组合数学中非常常见。虽然初听起来可能有点抽象，但它解决问题的方式非常优雅。
1. 单个骰子的生成函数：
一个六面骰子，点数可以是 $1, 2, 3, 4, 5, 6$。我们可以用一个多项式来表示它的可能性。
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)$
这里的 $x^k$ 代表一个点数是 $k$ 的事件。指数代表点数，系数 $1$ 代表有 $1$ 种方式得到这个点数。
2. 多个骰子的生成函数：
如果咱们投掷 $n$ 个骰子，那么整个系统的可能性就用这一个骰子生成函数的 $n$ 次方来表示。
例如，两个骰子的生成函数是：
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2$
三颗骰子就是：
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$
3. 如何从生成函数中提取信息：
当我们展开这个多项式的 $n$ 次方时，会得到一个形式为 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + dots$ 的多项式。
这个多项式中的系数 $a_k$ 就代表着投掷 $n$ 个骰子后，点数总和恰好为 $k$ 的可能性数量。
例如， $(x^1 + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4$。
这意味着投掷两个只有 $1$ 或 $2$ 点的骰子：
总点数是 $2$（组合为 (1,1)）：有 $1$ 种可能。
总点数是 $3$（组合为 (1,2), (2,1)）：有 $2$ 种可能。
总点数是 $4$（组合为 (2,2)）：有 $1$ 种可能。
对于标准六面骰子，我们需要计算 $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n$ 的展开式。
这个表达式可以写成 $x^n(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^n$。
而 $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ 是一个等比数列的和，等于 $frac{1x^6}{1x}$。
所以，总的生成函数是 $x^n (frac{1x^6}{1x})^n$。
要找到总点数为 $S$ 的方法数，我们需要找到这个生成函数中 $x^S$ 项的系数。
这涉及到对这个表达式进行泰勒展开或者使用二项式定理等高级数学技巧。例如，通过展开 $(1x^6)^n$ 和 $(1x)^{n}$ 的级数形式，再进行卷积运算，最终可以得到 $x^S$ 的系数。
这种方法的特点： 它提供了一个非常数学化、简洁的理论框架。对于计算机实现来说，也可以通过多项式乘法算法来高效地计算出这个展开式，进而得到系数。
总结一下计算步骤：
1. 确定问题参数： 骰子数量 $n$，目标总点数 $S$。
2. 计算总的可能结果数量： 每个骰子有 $6$ 种可能，所以总共有 $6^n$ 种组合。
3. 计算符合条件的组合数量：
小规模问题（ $n$ 小）： 可以尝试手动列举，但很快会出错。
推荐方法（动态规划）： 建立一个表格或数组，根据递推关系计算出每个骰子组合数。具体来说，创建一个二维数组 `dp[k][s]`，表示投掷 $k$ 个骰子得到总点数 $s$ 的方法数。然后用循环填充这个数组。
数学方法（生成函数）： 如果对数学工具熟悉，可以使用生成函数理论来推导。
4. 计算最终概率： 将符合条件的组合数量除以总的可能结果数量。
需要注意的地方：
总点数的范围： $n$ 个骰子，总点数的最小值是 $n imes 1 = n$，最大值是 $n imes 6 = 6n$。如果目标总点数 $S$ 在这个范围之外，概率就是 $0$。
骰子类型： 这里我们讨论的是标准的六面骰子。如果骰子有不同的面数（比如四面骰、八面骰等），生成函数和动态规划的递推关系都会相应改变。
计算效率： 对于非常大的 $n$，即使是动态规划也可能需要巨大的计算资源。这时生成函数结合一些优化的多项式乘法算法（如FFT）会更有效率。
总的来说，计算投掷多个骰子得到某个给定总点数的概率，本质上是一个组合计数问题。动态规划提供了一种直观且易于实现的计算方法，而生成函数则提供了一个更抽象、更强大的数学框架。理解了这些方法，你就可以应对各种骰子组合的概率问题了。
核心问题： 假设咱们有 $n$ 个标准的六面骰子，每个骰子点数是从 $1$ 到 $6$ 的整数，咱们想知道投掷这些骰子后，它们的点数加起来等于某个特定的总数 $S$ 的可能性有多大。
先从简单的说起：一个骰子
如果只有一个骰子，那就太简单了。你想得到点数 $3$ 的概率？太容易了，骰子六个面，只有一个面是 $3$，所以概率就是 $1/6$。想得到 $7$？ 那不可能，骰子最大就 $6$，所以概率是 $0$。
两个骰子：开始有点意思了
现在咱们有两个骰子。假设你想知道两个骰子加起来等于 $7$ 的概率。
1. 列出所有可能性： 两个骰子，每个有 $6$ 种可能，所以总共有 $6 imes 6 = 36$ 种不同的组合。咱们可以想象一个表格，第一行代表第一个骰子的点数（1到6），第一列代表第二个骰子的点数（1到6）。表格里的每一个格子就代表一种组合，比如 (1,1), (1,2), ..., (6,6)。
2. 找出符合条件的组合： 哪些组合加起来等于 $7$ 呢？
第一个骰子是 $1$，第二个骰子是 $6$ (1, 6)
第一个骰子是 $2$，第二个骰子是 $5$ (2, 5)
第一个骰子是 $3$，第二个骰子是 $4$ (3, 4)
第一个骰子是 $4$，第二个骰子是 $3$ (4, 3)
第一个骰子是 $5$，第二个骰子是 $2$ (5, 2)
第一个骰子是 $6$，第二个骰子是 $1$ (6, 1)
总共有 $6$ 种组合。
3. 计算概率： 概率就是“符合条件的组合数量”除以“所有可能的组合数量”。所以，两个骰子加起来等于 $7$ 的概率是 $6 / 36 = 1/6$。
三个骰子：复杂性在增加
如果咱们有三个骰子，想知道总和是 $10$ 的概率。
1. 总的组合数： 三个骰子，每个有 $6$ 种可能，所以总共有 $6 imes 6 imes 6 = 216$ 种组合。
2. 符合条件的组合数： 这个就有点麻烦了，咱们得仔细找。假设三个骰子的点数分别是 $d_1, d_2, d_3$。我们需要 $d_1 + d_2 + d_3 = 10$，并且 $1 le d_1, d_2, d_3 le 6$。
如果第一个骰子是 $1$：剩下两个骰子的和需要是 $9$。可能的组合有 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)。
如果第一个骰子是 $2$：剩下两个骰子的和需要是 $8$。可能的组合有 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)。
如果第一个骰子是 $3$：剩下两个骰子的和需要是 $7$。可能的组合有 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)。
如果第一个骰子是 $4$：剩下两个骰子的和需要是 $6$。可能的组合有 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)。
如果第一个骰子是 $5$：剩下两个骰子的和需要是 $5$。可能的组合有 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)。
如果第一个骰子是 $6$：剩下两个骰子的和需要是 $4$。可能的组合有 (1,3), (2,2), (3,1)。
把所有这些情况加起来：$4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$ 种组合。
3. 计算概率： $27 / 216 = 1/8$。
推广到 $n$ 个骰子和总数 $S$
当骰子数量变多，手动列举所有组合就变得非常不现实了。这时候就需要更系统的方法。
方法一：动态规划 (Dynamic Programming)
这是一种非常强大的计算机科学思想，也很适合解决这类问题。我们可以这样想：
咱们用一个表格（或者数组）来记录，到目前为止，投掷了多少个骰子，以及这些骰子可能出现的各种总点数有多少种。
状态定义： 假设我们定义一个函数 `count(k, s)`，表示投掷了 $k$ 个骰子，总点数恰好为 $s$ 的可能性有多少种。
基本情况 (Base Case):
当 $k=1$ 时，`count(1, s)` 只有当 $1 le s le 6$ 时为 $1$，其他情况为 $0$。
递推关系 (Recurrence Relation):
现在考虑投掷 $k$ 个骰子，总点数为 $s$。这最后一个（第 $k$ 个）骰子可能掷出的点数是 $v$（$1 le v le 6$）。如果最后一个骰子掷出了 $v$，那么前面 $k1$ 个骰子的总点数就必须是 $sv$。
所以，`count(k, s)` 就等于将所有可能的 $v$ 的情况加起来：
`count(k, s) = count(k1, s1) + count(k1, s2) + count(k1, s3) + count(k1, s4) + count(k1, s5) + count(k1, s6)`
这个公式的意思是：投掷 $k$ 个骰子得到总数 $s$ 的所有方法，就是把“投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s1$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $1$” 和 “投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s2$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $2$”……一直加到 “投掷 $k1$ 个骰子得到总数 $s6$ 的所有方法，然后第 $k$ 个骰子掷 $6$”。
怎么用这个？
我们可以从 $k=1$ 开始，计算出所有可能的总点数及其数量。然后用这个结果去计算 $k=2$ 的所有总点数及其数量，以此类推，直到我们计算出 $k=n$ 的时候，就能知道投掷 $n$ 个骰子得到特定总数 $S$ 的数量了。
举个例子，计算三个骰子总和为 $10$ 的方法数：
1. 1个骰子:
`count(1, 1)=1`, `count(1, 2)=1`, ..., `count(1, 6)=1`
2. 2个骰子:
`count(2, 2)` (1+1) = `count(1,1)` = 1
`count(2, 3)` (1+2, 2+1) = `count(1,2) + count(1,1)` = 1+1 = 2
`count(2, 7)` (1+6, 2+5, ..., 6+1) = `count(1,6) + count(1,5) + ... + count(1,1)` = 1+1+1+1+1+1 = 6
（这个和咱们前面算的两个骰子加起来是7的点数一样）
3. 3个骰子:
`count(3, 10)` = `count(2, 9) + count(2, 8) + count(2, 7) + count(2, 6) + count(2, 5) + count(2, 4)`
咱们需要先算出 `count(2, ...)` 的值。
`count(2, 4)` = `count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1 = 3
`count(2, 5)` = `count(1,4) + count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1+1 = 4
`count(2, 6)` = `count(1,5) + count(1,4) + count(1,3) + count(1,2) + count(1,1)` = 1+1+1+1+1 = 5
`count(2, 7)` = 6 (前面算过)
`count(2, 8)` = `count(1,6) + count(1,5) + count(1,4) + count(1,3) + count(1,2)` = 1+1+1+1+1 = 5
`count(2, 9)` = `count(1,6) + count(1,5) + count(1,4) + count(1,3)` = 1+1+1+1 = 4
把这些代入：`count(3, 10)` = $4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$。
总的组合数是 $6^3 = 216$。
概率就是 $27/216 = 1/8$。
这个方法的优势： 即使骰子数量很多，只要计算的上限（总点数 $S$ 和骰子数量 $n$）在计算机内存允许的范围内，它就能高效地算出结果。
方法二：生成函数 (Generating Functions)
这是一种更数学化的方法，尤其在组合数学中非常常见。虽然初听起来可能有点抽象，但它解决问题的方式非常优雅。
1. 单个骰子的生成函数：
一个六面骰子，点数可以是 $1, 2, 3, 4, 5, 6$。我们可以用一个多项式来表示它的可能性。
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)$
这里的 $x^k$ 代表一个点数是 $k$ 的事件。指数代表点数，系数 $1$ 代表有 $1$ 种方式得到这个点数。
2. 多个骰子的生成函数：
如果咱们投掷 $n$ 个骰子，那么整个系统的可能性就用这一个骰子生成函数的 $n$ 次方来表示。
例如，两个骰子的生成函数是：
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2$
三颗骰子就是：
$(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$
3. 如何从生成函数中提取信息：
当我们展开这个多项式的 $n$ 次方时，会得到一个形式为 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + dots$ 的多项式。
这个多项式中的系数 $a_k$ 就代表着投掷 $n$ 个骰子后，点数总和恰好为 $k$ 的可能性数量。
例如， $(x^1 + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4$。
这意味着投掷两个只有 $1$ 或 $2$ 点的骰子：
总点数是 $2$（组合为 (1,1)）：有 $1$ 种可能。
总点数是 $3$（组合为 (1,2), (2,1)）：有 $2$ 种可能。
总点数是 $4$（组合为 (2,2)）：有 $1$ 种可能。
对于标准六面骰子，我们需要计算 $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n$ 的展开式。
这个表达式可以写成 $x^n(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^n$。
而 $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$ 是一个等比数列的和，等于 $frac{1x^6}{1x}$。
所以，总的生成函数是 $x^n (frac{1x^6}{1x})^n$。
要找到总点数为 $S$ 的方法数，我们需要找到这个生成函数中 $x^S$ 项的系数。
这涉及到对这个表达式进行泰勒展开或者使用二项式定理等高级数学技巧。例如，通过展开 $(1x^6)^n$ 和 $(1x)^{n}$ 的级数形式，再进行卷积运算，最终可以得到 $x^S$ 的系数。
这种方法的特点： 它提供了一个非常数学化、简洁的理论框架。对于计算机实现来说，也可以通过多项式乘法算法来高效地计算出这个展开式，进而得到系数。
总结一下计算步骤：
1. 确定问题参数： 骰子数量 $n$，目标总点数 $S$。
2. 计算总的可能结果数量： 每个骰子有 $6$ 种可能，所以总共有 $6^n$ 种组合。
3. 计算符合条件的组合数量：
小规模问题（ $n$ 小）： 可以尝试手动列举，但很快会出错。
推荐方法（动态规划）： 建立一个表格或数组，根据递推关系计算出每个骰子组合数。具体来说，创建一个二维数组 `dp[k][s]`，表示投掷 $k$ 个骰子得到总点数 $s$ 的方法数。然后用循环填充这个数组。
数学方法（生成函数）： 如果对数学工具熟悉，可以使用生成函数理论来推导。
4. 计算最终概率： 将符合条件的组合数量除以总的可能结果数量。
需要注意的地方：
总点数的范围： $n$ 个骰子，总点数的最小值是 $n imes 1 = n$，最大值是 $n imes 6 = 6n$。如果目标总点数 $S$ 在这个范围之外，概率就是 $0$。
骰子类型： 这里我们讨论的是标准的六面骰子。如果骰子有不同的面数（比如四面骰、八面骰等），生成函数和动态规划的递推关系都会相应改变。
计算效率： 对于非常大的 $n$，即使是动态规划也可能需要巨大的计算资源。这时生成函数结合一些优化的多项式乘法算法（如FFT）会更有效率。
总的来说，计算投掷多个骰子得到某个给定总点数的概率，本质上是一个组合计数问题。动态规划提供了一种直观且易于实现的计算方法，而生成函数则提供了一个更抽象、更强大的数学框架。理解了这些方法，你就可以应对各种骰子组合的概率问题了。
网友意见
这是一个很有趣的古典概型问题。
由于我们想要得到一个一般解，所以可以把题目中的条件再放宽：每个骰子均匀地有个面，即得到相应点数的概率为。当然，得到每种点数的概率要相等，否则不满足古典概型中基本事件等可能发生的条件。
所以，我们可以将问题描述为，投出个均匀的面骰子，总共得到点数为的概率是多少？
解决问题以前，先进行一些简单铺垫：
个元素当中取个元素的全部可能记作组合数，当然也经常记作；
许多复杂的古典概型问题本质上是组合问题，所以不要太纠结于概率，要适时地站在代数的角度考虑问题。
铺垫结束。求解开始。
投出个骰子能够得到的总事件数为，目标点数为可以记作方程，其中是大于小于的整数。
下面考虑多项式，将它与其自身相乘，化简后一定会包含，其中可以独立地假定为到之间的任意整数。所以对于化简后的多项式，选定指数，则项的系数将给出方程的解的数量。
类似地，因为多项式乘法本质就是同类项之间的组合，所以总点数的获取方式，可以根据多项式中项的系数得出。
我们对多项式进行化简，
根据牛顿二项式定理，
为获得项的系数，考虑，进行合并有
所以我们得到对应全部可能的组合数为
其中，表示高斯取整函数。
记问题的目标概率为 ，我们得到一般解：
求解结束。[1]
在得到这个一般性的结论以后，我们不妨来进行一些检验计算。比如，投出12个正常的6面骰子，得到总点数为42的概率是多少？
代入公式，不难得到
所以，投出12个骰子得到总点数42的概率约为0.067。
对了，42不是一个随便选出来的数，当然也和《银河系漫游指南》没关系。选42是因为它是12个骰子总点数的期望，这个时候对应最高的概率，也就是最多种可能的组合。
换言之，选42只是为了用来调戏那些热衷于穷举的闲人。
参考
- ^ Introduction to mathematical probability by J. V. Uspensky. New York: McGraw-Hill, 1937.
类似的话题
-
好的，咱们来聊聊投掷多个骰子，然后想算出特定总点数的概率这回事。别担心，这玩意儿听起来有点数学，但拆解开来其实挺有意思的，就像玩一个复杂的拼图一样。咱们一步一步来。核心问题： 假设咱们有 $n$ 个标准的六面骰子，每个骰子点数是从 $1$ 到 $6$ 的整数，咱们想知道投掷这些骰子后，它们的点数加起............. -
吉利对法拉第未来的这笔投资，可以说是一着妙棋，也可能是一场豪赌。咱们就来好好掰扯掰扯这笔钱意味着什么，以及FF在中国这块风水宝地到底有没有戏。吉利这笔投资，背后 neler var? (这背后有什么？)首先，咱们得明白，吉利虽然在中国汽车市场叱咤风云，但想在全球高端电动车领域立足，尤其是跟特斯拉、蔚.............
-
中芯国际这次计划投资 23.5 亿美元的消息，可不是小打小闹，而是透露出不少值得我们深入挖掘的信号。别的不说，单看这笔钱的数额，就足以说明中芯国际在下一盘很大的棋。首先，这是对未来市场信心的直观体现。 23.5 亿美元，这可不是一个小数目，在半导体这个资本密集型行业里，这笔投资足以建造一座相当规模的.............
-
刘强东提到的“京东未来三年在东北超过200亿的投资计划”是一个非常具有战略意义和前瞻性的举措，反映了京东对中国东北地区经济发展的信心和决心。要理解这个计划的意义，我们需要从多个维度进行深入剖析：一、 投资计划的背景与动机： 东北振兴战略的契合： 中国政府高度重视东北地区的振兴发展，出台了一系列政.............
-
汪涵的这个“方言保护计划”，我仔细看了看，这事儿说起来也挺有意思的，而且细节不少，值得说道说道。首先，这四百多万的投入，单看数字挺唬人的，而且是由汪涵这么一个知名公众人物来主导，所以一出来关注度就很高。这笔钱用来做什么？主要是支持一些地方性的方言保护项目，比如录制濒危方言的音频、视频资料，拍摄相关的.............
-
2020年的CVPR，投稿量首次突破了一万大关，这个数字着实让人眼前一亮，也引发了不少关于计算机视觉领域发展态势的讨论。如果让我来评价这个现象，我会从几个层面来看待：首先，这是计算机视觉领域蓬勃发展的直观体现，也是“黄金时代”的最好注脚。想当年，计算机视觉的研究还相对小众，顶会投稿量也就几百上千，能.............
-
小米宣布未来五年研发投入提高到1000亿元，这是一个非常重磅的信号，标志着小米向科技公司转型的决心和战略升级。我们可以从多个维度来详细解读这一消息：1. 背景分析：为何选择此刻巨额投入？ 科技巨头竞争加剧： 全球科技行业正处于一个高强度的竞争阶段，尤其是在人工智能、芯片、自动驾驶、物联网等前沿领.............
-
刘强东振兴东北投资200亿的计划，无疑是一个非常引人关注的议题。毕竟，京东这样一个体量巨大的企业，加上刘强东个人的影响力，无论投向哪里，都足以引发热议。而东北，这个曾经共和国的工业长子，近年来经济面临不少挑战，亟需新的活力注入。首先，我们得理解这个计划的背景和意义。东北地区，一度是中国工业化的摇篮，.............
-
广东以色列理工学院（GTIIT）2020年广东省招生情况确实引起了不少关注，尤其是投档人数远低于计划招生数，以及投档分数线相对较低。要分析这个现象，我们需要从多个维度进行深入探讨。首先，我们来看一下具体数据： 计划招生数： 256人 实际投档数： 87人 投档分数线： 475分解读这个数.............
-
计算一只鸡的表面积并非一个简单的几何问题，因为鸡的形状非常不规则，充满了各种曲线、突起和凹陷。在实际应用中，并没有一个标准化的、精确的公式来计算一只鸡的表面积，因为它会根据鸡的大小、体型、羽毛覆盖度等因素而变化。然而，我们可以采取不同的方法来估算一只鸡的表面积，这些方法从简单到复杂，精度也逐渐提高。.............
-
计算一个城市的魅力指数是一个复杂且主观的任务，因为它涉及多个维度，并且不同的人对“魅力”的定义和侧重点也会有所不同。然而，我们可以尝试构建一个多维度的评价体系，通过量化一系列指标来综合评估一个城市的魅力。以下是一个详细的计算城市魅力指数的框架，它尝试涵盖经济、文化、环境、生活、创新和国际化等多个方面.............
-
好的，我们来聊聊如何衡量一组三维空间角度数据的“分散程度”，也就是我们常说的方差或者离散程度。在很多工程、物理、生物等领域，我们都会遇到描述物体朝向或者方向的数据，比如相机镜头指向、机械臂末端姿态、甚至生物体的某种取向等等。这些数据都是角度，而且是在三维空间中的。直接把三维角度当成普通的数值来计算方.............
-
想弄明白函数 $f(x) = frac{log(x)}{x}$ 的 $n$ 阶导数到底长什么样，咱们得一步一步来，就像剥洋葱一样，一层一层地揭开它的神秘面纱。这可不是那种一看就知道答案的简单函数，需要一点耐心和技巧。第一步：初探函数，熟悉“脾气”在深入计算之前，咱们先得对 $f(x)$ 有个初步的认.............
-
要计算体检时间间隔的上限，使得体检者即使罹患胃癌，也有99.9%的概率被发现时处于早期，我们需要从几个关键因素入手。这并非一个简单的数字计算，而是涉及到对疾病发展过程、筛查敏感性以及统计学概率的综合考量。首先，我们需要明确几个定义： 早期胃癌：通常指癌细胞局限于粘膜层或粘膜下层，尚未侵犯到肌层或.............
-
要计算磁力的大小，我们可以从几个不同的角度来看待这个问题，因为“磁力”这个词本身就涵盖了很多情况。我会尽量详细地解释，并让你感觉像是在和一个人交流，而不是在读一篇冰冷的AI文章。想象一下，你手里拿着一块磁铁，你试图把它靠近另一块磁铁，或者一个含铁的物体。你会感觉到一种“推”或“拉”的力量，这就是磁力.............
-
计算宇宙的寿命，这绝对是一个宏大且极富挑战性的问题，涉及到我们对宇宙最根本的理解。它不是一个简单的数字，而是基于我们对宇宙演化过程的观测和理论推演得出的一个估计值。要深入理解它，我们需要一步步拆解。首先，我们需要明确“宇宙寿命”指的是什么。通常我们讨论的是自大爆炸以来宇宙存在了多久。换句话说，我们想.............
-
想计算一脚踢断22厘米半径的钢筋需要多大的力量，这可不是个简单的事情，背后涉及到不少物理学的门道。咱们一步步来分析，把这个过程说得透彻些。首先，得明确一点：“踢断”这个动作，我们通常理解为是施加一个瞬间的、非常大的冲击力。 这个力和我们平时说的“拉力”或者“推力”不太一样。理解几个关键概念：1. .............
-
计算 $sqrt{ an x}$ 在 $0$ 到 $frac{pi}{2}$ 的定积分是一个经典但相对复杂的积分问题，涉及到特殊函数，特别是椭圆积分。下面我将详细地介绍计算过程和相关的数学概念。积分问题：我们要计算的定积分是：$$ I = int_0^{frac{pi}{2}} sqrt{ an x.............
-
这确实是一个在微积分学习中会遇到的经典积分问题，它涉及到三角函数和一些巧妙的代换技巧。我们来一步一步地拆解它，并尝试用一种更自然、更易于理解的方式来解决这个问题。问题的本质我们面临的积分是：$$ int frac{1}{sin heta + cos heta} d heta $$直接对 $sin h.............
-
好的，我们来一步步拆解计算这个积分。请别担心，我会尽量用最接地气的方式来讲解，让你觉得就像是和一位老朋友在讨论数学一样。我们今天要解决的积分是：$int frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 x^2 + x 1} dx$第一步：观察被积函数，寻找破绽！首先，我们看到的是一个分数形式的表达.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有