给定一个圆如何确定圆心?
想知道一个圆的圆心在哪儿？这事儿说起来并不难，但要说得透彻，咱就得把这中间的门道儿掰开了揉碎了聊。别以为这是个玄乎的事儿，其实它就藏在最朴实的几何道理里。
第一步：找点儿，越多越好
首先，你得在圆上至少找三个不共线的点。为啥是三个？你想想，一个点儿，你能知道它在哪儿，但它周围无数个点都能构成无数个圆，哪个是你想找的？两个点儿呢？它俩能确定一条直线，但以这条直线为直径的圆，圆心在哪儿？不确定。所以，咱们得至少捞着三个点儿，这样才能把范围缩小到一个唯一的圆。
当然，点儿越多越好，那样的话，你找出来的圆心会越准确，特别是在实际操作中，我们很难把点儿找得那么完美，有那么一两个小误差。
第二步：连线，制造“弦”
有了三个点儿，咱就开始动手了。随便挑出圆上的两个点，用尺子（或者就凭感觉）把它们连起来，得到一条线段。这条线段，在几何上叫做“弦”。
然后，再挑出另外两个点（可以是第一个点和第三个点，或者第二个点和第三个点），同样用线段把它们连起来。这样，咱们就有了两条弦。
第三步：垂直平分，关键在“中间”
现在，咱们盯着这两条弦。咱要做的，是找到每条弦的“垂直平分线”。啥意思呢？就是找到这条线，它得满足两个条件：
1. 穿过弦的中间： 它得正好把这条弦分成两段一样长的部分。
2. 与弦垂直： 它和弦的角度是九十度，严丝合缝。
你可以用尺子和圆规来画。找到弦的长度，量出它的中点，然后画一条垂直于这条弦的直线，这条线就是这条弦的垂直平分线。对第二条弦，咱们也做同样的事情。
第四步：相交之处，就是圆心
好了，现在你面前应该有两条垂直平分线了。你猜怎么着？这两条线的交点，就是咱们苦苦寻找的圆心！
为啥会是这样呢？这里面有个几何原理。任何一个在弦的垂直平分线上的点，到这条弦两个端点的距离都是相等的。你想想，如果你把一个圆心找到了，圆心到圆上任何一点的距离不都是半径吗？所以，圆心肯定要到弦的两个端点的距离相等，那它必然就在这条弦的垂直平分线上。
既然圆心既在这条弦的垂直平分线上，又在那条弦的垂直平分线上，那它唯一的去处，就是这两条线的交点。
实际操作小贴士：
精确度： 用尺子画线、量中点的时候，尽量精确一些。如果用手机拍照，尽量从正上方拍，避免透视变形。
软件辅助： 如果是在电脑上操作，很多绘图软件都有自动画垂直平分线的功能，这样会更方便快捷。
验证： 找到了圆心之后，你可以再找几个圆上的点，量一下圆心到这些点的距离，如果都差不多，说明你找对了。
总而言之，找圆心这事儿，就是利用了“圆心到圆上任意一点距离相等”这个最基本的性质，通过画弦、画垂直平分线，把这个性质“具象化”了。虽然说起来有点儿学术，但你仔细想想，这逻辑一点儿也不复杂，就像解一个逻辑题一样，层层递进，最后答案就自然而然地浮现了。
第一步：找点儿，越多越好
首先，你得在圆上至少找三个不共线的点。为啥是三个？你想想，一个点儿，你能知道它在哪儿，但它周围无数个点都能构成无数个圆，哪个是你想找的？两个点儿呢？它俩能确定一条直线，但以这条直线为直径的圆，圆心在哪儿？不确定。所以，咱们得至少捞着三个点儿，这样才能把范围缩小到一个唯一的圆。
当然，点儿越多越好，那样的话，你找出来的圆心会越准确，特别是在实际操作中，我们很难把点儿找得那么完美，有那么一两个小误差。
第二步：连线，制造“弦”
有了三个点儿，咱就开始动手了。随便挑出圆上的两个点，用尺子（或者就凭感觉）把它们连起来，得到一条线段。这条线段，在几何上叫做“弦”。
然后，再挑出另外两个点（可以是第一个点和第三个点，或者第二个点和第三个点），同样用线段把它们连起来。这样，咱们就有了两条弦。
第三步：垂直平分，关键在“中间”
现在，咱们盯着这两条弦。咱要做的，是找到每条弦的“垂直平分线”。啥意思呢？就是找到这条线，它得满足两个条件：
1. 穿过弦的中间： 它得正好把这条弦分成两段一样长的部分。
2. 与弦垂直： 它和弦的角度是九十度，严丝合缝。
你可以用尺子和圆规来画。找到弦的长度，量出它的中点，然后画一条垂直于这条弦的直线，这条线就是这条弦的垂直平分线。对第二条弦，咱们也做同样的事情。
第四步：相交之处，就是圆心
好了，现在你面前应该有两条垂直平分线了。你猜怎么着？这两条线的交点，就是咱们苦苦寻找的圆心！
为啥会是这样呢？这里面有个几何原理。任何一个在弦的垂直平分线上的点，到这条弦两个端点的距离都是相等的。你想想，如果你把一个圆心找到了，圆心到圆上任何一点的距离不都是半径吗？所以，圆心肯定要到弦的两个端点的距离相等，那它必然就在这条弦的垂直平分线上。
既然圆心既在这条弦的垂直平分线上，又在那条弦的垂直平分线上，那它唯一的去处，就是这两条线的交点。
实际操作小贴士：
精确度： 用尺子画线、量中点的时候，尽量精确一些。如果用手机拍照，尽量从正上方拍，避免透视变形。
软件辅助： 如果是在电脑上操作，很多绘图软件都有自动画垂直平分线的功能，这样会更方便快捷。
验证： 找到了圆心之后，你可以再找几个圆上的点，量一下圆心到这些点的距离，如果都差不多，说明你找对了。
总而言之，找圆心这事儿，就是利用了“圆心到圆上任意一点距离相等”这个最基本的性质，通过画弦、画垂直平分线，把这个性质“具象化”了。虽然说起来有点儿学术，但你仔细想想，这逻辑一点儿也不复杂，就像解一个逻辑题一样，层层递进，最后答案就自然而然地浮现了。
网友意见
这事吧可大可小，纯粹几何上找一个圆的圆心高赞们说的方法就已经很丰富了。
实际上，现实中有些场景下，这还是个挺麻烦的事。
比如，芯片制造过程中，有时候需要比较准确的找到晶圆的圆心。这就是个挺麻烦的事。
[网络晶圆图片]
因为晶圆本身对洁净度的要求，所以也没办法去添加辅助线去找到它的圆心。
而且因为加工工艺关系，晶圆也不能保证是足够圆的（圆度不为0），所以也不能边界找三个点确定圆心。
于是，就有了各种机械对中的结构，试图通过晶圆外轮廓确定它的圆心。
比如这样的：
还有这样的：
但是，由于加工精度等等原因，这种对准精度往往不是特别高。
于是有些又通过视觉的方法，先对晶圆拍张照，然后通过找到图像中圆心的方法去获取晶圆圆心（当然相机物理位置要标定的）。
于是又有了这样的：
但是，对于6、8、12寸以及直径更大的晶圆，就需要一个比较高的空间，让相机有足够的物距来得到足够的视野。这时候很多对空间有要求的场景就不能用了。
于是，大家又想干脆直接让晶圆旋转去找它的轮廓得了。
有一种思路是想着直接用相机拍晶圆的外轮廓，
晶圆旋转着，每次拍一段。这样分段获取晶圆外轮廓。
还有一种思路是想着用光学传感器，上面用光照射扫描它的边界：
这样只要下面负责接收光线的传感器（CCD）精度够高，那得到的边缘点的精度就比较高，找到的圆心精度就会高一些。
但这样得到的数据就是不同角度下，传感器被遮挡的长度。
到了这步，怎么计算圆心就是个问题了。
有提出用质心的：
得到的圆心是：
但是一般晶圆都是有缺口的，根据缺口的不同大致分为两类：Flat（平槽）和Notch（V平槽）。
所以，对于Flat（平槽）型晶圆，质心法明显会受较大影响。
所以，也有考虑用圆最小二乘法实现的：
得到的圆心是：
哈工大曲东升团队，还提出了一种非线性晶圆缺口拟合算法：即利用L-M算法直接求解缺口边缘拟合问题。精度平均值在0.14μm。
- 《硅片预对准机器人视觉系统研究》
- 《NewWafer Alignment Process Using Multiple Vision Method for Industrial Manufacturing》
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- 《晶圆预对准系统定位算法研究》
- 《Design and Experiment of The Wafer Pre-alignment System》
- 《基于高精度测微仪的晶圆预对准方法》
类似的话题
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