在区间【0,π/2】上，曲线y=sinx与直线x=π/2，y=0所围成的图形，绕y轴旋转的旋转体体积？
好的，我们来详细讲解一下如何在区间【0, π/2】上，曲线 y = sinx 与直线 x = π/2，y = 0 所围成的图形，绕 y 轴旋转的旋转体体积的计算。
1. 理解图形和旋转轴
曲线 y = sinx: 这是正弦函数在第一象限（x 从 0 到 π/2）的部分。它从原点 (0, 0) 开始，向上弯曲，在 x = π/2 时达到最大值 y = sin(π/2) = 1。
直线 x = π/2: 这是一条垂直的直线，通过 x = π/2。
直线 y = 0: 这就是 x 轴。
围成的图形是这样的：
想象一下在 xy 平面上，从原点 (0, 0) 开始，沿着 x 轴向右到 x = π/2，然后沿着直线 x = π/2 向上到点 (π/2, 1)，再沿着曲线 y = sinx 向左下回到原点 (0, 0)。这个图形就像一个被“压扁”的扇形。
旋转轴是 y 轴。
当这个图形绕着 y 轴旋转时，我们会得到一个旋转体。
2. 选择合适的积分方法
在计算旋转体体积时，我们通常有两种主要方法：
圆盘法 (Disk Method) 或 圆环法 (Washer Method): 当旋转轴与“切割”图形的“厚度”垂直时使用。这意味着我们积分变量与旋转轴平行。
圆筒法 (Cylinder Method) 或 壳层法 (Shell Method): 当旋转轴与“切割”图形的“厚度”平行时使用。这意味着我们积分变量与旋转轴垂直。
在这个问题中，我们的积分变量是 x (从 0 到 π/2)，而旋转轴是 y 轴。x 和 y 轴是垂直的。如果我们想用“厚度” dx 来切割图形，这个“厚度”是沿着 x 轴方向的。旋转轴是 y 轴，这两个方向是垂直的。因此，圆筒法（壳层法）是更适合的方法。
3. 应用圆筒法 (Shell Method)
圆筒法的基本思想是将旋转体切分成许多薄的圆筒（或圆柱壳）。每个圆筒的体积可以近似为：
`dV = 2π 半径 高度 厚度`
让我们来确定这些参数：
积分变量: 我们将沿着 x 轴进行积分，从 x = 0 到 x = π/2。所以“厚度”将是 `dx`。
半径: 对于一个在 x 处的“薄圆筒”，它距离旋转轴（y 轴）的距离就是它的半径。因此，半径为 `x`。
高度: 对于一个在 x 处的“薄圆筒”，它的高度是由曲线 y = sinx 和 x 轴 (y=0) 决定的。在 x 处，曲线的高度是 `y = sinx`。所以高度为 `sinx`。
将这些参数代入圆筒体积公式：
`dV = 2π x sinx dx`
4. 设置积分表达式
为了得到整个旋转体的体积，我们需要将所有这些薄圆筒的体积加起来，也就是进行积分。积分的范围是从 x = 0 到 x = π/2：
`V = ∫[从 0 到 π/2] 2π x sinx dx`
我们可以将常数 2π 提出来：
`V = 2π ∫[从 0 到 π/2] x sinx dx`
5. 计算积分
现在我们需要计算积分 `∫ x sinx dx`。这是一个典型的积分，我们可以使用分部积分法。
分部积分法的公式是：`∫ u dv = uv ∫ v du`
我们需要选择 u 和 dv。一个好的选择是让 u 的导数变得更简单，而 dv 容易积分。
令 `u = x`，则 `du = dx`
令 `dv = sinx dx`，则 `v = ∫ sinx dx = cosx`
现在将这些代入分部积分公式：
`∫ x sinx dx = x (cosx) ∫ (cosx) dx`
`∫ x sinx dx = xcosx + ∫ cosx dx`
`∫ x sinx dx = xcosx + sinx + C`
6. 计算定积分
我们将分部积分的结果代回我们的体积公式，并计算定积分：
`V = 2π [xcosx + sinx] [从 0 到 π/2]`
现在，我们将上限 (π/2) 和下限 (0) 代入，并相减：
`V = 2π [( (π/2) cos(π/2) + sin(π/2)) ( 0 cos(0) + sin(0))]`
我们知道：
`cos(π/2) = 0`
`sin(π/2) = 1`
`cos(0) = 1`
`sin(0) = 0`
代入这些值：
`V = 2π [( (π/2) 0 + 1) ( 0 1 + 0)]`
`V = 2π [(0 + 1) (0 + 0)]`
`V = 2π [1 0]`
`V = 2π 1`
`V = 2π`
结论
在区间【0, π/2】上，曲线 y = sinx 与直线 x = π/2，y = 0 所围成的图形，绕 y 轴旋转的旋转体体积是 2π。
总结一下步骤：
1. 理解问题: 确定图形的边界和旋转轴。
2. 选择方法: 根据旋转轴与图形的相对位置，选择圆盘法/圆环法或圆筒法/壳层法。对于绕 y 轴旋转，使用 x 作为积分变量时，圆筒法是首选。
3. 建立积分: 根据圆筒法公式 `dV = 2π 半径 高度 厚度`，将半径 (x)、高度 (sinx) 和厚度 (dx) 代入，得到积分表达式。
4. 计算积分: 使用分部积分法计算不定积分。
5. 计算定积分: 将积分上下限代入计算结果，得出最终体积。
1. 理解图形和旋转轴
曲线 y = sinx: 这是正弦函数在第一象限（x 从 0 到 π/2）的部分。它从原点 (0, 0) 开始，向上弯曲，在 x = π/2 时达到最大值 y = sin(π/2) = 1。
直线 x = π/2: 这是一条垂直的直线，通过 x = π/2。
直线 y = 0: 这就是 x 轴。
围成的图形是这样的：
想象一下在 xy 平面上，从原点 (0, 0) 开始，沿着 x 轴向右到 x = π/2，然后沿着直线 x = π/2 向上到点 (π/2, 1)，再沿着曲线 y = sinx 向左下回到原点 (0, 0)。这个图形就像一个被“压扁”的扇形。
旋转轴是 y 轴。
当这个图形绕着 y 轴旋转时，我们会得到一个旋转体。
2. 选择合适的积分方法
在计算旋转体体积时，我们通常有两种主要方法：
圆盘法 (Disk Method) 或 圆环法 (Washer Method): 当旋转轴与“切割”图形的“厚度”垂直时使用。这意味着我们积分变量与旋转轴平行。
圆筒法 (Cylinder Method) 或 壳层法 (Shell Method): 当旋转轴与“切割”图形的“厚度”平行时使用。这意味着我们积分变量与旋转轴垂直。
在这个问题中，我们的积分变量是 x (从 0 到 π/2)，而旋转轴是 y 轴。x 和 y 轴是垂直的。如果我们想用“厚度” dx 来切割图形，这个“厚度”是沿着 x 轴方向的。旋转轴是 y 轴，这两个方向是垂直的。因此，圆筒法（壳层法）是更适合的方法。
3. 应用圆筒法 (Shell Method)
圆筒法的基本思想是将旋转体切分成许多薄的圆筒（或圆柱壳）。每个圆筒的体积可以近似为：
`dV = 2π 半径 高度 厚度`
让我们来确定这些参数：
积分变量: 我们将沿着 x 轴进行积分，从 x = 0 到 x = π/2。所以“厚度”将是 `dx`。
半径: 对于一个在 x 处的“薄圆筒”，它距离旋转轴（y 轴）的距离就是它的半径。因此，半径为 `x`。
高度: 对于一个在 x 处的“薄圆筒”，它的高度是由曲线 y = sinx 和 x 轴 (y=0) 决定的。在 x 处，曲线的高度是 `y = sinx`。所以高度为 `sinx`。
将这些参数代入圆筒体积公式：
`dV = 2π x sinx dx`
4. 设置积分表达式
为了得到整个旋转体的体积，我们需要将所有这些薄圆筒的体积加起来，也就是进行积分。积分的范围是从 x = 0 到 x = π/2：
`V = ∫[从 0 到 π/2] 2π x sinx dx`
我们可以将常数 2π 提出来：
`V = 2π ∫[从 0 到 π/2] x sinx dx`
5. 计算积分
现在我们需要计算积分 `∫ x sinx dx`。这是一个典型的积分，我们可以使用分部积分法。
分部积分法的公式是：`∫ u dv = uv ∫ v du`
我们需要选择 u 和 dv。一个好的选择是让 u 的导数变得更简单，而 dv 容易积分。
令 `u = x`，则 `du = dx`
令 `dv = sinx dx`，则 `v = ∫ sinx dx = cosx`
现在将这些代入分部积分公式：
`∫ x sinx dx = x (cosx) ∫ (cosx) dx`
`∫ x sinx dx = xcosx + ∫ cosx dx`
`∫ x sinx dx = xcosx + sinx + C`
6. 计算定积分
我们将分部积分的结果代回我们的体积公式，并计算定积分：
`V = 2π [xcosx + sinx] [从 0 到 π/2]`
现在，我们将上限 (π/2) 和下限 (0) 代入，并相减：
`V = 2π [( (π/2) cos(π/2) + sin(π/2)) ( 0 cos(0) + sin(0))]`
我们知道：
`cos(π/2) = 0`
`sin(π/2) = 1`
`cos(0) = 1`
`sin(0) = 0`
代入这些值：
`V = 2π [( (π/2) 0 + 1) ( 0 1 + 0)]`
`V = 2π [(0 + 1) (0 + 0)]`
`V = 2π [1 0]`
`V = 2π 1`
`V = 2π`
结论
在区间【0, π/2】上，曲线 y = sinx 与直线 x = π/2，y = 0 所围成的图形，绕 y 轴旋转的旋转体体积是 2π。
总结一下步骤：
1. 理解问题: 确定图形的边界和旋转轴。
2. 选择方法: 根据旋转轴与图形的相对位置，选择圆盘法/圆环法或圆筒法/壳层法。对于绕 y 轴旋转，使用 x 作为积分变量时，圆筒法是首选。
3. 建立积分: 根据圆筒法公式 `dV = 2π 半径 高度 厚度`，将半径 (x)、高度 (sinx) 和厚度 (dx) 代入，得到积分表达式。
4. 计算积分: 使用分部积分法计算不定积分。
5. 计算定积分: 将积分上下限代入计算结果，得出最终体积。
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