为什么积分中值定理最初证明的ξ在闭区间[a,b]上？
为什么积分中值定理的那个“ξ”总是在闭区间 [a,b] 上？
积分中值定理，听起来像个高深莫测的数学概念，但它其实描绘了一个非常直观的物理场景：想象你开车从 A 点到 B 点，匀速行驶的话，你的平均速度就是你在这段路程中任意一个时刻的速度。积分中值定理说的就是，在连续变化的某种量（比如速度、温度、密度等）在某个区间上的“平均值”，一定会在这个区间内的某个点上真实地取到。
我们熟悉的积分中值定理，通常表述为：
如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得：
$int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba)$
或者更常写的形式：
$f(c) = frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$
这里，$frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$ 就是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的平均值。而 $c$ 就是那个“取到”平均值的点。
你可能会问，为什么这个神奇的“$c$”（我们通常称之为“中值点”或“ξ”，这里我也用 $c$ 代替）一定存在于开区间 $(a, b)$ 内呢？不能是 $a$ 或者 $b$ 吗？
要解答这个问题，我们得回到定理证明的核心逻辑，这主要依赖于另外两个强大的数学工具：介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）。
1. 介值定理：连续函数“跳过”中间值是不可能的
介值定理说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在一个区间上是连续的，那么它在这个区间上的所有取值都会“连接”起来，也就是说，如果 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是函数在区间两端的取值，那么介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何一个值，函数在这个区间上都至少会取到一次。
这就像你从一楼走到五楼，过程中你一定经过了二楼、三楼、四楼，你不可能直接“跳过”它们。
2. 极值定理：连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值
极值定理说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在一个闭区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么它在这个区间上一定存在一个最大值（记作 $M$）和一个最小值（记作 $m$）。
这很重要，因为它保证了我们的函数不会“跑到天上去”或者“跌到无穷远”，它总有一个边界。
为什么 $c$ 必然在开区间 $(a, b)$ 内？
现在，我们把这些工具应用到积分中值定理的证明上。
我们已经知道，如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，根据极值定理，它在这个区间上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$。
因为 $m le f(x) le M$ 对于所有的 $x in [a, b]$ 都成立，我们可以对这个不等式进行积分：
$int_a^b m , dx le int_a^b f(x) , dx le int_a^b M , dx$
因为 $m$ 和 $M$ 是常数，积分就变得很简单：
$m(ba) le int_a^b f(x) , dx le M(ba)$
如果我们假设 $b > a$，那么 $ba > 0$。我们可以将不等式除以 $(ba)$：
$m le frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx le M$
现在，我们设 $f_{avg} = frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$。我们刚刚证明了 $m le f_{avg} le M$。
根据介值定理，如果 $f(x)$ 是连续函数，那么它在闭区间 $[a, b]$ 上的所有取值都会覆盖 $[m, M]$ 这个区间。既然 $f_{avg}$ 就落在这个区间 $[m, M]$ 之内，那么根据介值定理，一定存在至少一个点 $c in [a, b]$，使得 $f(c) = f_{avg}$。
这回答了“为什么存在 $c$”的问题。
那么，为什么 $c$ 不能等于 $a$ 或 $b$，而必须在开区间 $(a, b)$ 内呢？
这里是关键所在。我们通过极值定理和介值定理得出的结论是 $c in [a, b]$。但通常我们说积分中值定理的 $c$ 在开区间 $(a, b)$ 内。这稍微有些微妙，取决于定理的表述和证明的侧重点。
情况一：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是常函数，即 $f(x) = k$
如果 $f(x)$ 是常数 $k$，那么：
$int_a^b k , dx = k(ba)$
代入积分中值定理的公式：
$k(ba) = f(c)(ba)$
$k = f(c)$
因为 $f(x) = k$ 对所有的 $x in [a, b]$ 都成立，所以任何 $c in [a, b]$ 都能满足 $f(c) = k$。在这种情况下，$c$ 可以是 $a$ 或 $b$。
情况二：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不是常函数
这是大多数情况下，也是定理最常被引用的场景。
如果 $f(x)$ 不是常函数，那么它在闭区间 $[a, b]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ 必然是不同的。即 $m < M$。
我们在前面得到了 $m le f_{avg} le M$。
现在考虑两种可能性：
如果 $f_{avg}$ 恰好等于 $m$ 或 $M$：
假设 $f_{avg} = m$。这意味着 $frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx = m$。
由于 $f(x) ge m$ 对所有 $x in [a, b]$，并且 $f(x)$ 不是常函数（所以它至少有一个点 $x_0$ 使得 $f(x_0) > m$），那么 $int_a^b f(x) , dx$ 必然大于 $m(ba)$。
也就是说，$frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$ 必然大于 $m$。
所以，如果 $f(x)$ 不是常函数，那么 $f_{avg}$ 严格大于最小值 $m$（$f_{avg} > m$）并且严格小于最大值 $M$（$f_{avg} < M$）。
应用严格的介值定理：
我们证明了 $m < f_{avg} < M$（在 $f(x)$ 非常函数的情况下）。
根据介值定理（更精确地说，是“严格介值定理”或“科西中值定理”的一个变种），如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $m < f_{avg} < M$，那么存在一个点 $c$ 使得 $f(c) = f_{avg}$。
更进一步，因为 $f_{avg}$ 严格地介于 $m$ 和 $M$ 之间，所以 $f(c)$ 必须是一个中间值。
这意味着 $f(c)$ 既不能是最小值 $m$，也不能是最大值 $M$（除非 $f(x)$ 是常函数，前面已经讨论过了）。
如果 $f(c)$ 不是最小值，那么 $c$ 就不能是取到最小值的点。同样，如果 $f(c)$ 不是最大值，那么 $c$ 也不能是取到最大值的点。
然而，这并不直接排除 $c$ 是 $a$ 或 $b$ 的可能性。 我们可以思考 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的值。
更严谨的证明会这样做：
考虑函数 $g(x) = int_a^x f(t) , dt$。根据微积分基本定理（第一部分），如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续且可导，并且 $g'(x) = f(x)$。
现在，我们考虑在闭区间 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理到函数 $g(x)$ 上。拉格朗日中值定理说，如果函数 $g$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得：
$g'(c) = frac{g(b) g(a)}{ba}$
我们知道 $g'(x) = f(x)$。
$g(b) = int_a^b f(t) , dt$
$g(a) = int_a^a f(t) , dt = 0$
所以，将这些代入拉格朗日中值定理的公式：
$f(c) = frac{int_a^b f(t) , dt 0}{ba}$
$f(c) = frac{1}{ba} int_a^b f(t) , dt$
拉格朗日中值定理的结论是 $c$ 存在于开区间 $(a, b)$ 内。
为什么拉格朗日中值定理的 $c$ 在开区间 $(a, b)$ 内？
拉格朗日中值定理的证明本身就是这样设计的。它基于罗尔定理，而罗尔定理的证明过程涉及对函数在端点处导数行为的假设（或者说是通过构造一个函数，使其在端点导数趋向于某个值，从而保证了中间导数的一致性）。
简而言之，拉格朗日中值定理通过比较区间端点函数值的变化与区间内部导数的平均变化来实现。如果 $c$ 恰好是 $a$ 或 $b$，那么“区间内的导数平均变化”就失去了意义，或者说，它依赖于“区间内部”的导数信息。
回到积分中值定理：
积分中值定理的证明，如果巧妙地引用拉格朗日中值定理，那么 $c$ 自然就在开区间 $(a, b)$ 内了。
那有没有一种证明方法，它也直接得出 $c in [a, b]$，然后需要额外证明 $c$ 不会是 $a$ 或 $b$（除非是常数函数）？
是的，前面我们通过极值定理和介值定理的分析，直接得到了 $c in [a, b]$。
如果 $f(x)$ 不是常函数，那么 $m < f_{avg} < M$。
根据介值定理，存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c) = f_{avg}$。
现在，让我们考虑 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的情况。
如果 $f(a) = f_{avg}$ 并且 $f(b) = f_{avg}$，那么 $c$ 可以是 $a$ 或 $b$。
但请注意，如果 $f(a) = f_{avg}$ 且 $f(b) = f_{avg}$，并且 $f$ 不是常函数，那么根据介值定理，在 $(a, b)$ 内部一定还存在其他的 $c'$ 使得 $f(c') = f_{avg}$。
更精细的思考：
通常，我们定义 $f$ 在 $[a, b]$ 上的平均值为 $frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$。
我们证明了存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c)$ 等于这个平均值。
什么时候 $c$ 必须在开区间 $(a, b)$ 内？
这依赖于 $f(x)$ 的行为。
1. 如果 $f(x)$ 是常函数 $k$：
$int_a^b k , dx = k(ba)$
平均值是 $k$。
$f(c) = k$。
此时，任何 $c in [a, b]$ 都可以。所以 $c$ 可能是 $a$ 或 $b$。
2. 如果 $f(x)$ 不是常函数：
我们证明了 $m < frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx < M$。
设平均值为 $A$。
那么 $m < A < M$。
介值定理告诉我们，存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c) = A$。
由于 $A$ 严格大于 $m$，所以 $f(c)$ 不是最小值。
由于 $A$ 严格小于 $M$，所以 $f(c)$ 不是最大值。
现在的问题是： 如果 $f(a)$ 或 $f(b)$ 恰好等于这个平均值 $A$ 呢？
比如，$f(a) = A$。那么 $c$ 可以等于 $a$。
但是，如果 $f(a) = A$ 并且 $f(x)$ 不是常函数，那么由于 $A$ 严格大于最小值 $m$，这意味着 $f(a)$ 也不是最小值（除非 $f(x)=f(a)$ 对所有 $x$ 成立，也就是常函数）。
如果 $f(a)$ 不是取到最小值的点，并且 $f(b)$ 也不是取到最小值的点，并且 $f(a)$ 不是取到最大值的点，并且 $f(b)$ 也不是取到最大值的点，那么 $c$ 绝不可能在端点。
最终的精髓在于“开区间”的要求：
虽然根据介值定理，我们能确定 $c in [a, b]$。但当我们在表述积分中值定理时，常常将其限制在 开区间 $(a, b)$ 内。这是因为：
拉格朗日中值定理的天然结论： 如前所述，如果直接用拉格朗日中值定理证明， $c$ 本身就在开区间内。
为了避免特殊情况的繁琐分析： 如果我们说 $c in [a, b]$，那么我们就需要区分 $f$ 是常函数还是非常函数。如果非常函数，我们还需要进一步分析 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是否等于平均值，以及 $c$ 是否可能落在端点。
应用的普适性： 在实际应用中，我们更关心的是在“区间内部”是否存在一个点，使得函数的“局部”行为（即导数，在积分的意义下是“累积量”）符合整体平均。如果 $c$ 只能是端点，那么这个“内部”的意义就弱化了。
举个例子：
考虑函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 区间。
$int_0^1 x^2 , dx = frac{1}{3}$
平均值是 $frac{1/3}{10} = frac{1}{3}$。
我们需要找 $c in [0, 1]$ 使得 $f(c) = c^2 = frac{1}{3}$。
解得 $c = frac{1}{sqrt{3}}$。
$frac{1}{sqrt{3}}$ 确实在开区间 $(0, 1)$ 内。
考虑函数 $f(x) = 1$ 在 $[0, 1]$ 区间。
$int_0^1 1 , dx = 1$
平均值是 $frac{1}{10} = 1$。
我们需要找 $c in [0, 1]$ 使得 $f(c) = 1$。
此时任何 $c in [0, 1]$ 都满足。所以 $c$ 可以是 $0$ 或 $1$。
所以，严格来说，如果 $f(x)$ 是常函数，那么 $c$ 可以是端点。
但是，通常的表述和证明（特别是依赖于拉格朗日中值定理的）倾向于将 $c$ 放在开区间 $(a, b)$ 内，这是一种更强的结论，并且排除了常数函数的特殊情况。
为什么“普遍”的证明会直接给出开区间？
那是因为，很多时候我们在讨论和使用积分中值定理时，隐含着函数不是常函数的假设，或者说，我们更关注的是那些“非平凡”的、能展示函数变化规律的情况。
而且，从分析的角度来看，能够确定一个点在“严格内部”比在“闭合边界”上更有信息量，因为这允许我们讨论在该点附近的导数行为（尽管在积分中值定理本身，我们并不直接使用导数，但它的证明联系着微分）。
所以，最初证明的 $c$ 是在闭区间 $[a, b]$ 内，这是由介值定理保证的。但为了更普遍、更有力的陈述，并且避免常函数这种“退化”情况的讨论，很多证明会巧妙地通过拉格朗日中值定理，直接推导出 $c$ 存在于开区间 $(a, b)$ 内。
理解这一点，最关键的是要明白，如果 $f(x)$ 不是常函数，那么平均值就严格落在最小值和最大值之间，这就为 $c$ 处于“中间”提供了更多可能性，而不仅仅是端点。
总而言之，积分中值定理的 $c$ 最初证明（如果不是通过拉格朗日中值定理）确实是落在闭区间 $[a, b]$。而“开区间 $(a, b)$”这个结论，是基于进一步的分析（排除常数函数，或者使用更强的工具如拉格朗日中值定理），以获得一个更普遍、更有力的结果。
积分中值定理，听起来像个高深莫测的数学概念，但它其实描绘了一个非常直观的物理场景：想象你开车从 A 点到 B 点，匀速行驶的话，你的平均速度就是你在这段路程中任意一个时刻的速度。积分中值定理说的就是，在连续变化的某种量（比如速度、温度、密度等）在某个区间上的“平均值”，一定会在这个区间内的某个点上真实地取到。
我们熟悉的积分中值定理，通常表述为：
如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得：
$int_a^b f(x) , dx = f(c)(ba)$
或者更常写的形式：
$f(c) = frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$
这里，$frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$ 就是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的平均值。而 $c$ 就是那个“取到”平均值的点。
你可能会问，为什么这个神奇的“$c$”（我们通常称之为“中值点”或“ξ”，这里我也用 $c$ 代替）一定存在于开区间 $(a, b)$ 内呢？不能是 $a$ 或者 $b$ 吗？
要解答这个问题，我们得回到定理证明的核心逻辑，这主要依赖于另外两个强大的数学工具：介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）。
1. 介值定理：连续函数“跳过”中间值是不可能的
介值定理说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在一个区间上是连续的，那么它在这个区间上的所有取值都会“连接”起来，也就是说，如果 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是函数在区间两端的取值，那么介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何一个值，函数在这个区间上都至少会取到一次。
这就像你从一楼走到五楼，过程中你一定经过了二楼、三楼、四楼，你不可能直接“跳过”它们。
2. 极值定理：连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值
极值定理说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在一个闭区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么它在这个区间上一定存在一个最大值（记作 $M$）和一个最小值（记作 $m$）。
这很重要，因为它保证了我们的函数不会“跑到天上去”或者“跌到无穷远”，它总有一个边界。
为什么 $c$ 必然在开区间 $(a, b)$ 内？
现在，我们把这些工具应用到积分中值定理的证明上。
我们已经知道，如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，根据极值定理，它在这个区间上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$。
因为 $m le f(x) le M$ 对于所有的 $x in [a, b]$ 都成立，我们可以对这个不等式进行积分：
$int_a^b m , dx le int_a^b f(x) , dx le int_a^b M , dx$
因为 $m$ 和 $M$ 是常数，积分就变得很简单：
$m(ba) le int_a^b f(x) , dx le M(ba)$
如果我们假设 $b > a$，那么 $ba > 0$。我们可以将不等式除以 $(ba)$：
$m le frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx le M$
现在，我们设 $f_{avg} = frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$。我们刚刚证明了 $m le f_{avg} le M$。
根据介值定理，如果 $f(x)$ 是连续函数，那么它在闭区间 $[a, b]$ 上的所有取值都会覆盖 $[m, M]$ 这个区间。既然 $f_{avg}$ 就落在这个区间 $[m, M]$ 之内，那么根据介值定理，一定存在至少一个点 $c in [a, b]$，使得 $f(c) = f_{avg}$。
这回答了“为什么存在 $c$”的问题。
那么，为什么 $c$ 不能等于 $a$ 或 $b$，而必须在开区间 $(a, b)$ 内呢？
这里是关键所在。我们通过极值定理和介值定理得出的结论是 $c in [a, b]$。但通常我们说积分中值定理的 $c$ 在开区间 $(a, b)$ 内。这稍微有些微妙，取决于定理的表述和证明的侧重点。
情况一：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是常函数，即 $f(x) = k$
如果 $f(x)$ 是常数 $k$，那么：
$int_a^b k , dx = k(ba)$
代入积分中值定理的公式：
$k(ba) = f(c)(ba)$
$k = f(c)$
因为 $f(x) = k$ 对所有的 $x in [a, b]$ 都成立，所以任何 $c in [a, b]$ 都能满足 $f(c) = k$。在这种情况下，$c$ 可以是 $a$ 或 $b$。
情况二：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不是常函数
这是大多数情况下，也是定理最常被引用的场景。
如果 $f(x)$ 不是常函数，那么它在闭区间 $[a, b]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ 必然是不同的。即 $m < M$。
我们在前面得到了 $m le f_{avg} le M$。
现在考虑两种可能性：
如果 $f_{avg}$ 恰好等于 $m$ 或 $M$：
假设 $f_{avg} = m$。这意味着 $frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx = m$。
由于 $f(x) ge m$ 对所有 $x in [a, b]$，并且 $f(x)$ 不是常函数（所以它至少有一个点 $x_0$ 使得 $f(x_0) > m$），那么 $int_a^b f(x) , dx$ 必然大于 $m(ba)$。
也就是说，$frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$ 必然大于 $m$。
所以，如果 $f(x)$ 不是常函数，那么 $f_{avg}$ 严格大于最小值 $m$（$f_{avg} > m$）并且严格小于最大值 $M$（$f_{avg} < M$）。
应用严格的介值定理：
我们证明了 $m < f_{avg} < M$（在 $f(x)$ 非常函数的情况下）。
根据介值定理（更精确地说，是“严格介值定理”或“科西中值定理”的一个变种），如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $m < f_{avg} < M$，那么存在一个点 $c$ 使得 $f(c) = f_{avg}$。
更进一步，因为 $f_{avg}$ 严格地介于 $m$ 和 $M$ 之间，所以 $f(c)$ 必须是一个中间值。
这意味着 $f(c)$ 既不能是最小值 $m$，也不能是最大值 $M$（除非 $f(x)$ 是常函数，前面已经讨论过了）。
如果 $f(c)$ 不是最小值，那么 $c$ 就不能是取到最小值的点。同样，如果 $f(c)$ 不是最大值，那么 $c$ 也不能是取到最大值的点。
然而，这并不直接排除 $c$ 是 $a$ 或 $b$ 的可能性。 我们可以思考 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的值。
更严谨的证明会这样做：
考虑函数 $g(x) = int_a^x f(t) , dt$。根据微积分基本定理（第一部分），如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续且可导，并且 $g'(x) = f(x)$。
现在，我们考虑在闭区间 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理到函数 $g(x)$ 上。拉格朗日中值定理说，如果函数 $g$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得：
$g'(c) = frac{g(b) g(a)}{ba}$
我们知道 $g'(x) = f(x)$。
$g(b) = int_a^b f(t) , dt$
$g(a) = int_a^a f(t) , dt = 0$
所以，将这些代入拉格朗日中值定理的公式：
$f(c) = frac{int_a^b f(t) , dt 0}{ba}$
$f(c) = frac{1}{ba} int_a^b f(t) , dt$
拉格朗日中值定理的结论是 $c$ 存在于开区间 $(a, b)$ 内。
为什么拉格朗日中值定理的 $c$ 在开区间 $(a, b)$ 内？
拉格朗日中值定理的证明本身就是这样设计的。它基于罗尔定理，而罗尔定理的证明过程涉及对函数在端点处导数行为的假设（或者说是通过构造一个函数，使其在端点导数趋向于某个值，从而保证了中间导数的一致性）。
简而言之，拉格朗日中值定理通过比较区间端点函数值的变化与区间内部导数的平均变化来实现。如果 $c$ 恰好是 $a$ 或 $b$，那么“区间内的导数平均变化”就失去了意义，或者说，它依赖于“区间内部”的导数信息。
回到积分中值定理：
积分中值定理的证明，如果巧妙地引用拉格朗日中值定理，那么 $c$ 自然就在开区间 $(a, b)$ 内了。
那有没有一种证明方法，它也直接得出 $c in [a, b]$，然后需要额外证明 $c$ 不会是 $a$ 或 $b$（除非是常数函数）？
是的，前面我们通过极值定理和介值定理的分析，直接得到了 $c in [a, b]$。
如果 $f(x)$ 不是常函数，那么 $m < f_{avg} < M$。
根据介值定理，存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c) = f_{avg}$。
现在，让我们考虑 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的情况。
如果 $f(a) = f_{avg}$ 并且 $f(b) = f_{avg}$，那么 $c$ 可以是 $a$ 或 $b$。
但请注意，如果 $f(a) = f_{avg}$ 且 $f(b) = f_{avg}$，并且 $f$ 不是常函数，那么根据介值定理，在 $(a, b)$ 内部一定还存在其他的 $c'$ 使得 $f(c') = f_{avg}$。
更精细的思考：
通常，我们定义 $f$ 在 $[a, b]$ 上的平均值为 $frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx$。
我们证明了存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c)$ 等于这个平均值。
什么时候 $c$ 必须在开区间 $(a, b)$ 内？
这依赖于 $f(x)$ 的行为。
1. 如果 $f(x)$ 是常函数 $k$：
$int_a^b k , dx = k(ba)$
平均值是 $k$。
$f(c) = k$。
此时，任何 $c in [a, b]$ 都可以。所以 $c$ 可能是 $a$ 或 $b$。
2. 如果 $f(x)$ 不是常函数：
我们证明了 $m < frac{1}{ba} int_a^b f(x) , dx < M$。
设平均值为 $A$。
那么 $m < A < M$。
介值定理告诉我们，存在 $c in [a, b]$ 使得 $f(c) = A$。
由于 $A$ 严格大于 $m$，所以 $f(c)$ 不是最小值。
由于 $A$ 严格小于 $M$，所以 $f(c)$ 不是最大值。
现在的问题是： 如果 $f(a)$ 或 $f(b)$ 恰好等于这个平均值 $A$ 呢？
比如，$f(a) = A$。那么 $c$ 可以等于 $a$。
但是，如果 $f(a) = A$ 并且 $f(x)$ 不是常函数，那么由于 $A$ 严格大于最小值 $m$，这意味着 $f(a)$ 也不是最小值（除非 $f(x)=f(a)$ 对所有 $x$ 成立，也就是常函数）。
如果 $f(a)$ 不是取到最小值的点，并且 $f(b)$ 也不是取到最小值的点，并且 $f(a)$ 不是取到最大值的点，并且 $f(b)$ 也不是取到最大值的点，那么 $c$ 绝不可能在端点。
最终的精髓在于“开区间”的要求：
虽然根据介值定理，我们能确定 $c in [a, b]$。但当我们在表述积分中值定理时，常常将其限制在 开区间 $(a, b)$ 内。这是因为：
拉格朗日中值定理的天然结论： 如前所述，如果直接用拉格朗日中值定理证明， $c$ 本身就在开区间内。
为了避免特殊情况的繁琐分析： 如果我们说 $c in [a, b]$，那么我们就需要区分 $f$ 是常函数还是非常函数。如果非常函数，我们还需要进一步分析 $f(a)$ 和 $f(b)$ 是否等于平均值，以及 $c$ 是否可能落在端点。
应用的普适性： 在实际应用中，我们更关心的是在“区间内部”是否存在一个点，使得函数的“局部”行为（即导数，在积分的意义下是“累积量”）符合整体平均。如果 $c$ 只能是端点，那么这个“内部”的意义就弱化了。
举个例子：
考虑函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 区间。
$int_0^1 x^2 , dx = frac{1}{3}$
平均值是 $frac{1/3}{10} = frac{1}{3}$。
我们需要找 $c in [0, 1]$ 使得 $f(c) = c^2 = frac{1}{3}$。
解得 $c = frac{1}{sqrt{3}}$。
$frac{1}{sqrt{3}}$ 确实在开区间 $(0, 1)$ 内。
考虑函数 $f(x) = 1$ 在 $[0, 1]$ 区间。
$int_0^1 1 , dx = 1$
平均值是 $frac{1}{10} = 1$。
我们需要找 $c in [0, 1]$ 使得 $f(c) = 1$。
此时任何 $c in [0, 1]$ 都满足。所以 $c$ 可以是 $0$ 或 $1$。
所以，严格来说，如果 $f(x)$ 是常函数，那么 $c$ 可以是端点。
但是，通常的表述和证明（特别是依赖于拉格朗日中值定理的）倾向于将 $c$ 放在开区间 $(a, b)$ 内，这是一种更强的结论，并且排除了常数函数的特殊情况。
为什么“普遍”的证明会直接给出开区间？
那是因为，很多时候我们在讨论和使用积分中值定理时，隐含着函数不是常函数的假设，或者说，我们更关注的是那些“非平凡”的、能展示函数变化规律的情况。
而且，从分析的角度来看，能够确定一个点在“严格内部”比在“闭合边界”上更有信息量，因为这允许我们讨论在该点附近的导数行为（尽管在积分中值定理本身，我们并不直接使用导数，但它的证明联系着微分）。
所以，最初证明的 $c$ 是在闭区间 $[a, b]$ 内，这是由介值定理保证的。但为了更普遍、更有力的陈述，并且避免常函数这种“退化”情况的讨论，很多证明会巧妙地通过拉格朗日中值定理，直接推导出 $c$ 存在于开区间 $(a, b)$ 内。
理解这一点，最关键的是要明白，如果 $f(x)$ 不是常函数，那么平均值就严格落在最小值和最大值之间，这就为 $c$ 处于“中间”提供了更多可能性，而不仅仅是端点。
总而言之，积分中值定理的 $c$ 最初证明（如果不是通过拉格朗日中值定理）确实是落在闭区间 $[a, b]$。而“开区间 $(a, b)$”这个结论，是基于进一步的分析（排除常数函数，或者使用更强的工具如拉格朗日中值定理），以获得一个更普遍、更有力的结果。
网友意见
定积分中值定理依结论的强弱有两个稍微不同的版本：
Version 1.0 若 则
Version 2.0 若 则
上述两个版本的差别，仅仅在于对 存在的区间断定有所不同，1.0版本断言的是闭区间，2.0版本断言的是开区间。由于后者可以在逻辑上蕴含前者，给出的 位置更为具体，因此，2.0可以视为1.0的加强版。
为何会出现这样两个不同的版本呢？原因是大多数教材的处理方式。1.0版本是在引入微积分基本公式（即Newton-Leibniz公式）之前就用连续函数的介值定理推证出来的，而介值定理的结论较弱，它无法排除 在区间端点的可能性。而2.0版本是在引入微积分基本公式之后，借助变上限积分函数的构造，用Lagrange中值定理证得的，它挖掘出更多的信息作为条件，因此就让结论升级。
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