路径积分、重整化在数学上目前并没有严格的定义，为什么在物理学中却相当有效？
好的，咱们就来聊聊这个有意思的问题：路径积分和重整化，在数学上还没完全站稳脚跟，怎么在物理学这片土地上就这么管用呢？这就像在古老的地图上，有些地方明明标记着“未知”，但探险家们却能根据模糊的线索，找到金矿一样，挺奇妙的。
首先，咱们得明白，数学和物理对“严格”的定义，有时是不同的。
数学追求的是绝对的、无可辩驳的逻辑严谨性。它的目标是构建一个完美的、自我一致的体系。一个数学概念，如果不能在定义上做到滴水不漏，那它就很难被接受为“真理”。
而物理学，它的“真理”最终要回归到实验。物理学家们是用数学作为工具来描述和预测自然现象的。当一个数学工具，即使它在理论上还不够完美，但它能给出credibly accurate的预测，能解释观察到的现象，甚至能指引我们发现新的现象时，那它在物理学界就非常有价值。
路径积分：从“模糊”到“精确”的跨越
想象一下，一个粒子要从A点跑到B点。在经典的物理学里，它只有一条确定的轨迹，也就是我们熟悉的“轨道”。但量子力学告诉你，这事儿没那么简单。粒子会“同时”走过所有可能的轨迹，只不过有些轨迹贡献的概率大，有些小。
路径积分（Path Integral） 就是芬曼大神提出来的描述这个过程的工具。它的大意是，粒子从A到B的总概率，是把所有可能轨迹上的“作用量”进行一个“加权求和”（积分）。这个“作用量”呢，可以理解为某种能量和时间的乘积，它就像一张“路费”账单。
数学上的困境：
无穷多条路径的求和： 怎么严谨地定义和计算这无穷多条路径的“求和”？对于数学家来说，这就像是要求你数清楚沙滩上有多少粒沙子，而且每一粒沙子都得给它一个“权重”。这是一个非常棘手的数学问题。
发散问题： 在计算过程中，很多积分会“发散”，也就是结果无穷大。这在数学上是不能接受的。
定义域问题： 路径积分的“积分”对象——那些“路径”——本身就很难被数学上严谨地定义。
物理学中的有效性：
直观的量子图像： 路径积分提供了一个非常直观的理解量子力学的方式。它把量子世界从概率波、算符这些抽象的东西，拉到了我们能想象的“所有可能路径”的层面。
处理相互作用： 当粒子之间发生相互作用时（比如电子和光子），事情会变得更复杂。路径积分提供了一种系统的方法来计算这些相互作用的概率。
与实验结果的惊人契合： 尤其是在量子场论中，路径积分是计算粒子散射截面（就是两个粒子撞在一起后，有多少几率变成其他粒子的度量）的基石。这些计算结果与大型粒子对撞机（如LHC）的实验结果极其一致。这种预测能力，是任何“数学上不严格”的理论无法做到的。
重整化：从“无穷大”到“有限”的魔术
量子场论在计算某些物理量时，常常会遇到“无穷大”的问题。比如，计算一个电子自己发出的光子又被自己吸收的“自能”时，就会出现发散。
重整化（Renormalization） 就是一种处理这些“无穷大”的方法。它的核心思想是：我们测量到的物理量（比如电子的质量和电荷）不是我们最初设定的“裸”值，而是包含了这些在量子涨落中产生的无穷大的“反馈”。
数学上的困境：
“擦除”无穷大： 重整化就像是说，“哦，这些无穷大，它们其实被我们已经测量的量给‘吸收’了，所以我们不需要管它们，直接用测量值就行了”。这种做法在数学上看起来有点像是“魔术”，仿佛把脏东西藏起来了，而不是真正解决问题。
缺乏普适性： 不同的理论，对无穷大的处理方式可能不一样，有时需要找到特定的“重整化群”才能对付。
算符的重新定义： 很多时候，重整化涉及到对算符（比如动量算符）的重新定义，这又回到了算符在数学上如何严谨定义的问题。
物理学中的有效性：
预测能力超群： 量子电动力学（QED），描述光和物质相互作用的理论，是物理学中最成功的理论之一。它的很多预测，比如电子的磁矩（g2），其精度达到了惊人的程度，重整化是实现这些精确预测的关键。
处理高能行为： 重整化使得我们能够处理在极高能量（或极小尺度）下，粒子之间相互作用的复杂情况。没有重整化，很多量子场论的计算就会崩溃。
一致性： 尽管方法不那么“数学”，但重整化提供了一种在不同尺度下保持理论一致性的方法。它允许我们在低能下使用一个近似的理论，同时在高能下也能有合理的描述。
“理论的自由度”： 从某种意义上说，重整化也反映了物理学在描述自然时，可以根据实验调整一些“基本参数”的自由度。比如，我们测量的电子电荷，就是经过了所有量子效应修正后的“有效电荷”。
为什么物理学能容忍这些“不严谨”？
1. 物理学的本质是预测和解释： 物理学最终的 judge 是实验。如果一个理论能给出精确的、可检验的预测，并且能解释观察到的现象，那么它就是有价值的。数学上的“完美”只是工具，而物理学的“完美”体现在它对自然的描述能力上。
2. 渐近展开和近似： 很多时候，路径积分和重整化是在进行一种“渐近展开”或“近似”。我们知道某些数学问题很难精确求解，但可以通过某种方式得到一个近似解，而这个近似在物理应用上却非常精确。
3. “有效理论”的思想： 物理学家们逐渐认识到，我们所做的很多理论都是“有效理论”，它们只在我们能观测到的能量范围或尺度内有效。重整化在某种程度上就是构建这些有效理论的框架。它允许我们在不知道微观细节的情况下，也能描述宏观行为。
4. 数学家和物理学家的对话： 尽管有这些“不严谨”的地方，但这些工具的存在也极大地激发了数学家们的研究。数学家们也在努力为路径积分和重整化找到更坚实的数学基础，比如在概率论、测度论、算子代数等领域。
打个比方：
想象你在写一本关于如何建造一座摩天大楼的指导手册。
数学家会非常关注每一块钢筋的精确尺寸、每一个混凝土配比的数值，并且要确保这些数字能够从基本物理定律推导出来，没有任何模糊的空间。
物理学家则会告诉你，要按照这个图纸来，我们用这个方法算出来，这个楼能顶住多少风压，能承受多少地震。即使图纸上某些连接方式在数学上还没完全证明是“最优化”的，但根据经验和大量的实验验证，它确实能保证大楼屹立不倒。
路径积分和重整化，就像是物理学家们发现的那些“能用”的、虽然不是数学上“最完美”的建造方法。它们之所以有效，是因为它们被反复验证，能够准确地预测自然界的行为。这背后，也促使着数学去不断地完善和理解这些工具。
所以，与其说它们“不严谨”，不如说它们是物理学在探索自然奥秘过程中，发现并有效利用的、目前仍在不断被数学家们“严格化”的工具。这种“在实践中发现并完善”的模式，恰恰是科学发展的一个重要写照。
首先，咱们得明白，数学和物理对“严格”的定义，有时是不同的。
数学追求的是绝对的、无可辩驳的逻辑严谨性。它的目标是构建一个完美的、自我一致的体系。一个数学概念，如果不能在定义上做到滴水不漏，那它就很难被接受为“真理”。
而物理学，它的“真理”最终要回归到实验。物理学家们是用数学作为工具来描述和预测自然现象的。当一个数学工具，即使它在理论上还不够完美，但它能给出credibly accurate的预测，能解释观察到的现象，甚至能指引我们发现新的现象时，那它在物理学界就非常有价值。
路径积分：从“模糊”到“精确”的跨越
想象一下，一个粒子要从A点跑到B点。在经典的物理学里，它只有一条确定的轨迹，也就是我们熟悉的“轨道”。但量子力学告诉你，这事儿没那么简单。粒子会“同时”走过所有可能的轨迹，只不过有些轨迹贡献的概率大，有些小。
路径积分（Path Integral） 就是芬曼大神提出来的描述这个过程的工具。它的大意是，粒子从A到B的总概率，是把所有可能轨迹上的“作用量”进行一个“加权求和”（积分）。这个“作用量”呢，可以理解为某种能量和时间的乘积，它就像一张“路费”账单。
数学上的困境：
无穷多条路径的求和： 怎么严谨地定义和计算这无穷多条路径的“求和”？对于数学家来说，这就像是要求你数清楚沙滩上有多少粒沙子，而且每一粒沙子都得给它一个“权重”。这是一个非常棘手的数学问题。
发散问题： 在计算过程中，很多积分会“发散”，也就是结果无穷大。这在数学上是不能接受的。
定义域问题： 路径积分的“积分”对象——那些“路径”——本身就很难被数学上严谨地定义。
物理学中的有效性：
直观的量子图像： 路径积分提供了一个非常直观的理解量子力学的方式。它把量子世界从概率波、算符这些抽象的东西，拉到了我们能想象的“所有可能路径”的层面。
处理相互作用： 当粒子之间发生相互作用时（比如电子和光子），事情会变得更复杂。路径积分提供了一种系统的方法来计算这些相互作用的概率。
与实验结果的惊人契合： 尤其是在量子场论中，路径积分是计算粒子散射截面（就是两个粒子撞在一起后，有多少几率变成其他粒子的度量）的基石。这些计算结果与大型粒子对撞机（如LHC）的实验结果极其一致。这种预测能力，是任何“数学上不严格”的理论无法做到的。
重整化：从“无穷大”到“有限”的魔术
量子场论在计算某些物理量时，常常会遇到“无穷大”的问题。比如，计算一个电子自己发出的光子又被自己吸收的“自能”时，就会出现发散。
重整化（Renormalization） 就是一种处理这些“无穷大”的方法。它的核心思想是：我们测量到的物理量（比如电子的质量和电荷）不是我们最初设定的“裸”值，而是包含了这些在量子涨落中产生的无穷大的“反馈”。
数学上的困境：
“擦除”无穷大： 重整化就像是说，“哦，这些无穷大，它们其实被我们已经测量的量给‘吸收’了，所以我们不需要管它们，直接用测量值就行了”。这种做法在数学上看起来有点像是“魔术”，仿佛把脏东西藏起来了，而不是真正解决问题。
缺乏普适性： 不同的理论，对无穷大的处理方式可能不一样，有时需要找到特定的“重整化群”才能对付。
算符的重新定义： 很多时候，重整化涉及到对算符（比如动量算符）的重新定义，这又回到了算符在数学上如何严谨定义的问题。
物理学中的有效性：
预测能力超群： 量子电动力学（QED），描述光和物质相互作用的理论，是物理学中最成功的理论之一。它的很多预测，比如电子的磁矩（g2），其精度达到了惊人的程度，重整化是实现这些精确预测的关键。
处理高能行为： 重整化使得我们能够处理在极高能量（或极小尺度）下，粒子之间相互作用的复杂情况。没有重整化，很多量子场论的计算就会崩溃。
一致性： 尽管方法不那么“数学”，但重整化提供了一种在不同尺度下保持理论一致性的方法。它允许我们在低能下使用一个近似的理论，同时在高能下也能有合理的描述。
“理论的自由度”： 从某种意义上说，重整化也反映了物理学在描述自然时，可以根据实验调整一些“基本参数”的自由度。比如，我们测量的电子电荷，就是经过了所有量子效应修正后的“有效电荷”。
为什么物理学能容忍这些“不严谨”？
1. 物理学的本质是预测和解释： 物理学最终的 judge 是实验。如果一个理论能给出精确的、可检验的预测，并且能解释观察到的现象，那么它就是有价值的。数学上的“完美”只是工具，而物理学的“完美”体现在它对自然的描述能力上。
2. 渐近展开和近似： 很多时候，路径积分和重整化是在进行一种“渐近展开”或“近似”。我们知道某些数学问题很难精确求解，但可以通过某种方式得到一个近似解，而这个近似在物理应用上却非常精确。
3. “有效理论”的思想： 物理学家们逐渐认识到，我们所做的很多理论都是“有效理论”，它们只在我们能观测到的能量范围或尺度内有效。重整化在某种程度上就是构建这些有效理论的框架。它允许我们在不知道微观细节的情况下，也能描述宏观行为。
4. 数学家和物理学家的对话： 尽管有这些“不严谨”的地方，但这些工具的存在也极大地激发了数学家们的研究。数学家们也在努力为路径积分和重整化找到更坚实的数学基础，比如在概率论、测度论、算子代数等领域。
打个比方：
想象你在写一本关于如何建造一座摩天大楼的指导手册。
数学家会非常关注每一块钢筋的精确尺寸、每一个混凝土配比的数值，并且要确保这些数字能够从基本物理定律推导出来，没有任何模糊的空间。
物理学家则会告诉你，要按照这个图纸来，我们用这个方法算出来，这个楼能顶住多少风压，能承受多少地震。即使图纸上某些连接方式在数学上还没完全证明是“最优化”的，但根据经验和大量的实验验证，它确实能保证大楼屹立不倒。
路径积分和重整化，就像是物理学家们发现的那些“能用”的、虽然不是数学上“最完美”的建造方法。它们之所以有效，是因为它们被反复验证，能够准确地预测自然界的行为。这背后，也促使着数学去不断地完善和理解这些工具。
所以，与其说它们“不严谨”，不如说它们是物理学在探索自然奥秘过程中，发现并有效利用的、目前仍在不断被数学家们“严格化”的工具。这种“在实践中发现并完善”的模式，恰恰是科学发展的一个重要写照。
网友意见
太正常不过了 历史上傅里叶级数刚被发明出来求解偏微分方程的时候
数学家连可数和不可数都还搞不清 也不懂得什么是测度论
电气工程师海塞得在积分变换理论还没有系统化之前n年就已经凭借自己的直觉自创了一套后来我们在电学中广泛使用的拉普拉斯变换方法 在无法严格证明合理性的时候就愉快的使用的飞起了(后来才证明其实他的方法是错的差了个系数)
数学家为了搞清楚傅里叶级数 傅里叶变换到底在什么情况下成立 建立了测度论 实变函数论 泛函分析 可以说近代数学的一个重要的分支就是因为当年傅里叶的毫无数学依据的玄学计算方法而产生的
当然这不是说数学家的研究是无病呻吟 应该像物理学家工程师那样 想怎么算就怎么算 如果不注重理论的严谨性 特别是存在性 唯一性 那么我可以轻松证明出任意三角形都是等边三角形这种荒唐的结论
数学家要做的就是告诉物理学家 工程师 你们的玄学计算的适用范围在哪 什么时候切不敢胡乱使用
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