不定积分中dx和定积分的含义是什么？
不定积分里的 `dx`：不是个普通符号，它是“变化的方向”
在讲不定积分的 `dx` 之前，我们得先回顾一下微积分的根基——导数。导数是用来描述函数在某一点的“瞬时变化率”的，是衡量一个量如何随着另一个量微小变化的。比如，速度是位移关于时间的变化率。
不定积分，你可以理解为导数的“逆运算”。如果我们知道一个函数（比如速度函数），想找到它的原始函数（比如位移函数），我们就要用到不定积分。
那么，这个 `dx` 在不定积分里到底是什么呢？它可不是一个简单的乘号加上一个 `x`。它代表的是：
自变量的微小变化量： 最直接的理解是，`dx` 表示自变量（通常是 `x`）的一个极其微小的、无限趋近于零的增量。你可以想象成你在 `x` 轴上向前挪动了一小步，这一步有多小呢？小到趋近于零，但又不是零。
积分的方向和对象： `dx` 标志着我们是 关于 `x` 这个变量 进行积分的。它告诉我们，我们是在 `x` 轴这个方向上，将什么东西“累加”起来。比如，$int f(x) , dx$ 表示的是，我们以 `x` 作为独立变量，将函数 `f(x)` 在 `x` 的方向上的变化“累积”起来。
与求和符号的渊源： 积分符号“$int$”本身就是拉丁字母“S”的拉长体，象征着“sum”（求和）。在不定积分中，`dx` 就像是那个告诉我们“每次要加多少”的步长。我们可以把不定积分想象成一个连续的求和过程：我们在 `x` 的轴上，从某个值“累加”到另一个值，而 `dx` 就是每次累加的“小块”的宽度。
举个例子：
假设我们有一个函数 $f(x) = 2x$。我们知道它的导数是 $f'(x) = 2$。那么，不定积分 $int 2 , dx$ 就会给我们找到一个函数，它的导数是 2。这个函数就是 $2x$（加上一个任意常数，因为常数的导数是零）。
这里的 `dx` 就告诉我们：我们正在寻找一个函数，它的导数是 2，并且我们关注的是 关于 `x` 的变化。如果我们写的是 $int 2 , dy$，那么结果就会是 $2y + C$，因为我们是在关于 `y` 的方向上进行积分。
总结一下不定积分中的 `dx`：
它不仅仅是一个符号，它是一个 指示符，明确了我们 以哪个变量为基础进行求导的逆运算。它代表了自变量的那个无限小的变化，是整个积分过程的“脚步”和“方向”。没有 `dx`，我们不知道对哪个变量进行积分，也就无法找到那个“原始函数”。
定积分：测量“面积”或“累积总量”
定积分，又称黎曼积分，它的目标是 计算一个函数在给定区间内的“累积”总量。最直观的理解就是计算曲线下的面积。
定积分的形式通常是 $int_a^b f(x) , dx$。这里的各个部分都有明确的含义：
$int$：积分符号。 如前所述，代表“求和”。
$a$：积分下限。 表示我们开始累加的起点，通常是自变量的起始值。
$b$：积分上限。 表示我们结束累加的终点，通常是自变量的结束值。
$f(x)$：被积函数。 这是我们要进行累加的“量”。
$dx$：积分变量的微分。 在定积分中，`dx` 的含义与不定积分中的 `dx` 非常相似，但它更侧重于 表达我们是用什么“单位”去进行累加。你可以理解为，我们将区间 $[a, b]$ 分割成无数个极小的部分，每个部分的宽度就是 `dx`。然后，我们在这个宽度 `dx` 上，乘以函数在该处的值 $f(x)$（高度），这就构成了一个极小的“面积块”（一个“矩形”）。
定积分的计算过程（黎曼和的极限）：
想象一下我们要计算函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的面积。
1. 分割区间： 我们将 $[a, b]$ 这个区间分成 $n$ 个小区间，每个小区间宽度为 $Delta x = frac{ba}{n}$。
2. 取样值： 在每个小区间内，我们任意选取一个点 $x_i^$。
3. 计算小矩形面积： 以 $Delta x$ 为宽，以 $f(x_i^)$ 为高，得到一个小矩形的面积 $f(x_i^) Delta x$。
4. 求和： 将所有这些小矩形的面积加起来：$sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$。这就是一个“黎曼和”。
5. 取极限： 当我们将小区间划分得越来越多（$n o infty$），每个小区间宽度 $Delta x o 0$ 时，这些小矩形就能越来越好地逼近曲线下的真实面积。这个极限值就是定积分：
$int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$
在这个极限过程中，$Delta x$ 就被替换成了更抽象的、无限小的微分 `dx`，求和符号 $sum$ 被替换成了积分符号 $int$。
定积分的意义：
定积分不仅仅是计算面积，它还可以表示很多物理量、几何量或统计量上的 总量累积：
物理学：
速度的定积分是位移。
力的定积分是在某个距离上做的功。
质量密度函数的定积分是在某段上的总质量。
几何学：
曲线下的面积。
曲面上的面积。
体积。
概率统计：
概率密度函数的定积分可以得到某个事件发生的概率。
总结一下定积分中的 `dx`：
在定积分 $int_a^b f(x) , dx$ 中，`dx` 同样指示了我们是 关于 `x` 这个变量进行积分。它代表了在计算黎曼和时，每个小区间 无穷小的宽度。它确保了我们在计算累积总量时，是沿着 `x` 轴的方向，将函数 $f(x)$ 在每个微小单位 `dx` 上的值进行“加权累加”。
不定积分 vs. 定积分：核心区别
虽然 `dx` 在两者中都扮演着指示变量的角色，但它们的核心区别在于：
不定积分： 寻找的是一个 函数族 ( $F(x) + C$ )，是导数的逆运算，给出的是一个“不定”的结果，因为有那个任意常数 `C`。它没有积分上下限，也就没有确定的数值结果。
定积分： 计算的是一个 确定的数值，是函数在特定区间内的“累积总量”。它有积分上下限，结果是一个具体的数。
你可以这么理解：不定积分找到了“所有可能的方向盘”，而定积分则是根据给定的起点和终点，确定了“这一段路程的总距离”。
希望这个详细的解释能让你对不定积分的 `dx` 和定积分有更清晰的认识！这两个概念是微积分的精髓所在，理解透彻了，后续的学习就会顺畅很多。
网友意见
贴上我在另一个问题下面的解释，所谓的 确实是有含义以及对应的计算法则的
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以下是原回答
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看不下去别的答案胡乱解释。虽然下面要说的这套东西几乎没什么地方会讲，因为整体的构造和lebesgue的完全类似。昨天刚刚考完analysis，我也照搬那套东西给你搞一个Riemann的结论，我想你最关心的是为什么可以应用微分的定义以及链式法则，就好像 有具体含义，恰好考试还考了Radon-Nikodym的链式法则，我也原样给你个Riemann的版本（微分形式）。简单来说，就是我的原答案：
d后面的那个东西是给你算stieltjes积分时算区间长度的，按lebesgue意义就是测度了。换元相当于应用了radon nikodym定理，在测度上就是radon nikodym导数
Riemann积分
我们先从定积分(Riemann)的讲起。最早牛顿研究运动和力的关系发现了导数(derivates)： ，那自然有个问题，给定了初始状态，如何求解最终状态。这个直观的理解就是把时间分成很小的段，然后在这些小段上面把 或者 看作是不变的，然后一段段算出变化量再加起来就行，当小段越来越小，那误差就几乎没有，因此牛顿就给出了这样的公式： 。当然那个年代还没有所谓 语言，因此在现代数学里面，我们给了如下的定义：
- 对于区间 ，一个划分(partition)指一串数
- 对于 的给定划分 ，定义其长度(mesh，norm)
- 对于 的给定划分 ，定义其取样划分(tagged partition) ，其中(where) 满足
- 对于取样划分 和 ，称 为 的加细(refinement)指 （ 比 划分得更细）且 （取值也对应在保持原有的基础上增加）
注： 一般不会特别严格地使用上述符号，例如 也可能单独指一个划分， 指其中的划分 的长度。
注2： 加细构成了一个偏序(partial order)关系
给定 是一个有界函数
- 对于 定义Riemann和
- 若下列极限(对于上述偏序中任意子线序(linear order)存在，则称 Riemann可积(integrable)
或者等价地 ， ,
- 定义f的积分(integral)
上述定义一般难以使用，所以我们会引入下述等价表述
- 定义Darboux上下和(lower and upper Darboux sums)
- 定义Darboux上下积分
考察 ，当 的时候，对于某个 ， ，总能取细分到 ，且保持引入的点是原来的值则，对于划分后的小区间而言本来下确界 是取在更长的区间上的，现在值少了(直观理解可以考察一下图像，加细会导致下确界增大)，当然也就变大了，即 变大了，因此 ，因此我们可以得到下积分就是当小区间长趋向 时Darboux下和的极限(注意确界意味着有界和收敛数列，这里单调当然就是极限了)。上积分同理。即
从这里不难发现，函数可积当且仅当上下积分相同。上下积分利用确界定义，相较极限而言总是存在的，这给了我们一个判断函数可积的方法。
以上是通常大多数高等数学(calculus)或者数学分析(mathematical analysis)课本上定义的定积分，这中间总是强调 只是一个记号，但是所有人都知道它可以当微分来理解，这个理解是由于Radon-Nikodym定理造成的，我接下来通过Stieltjes积分来说明一下
Stieltjes积分
一样，先介绍背景(motivation)，这次考察的是概率(Probability)和期望(Expectation)。对于抛硬币而言，连续出现 次正面的概率是 ，所以连续出现 次正面构成了一个概率空间(可测空间)，当然，也可以考察这个次数的“平均值”(即期望) 。类似的，考虑如何算过马路等红灯的平均时间，假设我们红灯时间 ，绿灯时间 ，考虑一个红绿灯周期 ，先红灯再绿灯，为了计算平均等候红绿灯的时间，类似牛顿的做法，将整个区间分成 小份，每个小份上面的到达的概率都一样( )，并且等候的时间都差不多一样，于是我们让这个小份足够小，就得到了大概要等多少时间。考虑函数
反映了在 时刻到了路口等红灯的时间，则这样的一个函数就反映了“随机变量”，并且，按照上述刻画，
在这个过程中我很自然地假设我们到达路口的时间是均匀(等概率)的，但是在一般情形下，这个可能性不是均匀的。例如很多人熟悉的指数分布等。因此，我们需要刻画Riemann和中 的“可能性”大小。
设 是一函数，定义Riemann和
由此类似Riemann积分诱导出的积分称为Stieltjes积分(对应有可积)，记作
在概率论里，假设 是一个分布函数(单调、非负、负无穷出极限0，正无穷出极限1)， 是一随机变量(可测函数)，则期望就是我们熟知的
另一个常见解释则是计算面积的时候，更改了计算长度的方法，例如沿着斜线积分，本来沿着 的长度被拉伸到斜线的线段长，因此就导致了你直觉理解时候的换元。
Radon-Nikodym定理
这里只做一个简单的类比：若 则
特别的，我们把这个关系记作 。 仿照Lebesgue的故事，对于任意 ，定义特征函数(characteristic function)
显然Dirichlet函数 是一个Riemann不可积函数 但是对于一般的区间 而言， 是可积的，并且积分 ，其中 是区间长度。注意，为方便处理， 。
现在暂时忘了上述关于积分的定义，我将给定如下的Riemann积分的等价定义
定义阶梯函数(step function)如下： 假设 是有限个区间上特征函数的线性组合，则称s是一个阶梯函数，通过集合操作，我们总能将 转化成 个不相交区间上特征函数的线性组合，因此我们总假定 是两两无交的。同时，为使技术上方便处理，要求 的支集(support)： 是有界的。所以阶梯函数又经常被等价地表述为
紧接着定义s的(定)积分是
如果是关于 的Stieljtes积分( 相当于 )，则定义
按定义，阶梯函数上的积分具有线性和单调性。
对于在闭区间 上的有界函数 ，我们当然可以取 使得支集在其上，后续不在讨论这样的技术操作，定义上下积分为
称可积指 ，且定义
注： f是有界的，所以两个inf和sup均是有限的，在Lebesgue的构造里是允许在全空间上做操作的，有兴趣可以自己阅读Royden。 注2： 因此我们经常把上面的积分记为 来指定闭区间上的Riemann-Stieljes意义积分。
按照现在的这个定义方式，可以很容易证明积分是单调、线性的。类似的可以证明单调收敛定理(MCT, Monotone Convergence Theorem)，(Arzela)控制收敛定理(DCT, Dominated Convergence Theorem)和Fatou引理(Fatou's lemma)（Riemann形式的表现不是很一样，见参考7）
两种定义的联系： 由现在的定义，我们不难发现 可积当且仅当
对于Darboux和 而言，取阶梯函数 即可证明两个定义是等价的。
推论: (相对于 )可积当且仅当 是阶梯函数， ，
若上式成立，显然又有
(事实上可以推得一个更强的结论： 几乎是一个单调（适当调整）阶梯函数列的点态极限(almost everywhere with respect to lebesgue measure)) 因此我们对原来积分的一切性质均成立。
现在我们来考察换元积分的问题(闭区间 上)，最简单的情况，若 ，则
利用牛顿莱布尼茨公式(注意 已经是导数，即有原函数(antiderivative)所以不需要连续性条件就可以使用该公式)，对于阶梯函数
则
现在假设 是任意可积函数(with respect to )，假设 是积分逼近 的一串阶梯函数 ，则有
注意 ，对任何 都可以取合适的细分使得它包括了 的划分。并且由于 因此我们发现
同理有
因此
以上即是Radon-Nikodym定理的一个类比(analogy)，即当 可导(对应绝对连续, absolutely continuous)，则 integrable使得 对任意 均成立。唯一性是因为如果另外有一个 满足条件，则 。因此我们只要说明 但是这件事一般来讲较难说明，因为你只改动 的可列多(countable)的点，它仍然是可积的，并且积分不变，因此我只能给出Lebesgue意义下的相等： ，即 ，但可以认为这个相等的意义就是所有涉及积分时，用 和用 的效果是相同的，这件事已经说明了。
应用链式法则需要使用唯一性。牛顿莱布尼茨的另一形式是要求 连续，因此可以加上一个限制条件 连续，那么由导数的唯一性知连续的 是唯一的。在绝大多数求积分的情况下(包括下面的这种)，这个函数都是连续的，所以即使不懂Lebesgue的那套东西，通过附加连续条件，你也可以求得链式法则里面有一个唯一的连续函数使得它成立。不附加的时候，由于带入导数的不同最终的积分还是一样的(我暂时未想到只用Riemann的定义就可以做出来的方法，这个结论在Lebesgue构造下就是显然的了)，所以应用换元法也没有问题，计算出来的值都是准确的。
现在考虑两个Stieltjes积分，对应函数 ，导数的定义中，我们用函数值的变化量比上自变量的变化量，现在自变量的变化量由 来刻画，所以不难想象，我们可以定义“导数”如下(见引用12，其中有一个回答给出了一个反例，但是和我们这里没什么关联所以我不打算讨论):
上述的积分换元仅用到了牛顿莱布尼茨公式，所以我们只需要找到我们的类似定理就行(counterpart): 假设
存在，则
我们仅讨论一个特殊的情形，即 且 连续，则当 时(注意某一类换元的可逆要求)，应用L'Hopital法则
我们已经证明
则
此时应用类似上面的证明可以得到
如果把 写成
可以就形式上记为 ，注意，此表示唯一的意义就是
并由此诱导
不难发现这个结果恰好就是换元的情况下如何求微分。
本来我想讨论一下关于一般情形下的情况，但是没有Lebesgue测度的情况下我发现实在难以处理(我不知道对不对，毕竟我不是很擅长分析)。毕竟这些内容到了实分析的时候就以测度做讨论了，所以就不过多讨论了，实际使用的时候，这个换元已经够了。 另外我可以给出下面这个事实： 若
则
因此我们总能把它写成 ，如果你认可唯一性(a.e. [m])，那么就可以直接把这个 定义成 。此时你可以认为是换元之后，导数存在（见参考4反函数导数的内容）。我给出了 存在的一个充分条件，一般情形下的情况太特殊了，并且也超出我的理解了，这个就不多讨论了。
总结
我们可以对微分形式 做如下理解(总考虑定义在区间 上)：
并且我们也可以推得
这个就是对 的正确解释，也是换元法的最终解释。 按此定义
结合牛顿莱布尼茨公式，可以得到不定积分的换元原理，也知道了不定积分中微分的含义。
我们甚至可以引入 ( )的含义为
例如 可导的时候
因此
若令 ，即
(注意vdu和udv的含义已定义)，则
因此，按照先前讨论的 存在，则
最后讨论一下链式法则。假设 存在 则
因此在利用之前的结果 存在，且由唯一性 恰好对应导数的链式法则。这个关系被记作 ，称为微分形式不变性。 总的来说，这个关系在牛顿莱布尼茨的时代可能只是简单地用这些原则，在定义完微分等形式之后，可以进行严格证明来说明这些做法是对的，但是我们并没有给出微分形式运算的明确含义（或者说如何和积分建立起联系的），在此之前都只能说这种记法是某种定理的表示（例如换元积分、链式法则什么的），并且是对的。在建立来Stieltjes积分的意义之后这一切都迎刃而解了。这个可不仅仅是巧合，只是一般大学课程完全不教授这个运算的含义。不过类似的， 也是一套如此的形式化运算，只是那个比较好说明，Stieltjes积分相比Lebesgue积分和Radon-Nikodym导数而言已经太过时了，所以可能课程上都不提罢了。
注意，在整个过程当中，微分是由积分诱导出来的。它的意义也非常清楚，给定了一个值域上的小区间(borel set)，它的原像(preimage)对应了一个小区间(measureable set)导数反映了他们俩大小的比例，因此微分是这个关系的局部线性近似，或者说导数给了一个分布。那么这个分布的累计就是积分，这也是牛顿莱布尼茨定理的内容。
后记
对于某个数学形式，我们可以赋予它某种“哲学”解释(Boolean Algebra, Heyting Algebra, Model Theory)，但是无论怎么解释，这种“形式”总是“对的”，这就要求我们对所有“哲学”进行验证，验证其中某些诸如“微元法”“宏观微观”并不足以对“所有”哲学进行验证，因此这个理解并没有揭示出真正可以这样做的那个“哲学”。正确的理解方法只能建立在上述中牛顿莱布尼茨定理，也正是这个定理把微分学(不定积分)和积分学(Riemann积分）联系起来了。而这个定理的本质是定义导数和积分的“形式”，这部分才产生了真正可以对这件事的认知。
参考资料
上述的内容主要建立在一个Berkeley的Riemann积分的讲义(见5)上，其中所用的定义都是类似Lebesgue的构造方法。我没有引用一些教材或者论文中的定理而是简单在google上搜了一些，是因为这部分知识对于大多数数学家而言是“知道正确但是没(lan)必(de)要证明”，资料一方面很少，另外我也不想在知乎写成教科书那个样子面面俱到的，如果感兴趣的话题主可以读一下royden。大家不研究这个是因为有更好用的工具Lebesgue积分，这部分证明是非常严格的(我们现在也不用原始的Lebesgue的定义了，而是使用了Carathéodory的改造)。这个过程可能有不严谨的地方，但是我相信大部分结论至少在Lebesgue意义下是对的，并且这个给出了足够的motivation来说明为什么使用 当作记号。如果有错误请私信。
- https:// tex.stackexchange.com/q uestions/152951/how-to-write-two-dot-above-a-letter/152954
- Riemann积分
- Stieltjes积分
- 数学分析 陈纪修，於崇华，金路 （陈爷爷最后一节课是我这一届学生上的）
- https:// math.berkeley.edu/~ilio poum/Topics_104/Riemann%20integration.pdf
- Real and Complex Analysis Rudin
- Real Analysis Royden
- https:// sites.math.washington.edu /~morrow/335_15/dominated.pdf
- https:// math.stackexchange.com/ questions/1916622/how-to-approximate-riemann-integrable-function-by-step-functions
- https://www. researchgate.net/public ation/233658851_Monotone_Convergence_Theorem_for_the_Riemann_Integral
- https:// math.stackexchange.com/ questions/298860/if-a-function-is-almost-everywhere-continuous-then-it-is-the-limit-of-step-funct
- https:// mathoverflow.net/questi ons/43792/riemann-stieltjes-derivative
- https:// en.wikipedia.org/wiki/T otal_variation
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