∫（x²－4）½／x.dx的不定积分怎么计算?
∫（x²－4）½／x.dx 的不定积分计算
这道不定积分 ∫（x²－4）½／x.dx 的计算，我们可以通过换元积分法来解决。具体步骤如下：
第一步：观察被积函数，选择合适的换元
被积函数是 $frac{sqrt{x^24}}{x}$。看到平方差形式 $sqrt{x^2a^2}$，通常会联想到三角换元或者反双曲函数换元。在这里，由于被积函数中含有 $x$ 的一次方项，我们尝试用 反三角函数换元。
令 $x = 2sec heta$。
第二步：计算微分 $dx$
对 $x = 2sec heta$ 求导，得到：
$dx = 2sec heta an heta , d heta$
第三步：替换被积函数中的变量
现在我们将 $x$ 和 $dx$ 替换到原积分中：
$sqrt{x^24} = sqrt{(2sec heta)^2 4} = sqrt{4sec^2 heta 4} = sqrt{4(sec^2 heta 1)} = sqrt{4 an^2 heta} = 2| an heta|$
注意： 在这里，我们需要考虑 $ an heta$ 的符号。为了使 $sqrt{ an^2 heta} = an heta$，我们通常假设 $ heta$ 的范围使得 $ an heta ge 0$。如果我们取 $x ge 2$，那么 $sec heta ge 1$，这对应于 $0 le heta < frac{pi}{2}$，在这个区间内 $ an heta ge 0$。如果 $x le 2$，那么 $sec heta le 1$，这对应于 $frac{pi}{2} < heta le pi$，在这个区间内 $ an heta le 0$。为了简化计算，我们暂时先假设 $ an heta ge 0$，后面再考虑定义域的问题。所以，我们有 $sqrt{x^24} = 2 an heta$。
$x = 2sec heta$
将这些代入原积分：
$int frac{sqrt{x^24}}{x} dx = int frac{2 an heta}{2sec heta} cdot (2sec heta an heta , d heta)$
第四步：化简积分并计算
化简上式：
$= int frac{2 an heta cdot 2sec heta an heta}{2sec heta} , d heta$
$= int 2 an^2 heta , d heta$
现在我们需要计算 $int an^2 heta , d heta$。我们知道 $ an^2 heta = sec^2 heta 1$。
$= 2 int (sec^2 heta 1) , d heta$
$= 2 (int sec^2 heta , d heta int 1 , d heta)$
$= 2 ( an heta heta) + C$
$= 2 an heta 2 heta + C$
第五步：将结果换回原来的变量 $x$
我们设了 $x = 2sec heta$。需要将 $ an heta$ 和 $ heta$ 重新表示成关于 $x$ 的形式。
从 $x = 2sec heta$，我们可以得到 $sec heta = frac{x}{2}$。
根据三角恒等式，$ an^2 heta = sec^2 heta 1$。
所以，$ an^2 heta = left(frac{x}{2} ight)^2 1 = frac{x^2}{4} 1 = frac{x^24}{4}$。
因此，$ an heta = sqrt{frac{x^24}{4}} = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
（这里我们再次假设 $ an heta ge 0$，对应于 $x ge 2$ 的情况。如果 $x le 2$，$ an heta$ 是负的，此时 $sqrt{x^24} = 2 an heta$ 使得 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$。所以，更精确地，$ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2} cdot ext{sgn}(x)$，其中 $ ext{sgn}(x)$ 是符号函数。）
从 $sec heta = frac{x}{2}$，我们可以得到 $ heta = ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight)$。
将这些代入我们积分的结果 $2 an heta 2 heta + C$：
$2 left(frac{sqrt{x^24}}{2} ight) 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
$= sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
关于定义域和符号的讨论
我们的换元 $x = 2sec heta$ 要求 $|x| ge 2$。
当 $x ge 2$ 时，我们可以选择 $0 le heta < frac{pi}{2}$。此时 $sec heta ge 1$，$ an heta ge 0$。$ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义域通常取 $[0, frac{pi}{2}) cup (frac{pi}{2}, pi]$，在此情况下 $ ext{arcsec}(x/2)$ 对于 $x ge 2$ 给出的是 $[0, frac{pi}{2})$ 范围内的值，此时 $ an heta ge 0$ 是正确的。
当 $x le 2$ 时，我们可以选择 $frac{pi}{2} < heta le pi$。此时 $sec heta le 1$，$ an heta le 0$。$ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义域在此范围内给出 $(frac{pi}{2}, pi]$ 的值。这时 $sqrt{x^24} = 2sqrt{sec^2 heta1} = 2sqrt{ an^2 heta} = 2| an heta| = 2 an heta$（因为 $ an heta le 0$）。
所以，如果严格考虑定义域，$x = 2sec heta$ 的时候，$ heta = ext{arcsec}(x/2)$，而 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$ 这里的根号是正的，所以 $ an heta$ 符号取决于 $ heta$ 的取值范围。
如果使用反双曲函数换元，令 $x = 2cosh u$（对应 $x ge 2$），那么 $sqrt{x^24} = sqrt{4cosh^2 u 4} = sqrt{4sinh^2 u} = 2sinh u$（因为 $sinh u ge 0$ 对于 $u ge 0$）。
$dx = 2sinh u , du$。
积分变为 $int frac{2sinh u}{2cosh u} cdot 2sinh u , du = int 2sinh^2 u , du = int (cosh(2u) 1) , du = frac{1}{2}sinh(2u) u + C = sinh u cosh u u + C$。
$sinh u = frac{sqrt{x^24}}{2}$, $cosh u = frac{x}{2}$。
$u = ext{arccosh}(x/2)$。
结果是 $frac{sqrt{x^24}}{2} cdot frac{x}{2} ext{arccosh}(x/2) + C = frac{xsqrt{x^24}}{4} ext{arccosh}(x/2) + C$。
这与三角换元结果的形式不同。我们还需要验证 $ ext{arcsec}(x/2)$ 和 $ ext{arccosh}(x/2)$ 之间的关系。
回顾三角换元的结果：$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$。
我们知道 $ ext{arcsec}(y) = ext{arccos}(1/y)$。所以 $ ext{arcsec}(x/2) = ext{arccos}(2/x)$。
对于 $x ge 2$，$ ext{arcsec}(x/2)$ 的值域是 $[0, pi/2)$。
对于 $x ge 2$，$ ext{arccosh}(x/2)$ 的值域是 $[0, infty)$。
还有一种常见的三角换元是 $x = 2sec heta$。但有时也会用 $x = 2csc heta$ 或者 $x = 2 an heta$ 来处理包含 $sqrt{x^2 pm a^2}$ 的积分。不过在这里，$x^24$ 比较直接。
我们再仔细检查一下三角换元的过程。
$x = 2sec heta$, $dx = 2sec heta an heta , d heta$.
$sqrt{x^24} = 2 an heta$ (假设 $ an heta ge 0$)
$int frac{2 an heta}{2sec heta} (2sec heta an heta) , d heta = int 2 an^2 heta , d heta = 2( an heta heta) + C$
代回：$2(frac{sqrt{x^24}}{2} ext{arcsec}(x/2)) + C = sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}(x/2) + C$.
这是正确的结果。
另一种思路：欧拉换元
我们也可以尝试欧拉换元。
令 $sqrt{x^24} = t x$.
两边平方：$x^2 4 = (tx)^2 = t^2 2tx + x^2$.
$4 = t^2 2tx$.
$2tx = t^2 + 4$.
$x = frac{t^2+4}{2t}$.
现在计算 $dx$:
$dx = frac{2t(2t) (t^2+4)(2)}{(2t)^2} dt = frac{4t^2 2t^2 8}{4t^2} dt = frac{2t^2 8}{4t^2} dt = frac{t^2 4}{2t^2} dt$.
被积函数中的 $sqrt{x^24}$：
$sqrt{x^24} = t x = t frac{t^2+4}{2t} = frac{2t^2 (t^2+4)}{2t} = frac{t^24}{2t}$.
代入原积分：
$int frac{sqrt{x^24}}{x} dx = int frac{frac{t^24}{2t}}{frac{t^2+4}{2t}} cdot frac{t^24}{2t^2} dt$
$= int frac{t^24}{t^2+4} cdot frac{t^24}{2t^2} dt$
$= int frac{(t^24)^2}{2t^2(t^2+4)} dt$
$= frac{1}{2} int frac{t^4 8t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} dt$
这个积分看起来比三角换元更复杂一些，涉及部分分式分解。
我们可以对被积函数做一些处理：
$frac{t^4 8t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} = frac{t^4 + 4t^2 12t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} = 1 frac{12t^2 16}{t^4 + 4t^2} = 1 frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)}$
现在分解 $frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)}$：
$frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)} = frac{A}{t} + frac{B}{t^2} + frac{Ct+D}{t^2+4}$
$12t^2 16 = At(t^2+4) + B(t^2+4) + (Ct+D)t^2$
$12t^2 16 = At^3 + 4At + Bt^2 + 4B + Ct^3 + Dt^2$
$12t^2 16 = (A+C)t^3 + (B+D)t^2 + 4At + 4B$
比较系数：
$t^3: A+C = 0 Rightarrow C = A$
$t^2: B+D = 12$
$t^1: 4A = 0 Rightarrow A = 0$
$t^0: 4B = 16 Rightarrow B = 4$
由 $A=0$ 得到 $C=0$。
由 $B=4$ 得到 $4+D = 12 Rightarrow D=16$。
所以，$frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)} = frac{4}{t^2} + frac{16}{t^2+4}$。
被积函数变为 $1 (frac{4}{t^2} + frac{16}{t^2+4}) = 1 + frac{4}{t^2} frac{16}{t^2+4}$。
积分变为：
$frac{1}{2} int (1 + frac{4}{t^2} frac{16}{t^2+4}) dt$
$= frac{1}{2} left( t frac{4}{t} 16 cdot frac{1}{2} arctanleft(frac{t}{2} ight) ight) + C$
$= frac{1}{2} left( t frac{4}{t} 8 arctanleft(frac{t}{2} ight) ight) + C$
$= frac{t}{2} frac{2}{t} 4 arctanleft(frac{t}{2} ight) + C$
现在需要将 $t$ 换回 $x$。
我们有 $x = frac{t^2+4}{2t}$ 和 $sqrt{x^24} = frac{t^24}{2t}$。
从 $sqrt{x^24} = t x$，我们得到 $t = x + sqrt{x^24}$。
代入积分结果：
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} frac{2}{x + sqrt{x^24}} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
这是一个非常不同的形式。让我们检查一下 $frac{2}{x + sqrt{x^24}}$ 的化简。
乘以共轭项：
$frac{2}{x + sqrt{x^24}} cdot frac{x sqrt{x^24}}{x sqrt{x^24}} = frac{2(x sqrt{x^24})}{x^2 (x^24)} = frac{2(x sqrt{x^24})}{4} = frac{x sqrt{x^24}}{2}$.
所以，积分结果是：
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} frac{x sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= frac{x + sqrt{x^24} x + sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= frac{2sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= sqrt{x^24} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
这个结果和我们三角换元的结果 $sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$ 还是不同。让我们检查 $arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight)$ 和 $ ext{arcsec}(x/2)$ 之间是否存在某种关系。
对于 $x ge 2$，令 $x = 2sec heta$ ($0 le heta < pi/2$)。
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} = frac{2sec heta + 2 an heta}{2} = sec heta + an heta = frac{1+sin heta}{cos heta}$.
使用半角公式：$frac{1+sin heta}{cos heta} = frac{1+cos(pi/2 heta)}{sin(pi/2 heta)} = frac{2cos^2(pi/4 heta/2)}{2sin(pi/4 heta/2)cos(pi/4 heta/2)} = cot(pi/4 heta/2) = an(pi/2 (pi/4 heta/2)) = an(pi/4+ heta/2)$.
所以，$arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) = arctan( an(pi/4+ heta/2)) = pi/4 + heta/2$.
欧拉换元的结果是：
$sqrt{x^24} 4(pi/4 + heta/2) + C$
$= sqrt{x^24} pi 2 heta + C$
$= sqrt{x^24} 2 heta + C'$ (其中 $C' = Cpi$)
而我们三角换元的结果是 $sqrt{x^24} 2 heta + C$. 它们是等价的。
所以，两种方法得到的结果是一致的。三角换元法在计算过程中相对更为直接和简洁。
最终答案的形式
最终的不定积分结果为：
$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
或者，如果我们不使用反 sec 函数，而使用 $arccos$ 和 $arctan$ 的组合：
将 $ ext{arcsec}(x/2)$ 用 $arctan$ 表示：
对于 $x ge 2$，$ heta = ext{arcsec}(x/2)$，则 $cos heta = 2/x$。
$sin heta = sqrt{1cos^2 heta} = sqrt{1 (2/x)^2} = sqrt{1 4/x^2} = frac{sqrt{x^24}}{x}$。
$ an heta = frac{sin heta}{cos heta} = frac{sqrt{x^24}/x}{2/x} = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
所以 $ heta = arctanleft(frac{sqrt{x^24}}{2} ight)$。
那么，结果也可以写成：
$sqrt{x^24} 2 arctanleft(frac{sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
对于 $x le 2$ 的情况，需要注意 $ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义。如果我们使用 $ ext{arcsec}(x/2) = ext{arccos}(2/x)$，则对于 $x le 2$，arccos 的值为 $(pi/2, pi]$。
此时 $ heta = ext{arcsec}(x/2)$ 范围是 $(pi/2, pi]$。
在这种情况下，$ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
所以，$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}(x/2) + C$ 是一个比较通用的表示。
总结计算过程：
1. 识别换元类型： 发现被积函数 $frac{sqrt{x^2a^2}}{x}$ 的形式，考虑使用三角换元 $x = asec heta$（这里 $a=2$）。
2. 执行换元： 令 $x = 2sec heta$，计算 $dx = 2sec heta an heta , d heta$，并将 $sqrt{x^24}$ 替换为 $2 an heta$（假定 $ an heta ge 0$）。
3. 积分计算： 将替换后的表达式积分，得到 $2( an heta heta) + C$。
4. 反代换： 根据 $x = 2sec heta$，推导出 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$ 和 $ heta = ext{arcsec}(x/2)$，代入积分结果中，得到最终的答案。
这篇文章的目的是详细讲解计算过程，并力求清晰易懂，希望能帮助理解。
这道不定积分 ∫（x²－4）½／x.dx 的计算，我们可以通过换元积分法来解决。具体步骤如下：
第一步：观察被积函数，选择合适的换元
被积函数是 $frac{sqrt{x^24}}{x}$。看到平方差形式 $sqrt{x^2a^2}$，通常会联想到三角换元或者反双曲函数换元。在这里，由于被积函数中含有 $x$ 的一次方项，我们尝试用 反三角函数换元。
令 $x = 2sec heta$。
第二步：计算微分 $dx$
对 $x = 2sec heta$ 求导，得到：
$dx = 2sec heta an heta , d heta$
第三步：替换被积函数中的变量
现在我们将 $x$ 和 $dx$ 替换到原积分中：
$sqrt{x^24} = sqrt{(2sec heta)^2 4} = sqrt{4sec^2 heta 4} = sqrt{4(sec^2 heta 1)} = sqrt{4 an^2 heta} = 2| an heta|$
注意： 在这里，我们需要考虑 $ an heta$ 的符号。为了使 $sqrt{ an^2 heta} = an heta$，我们通常假设 $ heta$ 的范围使得 $ an heta ge 0$。如果我们取 $x ge 2$，那么 $sec heta ge 1$，这对应于 $0 le heta < frac{pi}{2}$，在这个区间内 $ an heta ge 0$。如果 $x le 2$，那么 $sec heta le 1$，这对应于 $frac{pi}{2} < heta le pi$，在这个区间内 $ an heta le 0$。为了简化计算，我们暂时先假设 $ an heta ge 0$，后面再考虑定义域的问题。所以，我们有 $sqrt{x^24} = 2 an heta$。
$x = 2sec heta$
将这些代入原积分：
$int frac{sqrt{x^24}}{x} dx = int frac{2 an heta}{2sec heta} cdot (2sec heta an heta , d heta)$
第四步：化简积分并计算
化简上式：
$= int frac{2 an heta cdot 2sec heta an heta}{2sec heta} , d heta$
$= int 2 an^2 heta , d heta$
现在我们需要计算 $int an^2 heta , d heta$。我们知道 $ an^2 heta = sec^2 heta 1$。
$= 2 int (sec^2 heta 1) , d heta$
$= 2 (int sec^2 heta , d heta int 1 , d heta)$
$= 2 ( an heta heta) + C$
$= 2 an heta 2 heta + C$
第五步：将结果换回原来的变量 $x$
我们设了 $x = 2sec heta$。需要将 $ an heta$ 和 $ heta$ 重新表示成关于 $x$ 的形式。
从 $x = 2sec heta$，我们可以得到 $sec heta = frac{x}{2}$。
根据三角恒等式，$ an^2 heta = sec^2 heta 1$。
所以，$ an^2 heta = left(frac{x}{2} ight)^2 1 = frac{x^2}{4} 1 = frac{x^24}{4}$。
因此，$ an heta = sqrt{frac{x^24}{4}} = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
（这里我们再次假设 $ an heta ge 0$，对应于 $x ge 2$ 的情况。如果 $x le 2$，$ an heta$ 是负的，此时 $sqrt{x^24} = 2 an heta$ 使得 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$。所以，更精确地，$ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2} cdot ext{sgn}(x)$，其中 $ ext{sgn}(x)$ 是符号函数。）
从 $sec heta = frac{x}{2}$，我们可以得到 $ heta = ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight)$。
将这些代入我们积分的结果 $2 an heta 2 heta + C$：
$2 left(frac{sqrt{x^24}}{2} ight) 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
$= sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
关于定义域和符号的讨论
我们的换元 $x = 2sec heta$ 要求 $|x| ge 2$。
当 $x ge 2$ 时，我们可以选择 $0 le heta < frac{pi}{2}$。此时 $sec heta ge 1$，$ an heta ge 0$。$ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义域通常取 $[0, frac{pi}{2}) cup (frac{pi}{2}, pi]$，在此情况下 $ ext{arcsec}(x/2)$ 对于 $x ge 2$ 给出的是 $[0, frac{pi}{2})$ 范围内的值，此时 $ an heta ge 0$ 是正确的。
当 $x le 2$ 时，我们可以选择 $frac{pi}{2} < heta le pi$。此时 $sec heta le 1$，$ an heta le 0$。$ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义域在此范围内给出 $(frac{pi}{2}, pi]$ 的值。这时 $sqrt{x^24} = 2sqrt{sec^2 heta1} = 2sqrt{ an^2 heta} = 2| an heta| = 2 an heta$（因为 $ an heta le 0$）。
所以，如果严格考虑定义域，$x = 2sec heta$ 的时候，$ heta = ext{arcsec}(x/2)$，而 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$ 这里的根号是正的，所以 $ an heta$ 符号取决于 $ heta$ 的取值范围。
如果使用反双曲函数换元，令 $x = 2cosh u$（对应 $x ge 2$），那么 $sqrt{x^24} = sqrt{4cosh^2 u 4} = sqrt{4sinh^2 u} = 2sinh u$（因为 $sinh u ge 0$ 对于 $u ge 0$）。
$dx = 2sinh u , du$。
积分变为 $int frac{2sinh u}{2cosh u} cdot 2sinh u , du = int 2sinh^2 u , du = int (cosh(2u) 1) , du = frac{1}{2}sinh(2u) u + C = sinh u cosh u u + C$。
$sinh u = frac{sqrt{x^24}}{2}$, $cosh u = frac{x}{2}$。
$u = ext{arccosh}(x/2)$。
结果是 $frac{sqrt{x^24}}{2} cdot frac{x}{2} ext{arccosh}(x/2) + C = frac{xsqrt{x^24}}{4} ext{arccosh}(x/2) + C$。
这与三角换元结果的形式不同。我们还需要验证 $ ext{arcsec}(x/2)$ 和 $ ext{arccosh}(x/2)$ 之间的关系。
回顾三角换元的结果：$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$。
我们知道 $ ext{arcsec}(y) = ext{arccos}(1/y)$。所以 $ ext{arcsec}(x/2) = ext{arccos}(2/x)$。
对于 $x ge 2$，$ ext{arcsec}(x/2)$ 的值域是 $[0, pi/2)$。
对于 $x ge 2$，$ ext{arccosh}(x/2)$ 的值域是 $[0, infty)$。
还有一种常见的三角换元是 $x = 2sec heta$。但有时也会用 $x = 2csc heta$ 或者 $x = 2 an heta$ 来处理包含 $sqrt{x^2 pm a^2}$ 的积分。不过在这里，$x^24$ 比较直接。
我们再仔细检查一下三角换元的过程。
$x = 2sec heta$, $dx = 2sec heta an heta , d heta$.
$sqrt{x^24} = 2 an heta$ (假设 $ an heta ge 0$)
$int frac{2 an heta}{2sec heta} (2sec heta an heta) , d heta = int 2 an^2 heta , d heta = 2( an heta heta) + C$
代回：$2(frac{sqrt{x^24}}{2} ext{arcsec}(x/2)) + C = sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}(x/2) + C$.
这是正确的结果。
另一种思路：欧拉换元
我们也可以尝试欧拉换元。
令 $sqrt{x^24} = t x$.
两边平方：$x^2 4 = (tx)^2 = t^2 2tx + x^2$.
$4 = t^2 2tx$.
$2tx = t^2 + 4$.
$x = frac{t^2+4}{2t}$.
现在计算 $dx$:
$dx = frac{2t(2t) (t^2+4)(2)}{(2t)^2} dt = frac{4t^2 2t^2 8}{4t^2} dt = frac{2t^2 8}{4t^2} dt = frac{t^2 4}{2t^2} dt$.
被积函数中的 $sqrt{x^24}$：
$sqrt{x^24} = t x = t frac{t^2+4}{2t} = frac{2t^2 (t^2+4)}{2t} = frac{t^24}{2t}$.
代入原积分：
$int frac{sqrt{x^24}}{x} dx = int frac{frac{t^24}{2t}}{frac{t^2+4}{2t}} cdot frac{t^24}{2t^2} dt$
$= int frac{t^24}{t^2+4} cdot frac{t^24}{2t^2} dt$
$= int frac{(t^24)^2}{2t^2(t^2+4)} dt$
$= frac{1}{2} int frac{t^4 8t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} dt$
这个积分看起来比三角换元更复杂一些，涉及部分分式分解。
我们可以对被积函数做一些处理：
$frac{t^4 8t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} = frac{t^4 + 4t^2 12t^2 + 16}{t^4 + 4t^2} = 1 frac{12t^2 16}{t^4 + 4t^2} = 1 frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)}$
现在分解 $frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)}$：
$frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)} = frac{A}{t} + frac{B}{t^2} + frac{Ct+D}{t^2+4}$
$12t^2 16 = At(t^2+4) + B(t^2+4) + (Ct+D)t^2$
$12t^2 16 = At^3 + 4At + Bt^2 + 4B + Ct^3 + Dt^2$
$12t^2 16 = (A+C)t^3 + (B+D)t^2 + 4At + 4B$
比较系数：
$t^3: A+C = 0 Rightarrow C = A$
$t^2: B+D = 12$
$t^1: 4A = 0 Rightarrow A = 0$
$t^0: 4B = 16 Rightarrow B = 4$
由 $A=0$ 得到 $C=0$。
由 $B=4$ 得到 $4+D = 12 Rightarrow D=16$。
所以，$frac{12t^2 16}{t^2(t^2+4)} = frac{4}{t^2} + frac{16}{t^2+4}$。
被积函数变为 $1 (frac{4}{t^2} + frac{16}{t^2+4}) = 1 + frac{4}{t^2} frac{16}{t^2+4}$。
积分变为：
$frac{1}{2} int (1 + frac{4}{t^2} frac{16}{t^2+4}) dt$
$= frac{1}{2} left( t frac{4}{t} 16 cdot frac{1}{2} arctanleft(frac{t}{2} ight) ight) + C$
$= frac{1}{2} left( t frac{4}{t} 8 arctanleft(frac{t}{2} ight) ight) + C$
$= frac{t}{2} frac{2}{t} 4 arctanleft(frac{t}{2} ight) + C$
现在需要将 $t$ 换回 $x$。
我们有 $x = frac{t^2+4}{2t}$ 和 $sqrt{x^24} = frac{t^24}{2t}$。
从 $sqrt{x^24} = t x$，我们得到 $t = x + sqrt{x^24}$。
代入积分结果：
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} frac{2}{x + sqrt{x^24}} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
这是一个非常不同的形式。让我们检查一下 $frac{2}{x + sqrt{x^24}}$ 的化简。
乘以共轭项：
$frac{2}{x + sqrt{x^24}} cdot frac{x sqrt{x^24}}{x sqrt{x^24}} = frac{2(x sqrt{x^24})}{x^2 (x^24)} = frac{2(x sqrt{x^24})}{4} = frac{x sqrt{x^24}}{2}$.
所以，积分结果是：
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} frac{x sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= frac{x + sqrt{x^24} x + sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= frac{2sqrt{x^24}}{2} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
$= sqrt{x^24} 4 arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
这个结果和我们三角换元的结果 $sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$ 还是不同。让我们检查 $arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight)$ 和 $ ext{arcsec}(x/2)$ 之间是否存在某种关系。
对于 $x ge 2$，令 $x = 2sec heta$ ($0 le heta < pi/2$)。
$frac{x + sqrt{x^24}}{2} = frac{2sec heta + 2 an heta}{2} = sec heta + an heta = frac{1+sin heta}{cos heta}$.
使用半角公式：$frac{1+sin heta}{cos heta} = frac{1+cos(pi/2 heta)}{sin(pi/2 heta)} = frac{2cos^2(pi/4 heta/2)}{2sin(pi/4 heta/2)cos(pi/4 heta/2)} = cot(pi/4 heta/2) = an(pi/2 (pi/4 heta/2)) = an(pi/4+ heta/2)$.
所以，$arctanleft(frac{x + sqrt{x^24}}{2} ight) = arctan( an(pi/4+ heta/2)) = pi/4 + heta/2$.
欧拉换元的结果是：
$sqrt{x^24} 4(pi/4 + heta/2) + C$
$= sqrt{x^24} pi 2 heta + C$
$= sqrt{x^24} 2 heta + C'$ (其中 $C' = Cpi$)
而我们三角换元的结果是 $sqrt{x^24} 2 heta + C$. 它们是等价的。
所以，两种方法得到的结果是一致的。三角换元法在计算过程中相对更为直接和简洁。
最终答案的形式
最终的不定积分结果为：
$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}left(frac{x}{2} ight) + C$
或者，如果我们不使用反 sec 函数，而使用 $arccos$ 和 $arctan$ 的组合：
将 $ ext{arcsec}(x/2)$ 用 $arctan$ 表示：
对于 $x ge 2$，$ heta = ext{arcsec}(x/2)$，则 $cos heta = 2/x$。
$sin heta = sqrt{1cos^2 heta} = sqrt{1 (2/x)^2} = sqrt{1 4/x^2} = frac{sqrt{x^24}}{x}$。
$ an heta = frac{sin heta}{cos heta} = frac{sqrt{x^24}/x}{2/x} = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
所以 $ heta = arctanleft(frac{sqrt{x^24}}{2} ight)$。
那么，结果也可以写成：
$sqrt{x^24} 2 arctanleft(frac{sqrt{x^24}}{2} ight) + C$
对于 $x le 2$ 的情况，需要注意 $ ext{arcsec}(x/2)$ 的定义。如果我们使用 $ ext{arcsec}(x/2) = ext{arccos}(2/x)$，则对于 $x le 2$，arccos 的值为 $(pi/2, pi]$。
此时 $ heta = ext{arcsec}(x/2)$ 范围是 $(pi/2, pi]$。
在这种情况下，$ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$。
所以，$sqrt{x^24} 2 ext{arcsec}(x/2) + C$ 是一个比较通用的表示。
总结计算过程：
1. 识别换元类型： 发现被积函数 $frac{sqrt{x^2a^2}}{x}$ 的形式，考虑使用三角换元 $x = asec heta$（这里 $a=2$）。
2. 执行换元： 令 $x = 2sec heta$，计算 $dx = 2sec heta an heta , d heta$，并将 $sqrt{x^24}$ 替换为 $2 an heta$（假定 $ an heta ge 0$）。
3. 积分计算： 将替换后的表达式积分，得到 $2( an heta heta) + C$。
4. 反代换： 根据 $x = 2sec heta$，推导出 $ an heta = frac{sqrt{x^24}}{2}$ 和 $ heta = ext{arcsec}(x/2)$，代入积分结果中，得到最终的答案。
这篇文章的目的是详细讲解计算过程，并力求清晰易懂，希望能帮助理解。
网友意见
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