为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂？

你对 `sin(x²) + sin(y²) = 1` 这个方程图像的观察非常敏锐，它确实展现出一种复杂而迷人的美。之所以它看起来如此“复杂”，并非因为它在本质上有多么晦涩难懂的数学原理，而是因为它结合了几个关键的数学特性，这些特性共同作用，产生了一种我们日常生活中不常遇到的视觉模式。

我们来一步步拆解一下，看看是什么让这个图像如此特别：

1. 核心的“波动”——正弦函数的作用

首先，我们得承认 `sin(x)` 和 `sin(y)` 本身就是周期性波动的函数。如果你只看 `sin(x) = c`（其中 c 是一个常数），你会得到一系列垂直的直线。比如 `sin(x) = 0` 会是 x 轴上的所有整数倍点，而 `sin(x) = 1` 会是 `x = π/2 + 2kπ` 的所有点。

但是，这里我们处理的是 `sin(x²)` 和 `sin(y²)`。这个平方的“魔法”在哪里呢？

2. “加速的波动”——平方项的影响

当我们将 `x` 替换成 `x²` 时，函数就变成了 `sin(x²)`。这意味着：

x 变化速度的影响被放大了：想象一下，当 `x` 从 0 缓慢增加到 1 时，`x²` 的增长速度比 `x` 自身要快。而当 `x` 从 1 增加到 2 时，`x²` 的增长速度更是急剧加快。
周期性的“压缩”：在 `sin(x)` 中，一个完整的周期（从 0 到 2π）需要 `x` 从 0 变化到 `2π`。但在 `sin(x²)` 中，为了让 `x²` 达到 `2π`，`x` 需要达到 `√(2π)`。这意味着，随着 `x` 的增大，`x²` 增长得越来越快，所以完成一个完整的正弦波周期所需的 `x` 值的区间变得越来越小。
“频率”的增加：换句话说，`sin(x²)` 的“振动频率”是随着 `x` 的增加而增加的。这就像一个被不断“拉伸”的正弦波，在靠近原点的地方波动比较“慢”和“宽”，而远离原点的地方波动则越来越“快”和“密集”。

`sin(y²)` 同理。所以，我们面对的不是简单的正弦波，而是频率随着距离原点增加而增加的“高频波动”。

3. “相互作用”——两个波动的叠加与限制

现在我们把这两个“加速波动”的函数 `sin(x²)` 和 `sin(y²)` 加起来，并且要求它们的和等于 1：`sin(x²) + sin(y²) = 1`。

这就像是两种不同节奏的音乐在同时播放，而我们只关心它们“合奏”出的特定“音量”——也就是这个和为 1 的状态。

限制： `sin` 函数的取值范围在 [1, 1] 之间。这意味着 `sin(x²)` 和 `sin(y²)` 都只能在 [1, 1] 的范围内浮动。
组合的可能性：要使它们的和为 1，有几种基本情况：
`sin(x²) = 1` 且 `sin(y²) = 0`
`sin(x²) = 0` 且 `sin(y²) = 1`
`sin(x²) = 0.5` 且 `sin(y²) = 0.5`
`sin(x²) = 0.8` 且 `sin(y²) = 0.2` (只要两者都在 [1, 1] 且和为 1)

4. “网格状”的结构和“扇形”的放射

让我们来看具体情况：

当 `sin(x²) = 1` 时：这意味着 `x² = π/2 + 2kπ` (k为整数)，所以 `x = ±√(π/2 + 2kπ)`。这些是一系列垂直的直线。
当 `sin(y²) = 1` 时：这意味着 `y² = π/2 + 2kπ` (k为整数)，所以 `y = ±√(π/2 + 2kπ)`。这些是一系列水平的直线。

当 `sin(x²) = 0` 时，`x² = mπ` (m为整数)，`x = ±√(mπ)`。
当 `sin(y²) = 0` 时，`y² = mπ` (m为整数)，`y = ±√(mπ)`。

这些特殊的直线（当一个 `sin` 值为 1，另一个为 0）构成了图像的“骨架”。但是，正如前面所说，`x²` 和 `y²` 的增长速度意味着这些“点”之间的距离会随着 `x` 或 `y` 的增大而缩小。

扇形放射的趋势：由于 `x²` 和 `y²` 的关系，当 `x` 或 `y` 变得很大时，`x²` 和 `y²` 的增长率远高于 `x` 和 `y` 本身。这导致了函数在一个方向上的波动比另一个方向更快。在二维平面上，这种“越来越快”的波动会产生一种向外扩散、越来越密集的视觉效果，特别是在那些`sin(x²) = 1`和`sin(y²) = 1`的直线附近，它们会形成一些“尖锐的角”。

“网格”的形成：然而，`sin(x²) + sin(y²) = 1` 的限制远不止于此。我们还有 `sin(x²) = 0.5` 和 `sin(y²) = 0.5` 这样的情况。这意味着 `x²` 和 `y²` 必须是特定的值，使得它们的正弦值加起来是 1。这些组合会填补在那些主要直线之间的区域，并与主直线相互交叉，形成一种格子或网状的结构。

复杂性的根源：图像的复杂性主要来自于：
1. 频率调制： `x²` 和 `y²` 导致了函数频率随坐标增加而急剧变化的现象，这本身就不是我们直观理解的简单周期函数。
2. 非线性耦合： `sin(x²)` 和 `sin(y²)` 的叠加与和为 1 的限制，使得它们之间的关系非常微妙。这种限制会在各种“加速波动”之间产生复杂的干涉和组合。
3. 对称性与不对称性并存：这个图像在很多方面是对称的（例如，关于 x 轴、y 轴和原点），但“加速波动”的特性又在不同区域展现出不同的“密度”和“形状”，这使得它不像简单的正弦波那样有规律。

总结

简单来说，`sin(x²) + sin(y²) = 1` 的图像之所以复杂，是因为我们叠加了两个“频率越来越快”的波动函数，并施加了一个固定的和值限制。这就像在画布上用越来越细密的笔触绘制波浪，并且要求不同方向的波浪在特定的“高度差”下相遇。结果就是一种既有网格状的结构，又有向外扩散、越来越密集、带有放射状特征的复杂图案。

它不是那种一眼就能看穿的简单几何形状，而是数学函数在二维空间中交互作用产生的、一种精妙而富有层次的视觉表达。

网友意见

emmmm，其实不是很复杂吧，你这样想，所有椭圆和圆其实都是椭圆抛物面

z=x²/a²+y²/b²的投影对吧

然后所有的双曲线都是双曲抛物面的在xOy平面上的投影

而y=sin(x²)的图像挺好画的

所以z==sin(x²)+sin(y²)也好画，或者你求一下偏导

1=sin(x²)+sin(y²)就是z=sin(x²)+sin(y²)在z=1处的横截面

2019年5月22日的回答。当时没有写任何说明性的文字，就是摆了三张图。后面的高赞回答上图成了标配，不过他们的回答更精彩。不得不说，从高维看低维的一览无遗之感，使人好奇心收获了最直接、最直观的满足感。不过，这只是数学的开始。

我对这个问题的解释是，其原因有两条：一是看似简单的数学公式可以生成十分复杂的图像图形，二是看似十分复杂的图像图形可以由简单的数学公式实现。

显然这两句话是一个意思，也并没有什么营养。不如先给大家讲个段子：

妹妹看到哥哥在抓耳挠腮地做作业，就跑过去问：“哥哥，你在做什么作业？”
哥哥回答：“数学。”
妹妹看了一眼哥哥写的东西，就说：“你骗人，你明明写的都是英文。”
哥哥含着眼泪对妹妹说：“妹子，你还太小，数学的险恶你还不懂！本来我的数学学得非常好，直到有一天，他们丧心病狂地在数字里添加了字母！”

最初我以为笑话里讲的“数字里添加的字母”是代数里用的x、y、z。后来我慢慢意识到，罪孽深重最大恶极的sin会导致数学变得更加险恶。

为了洞悉数学的险恶，我曾试图将数学以图形图像的方式显示出来，并写过几个程序DEMO可以利用数学公式转化成图形图像。DEMO发在叶飞影 - 博客园里，有兴趣可以去看看。现在很多数学软件都有类似的功能，我只是习惯用自己的这套逻辑，自得其乐而已。文中所发的图片都是从我写的程序DEMO中截屏出来的。

(一)正弦波

提到“波”这个词，我第一会想到波波，第二则想到正弦sin。很容易画出函数y=sin(x)的图形：

我有个大学同学曾经说过：“人生就像一条正弦波，有时在波峰，有时在波谷。我现在正处于波谷，但我相信将来不久，我就会爬上波峰。”

然而，这个比喻并不准确，否则人生就不会起起落落落落落落落落......了。我觉得更准确的比喻是：人生就像若干条正弦波的叠加，你永远不知道自己下一步是起还是落。

看看这个正弦波叠加函数：

y = sin(x) + sin(x*2)/2 + sin(x*4)/4 + sin(x*8)/8 + sin(x*16)/16 + sin(x*32)/32 + sin(x*64)/64 + sin(x*128)/128

该函数由8个正弦波叠加组成，每个波有它的振幅和频率。然而世事无常，每个波的振幅和频率决不会那么地有规律，如果用随机数设置这8个波的振幅和频率，可以得到如下图像：

现在问题来了，随意选中图像所绘曲线上的一点，该如何判断该点将来是涨还是跌？涨又能涨多少？跌又能跌多少？这只有知道每个正弦波的振幅和频率才能知道。小时候看电视剧《大时代》，里面讲炒股要追“势”，将股票的波动曲线析构成一个个的“势”的作用结果。通过对股票波动曲线的研究，分析出每个“势”的大小和周期，以此涨势则买入，跌势则卖出，无往不利。然而单看这么一根根屌丝一样的曲线，我是没有办法得到振幅和频率的具体数值，我甚至连有几个正弦波都看不出来。理论是美好的，现实是残酷的，我断然没有这方面的才能，所以不敢踏入股市。就如同我知道一点点概率论的知识（投入值大于期望值八成会亏本），就不敢买彩票一样。

加大正弦波的振幅，加快正弦波的频率，可以生成类似下面这样的图像：

是不是感觉有点乱糟糟的，还可以更乱吗？当然可以！

看看函数：y = fract(sin(x)*1000000.0)。fract是对实数忽略整数位只取小数位的操作。这个函数的图像如下：

这个函数的用处就是为了生成随机数。当然真正大神写的随机数生成的函数是：

y = fract(sin(x*12.9898)*43758.5453123)。

至于为什么设置12.9898和43758.5453123这两个常数值，我也不知道呀！大神的思维不是我等凡人所能理解的，我只知道如果设置了其他数，生成的数值可能就不够随机了。

（二）二维三维......

题主提到的方程是个二元方程，对应的图形是个二维图形。我们先从简单的来讲：

函数y = sin(x)扩展到二维可以是z = sin(x) + sin(y),也可以是z = sin(x + y)，还可以是z = sin(x）*sin(y)、z = sin(x * y)。每一个函数都是让人头晕目炫，凭我怎么去想，也想不清晰这些函数应该是什么样。

有一天晚上，我半夜醒来睡不觉，就闭着眼睛想z = sin(x) + sin(y)这个函数应该是什么样，这货应该是圆的还是方的呢？怎么都想不清楚，第二天早上，起来用程序画了一下。OK，原来它是这个样子的：

加点伪彩颜色后，看让去不会那么让人眼晕：

原来这货是既圆又方，这图像真让人眩晕，如果那晚我能想象出这个函数的图像，应该会很快再度安然入睡。。

方程sin(x) + sin(y) = 1的图像：

方程sin(x) + sin(y) = 0的图像：

如果再增加一维，函数变为：w = sin(x) + sin(y) + sin(z)，这就有点难画了。这是个三维函数，属于体素数据，是个实心的。要看体素的内部数值，可以使用体绘制，但我只有显示其切片的办法。当然切片不一定是平面，可以用个曲面来切，将切到的数值以颜色的形式显示出来。下图为用一个半径为40的球体切割函数w = sin(x) + sin(y) + sin(z)，然后把数值转化成灰度，得到的图形：

灰度图看着不爽，加点伪彩颜色瞧瞧：

球看着也不爽，既然z = sin(x) + sin(y)可以生成一个平面地形高度图形，那么就可以用w = sin(x) + sin(y) + sin(z)生成一个星球高度图形：

如果你们还想知道四元及以上的可视化效果，诸如：k = sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(w)，我也没办法啊！四维世界的险恶，我做为三维世界的生物根本看不到，也想不懂。

（三）sin(x²)+sin(y²)=1

话题回到问题中的方程上。先看函数y = sin(x²)，我们可以很容易画出它的图像：

然后将一元变量的函数扩展到二元变量：z = sin(x²)+sin(y²)

可以将该函数以地形高度图的方式进行显示：

然后用平面z = 1横切该地形，就可以得到方程sin(x²)+sin(y²)=1的图像：

不过我更愿意将z转化成一个像素值而不是高度值，下图为将z转化成灰度值生成的一幅黑白图像：

可以将z = 1的区域用红色标识一下：

既然是灰度值，就可以对其做伪彩调色，以生成更漂亮的彩色图像：

再增加一维，函数变为：w = sin(x²) + sin(y²) + sin(z²)。下图为用一个半径为10的球体切割得到的图形：

最后，大家想不想看看方程sin(x²)+sin(y²)+sin(z²)=1的图形效果？图形中含有很多可爱的激凸哟！

当然也有方程sin(x²)+sin(y²)+sin(z²)=0的图形效果，密集恐惧症患者的福利：

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