为什么2sinα×cos2α=sin2α×cos2α？
朋友，你提出的这个问题很有意思，我们来一步一步拆解一下，看看为什么会出现这个等式，以及它是否真的成立。
首先，我们先审视一下等式的两边：
左边： $2 sin alpha imes cos 2alpha$
右边： $sin 2alpha imes cos 2alpha$
乍一看，这两边似乎有点联系，但又不太一样。左边有个 $2 sin alpha$，右边有个 $sin 2alpha$。这让我想到三角函数里面一些很重要的倍角公式。
你还记得 $sin 2alpha$ 的倍角公式吗？它就是：
$sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$
好，我们把这个公式代入到等式的右边来试试。
等式的右边是 $sin 2alpha imes cos 2alpha$。
如果我们把 $sin 2alpha$ 替换成 $2 sin alpha cos alpha$，那么右边就变成了：
$(2 sin alpha cos alpha) imes cos 2alpha$
整理一下，就是：
$2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$
现在，我们对比一下修改后的右边和原来的左边：
左边： $2 sin alpha imes cos 2alpha$
修改后的右边： $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$
你发现什么了吗？这两边 并不相等！
左边是 $2 sin alpha cos 2alpha$，而右边是 $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$。
除非 $cos alpha = 1$ (或者 $cos alpha = 1$，或者 $sin alpha = 0$ 等特殊情况)，否则这两者是不同的。
那么，为什么你觉得会相等呢？
有几种可能性：
1. 可能你记错了公式或者抄写的时候有误。 比如，你是不是想问 $2 sin alpha cos alpha = sin 2alpha$？这个是真的。
2. 可能等式在特定的条件下才成立。 就像我刚才说的，如果 $cos alpha = 1$（即 $alpha = 2kpi$，k为整数），那么左边变成 $2 sin(2kpi) imes cos(4kpi) = 2 imes 0 imes 1 = 0$。右边变成 $sin(4kpi) imes cos(4kpi) = 0 imes 1 = 0$。这时等式成立。但是这只是一个特例，不能说这个等式普遍成立。
3. 或者，你可能想问的是另一个形式的等式。 比如，有时候我们会遇到形如 $A imes B = C imes D$ 的问题，但在这里，左边的 $2sinalpha$ 和右边的 $sin 2alpha$ 之间是可以通过 $cos alpha$ 联系起来的。
让我再详细解释一下，如何才能让它们“看起来”或者“可能”联系起来：
我们回到右边的形式：$sin 2alpha imes cos 2alpha$
这里有一个 $sin 2alpha$。我们知道 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$。
所以，右边可以写成 $(2 sin alpha cos alpha) imes cos 2alpha$。
而你的左边是 $2 sin alpha imes cos 2alpha$。
为了让左边变成右边，我们需要在左边乘以一个 $cos alpha$。
也就是说：
$2 sin alpha imes cos 2alpha quad xrightarrow{ ext{乘以} cos alpha} quad 2 sin alpha cos alpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$
反过来，如果从右边出发，要得到左边，我们需要在右边除以一个 $cos alpha$。
$sin 2alpha imes cos 2alpha quad xrightarrow{ ext{除以} cos alpha} quad frac{sin 2alpha}{cos alpha} imes cos 2alpha = frac{2 sin alpha cos alpha}{cos alpha} imes cos 2alpha = 2 sin alpha imes cos 2alpha$
所以，很明显，原式 $2sinalpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$ 并不普遍成立。
唯一的可能性就是，你在提出这个问题的时候，是不是在特定的语境下？
比如，是不是在某个方程里，有其他条件使得 $cos alpha = 1$ 或者 $cos alpha$ 被约掉了？
我们再换个角度，有没有其他公式可以联系到这两边？
我们有 $sin 2alpha$ 和 $cos 2alpha$。
右边是 $sin 2alpha cos 2alpha$。这让我想起了另一个倍角公式：$sin(2x) = 2 sin x cos x$。
如果我们把 $2alpha$ 看作是 $x$ 的两倍，即 $x = alpha$，那么 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$。
如果把 $sin 2alpha cos 2alpha$ 看作是某个角的正弦的两倍，比如 $frac{1}{2} sin(2 imes 2alpha) = frac{1}{2} sin 4alpha$。
所以，右边也可以写成 $frac{1}{2} sin 4alpha$。
那么，你的问题就变成了：
$2 sin alpha imes cos 2alpha = frac{1}{2} sin 4alpha$
这看起来更复杂了，不太像一个直接能化简的等式。
总结一下：
你提出的等式 $2sinalpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$ 在一般情况下是不成立的。
通过三角函数倍角公式 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$，我们可以看到：
左边是 $2 sin alpha cos 2alpha$
右边是 $(2 sin alpha cos alpha) cos 2alpha$
要让左边等于右边，除非 $cos alpha = 1$ (即 $alpha = 2kpi$)，或者 $sin alpha = 0$ (即 $alpha = kpi$，此时 $cos 2alpha = cos 2kpi = 1$，左边 $2 imes 0 imes 1 = 0$，右边 $sin 2kpi imes cos 2kpi = 0 imes 1 = 0$)。
但这些都是特殊情况。
所以，如果不是我理解错了你的问题，那么这个等式本身就是不成立的。
会不会是题目本来是这样的：
证明 $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha = sin 2alpha cos 2alpha$？
这个是对的，因为 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$，代进去就成立了。
或者 证明 $2 sin alpha cos 2alpha = sin 2alpha$？
这个也不对。
再或者，你是不是想问：
“为什么 $2 sin alpha cos 2alpha$ 和 $sin 2alpha cos 2alpha$ 这两个表达式，都跟 $cos 2alpha$ 有关？”
确实，两个表达式都乘以了 $cos 2alpha$。
“为什么我在某些地方看到了这个等式？”
那很可能是因为那个地方有隐含的条件，或者是一个笔误。
希望我这样详细的解释，能够帮助你厘清这个等式的问题所在。如果你有更具体的上下文或者另一个角度的疑问，随时可以告诉我！
首先，我们先审视一下等式的两边：
左边： $2 sin alpha imes cos 2alpha$
右边： $sin 2alpha imes cos 2alpha$
乍一看，这两边似乎有点联系，但又不太一样。左边有个 $2 sin alpha$，右边有个 $sin 2alpha$。这让我想到三角函数里面一些很重要的倍角公式。
你还记得 $sin 2alpha$ 的倍角公式吗？它就是：
$sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$
好，我们把这个公式代入到等式的右边来试试。
等式的右边是 $sin 2alpha imes cos 2alpha$。
如果我们把 $sin 2alpha$ 替换成 $2 sin alpha cos alpha$，那么右边就变成了：
$(2 sin alpha cos alpha) imes cos 2alpha$
整理一下，就是：
$2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$
现在，我们对比一下修改后的右边和原来的左边：
左边： $2 sin alpha imes cos 2alpha$
修改后的右边： $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$
你发现什么了吗？这两边 并不相等！
左边是 $2 sin alpha cos 2alpha$，而右边是 $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha$。
除非 $cos alpha = 1$ (或者 $cos alpha = 1$，或者 $sin alpha = 0$ 等特殊情况)，否则这两者是不同的。
那么，为什么你觉得会相等呢？
有几种可能性：
1. 可能你记错了公式或者抄写的时候有误。 比如，你是不是想问 $2 sin alpha cos alpha = sin 2alpha$？这个是真的。
2. 可能等式在特定的条件下才成立。 就像我刚才说的，如果 $cos alpha = 1$（即 $alpha = 2kpi$，k为整数），那么左边变成 $2 sin(2kpi) imes cos(4kpi) = 2 imes 0 imes 1 = 0$。右边变成 $sin(4kpi) imes cos(4kpi) = 0 imes 1 = 0$。这时等式成立。但是这只是一个特例，不能说这个等式普遍成立。
3. 或者，你可能想问的是另一个形式的等式。 比如，有时候我们会遇到形如 $A imes B = C imes D$ 的问题，但在这里，左边的 $2sinalpha$ 和右边的 $sin 2alpha$ 之间是可以通过 $cos alpha$ 联系起来的。
让我再详细解释一下，如何才能让它们“看起来”或者“可能”联系起来：
我们回到右边的形式：$sin 2alpha imes cos 2alpha$
这里有一个 $sin 2alpha$。我们知道 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$。
所以，右边可以写成 $(2 sin alpha cos alpha) imes cos 2alpha$。
而你的左边是 $2 sin alpha imes cos 2alpha$。
为了让左边变成右边，我们需要在左边乘以一个 $cos alpha$。
也就是说：
$2 sin alpha imes cos 2alpha quad xrightarrow{ ext{乘以} cos alpha} quad 2 sin alpha cos alpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$
反过来，如果从右边出发，要得到左边，我们需要在右边除以一个 $cos alpha$。
$sin 2alpha imes cos 2alpha quad xrightarrow{ ext{除以} cos alpha} quad frac{sin 2alpha}{cos alpha} imes cos 2alpha = frac{2 sin alpha cos alpha}{cos alpha} imes cos 2alpha = 2 sin alpha imes cos 2alpha$
所以，很明显，原式 $2sinalpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$ 并不普遍成立。
唯一的可能性就是，你在提出这个问题的时候，是不是在特定的语境下？
比如，是不是在某个方程里，有其他条件使得 $cos alpha = 1$ 或者 $cos alpha$ 被约掉了？
我们再换个角度，有没有其他公式可以联系到这两边？
我们有 $sin 2alpha$ 和 $cos 2alpha$。
右边是 $sin 2alpha cos 2alpha$。这让我想起了另一个倍角公式：$sin(2x) = 2 sin x cos x$。
如果我们把 $2alpha$ 看作是 $x$ 的两倍，即 $x = alpha$，那么 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$。
如果把 $sin 2alpha cos 2alpha$ 看作是某个角的正弦的两倍，比如 $frac{1}{2} sin(2 imes 2alpha) = frac{1}{2} sin 4alpha$。
所以，右边也可以写成 $frac{1}{2} sin 4alpha$。
那么，你的问题就变成了：
$2 sin alpha imes cos 2alpha = frac{1}{2} sin 4alpha$
这看起来更复杂了，不太像一个直接能化简的等式。
总结一下：
你提出的等式 $2sinalpha imes cos 2alpha = sin 2alpha imes cos 2alpha$ 在一般情况下是不成立的。
通过三角函数倍角公式 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$，我们可以看到：
左边是 $2 sin alpha cos 2alpha$
右边是 $(2 sin alpha cos alpha) cos 2alpha$
要让左边等于右边，除非 $cos alpha = 1$ (即 $alpha = 2kpi$)，或者 $sin alpha = 0$ (即 $alpha = kpi$，此时 $cos 2alpha = cos 2kpi = 1$，左边 $2 imes 0 imes 1 = 0$，右边 $sin 2kpi imes cos 2kpi = 0 imes 1 = 0$)。
但这些都是特殊情况。
所以，如果不是我理解错了你的问题，那么这个等式本身就是不成立的。
会不会是题目本来是这样的：
证明 $2 sin alpha cos alpha cos 2alpha = sin 2alpha cos 2alpha$？
这个是对的，因为 $sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha$，代进去就成立了。
或者 证明 $2 sin alpha cos 2alpha = sin 2alpha$？
这个也不对。
再或者，你是不是想问：
“为什么 $2 sin alpha cos 2alpha$ 和 $sin 2alpha cos 2alpha$ 这两个表达式，都跟 $cos 2alpha$ 有关？”
确实，两个表达式都乘以了 $cos 2alpha$。
“为什么我在某些地方看到了这个等式？”
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网友意见
很明显就不是一个恒等式
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