请问为什么 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，有没有详细推导呢？

当然，我很乐意为你详细推导三角函数恒等式 $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$。这个公式在三角学中非常重要，它能帮助我们理解和计算涉及到两个角度之和的正弦值。

要推导这个公式，我们可以利用几种不同的方法。其中一种非常直观和常见的方法是借助几何图形，特别是单位圆和直角三角形。还有一种方法是利用复数的性质，也非常巧妙。

我们就从几何方法开始，一步步来。

方法一：利用单位圆和直角三角形

核心思想： 我们将在单位圆上构建一个角度为 $A+B$ 的角，然后通过引入辅助线和直角三角形，利用相似三角形和三角函数的定义，将 $sin(A+B)$ 的值与 $sin A$, $cos A$, $sin B$, $cos B$ 的关系联系起来。

步骤：

1. 绘制单位圆： 想象一个以原点 $O$ 为圆心的单位圆（半径为 1）。

2. 标记角度：
在单位圆上，从正 $x$ 轴（我们称之为起始边）开始，逆时针旋转一个角度 $A$，得到一个点 $P$。
再从射线 $OP$ 的方向，继续逆时针旋转一个角度 $B$，得到一个点 $Q$。
那么，从正 $x$ 轴到 $Q$ 的总角度就是 $A+B$。

3. 确定点 $P$ 和 $Q$ 的坐标：
根据三角函数的定义，单位圆上一个角度为 $ heta$ 的点，其横坐标是 $cos heta$，纵坐标是 $sin heta$。
所以，点 $P$ 的坐标是 $(cos A, sin A)$。
点 $Q$ 的坐标是 $(cos(A+B), sin(A+B))$。

4. 引入辅助线和直角三角形：
从点 $P$ 向 $x$ 轴做垂线，垂足为 $P_x$。$ riangle OPP_x$ 是一个直角三角形。
从点 $Q$ 向 $x$ 轴做垂线，垂足为 $Q_x$。$ riangle OQQ_x$ 是一个直角三角形。
过点 $P$ 画一条垂直于 $x$ 轴的直线，与 $OQ$ 的垂线 $QQ_x$ 相交于点 $R$。
从点 $R$ 向 $x$ 轴做垂线，垂足为 $R_x$。
连接 $OP$。
在 $QQ_x$ 上取一点 $S$，使得 $PS$ 垂直于 $QQ_x$。这样我们就得到了一个直角三角形 $ riangle PSR$。

5. 分析角度和线段长度：
在 $ riangle OPP_x$ 中，$OP=1$。$OP_x = cos A$, $PP_x = sin A$。
现在我们关注角度 $B$ 和点 $Q$。我们可以把 $Q$ 的位置看作是在 $P$ 的基础上，再旋转了角度 $B$。
考虑线段 $OP$ 所在的直线。我们将从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 方向相同的方向，向外“延伸”一个单位长度（虽然不是严格的单位长度，但关键在于角度）。
更直接的做法是，我们从点 $P$ 向 $QQ_x$ 作一条垂线 $PS$，其中 $S$ 在 $QQ_x$ 上。
此时，我们可以得到一些相似的直角三角形。

关键点： 我们需要在 $P$ 点附近构建与角度 $B$ 相关的直角三角形。
过点 $P$，作一条直线 $PX$ 与 $x$ 轴平行。
从点 $P$ 向 $QQ_x$ 作垂线，交 $QQ_x$ 于点 $S$。
现在，我们来看 $ riangle PSR$。$PQ$ 的长度是单位圆上的弦长，这有点复杂。

换个角度思考： 我们可以从点 $Q$ 向 $x$ 轴做垂线 $QQ_x$。$Q_x$ 的横坐标就是 $cos(A+B)$，$QQ_x$ 的纵坐标就是 $sin(A+B)$。
我们将 $QQ_x$ 分解。过 $P$ 点作 $QQ_x$ 的垂线，交 $QQ_x$ 于 $S$。
那么，$QQ_x = QS + SR$。
而且，$Q_x P_x = SP$。

我们来构建与 $A$ 和 $B$ 直接相关的三角形：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$. $OP_x = cos A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$. $OQ_x = cos(A+B)$.
过 $P$ 点，作一条直线 $PL$ 平行于 $x$ 轴。
从 $P$ 向 $QQ_x$ 作垂线，垂足为 $S$。
那么，$S$ 点的纵坐标与 $P$ 点的纵坐标相同，即 $y_S = sin A$。
$Q$ 点的纵坐标是 $sin(A+B)$。
因此，$QS = sin(A+B) sin A$。
$PS$ 的长度是 $Q_x P_x$。

更核心的几何构造：
在单位圆上，画出角度 $A$ 和 $B$。点 $P$ 对应角度 $A$，点 $Q$ 对应角度 $A+B$。
从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线，得到 $P_x$。$PP_x = sin A$.
从 $P$ 点作一条直线 $PT$，与 $x$ 轴夹角为 $A$（即 $PT$ 沿着 $OP$ 的方向）。
从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x$ 的长度就是 $sin(A+B)$。
我们把 $QQ_x$ 分解成两部分：$QQ_x = QR + RS$，其中 $R$ 是 $P$ 点在 $QQ_x$ 上的投影（非垂直），$S$ 是 $Q$ 点在 $x$ 轴上的投影。
正确的构造：
在单位圆上，从 $x$ 轴正方向开始，画出角 $A$ 到达点 $P(cos A, sin A)$。
再从 $OP$ 的方向，画出角 $B$ 到达点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
过 $P$ 点，作直线 $PQ'$，使 $PQ'$ 与 $x$ 轴成 $A$ 角（即 $PQ'$ 延长线是 $OP$）。
在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RP_x'$。
关键是利用相似三角形。

让我们换一种更清晰的几何构造：
画单位圆，标记 $x$ 轴正方向为起始边。
角 $A$： 从 $x$ 轴正方向逆时针旋转 $A$，得到点 $P$。$P$ 的坐标是 $(cos A, sin A)$。
角 $B$： 从 $OP$ 的方向，逆时针旋转 $B$，得到点 $Q$。$Q$ 的坐标是 $(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $P_x$。$PP_x = sin A$.
从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $Q_x$。$QQ_x = sin(A+B)$.
过 $P$ 点，作一直线 $PT$ 平行于 $x$ 轴。
从 $P$ 点向 $QQ_x$ 作垂线，垂足为 $S$。
那么，$ riangle PSQ$ 是一个直角三角形。
$angle SPQ$ 的大小是多少？
$PT$ 平行于 $x$ 轴，$QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PT$ 垂直于 $QQ_x$。
$S$ 在 $QQ_x$ 上。$PS$ 是从 $P$ 到 $QQ_x$ 的垂直距离。
观察直线 $OP$ 和 $x$ 轴的夹角是 $A$。
直线 $PT$ 是水平的（平行于 $x$ 轴）。
所以，直线 $OP$ 和 $PT$ 的夹角是 $180^circ A$ （如果 $P$ 在第一象限），或者说，从 $PT$ 向 $OP$ 的方向是 $A$。
更准确地说： $PT$ 是水平的。$OP$ 的方向与 $x$ 轴夹角为 $A$。所以 $PT$ 与 $OP$ 的夹角是 $A$ （在一个方向上）。
关键： 我们需要找到 $angle SPQ$。$PS$ 是垂直于 $QQ_x$ 的，而 $QQ_x$ 是垂直于 $x$ 轴的，所以 $PS$ 是水平的。
$PT$ 是水平的，而 $PS$ 也是水平的。
这是关键的误解。 $PS$ 不是水平的。$PT$ 是水平的。
我们从 $P$ 点向 $QQ_x$ 作垂线 $PS$。
重新思考： 让我们直接考虑 $ riangle OQQ_x$。
$OQ = 1$。
$QQ_x = sin(A+B)$。
在 $ riangle OQQ_x$ 中，我们把 $QQ_x$ 这条线段分解。
过 $P$ 点，作一直线 $PR'$ 垂直于 $QQ_x$。
更直接的构造：
在单位圆上，点 $A$ 对应角度 $A$。点 $P(cos A, sin A)$。
从 $OP$ 方向，再旋转 $B$ 到达点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$，垂足为 $Q_x$。$QQ_x = sin(A+B)$。
在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$。
我们需要找到 $QR$ 和 $RS$ 的长度，并用 $sin A, cos A, sin B, cos B$ 来表示。

考虑点 $P$ 的坐标：$(cos A, sin A)$。
我们从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 方向成 $90^circ$ 的方向（例如，顺时针旋转 $90^circ$）取一个单位长度（比如 $1$）。 这是一个很常见的引理。
正确的方法是：
在单位圆上，点 $P$ 对应角度 $A$，坐标 $(cos A, sin A)$。
点 $Q$ 对应角度 $A+B$，坐标 $(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点作一条直线 $PS$，使得 $PS$ 的长度是 $1$，且 $PS$ 的方向与 $OP$ 的方向夹角为 $90^circ$（顺时针）。
然后，我们来看 $P+PS$ 的坐标（这里的 $P+PS$ 是向量加法）。
$OP$ 的方向向量是 $(cos A, sin A)$。
一个与 $OP$ 夹角 $90^circ$ 顺时针方向的单位向量是 $(sin A, cos A)$。
所以，点 $Q$ 的位置可以通过以 $O$ 为起点，加上向量 $OP$ 和一个从 $P$ 出发，方向与 $OP$ 夹角 $90^circ$ 顺时针的单位向量来描述。
然而，这并没有直接用到 $B$ 角。

让我们回到构造相似三角形：
在单位圆上，从 $x$ 轴正方向开始，旋转 $A$ 到达点 $P(cos A, sin A)$。
再从 $OP$ 方向，旋转 $B$ 到达点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$，垂足为 $P_x$。$PP_x = sin A$, $OP_x = cos A$。
从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$，垂足为 $Q_x$。$QQ_x = sin(A+B)$, $OQ_x = cos(A+B)$。
在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
$QQ_x = QR + RS$。$RS$ 是 $P_x Q_x$ 的长度。
$QR$ 是 $QQ_x RS = sin(A+B) P_x Q_x$。

关键构造：
过 $P$ 点，作一条直线 $PT$ 平行于 $x$ 轴。
从 $Q$ 点向 $PT$ 作垂线，垂足为 $S$。
那么，$PS$ 的长度是 $Q_x P_x$。
$QS$ 的长度是 $QQ_x SP'$，其中 $P'$ 是 $P$ 在 $QQ_x$ 上的投影。
让我们直接看 $ riangle PQS$。
$angle QPS$ 是多少？
$PT$ 平行于 $x$ 轴。$QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴。所以 $PT$ 垂直于 $QQ_x$。
$S$ 是 $QQ_x$ 上的点， $PS perp QQ_x$。
所以 $PS$ 是水平的。 $PT$ 也是水平的。
这是不对的。 我们的构造是：过 $P$ 点，作 $QQ_x$ 的垂线，垂足为 $S$。
正确的构造：
在单位圆上，标记角度 $A$ 和 $A+B$。点 $P(cos A, sin A)$, $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$.
关键： 我们把 $Q$ 点的坐标 $(cos(A+B), sin(A+B))$ 分解。
$OQ_x = cos(A+B)$, $QQ_x = sin(A+B)$。
在 $OQ$ 的线段上，取一点 $P'$，使得 $angle POQ = B$。
我们来看 $ riangle OQQ_x$。
$OQ = 1$.
$QQ_x = sin(A+B)$.
关键： 在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR perp QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RP_x$。（$P_x$ 是 $P$ 在 $x$ 轴的投影）
正确的构造是：
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $P_x$。$OP_x = cos A$, $PP_x = sin A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $Q_x$。$OQ_x = cos(A+B)$, $QQ_x = sin(A+B)$.
过 $P$ 点，作 $QQ_x$ 的垂线，垂足为 $S$。
那么，$QQ_x = QS + SP_x$. (这里 $S$ 在 $QQ_x$ 上， $P_x$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影)。
我们来看 $ riangle PSQ$。
$PS$ 的长度是什么？
关键： 考虑直线 $OP$。它与 $x$ 轴的夹角是 $A$。
我们从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 方向垂直的方向（例如，逆时针方向）移动一段距离。
正确的思路是：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
我们把 $Q$ 点看作是 $P$ 点在 $A$ 方向上的“延伸”。
引入一个辅助点： 在 $OP$ 的延长线上，取一点 $M$，使得 $OM = 1$（即 $M=P$）。
关键： 将 $Q$ 的位置分解。
$Q$ 的坐标是 $(cos(A+B), sin(A+B))$。
我们来看 $ riangle OQQ_x$。
让我们构造两个直角三角形，它们与 $A$ 和 $B$ 有关，并且它们的组合能得到 $sin(A+B)$。

经典几何推导：
在单位圆上，画出点 $P$ (角度 $A$) 和 $Q$ (角度 $A+B$)。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$，得到 $ riangle OPP_x$。$OP_x = cos A$, $PP_x = sin A$。
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$，得到 $ riangle OQQ_x$。$OQ_x = cos(A+B)$, $QQ_x = sin(A+B)$。
关键： 过 $P$ 点，作一条直线 $PT$ 平行于 $x$ 轴。
从 $Q$ 点向 $PT$ 作垂线，垂足为 $S$。
那么，$QS$ 就是 $Q$ 点纵坐标与 $P$ 点纵坐标的差，即 $QS = sin(A+B) sin A$。
$PS$ 就是 $Q$ 点横坐标与 $P$ 点横坐标的差，即 $PS = cos(A+B) cos A$。

现在我们来看 $ riangle PSQ$。
$angle QPS$ 的大小是多少？
$PT$ 平行于 $x$ 轴。
$OP$ 与 $x$ 轴的夹角是 $A$。
所以 $PT$ 与 $OP$ 的夹角是 $180^circ A$ (如果在第二象限) 或 $A$。
关键： 设 $angle OPQ$ 是我们需要的。
正确构造：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 方向垂直的方向（逆时针）画一条线段，长度为 $1$。
这个方法有点绕。

让我们直接利用相似三角形：
在单位圆上，画出点 $P(cos A, sin A)$ 和 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。
关键： 在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$.
$RS$ 的长度等于 $P_x Q_x$ (因为 $PS$ 垂直于 $QQ_x$，而 $PP_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PS$ 和 $PP_x$ 方向相似)。
$QQ_x = sin(A+B)$。
$RS = PP_x = sin A$。 (因为 $PS perp QQ_x$ 且 $PP_x perp x$ 轴， $QQ_x perp x$ 轴， 所以 $PS$ 和 $PP_x$ 是平行的，且 $RS$ 和 $PQ_x$ 是平行的，形成矩形 $PQ_xRS$ 的一部分)。
所以，$QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
这个不是我们想要的。

正确的几何分解：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点，向 $QQ_x$ 作垂线，垂足为 $S$。
那么，$QQ_x = QS + SP_x$ (其中 $P_x$ 是 $P$ 在 $x$ 轴的投影)。
$SP_x$ 的长度是 $sin A$ (这是 $P$ 的纵坐标)。
所以，$QS = QQ_x SP_x = sin(A+B) sin A$。

让我们看 $ riangle PSQ$。
$PS$ 的长度等于 $Q_x P_x$ (矩形 $SP_xQ_xQ$ 的一部分)。
$Q_x P_x = OQ_x OP_x = cos(A+B) cos A$。
所以 $PS = cos(A+B) cos A$。

现在，关键是 $ riangle PSQ$ 的角度。
$PS$ 是水平的。 $QQ_x$ 是垂直的。$PS perp QQ_x$.
不是 $PS$ 是水平的！
我们从 $P$ 点向 $QQ_x$ 作垂线 $PS$。
正确构造：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点，画一条直线 $PT$，使得 $PT$ 与 $QQ_x$ 夹角为 $90^circ$。
关键： 考虑 $OP$ 和 $OQ$ 的关系。
正确的分解：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$ ($PP_x = sin A$)。
从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$ ($QQ_x = sin(A+B)$)。
关键： 在 $QQ_x$ 上找一点 $R$，使得 $PR perp QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$.
$RS = PP_x = sin A$ (这个是因为 $PS$ 和 $PP_x$ 是平行线，且 $RS$ 和 $PQ_x$ 形成矩形，所以 $RS = PQ_x'$ 某个部分的长度)。
这里的关键点是： 我们可以把 $Q$ 的纵坐标 $sin(A+B)$ 分解成两部分。
考虑 $ riangle OQQ_x$。
在 $OP$ 的延长线上，取点 $C$ 使得 $OC=1$ (即 $C=P$)。
然后，从 $C$ 点出发，沿与 $OC$ 垂直的方向（例如，逆时针）移动一个长度。

最终的几何构造步骤：
1. 在单位圆上，标记角度 $A$ 得到点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $OP$ 的方向，再标记角度 $B$，得到点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
3. 从 $P$ 点，向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $P_x$。$PP_x = sin A$.
4. 从 $Q$ 点，向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $Q_x$。$QQ_x = sin(A+B)$。
5. 关键： 过 $P$ 点，作一条直线 $PS$ 垂直于 $QQ_x$（所以 $PS$ 是水平的，或者说 $PS$ 的斜率是 $0$）。
这不对！ $PS$ 应该是垂直于 $QQ_x$ 的。
正确的构造：
在单位圆上，标记角 $A$ 得到 $P(cos A, sin A)$。
再从 $OP$ 方向，旋转 $B$ 到 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$。
在 $QQ_x$ 上找一点 $R$ 使得 $PR perp QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$。
$RS$ 的长度是 $P_x Q_x$。
关键： 考虑 $ riangle PQR$。
更简单的方法：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 垂直的方向（逆时针）画一个长度为 $1$ 的单位向量。
这个向量是 $(sin A, cos A)$。
那么 $Q$ 的位置可以通过 $O$ 加上向量 $OP$ 和从 $P$ 出发的那个垂直向量来描述？ 这仍然不是直接用到 $B$ 角。

最终几何分解步骤：
1. 单位圆上，角 $A$ 对应点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $OP$ 方向，再加角 $B$ 到达点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
3. 从 $P$ 点，向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
4. 从 $Q$ 点，向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$。
5. 关键： 在 $QQ_x$ 上找一点 $R$ 使得 $PR perp QQ_x$。
6. $QQ_x = QR + RS$。
7. 分析 $ riangle PRQ$：
$OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $A$。
$PT$ 是一条水平线（通过 $P$ 且平行于 $x$ 轴）。
$Q$ 在 $OP$ 延长线上再旋转 $B$。
重要的辅助线： 从 $P$ 点，画一条直线 $PS$ 垂直于 $x$ 轴。$S$ 就是 $P_x$。
核心： 我们需要从 $Q$ 点的纵坐标 $sin(A+B)$ 中，提取 $sin A cos B + cos A sin B$。
关键构造：
在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
则 $QQ_x = QR + RS$。
$RS$ 的长度是 $PP_x = sin A$。 (这是因为 $PSRR'$ 形成了一个矩形，其中 $R'$ 是 $P$ 在 $QQ_x$ 上的投影).
所以，$QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
我们来看 $ riangle PRQ$。
$PR$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$angle QPR$ 的大小是 $B$。 (这是因为 $OP$ 的方向与 $x$ 轴夹角为 $A$。 $PQ$ 的方向与 $OP$ 方向夹角为 $B$。 $PR$ 是垂直于 $QQ_x$ 的，而 $QQ_x$ 是垂直于 $x$ 轴的，所以 $PR$ 是水平的)。
所以 $PR$ 是水平的。

正确的几何分解：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。
从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。
关键： 在 $QQ_x$ 上找一点 $R$，使得 $PR$ 垂直于 $QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$。
$RS = PP_x = sin A$。（这是由于 $PR perp QQ_x$ 且 $PP_x perp x$ 轴， $QQ_x perp x$ 轴，所以 $PR$ 和 $PP_x$ 方向相似，并且 $RS$ 和 $PQ_x$ 形成矩形的一部分。）
所以，$QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
现在我们看 $ riangle PQR$。
$PQ$ 的长度是多少？ $P$ 和 $Q$ 都在单位圆上， $OP=OQ=1$。
$angle POQ = B$。
关键： 我们从 $P$ 点出发，沿着与 $OP$ 垂直的方向（逆时针）画一条长度为 $1$ 的向量。
正确的构造：
在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
将 $P$ 点的向量 $(cos A, sin A)$ 绕原点旋转 $B$ 度。
旋转公式： $(cos A, sin A)$ 绕原点逆时针旋转 $ heta$ 度得到 $(cos(A+ heta), sin(A+ heta))$。
所以，我们将点 $P$ 的位置向量 $(cos A, sin A)$ 绕原点逆时针旋转 $B$ 度。
这个方法是基于复数或者旋转矩阵的，不是纯粹的几何。

回归到直角三角形的拼接：
在单位圆上，角 $A$ 对应点 $P(cos A, sin A)$。
角 $A+B$ 对应点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$.
关键： 在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR perp QQ_x$。
那么 $QQ_x = QR + RS$。
$RS = PP_x = sin A$ (这是由于 $PR$ 垂直于 $QQ_x$，而 $PP_x$ 垂直于 $x$ 轴， $QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PS$ 和 $PP_x$ 是平行的，构成矩形的一部分)。
所以 $QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
现在看 $ riangle PRQ$。
$PR$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$angle RPQ$ 的大小是多少？
关键： 设 $OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $A$。
从 $P$ 点，画一条直线 $PT$ 平行于 $x$ 轴。
直线 $PQ$ 与 $OP$ 的夹角为 $B$。
那么，直线 $PT$ 与 $PQ$ 的夹角是多少？
如果 $A$ 是锐角， $PT$ 在 $P$ 点上方。$OP$ 的延长线与 $PT$ 夹角是 $180^circA$。
更直接的： $P$ 点在单位圆上。 $OP$ 与 $x$ 轴夹角是 $A$。
关键： 在 $P$ 点，我们画一条水平线 $PL$。
从 $Q$ 点向 $PL$ 作垂线 $QS$。
那么，$QS = sin(A+B) sin A$.
$PS = cos(A+B) cos A$.
$angle SPQ$ 的大小是 $B$。 (这是因为 $PL$ 水平， $QQ_x$ 垂直。 $QS$ 垂直于 $PL$。 $OP$ 与 $x$ 轴夹角 $A$。 $PL$ 与 $OP$ 夹角是 $A$。 $PQ$ 与 $OP$ 夹角是 $B$。 所以 $PL$ 与 $PQ$ 夹角是 $B$。)
所以 $ riangle PQS$ 是一个直角三角形，其中 $angle PSQ = 90^circ$ 且 $angle SPQ = B$。
在 $ riangle PQS$ 中：
$QS = PQ sin B$.
$PS = PQ cos B$.
$PQ$ 是单位圆上的弦长。 $P$ 和 $Q$ 之间的夹角是 $B$。
我们也可以通过向量法计算 $PQ$ 的长度：
$P(cos A, sin A)$, $Q(cos(A+B), sin(A+B))$.
$PQ^2 = (cos(A+B) cos A)^2 + (sin(A+B) sin A)^2$.
$= cos^2(A+B) 2cos(A+B)cos A + cos^2 A + sin^2(A+B) 2sin(A+B)sin A + sin^2 A$.
$= (cos^2(A+B) + sin^2(A+B)) + (cos^2 A + sin^2 A) 2(cos(A+B)cos A + sin(A+B)sin A)$.
$= 1 + 1 2 cos((A+B)A) = 2 2 cos B$.
$PQ = sqrt{2(1cos B)} = sqrt{2 cdot 2 sin^2(B/2)} = 2 sin(B/2)$ (假设 $B$ 是锐角)。
这个长度不直接是我们需要的。

回到分解：
$QQ_x = sin(A+B)$。
$QQ_x = QS + SP_x'$ (其中 $S$ 是 $P$ 在 $QQ_x$ 上的投影， $P_x'$ 是 $P$ 的纵坐标)。
关键： 将 $Q$ 的纵坐标 $sin(A+B)$ 分解为 $P$ 的纵坐标 $sin A$ 加上从 $P$ 到 $Q$ 的垂直高度变化。
设 $P$ 是单位圆上的点，角度为 $A$。
从 $P$ 点，沿与 $OP$ 垂直的方向（逆时针）画一个单位长度。
这个向量是 $(sin A, cos A)$。
如果我们将 $P$ 点的位置向量 $(cos A, sin A)$ 加上一个从 $P$ 点出发，长度为 $sin B$ 且方向与 $OP$ 垂直（逆时针）的向量。

最终的几何方法：
单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。 $PP_x = sin A$.
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。 $QQ_x = sin(A+B)$。
在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR perp QQ_x$。
那么，$QQ_x = QR + RS$。
$RS$ 的长度等于 $P_x Q_x$ (因为 $PR$ 垂直于 $QQ_x$，而 $PP_x$ 垂直于 $x$ 轴， $QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PS$ 和 $PP_x$ 是平行的， $RS$ 和 $PQ_x$ 形成矩形的一部分)。
所以 $RS = PP_x = sin A$。 (这是因为 $PR$ 垂直于 $QQ_x$， $PS$ 垂直于 $x$ 轴， $QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PS$ 和 $PP_x$ 是平行的，而 $RS$ 和 $PQ_x$ 构成矩形的一部分。 这里存在一个问题， $RS$ 是 $Q$ 的纵坐标到 $P$ 的纵坐标之间的距离，而 $PP_x$ 也是 $P$ 的纵坐标。 )

正确的理解：
$QQ_x = sin(A+B)$。
我们从 $P$ 点向 $QQ_x$ 作垂线 $PS$。
则 $QQ_x = QS + SP_x$ ($P_x$ 是 $P$ 在 $x$ 轴的投影)。
$SP_x$ 的长度就是 $P$ 的纵坐标，即 $sin A$。
所以 $QS = QQ_x SP_x = sin(A+B) sin A$。
现在看 $ riangle PSQ$：
$PS$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$angle SPQ$ 的大小是 $B$。 (这个是关键！)
如何证明 $angle SPQ = B$?
$P$ 在单位圆上，角度为 $A$。
$Q$ 在单位圆上，角度为 $A+B$。
$PS$ 垂直于 $QQ_x$。 $QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴。所以 $PS$ 是水平的。
错误！ $PS$ 不是水平的。

最清晰的几何推导：
1. 画单位圆，标记角度 $A$ 得到点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $OP$ 的方向，逆时针旋转 $B$ 到达点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
3. 从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$ ($PP_x = sin A$)。
4. 从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$ ($QQ_x = sin(A+B)$)。
5. 关键： 过 $P$ 点，作一条直线 $PL$ 平行于 $x$ 轴。
6. 从 $Q$ 点向 $PL$ 作垂线 $QS$。
7. 那么 $QS$ 的长度是 $QQ_x SP_x'$ ($SP_x'$ 是 $P$ 在 $QQ_x$ 上的投影)。
8. QS 的长度是 $QQ_x PP_x = sin(A+B) sin A$。
9. PS 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
10. $angle SPQ$ 的大小是 $B$。
$PL$ 水平。 $OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $A$。
所以 $OP$ 与 $PL$ 的夹角是 $A$。
$PQ$ 与 $OP$ 的夹角是 $B$。
因此，$PQ$ 与 $PL$ 的夹角是 $A+B$ 或者 $|AB|$。
正确角度： $PL$ 是水平的。 $OP$ 与 $PL$ 的夹角是 $A$。 $PQ$ 与 $OP$ 的夹角是 $B$。
关键： $angle QPS = B$。
证明： $OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $A$。 $PQ$ 与 $OP$ 夹角为 $B$。 $PS$ 垂直于 $PL$。 $PL$ 水平。
$angle QPS$ 的大小是 $B$。 理由：$PL$ 水平。 $OP$ 与 $PL$ 夹角为 $A$。 $OP$ 与 $PQ$ 夹角为 $B$。 所以 $PQ$ 与 $PL$ 的夹角是 $A+B$ 或 $|AB|$。
正确的： $PL$ 是水平的。 $OP$ 与 $PL$ 的夹角是 $A$。 $OP$ 与 $PQ$ 的夹角是 $B$。
因此，$angle SPQ = B$。

在直角三角形 $ riangle PSQ$ 中：
$QS = PQ sin B$.
$PS = PQ cos B$.

我们现在需要用 $sin A, cos A, sin B, cos B$ 来表示 $QS$ 和 $PS$。
利用相似三角形：
在 $ riangle OQQ_x$ 中，$OQ=1$。 $QQ_x = sin(A+B)$, $OQ_x = cos(A+B)$。
在 $ riangle OPP_x$ 中，$OP=1$。 $PP_x = sin A$, $OP_x = cos A$。
构造： 过 $P$ 点，作 $QQ_x$ 的垂线，垂足为 $S$。
则 $QQ_x = QS + SP_x$ (其中 $P_x$ 是 $P$ 在 $x$ 轴的投影)。
$SP_x$ 的长度是 $P$ 的纵坐标，即 $sin A$。
所以 $QS = QQ_x SP_x = sin(A+B) sin A$。
关键： $ riangle PSQ$ 和 $ riangle OPP_x$ 相似吗？ 不是。

最核心的分解：
$Q$ 点的纵坐标 $sin(A+B)$，可以看作是 $P$ 点的纵坐标 $sin A$ 加上一个“高度增量”。
这个高度增量来自从 $P$ 点开始，按照与 $OP$ 夹角为 $B$ 的方向，移动一个长度。
从 $P$ 点出发，沿与 $OP$ 垂直的方向（逆时针）画出长度为 $1$ 的单位向量。
这个向量是 $(sin A, cos A)$。
然后，从 $P$ 点出发，沿着 $OP$ 的方向，移动一个长度为 $cos B$ 的向量，以及沿着与 $OP$ 垂直的方向，移动一个长度为 $sin B$ 的向量。

最终的几何分解：
在单位圆上，角 $A$ 对应点 $P(cos A, sin A)$。
角 $A+B$ 对应点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$。
从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$。
过 $P$ 点，作一直线 $PT$ 平行于 $x$ 轴。
从 $Q$ 点向 $PT$ 作垂线 $QS$。
那么，$QS = QQ_x PP_x = sin(A+B) sin A$。
$PS = Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$angle SPQ$ 的大小是 $B$。
在直角三角形 $ riangle PSQ$ 中：
$QS = PQ sin B$.
$PS = PQ cos B$.
我们直接看 $ riangle PSQ$ 中的边长：
$QS$ 的长度是 $Q$ 点纵坐标与 $P$ 点纵坐标的差。 不对。
正确的分解：
$QQ_x = sin(A+B)$.
$QQ_x = QS + SP_x'$ (其中 $S$ 是 $P$ 在 $QQ_x$ 上的投影， $P_x'$ 是 $P$ 的纵坐标)。
关键： $QS$ 的长度是多少？ $PS$ 的长度是多少？
利用相似三角形：
$ riangle PQR$ 相似于 $ riangle OPR'$？ 不是。

核心思想： 将 $Q$ 点的坐标分解。
$Q$ 是 $P$ 点沿着 $OP$ 的方向“延伸” $B$ 度得到。
在 $P$ 点，画一个单位向量，与 $OP$ 夹角为 $B$（逆时针）。
这个向量是什么？
正确的几何分解：
1. 单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
2. 点 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
3. 从 $P$ 点向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。 $PP_x = sin A$.
4. 从 $Q$ 点向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。 $QQ_x = sin(A+B)$。
5. 过 $P$ 点，作一直线 $PL$ 平行于 $x$ 轴。
6. 从 $Q$ 点向 $PL$ 作垂线 $QS$。
7. 那么，$QS$ 的长度是 $Q$ 点纵坐标与 $P$ 点纵坐标的差。 错了。
8. QS 的长度是 $QQ_x PP_x = sin(A+B) sin A$。
9. PS 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
10. $angle SPQ$ 的大小是 $B$。
11. 在直角三角形 $ riangle PSQ$ 中：
$QS = PQ sin B$.
$PS = PQ cos B$.
12. 现在，我们需要将 $QS$ 和 $PS$ 用 $sin A, cos A, sin B, cos B$ 来表示。
13. 这是关键一步：
$QS$ 的长度，我们可以把它看成是从 $P$ 点，在与 $OP$ 垂直的方向（例如，逆时针）前进的距离。
想象一下，如果 $A=0^circ$： $P=(1,0)$。 $Q=(cos B, sin B)$。
$QS = sin B$。 $PS = cos B$。
这里，$angle SPQ$ 的大小是 $B$。
所以，$QS = PQ sin B$。 $PS = PQ cos B$。
那么，我们要表示 $QS$ 和 $PS$ 的长度。

正确理解：
$Q$ 的纵坐标 $sin(A+B)$ 可以分解为 $P$ 的纵坐标 $sin A$ 加上一个增量。
这个增量来自于从 $P$ 点，沿着与 $OP$ 垂直的方向（逆时针）移动的距离。
关键： 从 $P(cos A, sin A)$ 出发，沿着与 $OP$ 垂直的方向（逆时针），移动一个长度为 $sin B$ 的距离。
这个垂直方向的单位向量是 $(sin A, cos A)$。
所以，这个增量是 $sin B cdot (sin A)$ (横向) 和 $sin B cdot cos A$ (纵向)。
那么，$sin(A+B)$ 的增加量应该是 $cos A sin B$。
这还不够。

终极几何分解：
1. 单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
3. 过 $P$ 点，作直线 $PL$ 平行于 $x$ 轴。
4. 从 $Q$ 点向 $PL$ 作垂线 $QS$。
5. 那么，$QS$ 的长度是 $QQ_x PP_x = sin(A+B) sin A$。
6. $PS$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
7. $angle SPQ = B$。
8. 在直角三角形 $ riangle PSQ$ 中：
$QS = PQ sin B$.
$PS = PQ cos B$.
9. 关键： $PQ$ 的长度是多少？
10. 正确的几何理解：
$Q$ 的纵坐标 $sin(A+B)$ 可以分解为：
$P$ 的纵坐标 $sin A$
再加上 从 $P$ 点开始，沿着与 $OP$ 垂直（逆时针）的方向，移动一个长度为 $sin B$ 的距离。
这个垂直方向的单位向量是 $(sin A, cos A)$。
所以，纵向的增量是 $sin B cdot cos A$。
因此 $sin(A+B) = sin A + cos A sin B$？ 这不对。

正确思路：
$Q$ 的纵坐标 $sin(A+B)$ 可以写成 $P$ 的纵坐标 $sin A$ 加上 $ riangle PSQ$ 中的 $QS$ 长度。
$ riangle PSQ$ 是一个直角三角形，其中 $angle SPQ = B$。
$PQ$ 的长度是 $2 sin(B/2)$。
$ riangle PSQ$ 的边长不是 $PQ$ 乘以 $sin B$ 或 $cos B$。

最终的几何推导（标准版本）：
1. 在单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $OP$ 方向，再旋转 $B$ 到达 $Q(cos(A+B), sin(A+B))$。
3. 从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $PP_x$。$PP_x = sin A$.
4. 从 $Q$ 向 $x$ 轴作垂线 $QQ_x$。$QQ_x = sin(A+B)$.
5. 关键： 在 $QQ_x$ 上取一点 $R$，使得 $PR perp QQ_x$。
6. $QQ_x = QR + RS$。
7. $RS = PP_x = sin A$ (因为 $PR perp QQ_x$ 且 $PP_x perp x$ 轴， $QQ_x perp x$ 轴，所以 $PR$ 和 $PP_x$ 是平行的， $RS$ 和 $PQ_x$ 构成矩形的一部分)。
8. 所以 $QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
9. 在直角三角形 $ riangle PRQ$ 中：
$PR$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$angle RPQ$ 的大小是 $B$。 (这是因为 $OP$ 和 $x$ 轴夹角为 $A$。$PR$ 垂直于 $QQ_x$， $QQ_x$ 垂直于 $x$ 轴，所以 $PR$ 是水平的。 $OP$ 与 $PR$ 夹角是 $A$。$OP$ 与 $PQ$ 夹角是 $B$。 所以 $PR$ 与 $PQ$ 夹角是 $B$。)
在直角三角形 $ riangle PRQ$ 中，斜边是 $PQ$。
关键： 我们把 $Q$ 点的纵坐标 $sin(A+B)$ 分解。
$Q$ 点的纵坐标 = $P$ 点的纵坐标 + $QR$。
$sin(A+B) = sin A + QR$。
现在我们看 $ riangle PRQ$。
$OP=1$, $OQ=1$。 $angle POQ = B$.
在 $ riangle OQQ_x$ 中， $QQ_x = OQ sin(A+B) = sin(A+B)$。
在 $ riangle OPP_x$ 中， $PP_x = OP sin A = sin A$。
构造： 从 $P$ 点，作 $QQ_x$ 的垂线，垂足为 $R$。
那么，$QQ_x = QR + RS$.
$RS$ 的长度是 $PP_x = sin A$。
所以 $QR = QQ_x RS = sin(A+B) sin A$。
关键： $ riangle PQR$ 的边长 $QR$ 可以表示成 $cos A sin B$。
证明：
$OP$ 与 $x$ 轴夹角是 $A$。
$PQ$ 与 $OP$ 夹角是 $B$。
$PR$ 垂直于 $QQ_x$。
考虑 $ riangle PQR$。
$PR$ 的长度是 $Q_x P_x = cos(A+B) cos A$。
$QR$ 的长度是 $sin(A+B) sin A$。
$angle RPQ$ 的大小是 $B$。
所以，在直角三角形 $ riangle PQR$ 中，斜边是 $PQ$。
$ riangle PQR$ 是直角三角形， $angle PRQ = 90^circ$。
$angle RPQ$ 的大小是多少？
这是关键！
$OP$ 与 $x$ 轴夹角为 $A$。
$PQ$ 与 $OP$ 夹角为 $B$。
$PR$ 垂直于 $QQ_x$。
$angle RPQ$ 是 $B$。
那么，在直角三角形 $ riangle PQR$ 中，斜边 $PQ$。
$QR = PQ sin B$.
$PR = PQ cos B$.

正确的分解：
$sin(A+B)$ 是 $Q$ 的纵坐标。
$sin(A+B) = ext{P的纵坐标} + ext{从P到Q的纵向增量}$
$sin(A+B) = sin A + QR$.
关键： $QR = cos A sin B$。
这是如何得出的？
考虑 $ riangle PQR$。
$PR$ 垂直于 $QQ_x$。
$angle RPQ = B$。
$PR$ 的长度是 $cos(A+B) cos A$。
$QR$ 的长度是 $sin(A+B) sin A$。
$ riangle PRQ$ 是直角三角形， $angle PRQ=90^circ$。
$angle RPQ = B$。
所以，$QR = PQ sin B$。 $PR = PQ cos B$。
$sin(A+B) = sin A + cos A sin B$。
$cos(A+B) = cos A sin A sin B$。

正确的几何分解：
1. 单位圆上，点 $P(cos A, sin A)$。
2. 从 $P$ 点，画一个长度为 $cos B$ 的向量，方向与 $OP$ 相同。
3. 再从 $P$ 点，画一个长度为 $sin B$ 的向量，方向与 $OP$ 垂直（逆时针）。
4. 这个垂直方向的单位向量是 $(sin A, cos A)$。
5. 所以，从 $P$ 点出发的垂直向量是 $(sin B)(sin A, cos A) = (sin B sin A, sin B cos A)$。
6. $Q$ 点的纵坐标 $sin(A+B)$ 是 $P$ 点的纵坐标 $sin A$ 加上这个垂直向量的纵向分量。
7. $sin(A+B) = sin A + sin B cos A$。
8. $cos(A+B)$ 的横向分量是 $cos A$ 加上垂直向量的横向分量。
9. $cos(A+B) = cos A sin B sin A$。

这才是正确的几何推导！

方法二：利用复数

核心思想： 利用复数在单位圆上的表示以及欧拉公式，$e^{i heta} = cos heta + i sin heta$。 两个复数相乘，它们的辐角相加，模长相乘。

1. 复数表示：
将角度 $A$ 和 $B$ 用复数表示：
$z_A = cos A + i sin A = e^{iA}$
$z_B = cos B + i sin B = e^{iB}$

2. 复数乘法：
将这两个复数相乘：
$z_A cdot z_B = (cos A + i sin A)(cos B + i sin B)$

3. 利用指数形式：
$e^{iA} cdot e^{iB} = e^{i(A+B)}$
根据欧拉公式，$e^{i(A+B)} = cos(A+B) + i sin(A+B)$。

4. 展开复数乘法：
$(cos A + i sin A)(cos B + i sin B) = cos A cos B + i cos A sin B + i sin A cos B + i^2 sin A sin B$
由于 $i^2 = 1$，所以：
$= cos A cos B + i cos A sin B + i sin A cos B sin A sin B$
将实部和虚部分开：
$= (cos A cos B sin A sin B) + i (sin A cos B + cos A sin B)$

5. 比较系数：
我们知道 $z_A cdot z_B = e^{i(A+B)}$，所以：
$cos(A+B) + i sin(A+B) = (cos A cos B sin A sin B) + i (sin A cos B + cos A sin B)$
比较等式两边的实部和虚部，我们可以得到：
$cos(A+B) = cos A cos B sin A sin B$
$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$

这个复数方法非常简洁，直接利用了指数的性质和欧拉公式。

结论

两种方法都可以推导出 $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$ 这个重要的三角恒等式。几何方法虽然直观，但在推导细节上可能需要仔细的构造和分析。复数方法则更加优雅和直接。

希望这次详细的推导对你有所帮助！

其他人的回答已经足够解决这个问题了，但是我这里想给一个稍微不同的回答。我这里将问题做一个推广。这个问题我读本科的时候曾经在草稿本上写过，这里将它正式发布出来。希望可以对题主有所帮助。

我的问题：假设有两个光滑的一元实函数 对于任意的实数 都满足这样的条件

请问这样的函数应该具有什么样的形式？

这是一个函数方程组，显然是模仿着三角函数写出来的。我当时的想法是试图证明，满足这两个条件的光滑函数只有正弦和余弦函数。但是结果并非如此。结果如下。

令 ，得到

根据第一个条件，如果 ，则 ，此时 是一个虚数，不符合条件，所以只能得到 .

根据第二个条件，得到 . 也就是 .

令 ，得到

如果 ，则 ，这是一个平庸解，所以为了得到非平庸解，只能令 .

函数方程组两边同时对 求微分，然后令 ，得到（备注：实际上就是在计算李代数）

写成矩阵的形式为

求解得到

其中定义了系数矩阵

如果进而要求 ，则可以得到

但是如果不做这个要求，则可以得到更加普遍的结果，所以满足这个函数方程组的未必是三角函数。

这个更加普遍的结果是

本质上就是一个三角函数乘上一个指数函数。所以我一开始的猜测尽管不对，但是也差不太远。

---

再说一下计算 的技巧。定义 ，则可以将 记作

要计算这个矩阵的指数函数 ，最直接但也是最繁琐的方法就是计算它的特征值和特征向量，将矩阵 对角化，然后求矩阵的指数。为了减小计算量，可以充分利用矩阵的特性，将其写为这种形式：

其中 ， .

又因为 ，所以

第一个矩阵指数很容易算出来为

第二个矩阵指数可以通过求 矩阵的特征分解得到，但是这样仍然很繁琐。简单的方法是计算 矩阵的幂。根据Cayley-Hamilton定理^[1]，很容易得到

因此，

所以

因此最终得到

参考

1. ^Cayley–Hamilton theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem

之前买的一件衣服 恰好可以回答你的问题