为什么将 x²＋y²＝1 中 x 和 y 的指数换成大偶数，其图像会接近一个正方形？
这其实是一个非常有趣的几何问题，当我们把圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 中的指数 2 换成一个很大的偶数，比如 $x^{2n} + y^{2n} = 1$（其中 $n$ 是一个足够大的正整数），我们会发现，咦？怎么就不是圆了，而是一个更像方块的图形？这背后的原因，咱们得一点点掰开了讲。
首先，咱们得明白原来的 $x^2 + y^2 = 1$ 代表的是什么。这是一个以原点为中心，半径为 1 的圆。在这个方程里，$x^2$ 和 $y^2$ 的“权重”是一样的，都是平方。这意味着，$x$ 的值无论正负，对距离原点的远近影响都和 $y$ 的情况一样，都是平方。这也是为什么它那么对称、那么圆润。
现在，咱们把指数“升级”了，变成了 $x^{2n} + y^{2n} = 1$。这里，我们关注的是当 $n$ 特别、特别大的时候会发生什么。
关键在于，当指数变大后，对于一个固定的值（比如 1），$x$ 或 $y$ 的取值范围会发生变化，而且变化得非常剧烈。咱们来举个例子，想想当 $n$ 很大时，$x^{2n}$ 是怎么个情况。
如果 $x$ 的绝对值很小，比如 $x = 0.5$，那么 $x^{2n}$ 会变成 $(0.5)^{2n}$。当 $n$ 很大时，这个数会变得极其小。比方说 $(0.5)^{100}$，这个数已经小到几乎可以忽略不计了。
如果 $x$ 的绝对值接近 1，比如 $x = 0.9$，那么 $x^{2n}$ 会变成 $(0.9)^{2n}$。虽然 0.9 本身小于 1，但当它被一个很大的偶数次幂“狠狠地”乘上自己后，它也会变得非常非常小。比方说 $(0.9)^{100}$，还是会是一个很小的数字。
那如果 $x$ 的绝对值稍微大一点呢？ 比如 $x = 0.99$。我们知道 $(0.99)^{100}$ 肯定比 $(0.9)^{100}$ 要大，但依然是小于 1 的。
关键来了：如果 $x$ 的绝对值恰好大于 1 呢？ 比如 $x = 1.1$。那么 $x^{2n} = (1.1)^{2n}$。当 $n$ 很大时，这个数会变得无比巨大。
现在，咱们回到方程 $x^{2n} + y^{2n} = 1$。这个方程告诉我们，$x^{2n}$ 和 $y^{2n}$ 这两个“巨无霸”相加，结果必须等于 1。
让我们想象一下，当 $n$ 真的大得离谱时：
1. 如果 $x$ 的绝对值比 1 稍微大一点点，比如 $x = 1.01$。那么 $x^{2n} = (1.01)^{2n}$，这个数值会瞬间爆炸，变得非常非常大。为了让 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ 这个等式成立，那么 $y^{2n}$ 就必须是一个负的、而且是天文数字般的数。但是，我们知道 $y^{2n}$ 由于指数是偶数，它的值永远是非负的。所以，这种情况根本不可能存在！这就意味着，当指数很大时，$x$ 的绝对值绝不可能大于 1。如果 $x$ 稍稍大于 1，就会导致 $x^{2n}$ 远远超过 1，根本无法通过加上 $y^{2n}$ 来凑成 1。
2. 同样，如果 $y$ 的绝对值比 1 稍微大一点点，比如 $y = 1.01$。同理，$y^{2n}$ 也会瞬间爆炸，使得 $x^{2n}$ 必须变成一个不可能存在的负数才能使等式成立。所以，$y$ 的绝对值也绝不可能大于 1。
这就告诉我们，对于方程 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ (当 $n$ 非常大时)，无论是 $x$ 还是 $y$，它们的绝对值都必须控制在 1 的范围内。也就是说，$|x| le 1$ 并且 $|y| le 1$。
那如果 $|x| < 1$ 并且 $|y| < 1$ 呢？这时候，$x^{2n}$ 和 $y^{2n}$ 都会变得非常非常小，小到它们的和可能远远小于 1，甚至趋向于 0。这也不满足方程。
那么，真正能够接近 1 的情况是怎样呢？就是让其中一个数的绝对值接近 1，而另一个数的绝对值必须非常非常接近 0。
我们来具体看看：
假设 $x$ 的绝对值非常接近 1。比如 $x = 0.9999...$ （非常接近 1）。那么 $x^{2n}$ 虽然在变小，但依然是一个比较大的数（但小于 1）。为了让 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ 成立，$y^{2n}$ 就必须非常接近 0。什么时候 $y^{2n}$ 会非常接近 0 呢？就是当 $y$ 的绝对值非常非常接近 0 时。换句话说，当 $x$ 接近 $pm 1$ 的时候，$y$ 的值就不得不非常接近 0。这意味着图像会在 $(pm 1, 0)$ 这两个点附近。
反过来，假设 $y$ 的绝对值非常接近 1。比如 $y = 0.9999...$。那么 $y^{2n}$ 也会是一个小于 1 但相对较大的数。为了让等式成立，$x^{2n}$ 就必须非常接近 0。这意味着，当 $y$ 接近 $pm 1$ 的时候，$x$ 的值就不得不非常接近 0。这意味着图像会在 $(0, pm 1)$ 这两个点附近。
我们再回到“接近 1”这个概念。当 $n$ 极大时：
如果 $x$ 的绝对值是 $0.9$，那么 $x^{2n}$ 会非常小。要凑够 1，$y^{2n}$ 就得非常接近 1，也就是说 $y$ 的绝对值得非常接近 1。
如果 $x$ 的绝对值是 $0.99$，那么 $x^{2n}$ 比 $0.9^{2n}$ 要大一点点，但仍然很小。要凑够 1，$y^{2n}$ 仍然需要非常接近 1，即 $y$ 的绝对值非常接近 1。
只有当 $x$ 的绝对值非常非常接近 1 时，比如 $x = 0.999999...$，这时候 $x^{2n}$ 才可能勉强维持一个相对较大的值（但依然是小于 1）。而此时，$y^{2n}$ 为了凑成 1，就只能非常非常接近于 0，这意味着 $y$ 的绝对值就必须非常非常接近于 0。
所以，在方程 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ 中，当 $n$ 极大时：
如果 $x$ 的绝对值稍微大于 $sqrt[2n]{1y^{2n}}$，那么 $x^{2n}$ 就会大于 $1y^{2n}$，这是不可能的。
如果 $|x| < 1$ 且 $|y| < 1$，但它们又不是非常接近 1 和 0 的组合时，那么 $x^{2n}$ 和 $y^{2n}$ 都会变得非常小，它们的和就会远远小于 1。
这就像一个“零和游戏”：一个数的指数项如果稍稍大一点点，那么另一个数的指数项就必须小到几乎没有。这导致了我们只能在坐标轴的四个方向上找到“生存空间”。
具体来说，当 $|x|$ 接近 1 时，$|y|$ 必须接近 0。这就意味着图像会在 $(pm 1, 0)$ 这两个点附近；当 $|y|$ 接近 1 时，$|x|$ 必须接近 0。这就意味着图像会在 $(0, pm 1)$ 这两个点附近。
想象一下：
在 $y$ 轴的附近，也就是 $x$ 非常接近 0 的区域，为了满足 $y^{2n} approx 1$， $y$ 的绝对值就必须非常接近 1。这条线会非常陡峭，几乎垂直地从 $y=1$ 到 $y=1$ 穿过 $x=0$ 。
在 $x$ 轴的附近，也就是 $y$ 非常接近 0 的区域，为了满足 $x^{2n} approx 1$， $x$ 的绝对值就必须非常接近 1。这条线就会非常平坦，几乎水平地从 $x=1$ 到 $x=1$ 穿过 $y=0$ 。
将这四条“接近垂直”和“接近水平”的线段连接起来，就形成了一个在四个顶点 $(pm 1, 0)$ 和 $(0, pm 1)$ 附近非常锐利的形状。这些顶点可以说是方程的“约束边界”。
为什么是正方形？因为 $x$ 和 $y$ 在这个方程里被对待的方式是对称的。无论我们怎么变化 $x$ 和 $y$ 的位置，只要它们的绝对值组合满足条件，方程都是成立的。这种对称性，加上高指数的剧烈变化，就把原来圆润的曲线“压扁”成了更接近直线，最终在顶点处连接起来，形成了一个近似正方形的轮廓。这个图形也被称为“超方形”或 $L_p$ 范数球。当 $p o infty$ 时，它就趋近于一个正方形。这里的 $p=2n$，当 $n$ 很大时，$p$ 就非常大。
所以，答案在于高次幂对数值大小的放大和缩小作用。当指数极大时，函数对靠近 0 的值和靠近 1 的值极其敏感，迫使 $x$ 和 $y$ 只能在 $x approx pm 1, y approx 0$ 或 $x approx 0, y approx pm 1$ 的情况下才能使得等式成立，而这些组合起来的线条就形成了近似正方形的形状。
首先，咱们得明白原来的 $x^2 + y^2 = 1$ 代表的是什么。这是一个以原点为中心，半径为 1 的圆。在这个方程里，$x^2$ 和 $y^2$ 的“权重”是一样的，都是平方。这意味着，$x$ 的值无论正负，对距离原点的远近影响都和 $y$ 的情况一样，都是平方。这也是为什么它那么对称、那么圆润。
现在，咱们把指数“升级”了，变成了 $x^{2n} + y^{2n} = 1$。这里，我们关注的是当 $n$ 特别、特别大的时候会发生什么。
关键在于，当指数变大后，对于一个固定的值（比如 1），$x$ 或 $y$ 的取值范围会发生变化，而且变化得非常剧烈。咱们来举个例子，想想当 $n$ 很大时，$x^{2n}$ 是怎么个情况。
如果 $x$ 的绝对值很小，比如 $x = 0.5$，那么 $x^{2n}$ 会变成 $(0.5)^{2n}$。当 $n$ 很大时，这个数会变得极其小。比方说 $(0.5)^{100}$，这个数已经小到几乎可以忽略不计了。
如果 $x$ 的绝对值接近 1，比如 $x = 0.9$，那么 $x^{2n}$ 会变成 $(0.9)^{2n}$。虽然 0.9 本身小于 1，但当它被一个很大的偶数次幂“狠狠地”乘上自己后，它也会变得非常非常小。比方说 $(0.9)^{100}$，还是会是一个很小的数字。
那如果 $x$ 的绝对值稍微大一点呢？ 比如 $x = 0.99$。我们知道 $(0.99)^{100}$ 肯定比 $(0.9)^{100}$ 要大，但依然是小于 1 的。
关键来了：如果 $x$ 的绝对值恰好大于 1 呢？ 比如 $x = 1.1$。那么 $x^{2n} = (1.1)^{2n}$。当 $n$ 很大时，这个数会变得无比巨大。
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让我们想象一下，当 $n$ 真的大得离谱时：
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2. 同样，如果 $y$ 的绝对值比 1 稍微大一点点，比如 $y = 1.01$。同理，$y^{2n}$ 也会瞬间爆炸，使得 $x^{2n}$ 必须变成一个不可能存在的负数才能使等式成立。所以，$y$ 的绝对值也绝不可能大于 1。
这就告诉我们，对于方程 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ (当 $n$ 非常大时)，无论是 $x$ 还是 $y$，它们的绝对值都必须控制在 1 的范围内。也就是说，$|x| le 1$ 并且 $|y| le 1$。
那如果 $|x| < 1$ 并且 $|y| < 1$ 呢？这时候，$x^{2n}$ 和 $y^{2n}$ 都会变得非常非常小，小到它们的和可能远远小于 1，甚至趋向于 0。这也不满足方程。
那么，真正能够接近 1 的情况是怎样呢？就是让其中一个数的绝对值接近 1，而另一个数的绝对值必须非常非常接近 0。
我们来具体看看：
假设 $x$ 的绝对值非常接近 1。比如 $x = 0.9999...$ （非常接近 1）。那么 $x^{2n}$ 虽然在变小，但依然是一个比较大的数（但小于 1）。为了让 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ 成立，$y^{2n}$ 就必须非常接近 0。什么时候 $y^{2n}$ 会非常接近 0 呢？就是当 $y$ 的绝对值非常非常接近 0 时。换句话说，当 $x$ 接近 $pm 1$ 的时候，$y$ 的值就不得不非常接近 0。这意味着图像会在 $(pm 1, 0)$ 这两个点附近。
反过来，假设 $y$ 的绝对值非常接近 1。比如 $y = 0.9999...$。那么 $y^{2n}$ 也会是一个小于 1 但相对较大的数。为了让等式成立，$x^{2n}$ 就必须非常接近 0。这意味着，当 $y$ 接近 $pm 1$ 的时候，$x$ 的值就不得不非常接近 0。这意味着图像会在 $(0, pm 1)$ 这两个点附近。
我们再回到“接近 1”这个概念。当 $n$ 极大时：
如果 $x$ 的绝对值是 $0.9$，那么 $x^{2n}$ 会非常小。要凑够 1，$y^{2n}$ 就得非常接近 1，也就是说 $y$ 的绝对值得非常接近 1。
如果 $x$ 的绝对值是 $0.99$，那么 $x^{2n}$ 比 $0.9^{2n}$ 要大一点点，但仍然很小。要凑够 1，$y^{2n}$ 仍然需要非常接近 1，即 $y$ 的绝对值非常接近 1。
只有当 $x$ 的绝对值非常非常接近 1 时，比如 $x = 0.999999...$，这时候 $x^{2n}$ 才可能勉强维持一个相对较大的值（但依然是小于 1）。而此时，$y^{2n}$ 为了凑成 1，就只能非常非常接近于 0，这意味着 $y$ 的绝对值就必须非常非常接近于 0。
所以，在方程 $x^{2n} + y^{2n} = 1$ 中，当 $n$ 极大时：
如果 $x$ 的绝对值稍微大于 $sqrt[2n]{1y^{2n}}$，那么 $x^{2n}$ 就会大于 $1y^{2n}$，这是不可能的。
如果 $|x| < 1$ 且 $|y| < 1$，但它们又不是非常接近 1 和 0 的组合时，那么 $x^{2n}$ 和 $y^{2n}$ 都会变得非常小，它们的和就会远远小于 1。
这就像一个“零和游戏”：一个数的指数项如果稍稍大一点点，那么另一个数的指数项就必须小到几乎没有。这导致了我们只能在坐标轴的四个方向上找到“生存空间”。
具体来说，当 $|x|$ 接近 1 时，$|y|$ 必须接近 0。这就意味着图像会在 $(pm 1, 0)$ 这两个点附近；当 $|y|$ 接近 1 时，$|x|$ 必须接近 0。这就意味着图像会在 $(0, pm 1)$ 这两个点附近。
想象一下：
在 $y$ 轴的附近，也就是 $x$ 非常接近 0 的区域，为了满足 $y^{2n} approx 1$， $y$ 的绝对值就必须非常接近 1。这条线会非常陡峭，几乎垂直地从 $y=1$ 到 $y=1$ 穿过 $x=0$ 。
在 $x$ 轴的附近，也就是 $y$ 非常接近 0 的区域，为了满足 $x^{2n} approx 1$， $x$ 的绝对值就必须非常接近 1。这条线就会非常平坦，几乎水平地从 $x=1$ 到 $x=1$ 穿过 $y=0$ 。
将这四条“接近垂直”和“接近水平”的线段连接起来，就形成了一个在四个顶点 $(pm 1, 0)$ 和 $(0, pm 1)$ 附近非常锐利的形状。这些顶点可以说是方程的“约束边界”。
为什么是正方形？因为 $x$ 和 $y$ 在这个方程里被对待的方式是对称的。无论我们怎么变化 $x$ 和 $y$ 的位置，只要它们的绝对值组合满足条件，方程都是成立的。这种对称性，加上高指数的剧烈变化，就把原来圆润的曲线“压扁”成了更接近直线，最终在顶点处连接起来，形成了一个近似正方形的轮廓。这个图形也被称为“超方形”或 $L_p$ 范数球。当 $p o infty$ 时，它就趋近于一个正方形。这里的 $p=2n$，当 $n$ 很大时，$p$ 就非常大。
所以，答案在于高次幂对数值大小的放大和缩小作用。当指数极大时，函数对靠近 0 的值和靠近 1 的值极其敏感，迫使 $x$ 和 $y$ 只能在 $x approx pm 1, y approx 0$ 或 $x approx 0, y approx pm 1$ 的情况下才能使得等式成立，而这些组合起来的线条就形成了近似正方形的形状。
网友意见
可以把这个方程改写成：
然后推广成
右边常数不影响形状，不妨考虑
左边这个表达式叫做幂平均数，它在p趋向于0的时候极限是几何平均值 ，p趋向于无穷的时候极限是 ，而且随着p的大小递增，所以整个曲线就会慢慢向 收敛，而后者经过四个象限的镜像延拓之后就是个正方形。如果反过来让p越来越小，则会趋向于两对双曲线拼成的四角星。
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