为什么∫x²/（√1-x²）dx用分部积分求不出来不定积分?
你这个问题问得很有意思，而且非常深入。确实，对于∫x²/（√1x²）dx这个积分，尝试用分部积分法来直接求解，会发现它并不能导出一个我们通常期望的、相对简单的形式，甚至会把问题变得更复杂。这并不是说分部积分“求不出来”这个积分，而是说分部积分在这个特定情况下不是一个“好”或者“直接有效”的方法。下面我来详细解释一下为什么会这样，以及什么才是更适合它的方法。
为什么分部积分在这里会碰壁？
分部积分法的核心公式是：
∫ u dv = uv ∫ v du
选择 u 和 dv 是关键。我们的被积函数是 x² / (√1x²)。我们必须将它分成两部分：一部分作为 u，另一部分作为 dv（并且dv必须是可积的）。
让我们尝试一些常见的 u 和 dv 的选择：
尝试一：令 u = x²，dv = 1 / (√1x²) dx
选择 u = x²： 这意味着 du = 2x dx。这个变化看起来不错，我们把 x 的幂次降低了。
选择 dv = 1 / (√1x²) dx： 如果我们尝试对这个 dv 进行积分，我们会发现 ∫ 1 / (√1x²) dx 是一个很特殊的积分，它的结果是 arcsin(x)。所以，v = arcsin(x)。
现在套用分部积分公式：
∫ x² / (√1x²) dx = x² arcsin(x) ∫ arcsin(x) (2x dx)
仔细看看右边的积分项：∫ 2x arcsin(x) dx。
这个新产生的积分 ∫ 2x arcsin(x) dx 比原来的积分 ∫ x² / (√1x²) dx 看起来更复杂！我们引入了 arcsin(x) 和 x 的乘积，而原积分中的 x² 已经被降幂了，但分母的根号结构依然存在。这个积分 ∫ 2x arcsin(x) dx 同样不好直接求解，甚至可能需要再次进行分部积分，而且每次都会让被积函数更复杂。所以，这种选择是行不通的。
尝试二：令 u = 1 / (√1x²)，dv = x² dx
选择 u = 1 / (√1x²) = (1x²)^(1/2)： 那么 du = (1/2)(1x²)^(3/2) (2x) dx = x(1x²)^(3/2) dx。这个 du 的形式非常复杂，分母上的指数变得更大了。
选择 dv = x² dx： 那么 v = ∫ x² dx = x³/3。
套用分部积分公式：
∫ x² / (√1x²) dx = (1 / √1x²) (x³/3) ∫ (x³/3) (x(1x²)^(3/2) dx)
= x³ / (3√1x²) ∫ x⁴ / (3(1x²)^(3/2)) dx
观察右边的积分项：∫ x⁴ / (3(1x²)^(3/2)) dx。
这个积分的分母指数从 1/2 变成了 3/2，分子上的 x 的幂次也从 2 变成了 4。这个积分看起来比原积分更加棘手。分母上的根号部分变得更复杂了。所以，这种选择同样失败了。
为什么分部积分在这种情况下表现不佳？
分部积分法的成功很大程度上取决于：
1. 降低被积函数中“麻烦”部分的复杂度： 通常是降低多项式的幂次。
2. 产生一个更容易积分的新项： ∫ v du 应该比 ∫ u dv 更容易处理。
在 ∫x²/（√1x²）dx 这个例子中，问题出在被积函数的分母部分。√1x² 这个结构本身就暗示着与三角函数（特别是三角代换）的强联系。当我们尝试用分部积分时，无论如何分割 u 和 dv，最终产生的积分项要么包含了 arcsin(x) 这种“不好对付”的函数，要么使得分母上的根号部分变得更加复杂，指数降低（如尝试一）或指数升高（如尝试二）。
那么，什么方法适合这个积分？
这个积分的结构 √1x² 非常明确地提示我们应该使用三角代换。
令 x = sin(θ)。
那么 dx = cos(θ) dθ。
同时，我们需要处理 √1x²：
√1x² = √1 sin²(θ) = √cos²(θ) = |cos(θ)|。
为了简化，我们通常假设 θ 在一个范围内，使得 cos(θ) ≥ 0，例如 π/2 ≤ θ ≤ π/2。在这种情况下，√1x² = cos(θ)。
现在我们来代换原积分：
∫ x² / (√1x²) dx = ∫ (sin²(θ)) / (cos(θ)) (cos(θ) dθ)
看！分子和分母的 cos(θ) 抵消了！
∫ sin²(θ) dθ
这是一个非常标准的三角积分，我们可以用降幂公式来求解：sin²(θ) = (1 cos(2θ)) / 2。
∫ (1 cos(2θ)) / 2 dθ
= (1/2) ∫ (1 cos(2θ)) dθ
= (1/2) [ θ (1/2)sin(2θ) ] + C
现在我们需要将结果变回 x 的形式。
我们知道 x = sin(θ)，所以 θ = arcsin(x)。
对于 sin(2θ)，我们可以使用二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
我们已经知道 sin(θ) = x。
那么 cos(θ) = √(1 sin²(θ)) = √(1 x²)。
所以，sin(2θ) = 2x√(1 x²)。
代回积分结果：
= (1/2) [ arcsin(x) (1/2) 2x√(1 x²) ] + C
= (1/2) arcsin(x) (1/4) x√(1 x²) + C
这个结果是我们期望的、相对简洁的形式。
总结一下为什么分部积分在这个案例中失败了：
1. 结构不匹配： 分部积分更适合处理多项式与指数、对数、三角函数之间的组合，或者能够通过降幂使积分变容易的情况。而 √1x² 这个根号结构在与多项式结合时，会给分部积分带来很大的麻烦，尤其是对分母进行积分时，会产生复杂的表达式。
2. 引入更复杂项： 尝试分部积分时，无论如何分割 u 和 dv，产生的 ∫ v du 都比原积分更难处理，要么引入了难以积分的 arcsin 函数，要么使分母的根号部分变得更复杂，这与分部积分法的初衷背道而驰。
3. 存在更优方法： 积分的结构本身就提示了三角代换是最直接、最有效的方法，能够直接消去分母的根号，将问题转化为一个简单的三角函数积分。
所以，不是说分部积分“求不出来”，而是它不是解决这个特定问题的“正确工具”，用它会绕远路，甚至走进死胡同。理解何时使用哪种积分技巧是高等数学学习中的一个重要环节。
为什么分部积分在这里会碰壁？
分部积分法的核心公式是：
∫ u dv = uv ∫ v du
选择 u 和 dv 是关键。我们的被积函数是 x² / (√1x²)。我们必须将它分成两部分：一部分作为 u，另一部分作为 dv（并且dv必须是可积的）。
让我们尝试一些常见的 u 和 dv 的选择：
尝试一：令 u = x²，dv = 1 / (√1x²) dx
选择 u = x²： 这意味着 du = 2x dx。这个变化看起来不错，我们把 x 的幂次降低了。
选择 dv = 1 / (√1x²) dx： 如果我们尝试对这个 dv 进行积分，我们会发现 ∫ 1 / (√1x²) dx 是一个很特殊的积分，它的结果是 arcsin(x)。所以，v = arcsin(x)。
现在套用分部积分公式：
∫ x² / (√1x²) dx = x² arcsin(x) ∫ arcsin(x) (2x dx)
仔细看看右边的积分项：∫ 2x arcsin(x) dx。
这个新产生的积分 ∫ 2x arcsin(x) dx 比原来的积分 ∫ x² / (√1x²) dx 看起来更复杂！我们引入了 arcsin(x) 和 x 的乘积，而原积分中的 x² 已经被降幂了，但分母的根号结构依然存在。这个积分 ∫ 2x arcsin(x) dx 同样不好直接求解，甚至可能需要再次进行分部积分，而且每次都会让被积函数更复杂。所以，这种选择是行不通的。
尝试二：令 u = 1 / (√1x²)，dv = x² dx
选择 u = 1 / (√1x²) = (1x²)^(1/2)： 那么 du = (1/2)(1x²)^(3/2) (2x) dx = x(1x²)^(3/2) dx。这个 du 的形式非常复杂，分母上的指数变得更大了。
选择 dv = x² dx： 那么 v = ∫ x² dx = x³/3。
套用分部积分公式：
∫ x² / (√1x²) dx = (1 / √1x²) (x³/3) ∫ (x³/3) (x(1x²)^(3/2) dx)
= x³ / (3√1x²) ∫ x⁴ / (3(1x²)^(3/2)) dx
观察右边的积分项：∫ x⁴ / (3(1x²)^(3/2)) dx。
这个积分的分母指数从 1/2 变成了 3/2，分子上的 x 的幂次也从 2 变成了 4。这个积分看起来比原积分更加棘手。分母上的根号部分变得更复杂了。所以，这种选择同样失败了。
为什么分部积分在这种情况下表现不佳？
分部积分法的成功很大程度上取决于：
1. 降低被积函数中“麻烦”部分的复杂度： 通常是降低多项式的幂次。
2. 产生一个更容易积分的新项： ∫ v du 应该比 ∫ u dv 更容易处理。
在 ∫x²/（√1x²）dx 这个例子中，问题出在被积函数的分母部分。√1x² 这个结构本身就暗示着与三角函数（特别是三角代换）的强联系。当我们尝试用分部积分时，无论如何分割 u 和 dv，最终产生的积分项要么包含了 arcsin(x) 这种“不好对付”的函数，要么使得分母上的根号部分变得更加复杂，指数降低（如尝试一）或指数升高（如尝试二）。
那么，什么方法适合这个积分？
这个积分的结构 √1x² 非常明确地提示我们应该使用三角代换。
令 x = sin(θ)。
那么 dx = cos(θ) dθ。
同时，我们需要处理 √1x²：
√1x² = √1 sin²(θ) = √cos²(θ) = |cos(θ)|。
为了简化，我们通常假设 θ 在一个范围内，使得 cos(θ) ≥ 0，例如 π/2 ≤ θ ≤ π/2。在这种情况下，√1x² = cos(θ)。
现在我们来代换原积分：
∫ x² / (√1x²) dx = ∫ (sin²(θ)) / (cos(θ)) (cos(θ) dθ)
看！分子和分母的 cos(θ) 抵消了！
∫ sin²(θ) dθ
这是一个非常标准的三角积分，我们可以用降幂公式来求解：sin²(θ) = (1 cos(2θ)) / 2。
∫ (1 cos(2θ)) / 2 dθ
= (1/2) ∫ (1 cos(2θ)) dθ
= (1/2) [ θ (1/2)sin(2θ) ] + C
现在我们需要将结果变回 x 的形式。
我们知道 x = sin(θ)，所以 θ = arcsin(x)。
对于 sin(2θ)，我们可以使用二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
我们已经知道 sin(θ) = x。
那么 cos(θ) = √(1 sin²(θ)) = √(1 x²)。
所以，sin(2θ) = 2x√(1 x²)。
代回积分结果：
= (1/2) [ arcsin(x) (1/2) 2x√(1 x²) ] + C
= (1/2) arcsin(x) (1/4) x√(1 x²) + C
这个结果是我们期望的、相对简洁的形式。
总结一下为什么分部积分在这个案例中失败了：
1. 结构不匹配： 分部积分更适合处理多项式与指数、对数、三角函数之间的组合，或者能够通过降幂使积分变容易的情况。而 √1x² 这个根号结构在与多项式结合时，会给分部积分带来很大的麻烦，尤其是对分母进行积分时，会产生复杂的表达式。
2. 引入更复杂项： 尝试分部积分时，无论如何分割 u 和 dv，产生的 ∫ v du 都比原积分更难处理，要么引入了难以积分的 arcsin 函数，要么使分母的根号部分变得更复杂，这与分部积分法的初衷背道而驰。
3. 存在更优方法： 积分的结构本身就提示了三角代换是最直接、最有效的方法，能够直接消去分母的根号，将问题转化为一个简单的三角函数积分。
所以，不是说分部积分“求不出来”，而是它不是解决这个特定问题的“正确工具”，用它会绕远路，甚至走进死胡同。理解何时使用哪种积分技巧是高等数学学习中的一个重要环节。
网友意见
建议利用三角换元法求不定积分：
给你示范一下怎么用分部积分：
因此
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