求不定积分∫（sinx）^2/(1+(sinx)^2))dx?
好的，我们来详细地求解不定积分 $int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx$。
第一步：识别被积函数
被积函数是 $frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2}$。这个函数是三角函数的形式，并且包含 $(sin x)^2$。
第二步：尝试简化被积函数
我们注意到分子和分母都包含 $(sin x)^2$。可以尝试通过代数技巧来简化它。一种常见的技巧是将分子写成与分母相关的形式。
观察到分母是 $1+(sin x)^2$，我们可以尝试将分子 $(sin x)^2$ 改写成 $(1+(sin x)^2) 1$。
所以，被积函数可以写成：
$$ frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} = frac{(1+(sin x)^2) 1}{1+(sin x)^2} $$
现在，我们可以将这个分数拆开：
$$ frac{(1+(sin x)^2) 1}{1+(sin x)^2} = frac{1+(sin x)^2}{1+(sin x)^2} frac{1}{1+(sin x)^2} $$
化简后得到：
$$ 1 frac{1}{1+(sin x)^2} $$
第三步：将积分拆分成更容易处理的部分
现在，原积分可以写成两个积分的和差：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = int left( 1 frac{1}{1+(sin x)^2} ight) dx $$
$$ = int 1 , dx int frac{1}{1+(sin x)^2} dx $$
第四步：计算第一个积分
第一个积分很简单：
$$ int 1 , dx = x + C_1 $$
其中 $C_1$ 是积分常数。
第五步：计算第二个积分
现在我们需要计算第二个积分：
$$ int frac{1}{1+(sin x)^2} dx $$
为了解决这个积分，我们可以使用一个重要的三角恒等式：$sin^2 x + cos^2 x = 1$。
注意到分母是 $1+(sin x)^2$，我们可以尝试将其转化为只包含 $ an x$ 或 $sec x$ 的形式，通常涉及到降幂或者使用万能代换。
方法一：使用万能代换（也称为t代换）
令 $t = an(x/2)$。
那么我们有：
$dx = frac{2 , dt}{1+t^2}$
$sin x = frac{2t}{1+t^2}$
$cos x = frac{1t^2}{1+t^2}$
将这些代入积分中：
$$ int frac{1}{1+(sin x)^2} dx = int frac{1}{1 + left(frac{2t}{1+t^2} ight)^2} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} $$
现在我们来化简被积函数内部：
$$ 1 + left(frac{2t}{1+t^2} ight)^2 = 1 + frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{(1+t^2)^2 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{1 + 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{1 + 6t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} $$
所以，被积函数变为：
$$ frac{1}{frac{1 + 6t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = frac{(1+t^2)^2}{1 + 6t^2 + t^4} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = frac{2(1+t^2)}{1 + 6t^2 + t^4} , dt $$
这个形式的积分，即 $int frac{2(1+t^2)}{t^4 + 6t^2 + 1} , dt$，对于初学者来说，化简和计算会比较复杂，需要进一步分解为部分分式。
我们尝试另一个更直接的方法，避免万能代换的复杂性。
方法二：三角恒等式和除以 $cos^2 x$
考虑积分 $int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$。
我们可以将分子和分母同时除以 $cos^2 x$：
$$ frac{1}{1+(sin x)^2} = frac{1/cos^2 x}{(1+(sin x)^2)/cos^2 x} = frac{sec^2 x}{frac{1}{cos^2 x} + frac{(sin x)^2}{cos^2 x}} = frac{sec^2 x}{sec^2 x + an^2 x} $$
现在，我们使用 $sec^2 x = 1 + an^2 x$ 来替换分母中的 $sec^2 x$：
$$ frac{sec^2 x}{(1+ an^2 x) + an^2 x} = frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x} $$
所以，第二个积分变为：
$$ int frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x} dx $$
现在，我们可以使用一个简单的替换。令 $u = an x$。
那么 $du = sec^2 x , dx$。
代入后，积分变为：
$$ int frac{1}{1 + 2u^2} du $$
为了计算这个积分，我们可以将其写成一个标准形式的积分 $int frac{1}{a^2 + b^2 u^2} du$。
$$ int frac{1}{1 + 2u^2} du = int frac{1}{1^2 + (sqrt{2}u)^2} du $$
令 $v = sqrt{2}u$。
那么 $dv = sqrt{2} , du$，即 $du = frac{1}{sqrt{2}} , dv$。
代入后，积分变为：
$$ int frac{1}{1^2 + v^2} cdot frac{1}{sqrt{2}} , dv = frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1^2 + v^2} , dv $$
这个积分的标准形式是 $int frac{1}{a^2 + x^2} dx = frac{1}{a} arctanleft(frac{x}{a} ight) + C$。
在这里，$a=1$ 并且变量是 $v$。
所以，
$$ frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1^2 + v^2} , dv = frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{1}{1} arctanleft(frac{v}{1} ight) + C_2 = frac{1}{sqrt{2}} arctan(v) + C_2 $$
现在，我们将 $v$ 替换回 $sqrt{2}u$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}u) + C_2 $$
最后，我们将 $u$ 替换回 $ an x$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 $$
第六步：合并两个积分的结果
现在我们将第一个积分的结果 $x + C_1$ 和第二个积分的结果 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2$ 合并起来。
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = (x + C_1) left(frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 ight) $$
$$ = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + (C_1 C_2) $$
将常数合并为 $C$：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C $$
另一种计算第二个积分的方法：使用 $cos(2x)$ 的恒等式
我们也可以尝试使用 $cos(2x)$ 的恒等式。
首先，我们知道 $sin^2 x = frac{1 cos(2x)}{2}$。
代入到 $int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$ 中：
$$ int frac{1}{1 + frac{1 cos(2x)}{2}} dx = int frac{1}{frac{2 + 1 cos(2x)}{2}} dx = int frac{2}{3 cos(2x)} dx $$
现在我们需要计算 $int frac{2}{3 cos(2x)} dx$。
我们可以再次使用万能代换，令 $ heta = 2x$，则 $d heta = 2dx$，即 $dx = frac{1}{2} d heta$。
$$ int frac{2}{3 cos heta} cdot frac{1}{2} d heta = int frac{1}{3 cos heta} d heta $$
现在令 $t = an( heta/2)$。则 $d heta = frac{2 , dt}{1+t^2}$ 且 $cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$。
$$ int frac{1}{3 frac{1t^2}{1+t^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = int frac{1}{frac{3(1+t^2) (1t^2)}{1+t^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} $$
$$ = int frac{1+t^2}{3+3t^2 1+t^2} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = int frac{2}{2+4t^2} dt = int frac{1}{1+2t^2} dt $$
这个积分就是我们之前在方法一中遇到的 $int frac{1}{1+2u^2} du$ 的形式。
计算结果是 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}t) + C_2$。
将 $t = an( heta/2)$ 代回：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an( heta/2)) + C_2 $$
最后，将 $ heta$ 代回 $2x$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an(2x/2)) + C_2 = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 $$
这个结果与方法二一致。
总结步骤和最终结果
1. 简化被积函数: 将 $frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2}$ 写成 $1 frac{1}{1+(sin x)^2}$。
2. 拆分积分: 将原积分拆成 $int 1 , dx int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$。
3. 计算第一个积分: $int 1 , dx = x + C_1$。
4. 计算第二个积分:
将 $frac{1}{1+(sin x)^2}$ 化简为 $frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x}$。
令 $u = an x$，得到 $int frac{1}{1+2u^2} du$。
通过代换 $v = sqrt{2}u$，得到 $frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1+v^2} dv$。
计算得到 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(v) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}u) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2$。
5. 合并结果: 将两个积分的结果相减，得到最终答案。
最终答案：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C $$
第一步：识别被积函数
被积函数是 $frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2}$。这个函数是三角函数的形式，并且包含 $(sin x)^2$。
第二步：尝试简化被积函数
我们注意到分子和分母都包含 $(sin x)^2$。可以尝试通过代数技巧来简化它。一种常见的技巧是将分子写成与分母相关的形式。
观察到分母是 $1+(sin x)^2$，我们可以尝试将分子 $(sin x)^2$ 改写成 $(1+(sin x)^2) 1$。
所以，被积函数可以写成：
$$ frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} = frac{(1+(sin x)^2) 1}{1+(sin x)^2} $$
现在，我们可以将这个分数拆开：
$$ frac{(1+(sin x)^2) 1}{1+(sin x)^2} = frac{1+(sin x)^2}{1+(sin x)^2} frac{1}{1+(sin x)^2} $$
化简后得到：
$$ 1 frac{1}{1+(sin x)^2} $$
第三步：将积分拆分成更容易处理的部分
现在，原积分可以写成两个积分的和差：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = int left( 1 frac{1}{1+(sin x)^2} ight) dx $$
$$ = int 1 , dx int frac{1}{1+(sin x)^2} dx $$
第四步：计算第一个积分
第一个积分很简单：
$$ int 1 , dx = x + C_1 $$
其中 $C_1$ 是积分常数。
第五步：计算第二个积分
现在我们需要计算第二个积分：
$$ int frac{1}{1+(sin x)^2} dx $$
为了解决这个积分，我们可以使用一个重要的三角恒等式：$sin^2 x + cos^2 x = 1$。
注意到分母是 $1+(sin x)^2$，我们可以尝试将其转化为只包含 $ an x$ 或 $sec x$ 的形式，通常涉及到降幂或者使用万能代换。
方法一：使用万能代换（也称为t代换）
令 $t = an(x/2)$。
那么我们有：
$dx = frac{2 , dt}{1+t^2}$
$sin x = frac{2t}{1+t^2}$
$cos x = frac{1t^2}{1+t^2}$
将这些代入积分中：
$$ int frac{1}{1+(sin x)^2} dx = int frac{1}{1 + left(frac{2t}{1+t^2} ight)^2} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} $$
现在我们来化简被积函数内部：
$$ 1 + left(frac{2t}{1+t^2} ight)^2 = 1 + frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{(1+t^2)^2 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{1 + 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} = frac{1 + 6t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} $$
所以，被积函数变为：
$$ frac{1}{frac{1 + 6t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = frac{(1+t^2)^2}{1 + 6t^2 + t^4} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = frac{2(1+t^2)}{1 + 6t^2 + t^4} , dt $$
这个形式的积分，即 $int frac{2(1+t^2)}{t^4 + 6t^2 + 1} , dt$，对于初学者来说，化简和计算会比较复杂，需要进一步分解为部分分式。
我们尝试另一个更直接的方法，避免万能代换的复杂性。
方法二：三角恒等式和除以 $cos^2 x$
考虑积分 $int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$。
我们可以将分子和分母同时除以 $cos^2 x$：
$$ frac{1}{1+(sin x)^2} = frac{1/cos^2 x}{(1+(sin x)^2)/cos^2 x} = frac{sec^2 x}{frac{1}{cos^2 x} + frac{(sin x)^2}{cos^2 x}} = frac{sec^2 x}{sec^2 x + an^2 x} $$
现在，我们使用 $sec^2 x = 1 + an^2 x$ 来替换分母中的 $sec^2 x$：
$$ frac{sec^2 x}{(1+ an^2 x) + an^2 x} = frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x} $$
所以，第二个积分变为：
$$ int frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x} dx $$
现在，我们可以使用一个简单的替换。令 $u = an x$。
那么 $du = sec^2 x , dx$。
代入后，积分变为：
$$ int frac{1}{1 + 2u^2} du $$
为了计算这个积分，我们可以将其写成一个标准形式的积分 $int frac{1}{a^2 + b^2 u^2} du$。
$$ int frac{1}{1 + 2u^2} du = int frac{1}{1^2 + (sqrt{2}u)^2} du $$
令 $v = sqrt{2}u$。
那么 $dv = sqrt{2} , du$，即 $du = frac{1}{sqrt{2}} , dv$。
代入后，积分变为：
$$ int frac{1}{1^2 + v^2} cdot frac{1}{sqrt{2}} , dv = frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1^2 + v^2} , dv $$
这个积分的标准形式是 $int frac{1}{a^2 + x^2} dx = frac{1}{a} arctanleft(frac{x}{a} ight) + C$。
在这里，$a=1$ 并且变量是 $v$。
所以，
$$ frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1^2 + v^2} , dv = frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{1}{1} arctanleft(frac{v}{1} ight) + C_2 = frac{1}{sqrt{2}} arctan(v) + C_2 $$
现在，我们将 $v$ 替换回 $sqrt{2}u$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}u) + C_2 $$
最后，我们将 $u$ 替换回 $ an x$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 $$
第六步：合并两个积分的结果
现在我们将第一个积分的结果 $x + C_1$ 和第二个积分的结果 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2$ 合并起来。
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = (x + C_1) left(frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 ight) $$
$$ = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + (C_1 C_2) $$
将常数合并为 $C$：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C $$
另一种计算第二个积分的方法：使用 $cos(2x)$ 的恒等式
我们也可以尝试使用 $cos(2x)$ 的恒等式。
首先，我们知道 $sin^2 x = frac{1 cos(2x)}{2}$。
代入到 $int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$ 中：
$$ int frac{1}{1 + frac{1 cos(2x)}{2}} dx = int frac{1}{frac{2 + 1 cos(2x)}{2}} dx = int frac{2}{3 cos(2x)} dx $$
现在我们需要计算 $int frac{2}{3 cos(2x)} dx$。
我们可以再次使用万能代换，令 $ heta = 2x$，则 $d heta = 2dx$，即 $dx = frac{1}{2} d heta$。
$$ int frac{2}{3 cos heta} cdot frac{1}{2} d heta = int frac{1}{3 cos heta} d heta $$
现在令 $t = an( heta/2)$。则 $d heta = frac{2 , dt}{1+t^2}$ 且 $cos heta = frac{1t^2}{1+t^2}$。
$$ int frac{1}{3 frac{1t^2}{1+t^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = int frac{1}{frac{3(1+t^2) (1t^2)}{1+t^2}} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} $$
$$ = int frac{1+t^2}{3+3t^2 1+t^2} cdot frac{2 , dt}{1+t^2} = int frac{2}{2+4t^2} dt = int frac{1}{1+2t^2} dt $$
这个积分就是我们之前在方法一中遇到的 $int frac{1}{1+2u^2} du$ 的形式。
计算结果是 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}t) + C_2$。
将 $t = an( heta/2)$ 代回：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an( heta/2)) + C_2 $$
最后，将 $ heta$ 代回 $2x$：
$$ frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an(2x/2)) + C_2 = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2 $$
这个结果与方法二一致。
总结步骤和最终结果
1. 简化被积函数: 将 $frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2}$ 写成 $1 frac{1}{1+(sin x)^2}$。
2. 拆分积分: 将原积分拆成 $int 1 , dx int frac{1}{1+(sin x)^2} dx$。
3. 计算第一个积分: $int 1 , dx = x + C_1$。
4. 计算第二个积分:
将 $frac{1}{1+(sin x)^2}$ 化简为 $frac{sec^2 x}{1 + 2 an^2 x}$。
令 $u = an x$，得到 $int frac{1}{1+2u^2} du$。
通过代换 $v = sqrt{2}u$，得到 $frac{1}{sqrt{2}} int frac{1}{1+v^2} dv$。
计算得到 $frac{1}{sqrt{2}} arctan(v) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2}u) = frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C_2$。
5. 合并结果: 将两个积分的结果相减，得到最终答案。
最终答案：
$$ int frac{(sin x)^2}{1+(sin x)^2} dx = x frac{1}{sqrt{2}} arctan(sqrt{2} an x) + C $$
网友意见
令t＝tanx
则1/(1+(sinx)²)＝(1+t²)/(1+2t²)
dx＝dt/(1+t²)
∫((sinx)²/(1+(sinx)²))dx＝∫(1-1/(1+(sinx)²))dx
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＝x-(1/√2)arctan(√2(tanx))+c
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