一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？
要探讨一个函数的不定积分是否存在，我们得先明确“不定积分”这个概念。简单来说，不定积分就是找到一个函数，它的导数恰好是原来的函数。也就是说，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个不定积分，那么 $F'(x) = f(x)$。
那么，什么样的函数可以找到它的“原函数”呢？
必要条件：连续性是关键
最核心、也是最能保证不定积分存在的条件，就是连续性。
定理： 如果函数 $f(x)$ 在一个区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么它在这个区间上一定存在不定积分。
为什么连续性如此重要？这涉及到微积分的基本定理。微积分基本定理告诉我们，定积分的求导操作和不定积分的求值操作是互逆的。具体来说，如果我们定义一个函数 $G(x) = int_a^x f(t) dt$，其中 $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么根据微积分基本定理的牛顿莱布尼茨公式，这个 $G(x)$ 就是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个不定积分，即 $G'(x) = f(x)$。
连续性保证了我们可以在任何一点附近“平滑地”找到它的原函数。想象一下，如果函数在某一点突然断裂（不连续），比如一个跳跃间断点，那么在这个断裂点两侧，原函数的“增长趋势”会突然发生变化，这使得我们很难找到一个单一的、导数处处等于 $f(x)$ 的函数。
举个例子：
连续函数： $f(x) = x^2$ 在任何区间上都是连续的。它的不定积分就是 $frac{1}{3}x^3 + C$。
不连续函数： 考虑函数 $f(x) = egin{cases} 1, & x ge 0 \ 1, & x < 0 end{cases}$。这个函数在 $x=0$ 处不连续。如果我们试图找它的原函数，我们会发现，在 $x>0$ 时，原函数是 $x+C_1$，在 $x<0$ 时，原函数是 $x+C_2$。但我们在 $x=0$ 处无法找到一个统一的函数，使其导数在这两侧都能完美地匹配。
充分条件：更广泛的可能性
虽然连续性是保证不定积分存在的充要条件（也就是说，存在不定积分的函数一定是连续的，反之亦然），但这并不意味着只有连续函数才有不定积分。
有些不连续的函数，在特定情况下，也可能存在不定积分。这里的关键在于“可积性”和“原函数定理”。
核心思想： 即使一个函数在某些点上不连续，只要这些不连续点是“良性”的，也就是说，这些不连续点是孤立的，并且该函数在这些点上的“跳跃”程度有限，那么它仍然可能存在不定积分。
更严格地说，一个函数存在不定积分的充要条件是：该函数在某个区间内是“有原函数”的。而我们上面提到的连续性，只是一个非常普遍且易于识别的充分条件，因为它直接导出了微积分基本定理的应用。
更进一步的理解（但不一定需要严格证明）：
可积性 vs. 连续性： 很多时候，我们讨论的“不定积分”是基于黎曼积分的框架。在黎曼积分的意义下，任何有界函数，如果其不连续点的集合测度为零（也就是说，不连续点是孤立的，或者数量有限），那么它就是可积的。但是，可积性并不直接等同于存在不定积分。
原函数定理的推广： 微积分基本定理的原始形式强调了连续性。然而，存在更一般的结论，表明某些不连续函数也存在原函数。关键在于，我们是在寻找一个导数等于给定函数的函数。
考虑一些“例外”情况，尽管它们不常见于初等微积分：
有界变差函数 (Bounded Variation Function)： 如果一个函数在某个区间上有界变差，那么它在这个区间上存在不定积分。有界变差函数允许有限个跳跃间断点，并且在相邻的连续区间上，其“变化的总量”是有限的。
单调函数： 单调函数（不一定是连续的）在它的定义区间上存在不定积分。这是因为单调函数的不连续点最多是孤立的跳跃间断点。
总结一下：
1. 充分条件（最常用、最直接）： 连续性。如果一个函数在某个区间上连续，那么它在该区间上一定存在不定积分。这是因为连续性允许我们直接应用微积分基本定理来构造原函数。
2. 必要条件（也是充要条件）： 存在原函数。更抽象地说，一个函数存在不定积分，当且仅当它在某个区间上“有原函数”。而我们知道，连续函数是拥有原函数的。
换个角度思考：
我们讨论不定积分，本质上是在寻找一个“形状”，这个“形状”的变化率（导数）总是等于我们给定的函数。
连续函数就像一条平滑无断裂的曲线。它的“变化率”可以被精确地描述。
不连续函数可能存在“跳跃”。如果跳跃幅度太大，或者跳跃点太多太密集，那么就很难找到一个单一的函数，其“变化率”能处处匹配上这个不连续函数。
需要注意的陷阱：
别混淆“不定积分存在”和“定积分存在”： 定积分存在（例如黎曼可积）的条件比不定积分存在（即存在原函数）的条件要宽松一些。一个函数可能有定积分，但没有不定积分。例如，狄利克雷函数（在有理数处为1，无理数处为0）在任何区间上黎曼不可积，因此也谈不上不定积分。但如果考虑一个更复杂的函数，它在所有有理数处不连续，在所有无理数处连续（这种函数构造起来非常反直觉），它可能在某种意义下“可积”，但要找到它的原函数则困难得多。
初等微积分的关注点： 在大多数基础微积分课程中，我们关注的函数通常是“足够好”的，它们要么连续，要么只有有限个“好”的不连续点（比如可去间断点，或者有限个跳跃间断点）。在这种情况下，连续性是判断不定积分是否存在的最佳“通行证”。
所以，虽然理论上存在更复杂的条件，但对于我们日常遇到的绝大多数函数，如果它在某个区间上连续，那么它的不定积分就一定存在。反之，如果一个函数在某个区间上不连续，那么它的不定积分不一定存在，除非我们能证明这些不连续点是“良性”的，并且函数在这些点上的行为允许找到一个统一的原函数。
那么，什么样的函数可以找到它的“原函数”呢？
必要条件：连续性是关键
最核心、也是最能保证不定积分存在的条件，就是连续性。
定理： 如果函数 $f(x)$ 在一个区间 $[a, b]$ 上是连续的，那么它在这个区间上一定存在不定积分。
为什么连续性如此重要？这涉及到微积分的基本定理。微积分基本定理告诉我们，定积分的求导操作和不定积分的求值操作是互逆的。具体来说，如果我们定义一个函数 $G(x) = int_a^x f(t) dt$，其中 $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么根据微积分基本定理的牛顿莱布尼茨公式，这个 $G(x)$ 就是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个不定积分，即 $G'(x) = f(x)$。
连续性保证了我们可以在任何一点附近“平滑地”找到它的原函数。想象一下，如果函数在某一点突然断裂（不连续），比如一个跳跃间断点，那么在这个断裂点两侧，原函数的“增长趋势”会突然发生变化，这使得我们很难找到一个单一的、导数处处等于 $f(x)$ 的函数。
举个例子：
连续函数： $f(x) = x^2$ 在任何区间上都是连续的。它的不定积分就是 $frac{1}{3}x^3 + C$。
不连续函数： 考虑函数 $f(x) = egin{cases} 1, & x ge 0 \ 1, & x < 0 end{cases}$。这个函数在 $x=0$ 处不连续。如果我们试图找它的原函数，我们会发现，在 $x>0$ 时，原函数是 $x+C_1$，在 $x<0$ 时，原函数是 $x+C_2$。但我们在 $x=0$ 处无法找到一个统一的函数，使其导数在这两侧都能完美地匹配。
充分条件：更广泛的可能性
虽然连续性是保证不定积分存在的充要条件（也就是说，存在不定积分的函数一定是连续的，反之亦然），但这并不意味着只有连续函数才有不定积分。
有些不连续的函数，在特定情况下，也可能存在不定积分。这里的关键在于“可积性”和“原函数定理”。
核心思想： 即使一个函数在某些点上不连续，只要这些不连续点是“良性”的，也就是说，这些不连续点是孤立的，并且该函数在这些点上的“跳跃”程度有限，那么它仍然可能存在不定积分。
更严格地说，一个函数存在不定积分的充要条件是：该函数在某个区间内是“有原函数”的。而我们上面提到的连续性，只是一个非常普遍且易于识别的充分条件，因为它直接导出了微积分基本定理的应用。
更进一步的理解（但不一定需要严格证明）：
可积性 vs. 连续性： 很多时候，我们讨论的“不定积分”是基于黎曼积分的框架。在黎曼积分的意义下，任何有界函数，如果其不连续点的集合测度为零（也就是说，不连续点是孤立的，或者数量有限），那么它就是可积的。但是，可积性并不直接等同于存在不定积分。
原函数定理的推广： 微积分基本定理的原始形式强调了连续性。然而，存在更一般的结论，表明某些不连续函数也存在原函数。关键在于，我们是在寻找一个导数等于给定函数的函数。
考虑一些“例外”情况，尽管它们不常见于初等微积分：
有界变差函数 (Bounded Variation Function)： 如果一个函数在某个区间上有界变差，那么它在这个区间上存在不定积分。有界变差函数允许有限个跳跃间断点，并且在相邻的连续区间上，其“变化的总量”是有限的。
单调函数： 单调函数（不一定是连续的）在它的定义区间上存在不定积分。这是因为单调函数的不连续点最多是孤立的跳跃间断点。
总结一下：
1. 充分条件（最常用、最直接）： 连续性。如果一个函数在某个区间上连续，那么它在该区间上一定存在不定积分。这是因为连续性允许我们直接应用微积分基本定理来构造原函数。
2. 必要条件（也是充要条件）： 存在原函数。更抽象地说，一个函数存在不定积分，当且仅当它在某个区间上“有原函数”。而我们知道，连续函数是拥有原函数的。
换个角度思考：
我们讨论不定积分，本质上是在寻找一个“形状”，这个“形状”的变化率（导数）总是等于我们给定的函数。
连续函数就像一条平滑无断裂的曲线。它的“变化率”可以被精确地描述。
不连续函数可能存在“跳跃”。如果跳跃幅度太大，或者跳跃点太多太密集，那么就很难找到一个单一的函数，其“变化率”能处处匹配上这个不连续函数。
需要注意的陷阱：
别混淆“不定积分存在”和“定积分存在”： 定积分存在（例如黎曼可积）的条件比不定积分存在（即存在原函数）的条件要宽松一些。一个函数可能有定积分，但没有不定积分。例如，狄利克雷函数（在有理数处为1，无理数处为0）在任何区间上黎曼不可积，因此也谈不上不定积分。但如果考虑一个更复杂的函数，它在所有有理数处不连续，在所有无理数处连续（这种函数构造起来非常反直觉），它可能在某种意义下“可积”，但要找到它的原函数则困难得多。
初等微积分的关注点： 在大多数基础微积分课程中，我们关注的函数通常是“足够好”的，它们要么连续，要么只有有限个“好”的不连续点（比如可去间断点，或者有限个跳跃间断点）。在这种情况下，连续性是判断不定积分是否存在的最佳“通行证”。
所以，虽然理论上存在更复杂的条件，但对于我们日常遇到的绝大多数函数，如果它在某个区间上连续，那么它的不定积分就一定存在。反之，如果一个函数在某个区间上不连续，那么它的不定积分不一定存在，除非我们能证明这些不连续点是“良性”的，并且函数在这些点上的行为允许找到一个统一的原函数。
网友意见
这是 W. H. Young 在 1910 年提出的问题[1]，想找一个函数有不定积分的充要条件。
我们知道很多必要条件，比如：
- 导函数满足介值定理，也就是 Darboux 函数。
- 导函数是一列连续函数的极限，也就是 Baire 1 函数。Baire 的一个定理[2]是，一个函数 是一列连续函数的极限 当且仅当 对任意非空闭集 ， 在 的子集拓扑中有连续点。
- Lebesgue 的一个定理是，一个函数 是 Baire 1 函数，当且仅当对任意 ， 和 都是 集。
- Baire 的另一个定理是，Baire 1 函数的不连续点是 的第一纲集。实际上，一个集合是某个导数的不连续点集，当且仅当它是 的第一纲集。[3]
- Zahorski 的一个定理是，一个函数 既是 Darboux 函数又是 Baire 1 函数，当且仅当对任意 以及 或 ，都有 (1) 是 集 (2) 对任意 和 ， 和 都是不可数集。[4]
我们还知道很多充分条件，比如：
- 连续函数一定是导函数。
- 实际上可以更弱一点，几乎连续的有界函数一定是导函数。[5]几乎连续函数的两个等价定义如下。局部定义：对任意 存在可测集 使得其在 点的 Lebesgue 密度为 1，并且 在 点连续。全局定义：对任意 ， 和 中的每个点在各自集合中的 Lebesgue 密度都为 1。
还有一些相关的结果：
- Lusin 的一个定理是， 是一个函数几乎处处的导函数，当且仅当 可测并且几乎处处有限。[6]
- 如果可测集 满足 任意 Baire 1 函数在 上都是导函数，那么 是零测度集。[7]
- D. Priess 的 “1+2定理”：对任意 Baire 1 函数 都存在三个导函数 使得 。[8]
现在我们知道三个充要条件：
C. Neugebauer 的定理[9]：设 是区间。 是导函数，当且仅当对每个闭区间 可选取点 满足 (1) 对每个 都有 (2) 对只在端点相交的闭区间 有 ，其中 表示区间 的长度。
C. Freiling 的定理[10]：设 是区间。 是导函数，当且仅当对任意 存在 使得，对任意子区间 、任意两个带标志点的分划 以及 ，只要满足 以及 ，就有 。
我在高中发现的定理[11]： 是导函数，当且仅当存在 ，对任意 和 ，存在 使得，对任意“带标志点的无序分划” ，只要满足 (1) (2) 在以 为端点的开区间内 (3) (4) ，就有 。
你更喜欢哪个条件？也许你能发现更好的充要条件！
参考
- ^ W. H. Young, On the differentiation of functions defined by integrals, Trans. Camb. Phil. Soc., vol. 21, pp. 397-425.
- ^ https://math.ucsd.edu/_files/undergraduate/honors-program/honors-theses/2012-2013/Siuyung_Fung_Honors_Thesis.pdf
- ^ John J. Benedetto, Real Variable and Integration With Historical Notes. p. 30.
- ^ Z. Zahorski, Sur la primière dérivée, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 69, pp. 1-54.
- ^ A. Denjoy, Memoire sur les nombres dérivés des fonctions continues, J. Math. Pures et Appl., vol. 1, no. 7, pp. 105-240.
- ^ A. M. Bruckner, Differentiations of Real Functions, p. 113.
- ^ A. C. M. von Rooij and W. H. Schikhof, On derivatives of functions on disconnected sets I, Fund. Math., vol. 131, pp. 83-92.
- ^ D. Priess, Algebra generated by derivatives, Real Anal. Ex., vol. 8, no. 1, pp. 205-214.
- ^ C. Neugebauer, Darboux functions of Baire class 1 and derivatives, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 13, pp. 838-843.
- ^ C. Freiling, On the problem of characterizing derivatives, Real Anal. Ex. vol. 23, no. 2, pp. 805-812.
- ^ 以后可能会写篇博客文章
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