处处不连续的函数乘以一个非 0 连续函数连续么？
这个问题很有意思，涉及到函数的不连续性和连续性之间的关系。答案是：不一定连续，但如果处处不连续的函数是“某种程度”的不连续，并且乘以一个非零连续函数，就有可能变得连续，甚至很多情况下会变连续。
为了详细解释，我们需要拆解这个问题，并引入一些数学概念。
1. 什么是函数连续和不连续？
连续函数 (Continuous Function): 一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，意味着：
1. $f(x_0)$ 存在（函数在该点有定义）。
2. $lim_{x o x_0} f(x)$ 存在（函数在该点的极限存在）。
3. $lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)$ （极限值等于函数值）。
如果一个函数在其定义域内的每一点都连续，那么它就是连续函数。直观地说，连续函数可以用一笔画出，没有跳跃、断开或洞。
不连续函数 (Discontinuous Function): 如果一个函数在定义域内的至少一点不满足连续的三个条件之一，那么它就是不连续函数。
不连续的类型：
不连续有很多种类型，最常见的包括：
可去间断点 (Removable Discontinuity): 函数在该点没有定义，或者函数值不等于极限值。这种不连续可以通过重新定义函数在该点的值来“修复”。
例如：$f(x) = frac{sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处不连续，但 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$。如果定义 $f(0)=1$，则函数在该点连续。
跳跃间断点 (Jump Discontinuity): 函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
例如：单位阶跃函数 (Heaviside step function) $H(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断，左极限是0，右极限是1。
无穷间断点 (Infinite Discontinuity): 函数在该点的极限是无穷大（正无穷或负无穷）。
例如：$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处有无穷间断。
振荡间断点 (Oscillating Discontinuity): 函数在某一点附近剧烈振荡，导致极限不存在。
例如：$f(x) = sin(frac{1}{x})$ 在 $x=0$ 处不连续，因为当 $x o 0$ 时，$frac{1}{x}$ 趋于无穷，$sin$ 函数在该区域内无限次地振荡，导致极限不存在。
2. “处处不连续的函数”
当你说“处处不连续的函数”时，这通常是指在一个区间或其定义域内的每一点都存在不连续点。这是一个非常强的条件。
3. 乘以一个非零连续函数
设我们有一个函数 $g(x)$，它在某个区间上是“处处不连续”的。我们再考虑一个函数 $h(x)$，它在这个区间上是连续的，并且处处非零，即对于区间内的所有 $x$，$h(x) eq 0$。
我们想知道，$f(x) = g(x) cdot h(x)$ 在这个区间上是否连续。
4. 分析为什么不一定连续，但很多情况会变连续
让我们考虑 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处的连续性。我们希望 $lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)$。
也就是 $lim_{x o x_0} (g(x) cdot h(x)) = g(x_0) cdot h(x_0)$。
利用极限的性质（如果极限存在），我们可以写成：
$(lim_{x o x_0} g(x)) cdot (lim_{x o x_0} h(x)) = g(x_0) cdot h(x_0)$
由于 $h(x)$ 在 $x_0$ 处连续且非零，我们知道 $lim_{x o x_0} h(x) = h(x_0) eq 0$。
现在问题就回到了 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的表现。
情况一：如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的“不连续”是可去的，并且我们可以通过乘法“修复”它。
考虑一种特殊的“处处不连续”的函数，比如狄利克雷函数（Dirichlet function）：
$g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
这个函数在每一点都不连续。无论你想在哪里评估它，它都在该点“跳跃”。
现在，我们乘以一个非零连续函数，例如 $h(x) = x$。
$f(x) = g(x) cdot h(x) = egin{cases} x & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
我们来检查一下 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性：
$f(0) = 0$ （因为 0 是有理数）。
$lim_{x o 0} f(x)$:
如果 $x$ 是有理数，趋向于 0，那么 $f(x) = x$，极限是 0。
如果 $x$ 是无理数，趋向于 0，那么 $f(x) = 0$，极限是 0。
所以，$lim_{x o 0} f(x) = 0$。
由于 $lim_{x o 0} f(x) = f(0) = 0$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是连续的。
这个例子表明，一个处处不连续的函数乘以一个非零连续函数， 有可能在某个点变得连续！ 在这个例子中，是因为 $h(x)$ 在 $x=0$ 时为 0，这抵消了 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的“怪异行为”。
情况二：更一般的“处处不连续”函数。
如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在，而 $h(x_0) eq 0$。
那么 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} (g(x) cdot h(x))$。
由于 $h(x)$ 的极限是 $h(x_0)$，这个乘积的极限行为主要取决于 $g(x)$ 的极限行为。如果 $g(x)$ 的极限不存在，那么 $g(x) cdot h(x)$ 的极限很可能也不存在，除非 $h(x_0)=0$ (我们排除了这种情况)。
我们来构造一个“处处不连续”且乘积后仍然不连续的例子。
考虑一个修改版的狄利克雷函数，或者一个基于周期性不连续的函数。
设 $g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x in mathbb{Q} \ 1 & ext{if } x otin mathbb{Q} end{cases}$ （这是另一个处处不连续的函数）。
再设 $h(x) = 1$ （一个非零连续函数）。
那么 $f(x) = g(x) cdot h(x) = g(x)$。
$f(x)$ 在每一点都不连续，所以 $f(x)$ 也是处处不连续的。
更巧妙的例子，结合我们上面讨论的“可去间断点”和“跳跃间断点”：
设 $g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x = 1/n ext{ for some integer } n eq 0 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
这个函数在 $x=1, 1/2, 1/3, ..., 1, 1/2, 1/3, ...$ 这些点处值为 1，在所有其他点值为 0。
在 $x=1/n$ (非零整数的倒数) 处：
$g(1/n) = 1$。
但是，在该点附近，有无限多个无理数（或 $1/m, m eq n$），这些地方 $g(x)=0$。
所以 $lim_{x o 1/n} g(x) = 0$。
因此，在这些点是可去间断点。
在 $x=0$ 处：
$g(0)=0$。
但是，在 $x=0$ 的任何邻域内，都存在形如 $1/n$ 的点，这些点 $g(x)=1$。同时也有其他点 $g(x)=0$。
极限 $lim_{x o 0} g(x)$ 不存在（它在 0 和 1 之间振荡）。所以这是一个复杂的间断点。
在其他点 $x_0$ (非零有理数且不是 $1/n$ 的形式，或无理数)：
$g(x_0)=0$。
在 $x_0$ 的足够小的邻域内，不存在形如 $1/n$ 的点，所以 $g(x)=0$。
$lim_{x o x_0} g(x) = 0$。
所以，在这些点 $g(x)$ 是连续的。
所以，$g(x)$ 在 $x=0$ 和形如 $x=1/n$ 的点处不连续，在其他点连续。这并不是“处处不连续”。
让我们回到真正的“处处不连续”函数，如狄利克雷函数。
狄利克雷函数 $g(x)$ 在每一点都不连续。
我们乘以一个非零连续函数 $h(x)$。
如果 $h(x_0) eq 0$ 对于所有 $x_0$：
在 $x_0$ 处，我们有 $f(x_0) = g(x_0) h(x_0)$。
我们需要考察 $lim_{x o x_0} g(x) h(x)$。
由于 $g(x)$ 在 $x_0$ 的任何邻域内都会在值 0 和 1 之间“跳跃”，所以 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在。
除非 $h(x_0)=0$，否则 $lim_{x o x_0} g(x) h(x)$ 通常也不会存在。
回到那个关键的例子：
$g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
$h(x) = x$
$f(x) = g(x) cdot h(x) = egin{cases} x & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
这个 $g(x)$ 在处处不连续。
这个 $h(x)=x$ 在处处连续，并且在 $x=0$ 处是零，在其他地方非零。
$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在其他所有非零点 $x_0$ 处不连续。
为什么不连续？
考虑 $x_0 eq 0$。
$f(x_0) = g(x_0) cdot x_0$。
如果 $x_0$ 是有理数，$f(x_0) = 1 cdot x_0 = x_0$。
如果 $x_0$ 是无理数，$f(x_0) = 0 cdot x_0 = 0$。
现在看极限 $lim_{x o x_0} f(x)$。
在 $x_0$ 的任意邻域内，都存在有理数和无理数。
如果 $x_0$ 是有理数：
沿着有理数趋近：$lim_{x o x_0, x in mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} x = x_0$。
沿着无理数趋近：$lim_{x o x_0, x otin mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} 0 = 0$。
由于 $x_0 eq 0$，这两个极限不相等，所以 $lim_{x o x_0} f(x)$ 不存在。
如果 $x_0$ 是无理数：
沿着有理数趋近：$lim_{x o x_0, x in mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} x = x_0$。
沿着无理数趋近：$lim_{x o x_0, x otin mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} 0 = 0$。
由于 $x_0 eq 0$，这两个极限不相等，所以 $lim_{x o x_0} f(x)$ 不存在。
因此，对于狄利克雷函数乘以 $h(x)=x$，结果函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，但在所有其他点 $x eq 0$ 处都不连续。
结论的细化：
如果一个函数 $g(x)$ 是处处不连续的，并且我们将其乘以一个非零连续函数 $h(x)$：
1. 如果 $h(x)$ 在某一点 $x_0$ 处的值是 0 ($h(x_0)=0$)：那么 $f(x_0) = g(x_0) cdot h(x_0) = g(x_0) cdot 0 = 0$。
同时，如果 $lim_{x o x_0} g(x)$ 存在且有限（即使不等于 $g(x_0)$），那么 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} g(x) cdot h(x) = (lim_{x o x_0} g(x)) cdot (lim_{x o x_0} h(x)) = (lim_{x o x_0} g(x)) cdot 0 = 0$。
在这种情况下，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可能连续。狄利克雷函数乘以 $x$ 的例子就是这样。
更普遍地说，如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的“不连续”是可以被 $h(x_0)=0$ 这种方式“抵消”的（例如，即使 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在，但如果 $g(x)$ 的值在 $x_0$ 附近的邻域是有限的，乘上一个趋向于 0 的函数就有可能使整体趋于 0）。
2. 如果 $h(x)$ 始终非零 ($h(x) eq 0$ 对于所有 $x$)：
那么 $f(x_0) = g(x_0) cdot h(x_0)$。
我们考察 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} g(x) cdot h(x)$。
因为 $h(x)$ 在 $x_0$ 处连续且非零，所以 $lim_{x o x_0} h(x) = h(x_0) eq 0$。
如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 的极限 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在（如狄利克雷函数在所有点的情况），那么 $g(x) cdot h(x)$ 的极限很可能也不存在。
在这种情况下，$f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
总结：
处处不连续的函数乘以一个非零连续函数，结果是 不一定连续。
在“处处不连续”的函数本身有某种“可以被乘法抵消”的性质（例如狄利克雷函数），并且非零连续函数的值在某一点为零时，乘积才可能在该点连续。
如果乘以的是一个始终严格非零的连续函数，那么即使原函数只是在某个点不连续，结果函数通常也会在该点不连续。如果原函数是处处不连续（例如，在所有点极限都不存在），那么结果函数很可能在所有点都不连续。
所以，问题的关键在于“处处不连续”的具体表现形式以及非零连续函数是否在某些点取值为零。如果说“处处不连续”指的是例如狄利克雷函数那样，在每一点的极限都不存在，那么乘以一个始终非零的连续函数，结果几乎肯定会在所有点都不连续。而如果允许“处处不连续”包含可以被乘法修复的间断点，并且乘以的函数在某些点为零，那么结果就可能变得连续。
希望这个详细的解释能够帮助您理解这个问题！
为了详细解释，我们需要拆解这个问题，并引入一些数学概念。
1. 什么是函数连续和不连续？
连续函数 (Continuous Function): 一个函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，意味着：
1. $f(x_0)$ 存在（函数在该点有定义）。
2. $lim_{x o x_0} f(x)$ 存在（函数在该点的极限存在）。
3. $lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)$ （极限值等于函数值）。
如果一个函数在其定义域内的每一点都连续，那么它就是连续函数。直观地说，连续函数可以用一笔画出，没有跳跃、断开或洞。
不连续函数 (Discontinuous Function): 如果一个函数在定义域内的至少一点不满足连续的三个条件之一，那么它就是不连续函数。
不连续的类型：
不连续有很多种类型，最常见的包括：
可去间断点 (Removable Discontinuity): 函数在该点没有定义，或者函数值不等于极限值。这种不连续可以通过重新定义函数在该点的值来“修复”。
例如：$f(x) = frac{sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处不连续，但 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$。如果定义 $f(0)=1$，则函数在该点连续。
跳跃间断点 (Jump Discontinuity): 函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
例如：单位阶跃函数 (Heaviside step function) $H(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断，左极限是0，右极限是1。
无穷间断点 (Infinite Discontinuity): 函数在该点的极限是无穷大（正无穷或负无穷）。
例如：$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处有无穷间断。
振荡间断点 (Oscillating Discontinuity): 函数在某一点附近剧烈振荡，导致极限不存在。
例如：$f(x) = sin(frac{1}{x})$ 在 $x=0$ 处不连续，因为当 $x o 0$ 时，$frac{1}{x}$ 趋于无穷，$sin$ 函数在该区域内无限次地振荡，导致极限不存在。
2. “处处不连续的函数”
当你说“处处不连续的函数”时，这通常是指在一个区间或其定义域内的每一点都存在不连续点。这是一个非常强的条件。
3. 乘以一个非零连续函数
设我们有一个函数 $g(x)$，它在某个区间上是“处处不连续”的。我们再考虑一个函数 $h(x)$，它在这个区间上是连续的，并且处处非零，即对于区间内的所有 $x$，$h(x) eq 0$。
我们想知道，$f(x) = g(x) cdot h(x)$ 在这个区间上是否连续。
4. 分析为什么不一定连续，但很多情况会变连续
让我们考虑 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处的连续性。我们希望 $lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0)$。
也就是 $lim_{x o x_0} (g(x) cdot h(x)) = g(x_0) cdot h(x_0)$。
利用极限的性质（如果极限存在），我们可以写成：
$(lim_{x o x_0} g(x)) cdot (lim_{x o x_0} h(x)) = g(x_0) cdot h(x_0)$
由于 $h(x)$ 在 $x_0$ 处连续且非零，我们知道 $lim_{x o x_0} h(x) = h(x_0) eq 0$。
现在问题就回到了 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的表现。
情况一：如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的“不连续”是可去的，并且我们可以通过乘法“修复”它。
考虑一种特殊的“处处不连续”的函数，比如狄利克雷函数（Dirichlet function）：
$g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
这个函数在每一点都不连续。无论你想在哪里评估它，它都在该点“跳跃”。
现在，我们乘以一个非零连续函数，例如 $h(x) = x$。
$f(x) = g(x) cdot h(x) = egin{cases} x & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
我们来检查一下 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性：
$f(0) = 0$ （因为 0 是有理数）。
$lim_{x o 0} f(x)$:
如果 $x$ 是有理数，趋向于 0，那么 $f(x) = x$，极限是 0。
如果 $x$ 是无理数，趋向于 0，那么 $f(x) = 0$，极限是 0。
所以，$lim_{x o 0} f(x) = 0$。
由于 $lim_{x o 0} f(x) = f(0) = 0$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是连续的。
这个例子表明，一个处处不连续的函数乘以一个非零连续函数， 有可能在某个点变得连续！ 在这个例子中，是因为 $h(x)$ 在 $x=0$ 时为 0，这抵消了 $g(x)$ 在 $x=0$ 处的“怪异行为”。
情况二：更一般的“处处不连续”函数。
如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在，而 $h(x_0) eq 0$。
那么 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} (g(x) cdot h(x))$。
由于 $h(x)$ 的极限是 $h(x_0)$，这个乘积的极限行为主要取决于 $g(x)$ 的极限行为。如果 $g(x)$ 的极限不存在，那么 $g(x) cdot h(x)$ 的极限很可能也不存在，除非 $h(x_0)=0$ (我们排除了这种情况)。
我们来构造一个“处处不连续”且乘积后仍然不连续的例子。
考虑一个修改版的狄利克雷函数，或者一个基于周期性不连续的函数。
设 $g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x in mathbb{Q} \ 1 & ext{if } x otin mathbb{Q} end{cases}$ （这是另一个处处不连续的函数）。
再设 $h(x) = 1$ （一个非零连续函数）。
那么 $f(x) = g(x) cdot h(x) = g(x)$。
$f(x)$ 在每一点都不连续，所以 $f(x)$ 也是处处不连续的。
更巧妙的例子，结合我们上面讨论的“可去间断点”和“跳跃间断点”：
设 $g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x = 1/n ext{ for some integer } n eq 0 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
这个函数在 $x=1, 1/2, 1/3, ..., 1, 1/2, 1/3, ...$ 这些点处值为 1，在所有其他点值为 0。
在 $x=1/n$ (非零整数的倒数) 处：
$g(1/n) = 1$。
但是，在该点附近，有无限多个无理数（或 $1/m, m eq n$），这些地方 $g(x)=0$。
所以 $lim_{x o 1/n} g(x) = 0$。
因此，在这些点是可去间断点。
在 $x=0$ 处：
$g(0)=0$。
但是，在 $x=0$ 的任何邻域内，都存在形如 $1/n$ 的点，这些点 $g(x)=1$。同时也有其他点 $g(x)=0$。
极限 $lim_{x o 0} g(x)$ 不存在（它在 0 和 1 之间振荡）。所以这是一个复杂的间断点。
在其他点 $x_0$ (非零有理数且不是 $1/n$ 的形式，或无理数)：
$g(x_0)=0$。
在 $x_0$ 的足够小的邻域内，不存在形如 $1/n$ 的点，所以 $g(x)=0$。
$lim_{x o x_0} g(x) = 0$。
所以，在这些点 $g(x)$ 是连续的。
所以，$g(x)$ 在 $x=0$ 和形如 $x=1/n$ 的点处不连续，在其他点连续。这并不是“处处不连续”。
让我们回到真正的“处处不连续”函数，如狄利克雷函数。
狄利克雷函数 $g(x)$ 在每一点都不连续。
我们乘以一个非零连续函数 $h(x)$。
如果 $h(x_0) eq 0$ 对于所有 $x_0$：
在 $x_0$ 处，我们有 $f(x_0) = g(x_0) h(x_0)$。
我们需要考察 $lim_{x o x_0} g(x) h(x)$。
由于 $g(x)$ 在 $x_0$ 的任何邻域内都会在值 0 和 1 之间“跳跃”，所以 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在。
除非 $h(x_0)=0$，否则 $lim_{x o x_0} g(x) h(x)$ 通常也不会存在。
回到那个关键的例子：
$g(x) = egin{cases} 1 & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
$h(x) = x$
$f(x) = g(x) cdot h(x) = egin{cases} x & ext{if } x ext{ is rational} \ 0 & ext{if } x ext{ is irrational} end{cases}$
这个 $g(x)$ 在处处不连续。
这个 $h(x)=x$ 在处处连续，并且在 $x=0$ 处是零，在其他地方非零。
$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在其他所有非零点 $x_0$ 处不连续。
为什么不连续？
考虑 $x_0 eq 0$。
$f(x_0) = g(x_0) cdot x_0$。
如果 $x_0$ 是有理数，$f(x_0) = 1 cdot x_0 = x_0$。
如果 $x_0$ 是无理数，$f(x_0) = 0 cdot x_0 = 0$。
现在看极限 $lim_{x o x_0} f(x)$。
在 $x_0$ 的任意邻域内，都存在有理数和无理数。
如果 $x_0$ 是有理数：
沿着有理数趋近：$lim_{x o x_0, x in mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} x = x_0$。
沿着无理数趋近：$lim_{x o x_0, x otin mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} 0 = 0$。
由于 $x_0 eq 0$，这两个极限不相等，所以 $lim_{x o x_0} f(x)$ 不存在。
如果 $x_0$ 是无理数：
沿着有理数趋近：$lim_{x o x_0, x in mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} x = x_0$。
沿着无理数趋近：$lim_{x o x_0, x otin mathbb{Q}} f(x) = lim_{x o x_0} 0 = 0$。
由于 $x_0 eq 0$，这两个极限不相等，所以 $lim_{x o x_0} f(x)$ 不存在。
因此，对于狄利克雷函数乘以 $h(x)=x$，结果函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，但在所有其他点 $x eq 0$ 处都不连续。
结论的细化：
如果一个函数 $g(x)$ 是处处不连续的，并且我们将其乘以一个非零连续函数 $h(x)$：
1. 如果 $h(x)$ 在某一点 $x_0$ 处的值是 0 ($h(x_0)=0$)：那么 $f(x_0) = g(x_0) cdot h(x_0) = g(x_0) cdot 0 = 0$。
同时，如果 $lim_{x o x_0} g(x)$ 存在且有限（即使不等于 $g(x_0)$），那么 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} g(x) cdot h(x) = (lim_{x o x_0} g(x)) cdot (lim_{x o x_0} h(x)) = (lim_{x o x_0} g(x)) cdot 0 = 0$。
在这种情况下，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可能连续。狄利克雷函数乘以 $x$ 的例子就是这样。
更普遍地说，如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的“不连续”是可以被 $h(x_0)=0$ 这种方式“抵消”的（例如，即使 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在，但如果 $g(x)$ 的值在 $x_0$ 附近的邻域是有限的，乘上一个趋向于 0 的函数就有可能使整体趋于 0）。
2. 如果 $h(x)$ 始终非零 ($h(x) eq 0$ 对于所有 $x$)：
那么 $f(x_0) = g(x_0) cdot h(x_0)$。
我们考察 $lim_{x o x_0} f(x) = lim_{x o x_0} g(x) cdot h(x)$。
因为 $h(x)$ 在 $x_0$ 处连续且非零，所以 $lim_{x o x_0} h(x) = h(x_0) eq 0$。
如果 $g(x)$ 在 $x_0$ 的极限 $lim_{x o x_0} g(x)$ 不存在（如狄利克雷函数在所有点的情况），那么 $g(x) cdot h(x)$ 的极限很可能也不存在。
在这种情况下，$f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
总结：
处处不连续的函数乘以一个非零连续函数，结果是 不一定连续。
在“处处不连续”的函数本身有某种“可以被乘法抵消”的性质（例如狄利克雷函数），并且非零连续函数的值在某一点为零时，乘积才可能在该点连续。
如果乘以的是一个始终严格非零的连续函数，那么即使原函数只是在某个点不连续，结果函数通常也会在该点不连续。如果原函数是处处不连续（例如，在所有点极限都不存在），那么结果函数很可能在所有点都不连续。
所以，问题的关键在于“处处不连续”的具体表现形式以及非零连续函数是否在某些点取值为零。如果说“处处不连续”指的是例如狄利克雷函数那样，在每一点的极限都不存在，那么乘以一个始终非零的连续函数，结果几乎肯定会在所有点都不连续。而如果允许“处处不连续”包含可以被乘法修复的间断点，并且乘以的函数在某些点为零，那么结果就可能变得连续。
希望这个详细的解释能够帮助您理解这个问题！
网友意见
谢邀。
研究处处，其实就是研究在每一个点上的情况。
证：设 f 在 x₀ 处不连续，g 在 x₀ 处连续，且
由 f 的非连续性可知，存在两个以 x₀ 为极限的序列，包含在 x₀ 的一个充分小邻域内，设
（允许 ε₀ = + ∞）
现在研究 f(x)g(x) 在 x₀ 处的连续性：利用三角不等式放缩易得，f(x)g(x) 在 x₀ 处存在两个极限不一样的序列，
当f(α_n)有界时
当f(α_n)无界时，上式也是严格大于0
故 f(x)g(x) 在 x₀ 处不连续。
Q.E.D
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