曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？
这个问题很有意思，它触及了曲线几何学中一个基础但深刻的分类问题。简单来说，曲率处处不为零的闭曲线不一定只能是闭凸曲线，但凸性确实在其中扮演了重要的角色。要详细解释这一点，我们需要先梳理一些基本概念，并一步步分析。
1. 理解关键概念：
闭曲线 (Closed Curve): 这是一个首尾相连的曲线，没有起点和终点。想象一下橡皮筋围成的一个圈。
曲率 (Curvature): 曲率衡量的是曲线弯曲的程度。在一个点上，曲率越大，曲线在该点就越“弯”。对于二维平面上的曲线，我们通常讨论的是一阶曲率（即$kappa(s)$，其中$s$是弧长参数）。
曲率处处不为零 (Curvature Never Vanishes): 这意味着在曲线上的任何一个点，它的弯曲程度都不是零。一个直线段的曲率为零，所以曲率处处不为零就排除了任何直线段的存在。
凸曲线 (Convex Curve): 这是问题的核心。在二维平面上，一个闭曲线被称为凸的，如果它包含在一个半平面内，并且其边界就是该曲线本身。换句话说，对于曲线上的任意两点，连接这两点的线段完全位于曲线的内部或边界上。另一种理解方式是，曲线的“内侧”永远是同一个方向的。
2. 为什么曲率处处不为零很重要？
如果一条闭曲线的曲率处处不为零，这意味着它在任何地方都不是“直”的。这通常意味着曲线是连续光滑的，并且有一个明确的“内外”之分。
一阶曲率不为零的例子： 圆、椭圆、螺旋线（虽然螺旋线不是闭合的，但它的曲率不为零）。
一阶曲率会为零的例子： 你可以想象一个“回”字形或者一个“S”形的曲线，在某些转折点，它的曲率会变成零。
3. 闭凸曲线的曲率特性：
一个重要的定理是：在二维平面上，一个光滑的闭曲线是凸当且仅当它的曲率处处同号。
同号曲率： 这意味着曲率要么在整个曲线上始终是正的，要么始终是负的。在标准参数化下（通常约定逆时针方向为正），我们习惯于将凸曲线的曲率看作是恒正的。一个恒正的曲率意味着曲线总是向同一个方向弯曲（例如，始终向左转，如果以逆时针方向前进）。
曲率符号与方向： 曲率的符号与曲线的参数化方向有关。如果我们改变参数化方向（例如，将曲线从顺时针改为逆时针），曲率的符号就会改变。但曲率绝对值不为零这个性质是独立于参数化方向的。
4. 回答核心问题：曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？
答案是：否。
虽然凸曲线的曲率确实处处不为零（且同号），但存在曲率处处不为零但非凸的闭曲线。
为什么会存在非凸的闭曲线，但曲率仍然处处不为零？
关键在于曲率可以改变符号。如果一条闭曲线的曲率处处不为零，那么它在某些地方可能是正的，在另一些地方可能是负的。
如何理解曲率改变符号？ 想象一下，曲线在某个区域是向左弯曲（曲率符号为正），然后在另一个区域变成向右弯曲（曲率符号为负）。如果这种弯曲变化是连续发生的，并且在任何地方曲率都没有达到零，那么这条曲线的曲率就处处不为零。
为什么这样的曲线不是凸的？ 如果一条曲线的曲率改变了符号，这意味着它在某个方向上的弯曲最终会“反转”成另一个方向的弯曲。这必然会导致曲线出现“内凹”的区域，或者说，你无法找到一个半平面使得整条曲线都位于这个半平面内（并且不穿越其边界）。
举例说明：
最简单的例子就是像一个拉长的“S”形（如果将其首尾连接起来形成闭合）。
想象一下在二维平面上画一条曲线：
1. 起始点： 从一个点开始。
2. 第一段： 以恒定的、正的曲率向一个方向弯曲，形成一个弧形。
3. 第二段： 在某个点之后，曲率开始逐渐变化，最终变成负的，并继续以负的曲率弯曲。
4. 第三段： 然后曲率可能再次变化，变回正的，或者甚至再次变成负的。
如果我们能够设计这样的曲线，使得它的曲率在整个过程中始终不等于零，并且在某个“交叉点”或者“转折点”之后曲率的符号发生了改变，那么这条曲线就满足了“曲率处处不为零”的条件，但它不再是凸的。
更严谨的例子：类椭圆但带有凹陷的曲线
考虑一个标准的椭圆，它的曲率始终是正的（假设参数化方向正确），所以它是凸的。现在，我们想要制造一个非凸但曲率处处不为零的曲线。
我们可以想象在椭圆的某个部分，稍微向内“挤压”一下，形成一个微小的凹陷。如果这个挤压是足够光滑，并且没有让曲率在任何地方达到零，那么我们就得到了一个非凸的闭曲线，但曲率依然处处不为零。
数学上，这可以通过对曲线进行扰动来实现。例如，选取一个凸曲线，然后在其表面叠加一个“非凸”的扰动函数。如果扰动的程度控制得当，使得扰动后曲线的总曲率仍然不为零，并且保持光滑连续，那么就可能得到这样的例子。
一些数学背景：
在微分几何中，FrenetSerret公式描述了曲线的运动。曲率和挠率（在三维空间中）是描述曲线几何性质的关键。在二维空间中，我们主要关注曲率。
对于一条光滑闭曲线 $C$，如果其曲率为 $kappa(s)$，那么沿着整个曲线积曲率 $oint kappa(s) ds$ 的结果与曲线的总转角（或者说风 घुमाव数）有关。
对于一个凸闭曲线，它的总转角总是 $2pi$（或$2pi$，取决于方向）。这意味着曲率在整个过程中“累积”了 $2pi$ 的变化。如果曲率是恒正的，它就一直向同一个方向转。
如果一条闭曲线的曲率允许改变符号，那么它的总曲率积分 $oint kappa(s) ds$ 仍然是 $2pi$（或$2pi$），因为首尾相连，总的转向角不变。但是，符号的变化意味着它在某些地方向一个方向转，又在另一些地方向相反方向转。
总结：
闭凸曲线一定是曲率处处不为零的。 而且，它们的曲率符号是固定的（同号）。
曲率处处不为零的闭曲线不一定是闭凸曲线。 它们可以通过允许曲率改变符号来实现。这些非凸的曲线在几何上可能表现出“内凹”的特征，即存在一个半平面，使得曲线的全部或部分位于该半平面之外。
所以，曲率处处不为零是一个必要条件（对于凸曲线而言），但不是一个充分条件来定义闭凸曲线。凸性还需要曲率的同号性作为补充条件。
1. 理解关键概念：
闭曲线 (Closed Curve): 这是一个首尾相连的曲线，没有起点和终点。想象一下橡皮筋围成的一个圈。
曲率 (Curvature): 曲率衡量的是曲线弯曲的程度。在一个点上，曲率越大，曲线在该点就越“弯”。对于二维平面上的曲线，我们通常讨论的是一阶曲率（即$kappa(s)$，其中$s$是弧长参数）。
曲率处处不为零 (Curvature Never Vanishes): 这意味着在曲线上的任何一个点，它的弯曲程度都不是零。一个直线段的曲率为零，所以曲率处处不为零就排除了任何直线段的存在。
凸曲线 (Convex Curve): 这是问题的核心。在二维平面上，一个闭曲线被称为凸的，如果它包含在一个半平面内，并且其边界就是该曲线本身。换句话说，对于曲线上的任意两点，连接这两点的线段完全位于曲线的内部或边界上。另一种理解方式是，曲线的“内侧”永远是同一个方向的。
2. 为什么曲率处处不为零很重要？
如果一条闭曲线的曲率处处不为零，这意味着它在任何地方都不是“直”的。这通常意味着曲线是连续光滑的，并且有一个明确的“内外”之分。
一阶曲率不为零的例子： 圆、椭圆、螺旋线（虽然螺旋线不是闭合的，但它的曲率不为零）。
一阶曲率会为零的例子： 你可以想象一个“回”字形或者一个“S”形的曲线，在某些转折点，它的曲率会变成零。
3. 闭凸曲线的曲率特性：
一个重要的定理是：在二维平面上，一个光滑的闭曲线是凸当且仅当它的曲率处处同号。
同号曲率： 这意味着曲率要么在整个曲线上始终是正的，要么始终是负的。在标准参数化下（通常约定逆时针方向为正），我们习惯于将凸曲线的曲率看作是恒正的。一个恒正的曲率意味着曲线总是向同一个方向弯曲（例如，始终向左转，如果以逆时针方向前进）。
曲率符号与方向： 曲率的符号与曲线的参数化方向有关。如果我们改变参数化方向（例如，将曲线从顺时针改为逆时针），曲率的符号就会改变。但曲率绝对值不为零这个性质是独立于参数化方向的。
4. 回答核心问题：曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？
答案是：否。
虽然凸曲线的曲率确实处处不为零（且同号），但存在曲率处处不为零但非凸的闭曲线。
为什么会存在非凸的闭曲线，但曲率仍然处处不为零？
关键在于曲率可以改变符号。如果一条闭曲线的曲率处处不为零，那么它在某些地方可能是正的，在另一些地方可能是负的。
如何理解曲率改变符号？ 想象一下，曲线在某个区域是向左弯曲（曲率符号为正），然后在另一个区域变成向右弯曲（曲率符号为负）。如果这种弯曲变化是连续发生的，并且在任何地方曲率都没有达到零，那么这条曲线的曲率就处处不为零。
为什么这样的曲线不是凸的？ 如果一条曲线的曲率改变了符号，这意味着它在某个方向上的弯曲最终会“反转”成另一个方向的弯曲。这必然会导致曲线出现“内凹”的区域，或者说，你无法找到一个半平面使得整条曲线都位于这个半平面内（并且不穿越其边界）。
举例说明：
最简单的例子就是像一个拉长的“S”形（如果将其首尾连接起来形成闭合）。
想象一下在二维平面上画一条曲线：
1. 起始点： 从一个点开始。
2. 第一段： 以恒定的、正的曲率向一个方向弯曲，形成一个弧形。
3. 第二段： 在某个点之后，曲率开始逐渐变化，最终变成负的，并继续以负的曲率弯曲。
4. 第三段： 然后曲率可能再次变化，变回正的，或者甚至再次变成负的。
如果我们能够设计这样的曲线，使得它的曲率在整个过程中始终不等于零，并且在某个“交叉点”或者“转折点”之后曲率的符号发生了改变，那么这条曲线就满足了“曲率处处不为零”的条件，但它不再是凸的。
更严谨的例子：类椭圆但带有凹陷的曲线
考虑一个标准的椭圆，它的曲率始终是正的（假设参数化方向正确），所以它是凸的。现在，我们想要制造一个非凸但曲率处处不为零的曲线。
我们可以想象在椭圆的某个部分，稍微向内“挤压”一下，形成一个微小的凹陷。如果这个挤压是足够光滑，并且没有让曲率在任何地方达到零，那么我们就得到了一个非凸的闭曲线，但曲率依然处处不为零。
数学上，这可以通过对曲线进行扰动来实现。例如，选取一个凸曲线，然后在其表面叠加一个“非凸”的扰动函数。如果扰动的程度控制得当，使得扰动后曲线的总曲率仍然不为零，并且保持光滑连续，那么就可能得到这样的例子。
一些数学背景：
在微分几何中，FrenetSerret公式描述了曲线的运动。曲率和挠率（在三维空间中）是描述曲线几何性质的关键。在二维空间中，我们主要关注曲率。
对于一条光滑闭曲线 $C$，如果其曲率为 $kappa(s)$，那么沿着整个曲线积曲率 $oint kappa(s) ds$ 的结果与曲线的总转角（或者说风 घुमाव数）有关。
对于一个凸闭曲线，它的总转角总是 $2pi$（或$2pi$，取决于方向）。这意味着曲率在整个过程中“累积”了 $2pi$ 的变化。如果曲率是恒正的，它就一直向同一个方向转。
如果一条闭曲线的曲率允许改变符号，那么它的总曲率积分 $oint kappa(s) ds$ 仍然是 $2pi$（或$2pi$），因为首尾相连，总的转向角不变。但是，符号的变化意味着它在某些地方向一个方向转，又在另一些地方向相反方向转。
总结：
闭凸曲线一定是曲率处处不为零的。 而且，它们的曲率符号是固定的（同号）。
曲率处处不为零的闭曲线不一定是闭凸曲线。 它们可以通过允许曲率改变符号来实现。这些非凸的曲线在几何上可能表现出“内凹”的特征，即存在一个半平面，使得曲线的全部或部分位于该半平面之外。
所以，曲率处处不为零是一个必要条件（对于凸曲线而言），但不是一个充分条件来定义闭凸曲线。凸性还需要曲率的同号性作为补充条件。
网友意见
这里声明：
如果光滑正则简单闭合曲线 的曲率处处不为0，那么 是凸集。（这可能就是题主所说的 是凸曲线的含义）
证明概述（可能不严格，请自行严格化）：
- 将 参数化使得速率处处为1，由曲率 是 上的连续函数且恒大于0知道有正的下界，换言之切向量导数的模 有正的下界。
- 显见 沿法方向，即只有两种可能：要么指向曲线内侧要么指向外侧。但由于 连续，并且由1知 有正的下界，故只可能处处指向内侧或处处指向外侧。
- 考虑 上离原点最远的点 ，容易证明 是指向内侧的，所以由2知 处处指向内侧。
- 由3知 至少在局部看起来是凸的（意思是：对 中任何点 ，存在一个邻域 ，使得 是凸的）。为了证明这一点，只需考虑 在边界 上的每个点 都是局部凸的（为什么不用考虑内部？因为内部是开集，自然是局部凸的）。将 平移到原点并且作一个旋转使得 竖直向上，则变换后的 在原点附近是某一函数 的图像，并且 ，这意味着 在原点附近是凸函数，即原点附近 上方（等价地， 附近 内部）是凸集，这就表明 在 处是局部凸的。
- 查了MSE[1]，闭集+连通+局部凸就可以推出凸（1928, Tietze & Nakamija)，而前三条正是 所满足的。
参考
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