如何简明地解释曲率（curvature）？

想象你正沿着一条曲线行走，比如一条弯弯绕绕的山路。曲率，简单来说，就是这条路在你行进时“弯曲”的程度。

如果我们把这条路看作是一个在二维平面上运动的物体，那么在每个点上，我们可以找到一个最能“贴合”这条路的圆。这个圆被称为“密切圆”。密切圆的半径越大，说明这条路在那一点越平缓，曲率就越小。反之，密切圆的半径越小，说明这条路在那一点越陡峭，曲率就越大。

更具体一点，曲率衡量的是曲线在某一点的变化速度。如果一条曲线非常平直，像一条直线，那么在任何一点上，它都不会“偏离”其方向，所以它的曲率就是零。但如果曲线像一个急转弯，那么在那个转弯点，它会迅速地改变方向。这种方向改变的速度，就是曲率所要表达的。

所以，曲率不是一个固定的数值，而是曲线在不同点上的一种“局部”性质。在一条曲线的不同位置，曲率的大小可以完全不同。比如，一个非常大的圆，它的整体看起来都很平坦，几乎接近一条直线，那么它的曲率就非常小。而一个很小的圆，它每时每刻都在快速地改变方向，它的曲率就非常大。

从数学上讲，曲率与曲线的切线方向的变化率有关。想象你用一根绳子绑着一个小球，然后拉着绳子让小球沿着曲线运动。在每个点上，你感受到的绳子拉紧的程度，某种程度上就反映了曲线的曲率。绳子越难保持小球沿着当前方向运动，说明曲线越弯，曲率就越大。

总而言之，曲率就是衡量一条曲线在特定点上弯曲程度的一个量，它告诉我们曲线在这个点上方向改变得有多快。

网友意见

https://www.zhihu.com/video/1496141659172179968

1 地球是圆的

历史上很长的时间，人们都觉得地球是平的：

不过如果在海边，还是容易发现地球其实不是平的。比如极目远眺，发现很远的建筑在海平面以下：

加上麦哲伦环球航行、月全食、太空旅行等各种事实的呈现，人们最终可以确定地球是圆的的了（下图是从月球上看地球）。

之所以这么难发现地球是圆的，主要是因为地球的半径太大了。

2 球的曲率

下面有三个球体，网球、篮球、地球，半径越小的越容易看出是圆的：

随着半径地变大（除了圆心之外，圆能够改变的也只有半径了），越来越不圆了：

因此，定义球体或者圆的“圆”的程度，术语叫作曲率，为：

其中为球体或者圆的半径，这样半径越小的圆曲率越大，直线可以看作半径为无穷大的圆，其曲率为：

这样定义曲率符合我们的直觉。

3 曲线的曲率

很显然，曲线也有不同的弯曲程度：

3.1 密切圆

可以将圆的曲率扩展到曲线上。我们知道两点决定一条直线，比如下面就是曲线的割线：

当的时候，得到的就是切线：

同样的道理，三个点可以确定一个圆：

当时，得到的圆称为密切圆（Osculating circle），是对附近的曲线的最佳圆近似：

3.2 密切圆的半径与曲率

可以观察到，在曲线较为平坦的地方，密切圆半径很大，较为弯曲的地方，密切圆半径就较小：

这个事实告诉我们，可以用密切圆的曲率来定义曲线的曲率（因为格式所限，详细推导请查看此处，还是挺有意思的，综合应用了线性代数的知识）：

已知函数 在 点有二阶导数 ，且 ，则此点有密切圆，其半径为：
此时，曲线的曲率也就是密切圆的曲率，为：

所以密切圆也称为曲线的曲率圆，半径 称为曲率半径。

4 曲率圆的圆心

光知道半径是没有办法画出密切圆（曲率圆）的，还必须知道它的圆心在哪里（因为格式所限，详细推导请查看此处）：

已知函数 在 点有二阶导数 ，且 ，则此点有密切圆（曲率圆），其圆心为 ：

值为：

此圆心也称作曲率中心。

如果移动，会得到一系列曲线的密切圆的圆心：

圆心轨迹称为曲线的渐屈线，其参数方程很显然为：

曲线称为圆心轨迹的渐伸线。

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