如何简单地解释「超模（Supermodular）博弈」？

想象一下，你和朋友一起玩一个策略游戏，比如下棋或者做生意。在某些游戏中，你做的选择可能会影响到对方的收益，反之亦然。更进一步，如果你们俩在某个方面都做了“更好”的选择，你们俩的收益都会比单独选择“好”要来得大。这就是“超模博弈”的核心思想，只不过它用更严谨的数学语言来描述。

什么是“超模”？

“超模”这个词，在数学里有点像“增进”或者“放大”的意思。它描述的是一种互动和协同效应。在一个超模博弈里，当一个人做出某个“好”的决定时，另一个人的“好”的决定会变得更加有价值，或者说，当一个人不那么“好”地决定时，另一个人的“好”的决定带来的好处也并不会打折。

我们可以用一个简单的例子来解释：

假设有两个人，A和B，他们要一起合作完成一个项目。这个项目需要两个人都要投入一定的努力。

情况一： A投入了“低”努力，B也投入了“低”努力。他们都能完成项目，但效果一般，收益也一般。
情况二： A投入了“高”努力，B投入了“低”努力。B可能会觉得轻松一些，但A的努力很多程度上被浪费了，B的收益提升不大，甚至可能因为B的低努力而影响了整体效果，A的收益也受限。
情况三： A投入了“低”努力，B投入了“高”努力。和情况二类似，B的努力没有得到充分发挥，A的收益有限。
情况四： A投入了“高”努力，B也投入了“高”努力。这时，他们的努力会产生协同效应。A的努力让B的工作更顺畅，B的努力也让A的成果更有意义。总的来说，双方的收益都比他们各自单方面付出“高”努力（而另一方付出“低”努力）时要高得多。

在超模博弈中，情况四就是体现了“超模”的特点：当A选择“高”努力时，B选择“高”努力比选择“低”努力带来的收益增量更大。反之亦然。 也就是说，一方做出“更好”的决定，会“增加”另一方做出“更好”的决定的吸引力或价值。

更详细一点的描述（不用太数学化）：

你可以把“超模”理解成一种“互利互惠”或者“协同增效”的机制。

1. 个体决策的价值会随着对方的决策而变化：
如果对方选择“好”的策略，我的“好”策略会给我带来更大的收益。
如果对方选择“差”的策略，我的“好”策略带来的收益可能不如对方也选择“好”策略时那么大，但通常也不会变得更糟，或者说“好”策略的相对优势依然存在。

2. “好”的策略会变得更“有吸引力”： 随着对方越来越“好”地决策，我的“好”决策的吸引力也会随之增加。

为什么叫做“超模”？

“模”可以理解为“模型”或者“回报函数”。“超模”就是说，这个回报函数（收益）的“形状”是“凸”的，而且在两个玩家的策略空间上同时是凸的。

用通俗一点的话说，就是玩家的收益曲线是“向上弯曲”的。当一个玩家的投入（或者说选择的策略）增加时，他的收益会以递增的速度增加，尤其是在对方也增加投入的情况下。

博弈中的“超模”有什么用？

“超模博弈”这个概念在经济学、博弈论、甚至人工智能领域都非常重要，因为它能帮助我们理解和预测一些特定的市场行为和合作模式：

协同合作： 比如两个公司合作开发新技术。如果两家公司都投入更多资源（高努力），他们成功的几率会大大增加，带来的回报也比单独一方投入要高很多。
市场规模效应： 比如一个平台型产品（像社交媒体）。用户越多（策略“好”），对新用户越有吸引力，新用户也更愿意加入，形成一个正向循环。
技术标准： 比如不同的通信技术标准。如果大多数人选择一个标准，那么这个标准就会变得越来越好，因为它拥有更多的兼容用户和开发支持，其他标准也就更难竞争。
投资决策： 在一些金融市场中，如果很多投资者都看好某个行业并投入资金，这个行业的发展就会加速，吸引更多资金，形成“超模”效应。

和“纳什均衡”的关系：

在超模博弈中，通常存在一个“协调的纳什均衡”，也就是说，所有玩家都选择“最优”策略（比如都投入高努力），并且在这个状态下，没有人愿意单方面改变自己的策略。更重要的是，在超模博弈中，这种协调的均衡往往是“社会最优”的，即能带来所有玩家的总体收益最大化。

简单总结一下：

超模博弈就像是一场“一起把事情做得更好，我们都会因此获益更多”的游戏。它描述的是玩家之间的互动，当一方的策略朝着“更好”的方向发展时，会激励另一方也做出“更好”的策略，并且双方的收益都会因此而放大。这种“相互促进”的效应，就是“超模”的核心。

记住这个关键点：一方的“进步”让另一方的“进步”更有价值，并且这种“价值的增加”本身也在增长。 这种“正向反馈”和“协同增效”是超模博弈最显著的特征。

网友意见

谢邀。这个问题我修改了一下，加入了英文原词，因为“超模博弈”是实在太尴尬的翻译了，我还以为是一个用超模之间的竞争作为博弈论的一个小例子呢。

Supermodularity和Submodularity对应，其实本身是函数的一个性质，只是在博弈论中多有应用。性质就和题目中描述的一样，看起来有点拗口，但是用公式表示很简单：

这个式子表达的就是大家都在一个局中，你策略的变化如何影响我选择的策略的动机。在现实中，这种互相影响的情况很多，所以用super(sub)modularity可以很好的来抽象它们。

一个简单的例子就是垄断竞争的情况，一个行业有说多不多，说少不少个企业，说寡头谈不上，但是每一家也有一点市场力量和议价权。这种情况下，每家企业有两个变量，一个是价格，一个是产量。

那么当一家企业定价增加( )的时候，其他的企业都感受到了一点竞争的减弱，那么这意味着其他企业在现有的基础上提价的动机增加了，如果 表示企业的利润函数，那么显然：

, 这就是supermodularity了。一般来说，supermodularity意味着策略互补——这里面体现在一方价格增加，会导致其他人的最优价格普遍增加。

而当一家企业增加自己产量( )的时候，其他企业都感觉到了一点竞争的压力，这意味着其他企业的最优产量会减少，这意味着： ，这个就是submodularity。submodularity意味着策略替代——这里就是一方的产量的增加，会导致另外一方最优产量的减少。

无论是supermodularity还是submodularity都是表示博弈性质的工具，这个可以用在各个方面。比如如果我们要表示在一个群体里面有社会压力，那么当其他人都很努力学习的时候，你的最优努力程度也增加了，那么这个时候，其他人的努力和你的努力就是策略性互补的，所以就可以用一个supermodularity的函数来表示自己的效用函数。

当函数不可导的时候可以参看@sleepsoft 的答案，有一个更加一般化的超模博弈的解释。

司马老师那个答案有点问题，他那个条件其实要求的是凹性，本质上依旧是通过凹凸有致来求极值

但你看考虑一个不可微函数那条件就不适用了

supermodular game其实算是这种的general化——这种博弈不要求payoff function的拟凹性，但是保证了解集有良好性质(有纯粹战略解，存在least equilibrium point和greatest equilibrium point)

简而言之就是

一个博弈G满足

1）strategy profile

2) payoff function ui is supermodular in si

3) payoff function ui has increasing di erence in S

则G叫supermodular game

对这样个G，我们有Topkis 定理：

a） G为supermodular game

b）S非空紧致

c) ui is upper semicontinuous in si for each s-i

满足以上条件则解集 为非空的complete lattice，且存在greatest element 和least element

大多数结论可见

Topkis, D., Supermodularity and Complementarity, Princeton University Press, 1998.

这本书，我觉得算是博弈论和or进阶的必备数学教材

Supermodular game本身很成熟了，各大高校都搜的到课件——不过不一定在经济系，可能在ieor系

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