如何用简单的例子解释什么是 Generalized Method of Moments (GMM)？
咱们先抛开那些复杂的公式，用一个大家都能理解的例子来聊聊。
想象一下，你是个喜欢侦探小说的人，现在你手里有本推理小说，里面讲的是一个发生在很久以前的盗窃案。
这本小说里，作者给了一些线索，但这些线索都不够直接指向唯一的凶手。比如说：
线索一：案发现场留下的脚印大小，大概是某个特定范围内的。
线索二：目击者说，凶手当时穿了一件深色的衣服，而且身材不高不矮。
线索三：案发前后，有几个人在附近出现过，他们的活动轨迹和时间点有点可疑。
你的目标是什么呢？目标是找出那个最有可能的凶手。
这里的“凶手”，在统计学里，就可以类比成我们想要估计的未知参数。 比如，凶手的身高、他的体型、他当时穿的衣服的颜色等等。这些我们不知道，但我们想通过现有信息来“猜”出来。
而那些线索，就是我们手里的“数据”。 脚印大小、目击者描述、活动轨迹，这些都是我们观察到的现象。
现在的问题是，我们怎么从这些不那么“完美”的线索里，找出“最合理”的凶手呢？
这里就轮到GMM出场了。GMM的核心思想是：“如果我的猜测是对的，那么我观察到的这些线索，应该跟我猜测的凶手应该具有的特征之间，存在某种特定的‘关系’。”
我们把这个“关系”叫做“矩条件”或者“正交条件”。用咱们的例子来说，就是：
如果我猜这个凶手身高是175cm，那么我通过脚印数据推算出来的身高范围，应该跟175cm“比较接近”。
如果我猜凶手穿的是黑色衣服，那么目击者描述的“深色衣服”这个信息，应该跟我猜测的颜色“比较符合”。
如果我猜的是某个嫌疑人，那么他的活动轨迹应该跟案发的时间、地点“比较吻合”。
“矩”这个词，其实就是用来衡量这种“关系”的，它是一种对数据（或数据与模型）的一种统计学描述。 最简单的矩就是数据的平均值（一阶矩），它描述了数据的中心趋势。更复杂的矩可以描述数据的离散程度（方差）、偏度和峰度等等。
GMM就是要我们找到这样一些“矩条件”，这些条件应该满足一个很重要的特性：当我们的“猜测”（即未知参数）是真实值的时候，这些“矩条件”的平均值应该等于零。
打个比方，如果某个凶手的真实身高是175cm，那么我们用脚印数据估计出来的一个关于身高的“误差项”（比如，脚印估计身高 真实身高），这些误差项的平均值，应该趋近于零。如果它是正的，说明我们的估计值普遍偏高；如果是负的，普遍偏低。
那么问题来了，我们怎么找到这些“矩条件”呢？
在GMM里，我们通常会利用一些“工具变量”。这些工具变量有这么几个特点：
1. 跟我们想要估计的未知参数（凶手特征）相关。 比如，如果我们要估计凶手的身高，那么案发时附近出现的其他人的平均身高，可能就跟凶手身高有关联。
2. 不直接受到我们正在研究的那个“事件”（盗窃案本身）的直接影响。 比如，案发时下雨了，下雨这个现象可能跟凶手身高无关，但如果它影响了案发现场留下的脚印的清晰程度，那它就跟我们的数据产生了间接联系。我们想要找的工具变量，是要能够间接帮助我们估计参数，但本身又不直接“污染”数据的。
3. 容易观测和计算。 就像我们要从案发现场的蛛丝马迹里，找出一些可行的线索一样。
有了这些工具变量，我们就可以构造出我们的“矩条件”。举个简单的例子：
假设我们要估计凶手的身高（$eta$）。我们手里有凶手的脚印数据（$X$，可以看作是影响身高的因素）和案发地点的一些其他人的平均身高（$Z$，作为工具变量）。
我们知道，如果凶手身高是 $eta$，那么（凶手身高 $eta$） 应该是一个“合理的”误差。
那么，我们可以构造一个“矩条件”：
$E[(X cdot eta) Y] = 0$
其中，$Y$是我们实际测量到的跟凶手身高有关的某个量（比如说，从脚印数据反推的某个身高的“代理变量”）。
但是，这个公式里面直接有 $Y$，我们想估计 $eta$，而 $Y$ 本身可能也跟我们无法观测的因素有关，也就是可能有内生性的问题。
这时候，工具变量 $Z$ 就派上用场了。我们不能直接用 $E[(X cdot eta) Y] = 0$，因为 $Y$ 有问题。
我们可以利用工具变量 $Z$ 的性质，构造一个新的矩条件，这个条件保证了：
$E[Z cdot (Y X cdot eta)] = 0$
为什么这样可以？因为我们假设了工具变量 $Z$ 跟我们模型中的“误差项”（$Y X cdot eta$）是不相关的，所以它们的乘积的期望值应该是零。
GMM 的核心就是利用这些“矩条件”来估计未知参数。
我们手里有很多样本数据，每一个样本数据都会给我们提供一个“样本矩”（就是把期望值换成样本平均值）。比如，我们有一百个案发的地点，每个地点都能得到脚印数据、目标区域的其他人身高数据等等。
我们现在有一组“样本矩条件”：
$frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} [Z_i cdot (Y_i X_i cdot eta)] = 0$
这里，$N$ 是我们拥有的样本数量。
但是，我们有一个参数 $eta$ 要估计，但是我们有多个这样的矩条件（因为我们有多个工具变量，或者我们对一个工具变量可以构造多个不同形式的矩条件）。这就是“广义”的由来——我们不仅仅满足一个条件，而是要同时满足多个条件。
问题来了：我们怎么找到一个 $eta$，能让这些样本矩条件“最接近于零”呢？
因为我们是估计值，不可能让所有样本矩都恰好等于零。所以GMM的目标是找到一个 $eta$，使得这些样本矩的“平方和”被最小化。
你可以想象成，你给每个样本矩一个“分数”（比如说平方值），然后你找到一个 $eta$，能让所有样本矩的“分数”加起来是最小的。那个能让总分数最小的 $eta$，就是我们用GMM估计出来的最“合理”的凶手身高（或者其他特征）。
这个“最小化平方和”的过程，就需要一个“权重矩阵”来决定给哪些样本矩“更高的权重”。这个权重矩阵的选择也很讲究，通常是根据样本矩的协方差矩阵来确定的，这样可以得到最有效率的估计。
简单总结一下GMM的逻辑：
1. 明确目标： 我们想估计什么？（比如凶手的身高）
2. 寻找线索： 我们有什么数据？（比如脚印、目击者描述）
3. 建立理论联系： 如果我们的猜测是对的，那么数据应该满足什么“矩条件”？（比如，根据凶手身高推算的脚印特征，应该跟实际脚印数据“不冲突”）
4. 引入工具： 寻找能够帮助我们满足这些“矩条件”，并且与我们研究的目标（凶手身高）相关，但又不直接被“事件”污染的“工具变量”。
5. 估计求解： 找到一个未知参数（凶手身高），使得根据我们数据计算出来的“矩条件”的平方和最小。
为什么说GMM很“广义”和强大？
灵活性： 只要你能找到一些合理的“矩条件”，就可以用GMM来估计参数，不局限于特定的模型形式（比如必须是正态分布等）。这就好像，即使线索不全，只要你能找到一些可以用来佐证的“逻辑关系”，你就能推理下去。
处理内生性： GMM最核心的优势之一就是处理模型中的“内生性”问题。在很多经济学或社会科学的研究中，我们想要估计的变量可能受到其他未观测到的因素影响，导致模型估计失真。GMM通过工具变量，可以在一定程度上解决这个问题。就像在推理案子时，我们不能直接信任所有目击者的话，但可以找到一些旁证（工具变量），来帮助我们判断哪个目击者的话更可信。
效率： 当我们选择合适的权重矩阵时，GMM能够得到最优（最有效率）的估计量。
所以，下回当你听到GMM这个词时，别被那些数学符号吓到。它本质上就是一种非常务实的思想：通过寻找数据和我们理论模型之间的“统计上的不冲突”，来估计那些我们不知道的“真相”。就像一个侦探，从蛛丝马迹中寻找证据，不断修正自己的猜测，直到找到那个最符合所有证据的“凶手”。
网友意见
既然被邀请和提到，在这里我来写一个最简单的GMM快速入门手册吧，因为这个技术听起来非常的高大上，但其实非常简单。如果你有本科的统计知识，看懂下文是不成问题的。
GMM的全名是Generalized Method of Moments，也就是广义矩估计。只看这个名字的话，如果去掉「广义」这个词，可能学过本科统计的人都认识，就是「矩估计」。
矩估计是什么呢？简单的说，就是用样本矩代替总体矩进行统计推断的方法。一个最基础的例子是正态总体的参数估计问题。如果，如何估计μ和σ呢？
本科的统计学一般会介绍两种方法：极大似然估计和矩估计。其中矩估计是我们今天的主角。观察到：
，
而根据大数定理，在一定的条件下，我们有：
也就是说，当样本量足够大的时候，样本矩与总体矩只差了一个无穷小量，那么我们是不是可以用样本矩代替总体矩得到参数的估计呢？
按照上面的思路，我们把op(1)去掉，同时把未知的总体参数写成其估计值，也就是带hat的形式，我们得到了：
如此，我们得到了两个总体矩的点估计。在这个简单的例子里面，你只要把上面的大数定理的结论带到上面两个式子里面，很容易的就可以证明出两个点估计是一致的估计量。
当然，值得注意的是，即便我使用的是矩条件，σ的估计也不是无偏的。一般而言，除了特殊情况，不管是MLE还是MM还是GMM，都不一定可以得到无偏的估计量。特别是在比较复杂的应用里面，一致就很不错了，无偏性的讨论真的繁琐。
好了，上面是矩估计，非常简单是吧？但是什么又是广义矩估计呢？
在上面的例子中，我们只使用了两个矩条件。然而我们知道，正态分布的矩是有无穷多个可以用的，那么我们是不是可以使用更多的矩条件呢？
但是有个问题不好解决。在这个例子里面，我们有两个未知参数，如果只使用一阶矩，那么只有一个方程解两个未知数，显然是不可能的。像上面一样，我们用两个矩条件解两个未知数，就解出来了。然而，当我们用一到三阶矩，总共三个方程求解的时候，三个方程求解两个未知数，可能无解。
方程数多了，反而没有解了，为什么呢？其实很简单，用三个方程中的任意两个方程，都可以求出一组解，那么三个方程我们就可以求出三组解。所以应该如何把这些矩条件都用上呢？
到这里我们不妨引入一些记号。还是使用上面的例子，我们把上面的三个矩条件写到一个向量里面去，记：
我们可以得到一个3*1的列向量，并且：
上面就是我们要用的矩条件。而根据上面的思路，用其样本矩代替总体矩：
解这个方程应该就可以得到参数θ的估计。但是正如上面所说的，三个方程两个未知数，并不能确保这个方程有解，所以必须想一些其他办法。
一个比较自然的想法是，上面的矩条件等于0，虽然我不太可能保证三个方程同时等于0，但是仿照OLS，我们可以让他们的平方和最小，也就是：
这样我们就能保证三个矩条件的样本矩都足够贴近于0，当然不可能同时为0。这样不就综合使用了三个矩条件的信息么？
更一般的，由于上面的g函数是一个3*1的列向量，我们可以使用一个权重矩阵W来赋予每个矩条件以不同的权重：
只要这个W是一个正定矩阵，那么仍然可以保证每个样本矩都足够贴近于0。
那么问题来了，既然对W的要求只要求正定矩阵，那么使用不同的权重矩阵就有可能得到不同的结果。问题是，有没有一个最优的权重矩阵呢？当然是有的。可以证明，最优的权重矩阵应该是：
使用这个权重矩阵，就得到了最有效的估计。
比如上面的例子，用gretl分别估计两个矩条件、三个矩条件使用单位阵作为W、三个矩条件使用最优权重矩阵做估计：
nulldata 1000 set seed 1988 series x=randgen(N,1,2) series x2=x^2 series x3=x^3 series e series e2 series e3 scalar mu=0 scalar sigma2=1 matrix W2=I(2) gmm series e=x-mu series e2=x2-sigma2-mu^2 orthog e; const orthog e2; const weights W2 params mu sigma2 end gmm matrix W3=I(3) scalar mu=0 scalar sigma2=1 gmm series e=x-mu series e2=x2-sigma2-mu^2 series e3=x3-3*mu*sigma2-mu^3 orthog e; const orthog e2; const orthog e3; const weights W3 params mu sigma2 end gmm scalar mu=0 scalar sigma2=1 gmm series e=x-mu series e2=x2-sigma2-mu^2 series e3=x3-3*mu*sigma2-mu^3 orthog e; const orthog e2; const orthog e3; const weights W3 params mu sigma2 end gmm --iterate 首先是使用两个矩条件的结果：
为什么两个矩条件的时候不使用最优权重矩阵呢？因为两个未知参数，两个矩条件，不存在过度识别的问题，存在唯一解的，所以不管使用任何的正定矩阵，得到的结果都是一样的。
三个矩条件，这个时候使用什么样的权重矩阵就不一样了。先使用单位阵作为权重矩阵：
这里需要注意的是，即使使用了更多的矩条件，估计量的standard error还是变大了。感兴趣的可以做一个蒙特卡洛模拟试试，一定是会变大的。为什么呢？因为没有使用最优的权重矩阵，所以使用单位阵作为权重矩阵得到的结果不是最有效的。那么如果使用最优的权重矩阵呢？结果：
嘿！standard error是变小了，但是跟使用两个矩条件的好像没有什么本质变化啊？为什么呢？
因为这里举的这个例子太特殊了，我们使用的前两个矩条件，刚好是一个充分统计量，也就是说，使用额外的矩条件不会带来附加信息的。但是如果是其他情况，一般来说更多的矩条件是可以带来更多的信息的，比如工具变量的回归。
另外如果细心观察，最后一张表格多了一个J-test。这又是啥呢？
这个东西就比较有意思了。知道现在，我们都是假设使用的矩条件成立，那么这些矩条件真的是成立的么？未必啊。比如，如果x本来就不服从正态分布，那么使用上面的估计显然是错的。那么是不是可以检验矩条件是否成立呢？
一般来说，如果你有K个未知的参数，以及K个矩条件，那么矩条件是不能检验的。但是如果你有更多的矩条件，那么就有了检验的可能。这个检验的直觉很简单，比如上面的例子里面，我们有3个矩条件。我可不可以先使用前两个矩条件估计这两个参数，然后把这两个参数带入到第三个矩条件里面，看看是不是充分接近于0，如果充分接近，那么看来这三个矩条件彼此印证了。
实际使用的时候没有那么麻烦。可以证明，当使用了最优的权重矩阵的时候，GMM的目标函数渐进服从卡方分布，因而只要检验这个卡方分布就可以了，也就是上面的J-test。p-value为0.6884，看来这三个矩条件没有矛盾的地方。
但是一定要注意，即使通过了这个检验，也不代表矩条件一定是成立的，因为有可能三个矩条件都是错的，只不过错的方向是一致的。比如这个例子里面，有可能x的分布前三阶矩跟正态分布是一样的，但第四阶就不一样了。因而通过这个检验不代表x一定服从正态分布。当然，如果通不过，可以比较自信的说，x不服从正态分布。
比如，我们把上面的数据生成过程改为gamma分布，得到的结果：
p-value为0.0000，拒绝了原假设，也就是说，三个矩条件不同时成立，数据很有可能不是从正态分布中生成的。
计量经济学的很多很多问题基本都可以归结为GMM的问题。从最简单的OLS、2SLS到稍微复杂一点的面板数据、动态面板等等，本质上都是在找矩条件。比如工具变量的2SLS，可以发现矩条件不过就是：
套一下上面的公式，最优权重矩阵(的逆)为：
带入到目标函数中，就得到了2SLS。
甚至，一些其他的估计量，比如MLE、M-estimator等，在一定的条件下也可以转化为GMM，因为这些估计量的一阶条件可以看成是矩条件。所以GMM也就变成了一个统一的框架。
为什么GMM这么受欢迎呢？因为GMM把复杂的统计过程抽象化成为一个（看似）简单的过程：找矩条件。只要你能找到矩条件，你就能估计。GMM把估计的繁琐细节全都抽象了，面对一个模型，你所需要做的所有事情就是找到矩条件，证明这个模型是可以识别的，然后什么也不用管，一股脑儿塞进去，结果就出来了。
所以呢如果你去看一些稍微复杂的模型，基本都可以归结为矩条件。
至于题主提到的资产定价，刚好Gretl提供了一个可以使用的数据集和code。资产定价最简单的模型应该就是C-CAPM了，其重要结论就可以直接归结为这么一个矩条件：
其中Ft为第t期所知道的所有信息，包括Ct、rt等等。所以根据这个式子，如果令
那么e_t跟Ct、rt等等都是正交的，自然可以作为矩条件来用。
Gretl自带了Hall的数据集，在user guide第206页开始给出了说明和代码，以及结果，感兴趣的可以去看看，很简单的一个程序。
我猜想上面的两个例子已经足够简单了，特别是正态分布的例子，应该不可能更简单了哈哈～
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