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问题

如何用简单的方法证明「在周长一定时，圆的面积最大」？

回答
好的，我们来用一种相对简单直观的方法来证明“在周长一定时，圆的面积最大”。这个证明不需要高深的微积分知识，但会用到一些几何上的思想和代数上的推导。

核心思想：

我们的目标是比较一个固定周长的封闭图形，看看哪种图形能围出最大的面积。直觉告诉我们，越“圆润”的图形，面积可能越大。我们将通过尝试一些“非圆”的图形，与圆进行对比，来一步步说明这一点。

证明步骤：

第一步：从最简单的图形开始 正方形

假设我们有一个固定的周长 $P$。
如果我们用这个周长来围成一个正方形，那么正方形的边长 $s$ 就是 $P/4$。
正方形的面积 $A_{square}$ 就是 $s^2 = (P/4)^2 = P^2 / 16$。

第二步：比较长方形 看看是否能做得更大

现在，我们考虑用相同的周长 $P$ 来围成一个长方形。
设长方形的长为 $l$，宽为 $w$。
周长是 $P = 2l + 2w$。
所以，$l + w = P/2$。

长方形的面积 $A_{rectangle} = l imes w$。

我们知道 $l + w$ 是一个定值（$P/2$）。我们想知道在什么情况下，$l imes w$ 的值最大。
我们可以用一个代数技巧来思考这个问题。
我们知道一个重要的代数恒等式：$(l+w)^2 = l^2 + 2lw + w^2$ 并且 $(lw)^2 = l^2 2lw + w^2$。
从第二个式子可以推导出 $2lw = (l+w)^2 (lw)^2$。
所以，$lw = frac{(l+w)^2 (lw)^2}{2}$。

由于 $l+w = P/2$ 是固定的，所以 $(l+w)^2$ 也是固定的。
要使 $lw$ 最大，就需要让 $(lw)^2$ 最小。
$(lw)^2$ 是一个平方项，它的最小值是 0。
$(lw)^2$ 最小为 0 的时候，意味着 $lw = 0$，也就是 $l = w$。

当 $l=w$ 时，这个长方形就变成了一个正方形。
所以，在所有周长为 $P$ 的长方形中，正方形的面积最大。

我们已经知道正方形的面积是 $P^2 / 16$。
这个推导告诉我们，如果一个图形不是正方形，它的面积就会比正方形小。

第三步：从正方形过渡到更“圆润”的图形 思维实验

现在我们知道，在周长固定的情况下，正方形比其他任何非正方形的长方形面积都大。但是，长方形的“角”还是比较尖锐的。我们直觉上认为，越“圆滑”的图形，面积会越大。

我们来做一个思想实验：
想象一下一个正方形，它的边长是 $s$。周长是 $4s$。
如果我们“拉平”其中一个角，并将它变得更圆滑，比如变成一个弧线。
我们可以想象，如果我们不断地“削平”和“圆滑”正方形的角，并且保持周长不变，我们会得到什么？

有一个重要的几何原理（但这里不详细证明它，只是作为一个直观的出发点）：在周长固定的情况下，多边形的面积随着边数的增加而增加，并且当边数趋向于无穷大时，这个多边形就越来越接近一个圆。

想象一下，我们有一个正方形。它的四个角是直角。
如果我们把一个角的尖锐部分稍微“切掉”一点，并用一条弧线来连接，同时保持周长不变（也就是说，弧线的长度正好等于我们切掉的直线的长度）。
这样做的时候，你会发现，你增加的面积是由于那个弧线比原来的直线“向外凸”了。

举个例子：假设你有一个非常非常细长的长方形，周长是 $P$。它的长 $l$ 很大，宽 $w$ 很小。面积 $l imes w$ 会很小。
但如果你把这个长方形卷起来，让两边“贴合”，并把尖锐的角变成圆滑的曲线，你就得到了一个近似的圆柱体的横截面，或者说一个近似的圆。在这个过程中，面积会显著增加。

第四步：将其他图形与圆进行对比 利用一个关键的不等式（算术平均数 几何平均数不等式）

我们已经知道，在所有周长为 $P$ 的长方形中，正方形面积最大。
现在，我们想要证明圆的面积比任何具有相同周长的多边形（包括正方形）都要大。

考虑一个具有周长 $P$ 的任意封闭图形。我们将它近似为一个具有很多很多边的多边形。
如果我们把这个图形的周长 $P$ 平均分成很多份，每一份作为一段近似的直线段。
我们知道一个重要的数学工具叫做算术平均数 几何平均数不等式（AMGM不等式）。
对于一组非负数 $a_1, a_2, ..., a_n$，它们的算术平均数大于等于几何平均数：
$frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} ge sqrt[n]{a_1 imes a_2 imes ... imes a_n}$
当且仅当 $a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时，等号成立。

现在，让我们将这个不等式应用到我们图形的边长上。
假设一个 $n$ 边形，它的边长分别为 $s_1, s_2, ..., s_n$。周长 $P = s_1 + s_2 + ... + s_n$。
我们用这些边长来近似周长。
如果我们想最大化面积，我们直观上认为，边长应该尽可能相等，这样图形会更“均匀”。
如果所有边长都相等，那么这个 $n$ 边形就是正 $n$ 边形，边长 $s_i = P/n$。
正 $n$ 边形的面积 $A_n$ 是一个复杂的公式，但我们知道它随着 $n$ 的增大而增大。

为了更简单地说明，我们回到长方形的例子，但推广到更一般的“形状”。
假设我们有一个周长为 $P$ 的封闭图形。我们可以把它想象成由很多小段近似直线组成的。
如果我们把这些小段的长度加起来得到周长 $P$。
我们可以把周长 $P$ 分成 $n$ 个小段，长度为 $l_1, l_2, ..., l_n$。$l_1 + l_2 + ... + l_n = P$。
这些小段可以近似地看作是一个 $n$ 边形的边。

如果我们考虑一个形状是由很多小段组成的。假设这些小段的总长度是 $P$。
我们想最大化由这些小段围成的面积。
想象一下，我们把周长 $P$ 分成 $n$ 个相等的小段，每段长度是 $P/n$。
如果我们把这些小段首尾相连，形成一个正 $n$ 边形。
正 $n$ 边形的面积可以通过其边长和中心角来计算。
一个更关键的观察是：对于一个固定周长的图形，当它越来越“圆”的时候，面积也越大。

现在，让我们用代数方式更严谨地处理。
考虑一个周长为 $P$ 的任意形状。
我们知道圆的周长公式是 $C = 2pi r$，面积是 $A = pi r^2$。
从周长公式，我们可以得到半径 $r = P / (2pi)$。
将半径代入面积公式：
$A_{circle} = pi left(frac{P}{2pi} ight)^2 = pi frac{P^2}{4pi^2} = frac{P^2}{4pi}$。

现在，我们要证明对于任何其他周长为 $P$ 的图形，其面积 $A_{other} le A_{circle}$。

我们可以借助等周定理 (Isoperimetric Inequality)。这个定理是说，在所有周长为 $P$ 的封闭图形中，圆的面积最大。并且等周定理有一个明确的数学表达式：
$4pi A le P^2$
其中 $A$ 是图形的面积，$P$ 是周长。
这个不等式意味着 $A le frac{P^2}{4pi}$。
而 $frac{P^2}{4pi}$ 正是圆的面积！
所以，任何周长为 $P$ 的图形，其面积都不会超过 $frac{P^2}{4pi}$，而圆恰好可以达到这个值。

为什么这个不等式是正确的？（更深入的直观理解）

等周定理的完整证明通常需要用到更高级的数学工具，例如微分几何或者傅立叶分析。但是，我们可以尝试用一个更直观的思路来理解为什么圆会胜出。

直观证据的加强：

1. 角的“代价”： 想象你有一个多边形。它的“角”是尖锐的。要保持周长不变，如果我们要让它变得更圆，我们不得不把那些尖锐的角“削平”，然后用一段弧线代替。这段弧线往往比被它取代的直线段要“往外弯曲”一些。每一次这样的“圆滑化”操作，在保持周长不变的同时，都会“挤出”更多的面积。

2. 对称性： 圆拥有完美的对称性。它的每个点到中心的距离都相等。这种均匀性在最大化面积方面非常有利。如果我们试图把圆拉伸成椭圆，虽然周长可能保持不变（或者略有变化，取决于如何拉伸），但面积通常会减小。例如，一个非常扁的椭圆周长可能和圆差不多，但它的面积会比圆小很多。

3. “压缩”的程度： 考虑周长为 $P$ 的图形。如果我们把这个图形“压扁”成一条直线，它的面积就是0。如果把这个图形尽量“舒展开”，让它占据最大的空间，最有效率的方式就是让它形成一个圆。

用物理的类比来辅助理解：

想象你有一根具有固定长度的橡皮筋（代表周长 $P$）。你想用它围住最大的区域。
如果你把它围成一个正方形，它占据一定的面积。
如果你把它拉伸成一个细长的长方形，它的面积就非常小。
如果你把它围成一个圆，你会发现，圆能够“包裹”住最大的面积。这是因为圆的曲线在保持长度一致的情况下，能够最大限度地向外“扩张”。

总结证明的思路：

1. 从简单的图形开始： 对比了周长相同的正方形和长方形，证明了正方形面积最大。
2. 推广到多边形： 直观上认为，随着多边形边数的增加，面积会趋向于圆的面积。
3. 借助数学不等式： 虽然完整证明等周定理比较复杂，但可以引用其结论：$4pi A le P^2$，它直接表明圆的面积（$frac{P^2}{4pi}$）是周长固定时可能的最大面积。

简单的总结：

在周长一定的情况下，圆之所以能围出最大的面积，是因为它是一种最“均匀”和最“对称”的形状。它没有尖锐的角落，它的每一部分都以最有效的方式向外“扩张”，从而在有限的周长内最大化了所能包含的区域。如果把圆的周长“拉直”，它就变成了一条线段；如果把这个线段围成任何其他形状，由于图形的“不规则”或“尖角”，必然会损失一部分本可以包含的面积。圆恰好避免了这些“损失”。

虽然我们没有从零开始推导等周定理，但这个组合了直观几何理解和基本代数工具的论证，已经很好地说明了为什么圆在周长一定时面积最大。

网友意见

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这是等周定理，定理表述如下：

在给定周长的所有闭曲线中圆是具有最大面积的曲线. 反过来，所有围成的区域面积一定的闭曲线中，以圆的周长为最小．

在19世纪，著名的几何学家Steiner(1796-1863)用朴素的几何方法对这一定理给出了证明（不完备）。Steiner的证明如下，分三步：

（1）如果某封闭曲线 是等周问题的解，那么 所围成的图形必须是凸的．

这是因为该图形如果不是凸集, 设想它如图1所画的那样，过 两点连成线段，然后把线段 同曲线 所围成的那一部分朝直线对折过去（变成虚线部分），组成一个新的图形，那么我们就得到一个周长没有变化，但是面积增大的图形．


（2）设封闭曲线 是等周问题的解，那么，如果曲线上的两点 连成的直线段 平分 的周长，那么 必平分曲线 所围成图形的面积．

反证即可，设 平分 的周长，但未平分 所围成图形的面积，那么被 分成的两部分图形中，必有一个面积较大，另一个面积较小．如图2所示，这时如果我们把面积较大的那部分沿着 对折过去，我们将得到一个面积更大的图形，但它的周长并未改变。

(3)如果曲线 是等周问题的解，在它的上面取任一条即平分曲线周长又平分其所围成图形的面积的弦 ，那么 上任何异于 和 的点对弦 的张角必须为一直角．

设在图3的左侧中 不是直角，那么只需把弓形部分 绕着点 转动使 转到 , ( 虽然不动，仍将 纪为 ), 使得 ，如右侧所示。

右侧面积：

左侧面积：

则

因此 ，然后把此图形沿 对折过去，最后形成的图形保持着原来的周长，但具有更大的面积．

显然，具备性质(1)-(3)的曲线一定是圆周，围成的图形是圆。

--2020.02.26


=====================分割线==========================

回答两个问题

  1. 为什么满足性质(3)的曲线轨迹是圆周？

给定线段 设线段长为 , 以 所在直线作 轴， 的中垂线作 轴.

不妨设 ,

因此，P的轨迹是以AB为直径的圆周(抠掉 两点)，从而曲线 是圆周。


2. 为什么Steiner的证明是不完备的？

其实Steiner只是证明了：除圆周之外的任何其他封闭曲线，都不可能是等周问题的解；换言之，如果等周问题的解存在，那么非圆莫属．解的存在性是Steiner解法的重要前提，如果解不存在，那么上面的证明便失去意义．

举个例子：比如我们要找正整数集 的最大值（假装我们对 很不了解）.

可证明：对任意 ，若 ，有 ，且 。因此，对任何非1的正整数 ，它不可能是 中的最大值。但我们不能因此得出1是 中的最大值，因为这个集合中，最大者根本不存在！

直到1870年，Weierstrass用变分法对等周定理作出了第一个严格证明．在1902年，Hurwitiz给出了一个用傅里叶级数所作的证明．

补个傅里叶级数的证明放这儿吧：

取周长为 的闭曲线 ，设曲线参数方程 , 为弧长参数,

则 .

展开成Fourier级数：

由 帕塞瓦尔等式：

故

由Green定理，围成的图形面积：

（帕塞瓦尔）

等号成立当且仅当：

, (保证第一个 取 ). (保证第二个 取 )

因此，当

时，面积 取得最大值 。此时

由 ， 。

因此，当 取得最大值 时，曲线 是 为圆心的单位圆。


可参考：

1.常庚哲，史济怀. 数学分析教程

2.E.Stein. Fourier Analysis

再补充两个有意思的推论：

推论1：边长给定的 边形中以存在外接圆者的面积为最大．

对任意给定边长的n边形 , 设多边形 是与它边长相等的多边形，且内接于圆 , 如图4左侧所示。把多边形想象成铰链架，将多边形 经刚体运动得到多边形 ，闭曲线 不是圆，但它的长度与左侧图中的圆周长相等．由等周定理，曲线 所围成图形的面积小于曲线 所围成的图形(圆形)的面积．又经过刚体运动，两个图中弓形部分（非阴影部分）形状不变，故其面积之和相等。从而


推论2：（第二等周定理）周长一定的所有 边形中，以正 边形的面积为最大.

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