为什么三维欧氏空间中的紧致曲面必有正曲率的点？

在一个三维欧氏空间中，我们考察一个光滑的紧致曲面。想要弄清楚为什么这样的曲面必然存在正曲率的点，这其实可以追溯到一些非常深刻的几何概念，其中高斯博内定理扮演了至关重要的角色。不过，我们先不直接跳到那个定理，而是尝试从更直观的层面来理解它。

首先，让我们明确一下“曲率”是什么意思。在三维空间中，曲面在某一点的曲率并不是一个单一的数值，而是由一系列描述曲面弯曲程度的量来刻画的。最常用也最能直观体现弯曲方向和程度的是“主曲率”。想象你在曲面上的某个点，沿着不同的方向切下去，会得到不同程度的弯曲。主曲率就是能够描述这些弯曲最极端情况的两个值，我们称它们为 $k_1$ 和 $k_2$。

这两个主曲率的乘积，也就是 $K = k_1 k_2$，被称为“高斯曲率”。它告诉我们曲面在这一点是“整体弯曲”的。如果 $K > 0$，这意味着在这一点，曲面在两个互相垂直的方向上都是向同一个方向弯曲的。比如，一个球面，在任何一点，它都是向内或向外均匀弯曲的，所以它的高斯曲率处处是正的。

如果 $K < 0$，这意味着曲面在两个互相垂直的方向上弯曲的方向是相反的。最典型的例子是马鞍面，在马鞍的中间那一点，它一个方向上往下凹，另一个方向上往上凸，所以它的高斯曲率是负的。

如果 $K = 0$，这意味着至少有一个主曲率是零，曲面在那个方向上是平坦的，比如一个圆柱面或者一个平面。

我们现在关注的是“紧致曲面”。在数学里，“紧致”是一个很强的性质，它意味着曲面既是“有界的”（不会无限延伸出去）又是“闭合的”（没有边界，或者说边界是空的）。想象一下，一个球体或者一个甜甜圈（环面），它们都是紧致曲面。它们的大小是有限的，并且它们形成了一个完整的封闭整体。

现在，让我们来思考一下为什么一个光滑的紧致曲面一定有 $K > 0$ 的点。我们可以从反证法的角度来考虑。假设一个光滑的紧致曲面上的所有点的 $K le 0$。这意味着，在曲面的每一个点上，它要么是马鞍形的 ($K<0$)，要么是平坦的 ($K=0$)，或者至少在一个方向上是弯曲的，而在另一个方向上是平坦的。

我们知道，高斯曲率 $K$ 和两个主曲率 $k_1, k_2$ 的乘积有关。另一种描述曲面弯曲的量是“平均曲率”，它定义为 $H = frac{k_1 + k_2}{2}$。高斯博内定理将曲面的内蕴几何性质（例如高斯曲率的积分）与其外在拓扑性质联系起来。虽然高斯博内定理本身是关于高斯曲率积分的，但它背后的思想和一些推论与我们今天要讨论的问题息息相关。

一个更直接的思路是考虑曲面上曲率的分布。对于一个光滑曲面，我们可以想象一下它表面的“凹凸”。如果一个曲面完全没有“凸起”的部分，或者说它所有的弯曲都是朝同一个方向（比如完全像一个球那样向外凸起），那么它的高斯曲率就必然是正的。反过来，如果一个曲面充满了“马鞍形”的地方，或者大部分地方都是平坦的，那么它可能就无法满足某些几何约束。

这里的关键在于“紧致性”和“光滑性”。一个光滑的紧致曲面，你可以想象它就像一个包裹起来的，没有任何破洞或尖角的物体。它的大小是有限的，并且是完整的。

如果一个曲面上的所有点的 $K le 0$，那么这个曲面在局部上就不能像球那样“向内或向外同时收拢”。它要么是像马鞍那样“分开弯曲”，要么是像圆柱面那样“朝一个方向弯曲，另一个方向平坦”。

让我们引入一些更具体的例子和概念。考虑曲面上一个任意一点 $P$。我们可以找到两条相互垂直的曲线，它们穿过 $P$ 并且在 $P$ 点的法线方向相同。这两条曲线的弯曲程度分别对应着 $P$ 点的主曲率 $k_1$ 和 $k_2$。

现在，假设一个紧致曲面上的所有点 $P$ 都满足 $K(P) le 0$。这意味着对于每一个点 $P$，我们总能找到两条主曲率方向，使得 $k_1(P) k_2(P) le 0$。也就是说，要么 $k_1 ge 0$ 且 $k_2 le 0$，要么 $k_1 le 0$ 且 $k_2 ge 0$。

这似乎有点反直觉。一个光滑的、有界、闭合的表面，怎么可能到处都表现出“马鞍形”或者“平坦”的特性，而没有一点像球面那样“纯粹的凸起”？

实际上，这个问题可以通过一些更高级的几何定理来证明，其中一个叫做“黎曼几何中的特征值估计”或者与曲率张量相关的性质有关。但我们更想从一个相对初等的角度来理解。

这里有一个重要的几何直观：曲面上的局部平坦区域或者马鞍形区域倾向于“打开”或者“拉伸”曲面，而球形凸起则倾向于“收拢”曲面。 一个紧致曲面是一个封闭的整体，它不能“无限打开”或者“无限拉伸”。

如果一个曲面处处 $K le 0$，那么它就不能像球面那样，在每个点都能够被一个“内部”空间所包围，并且这个内部空间的大小是有限的。

我们可以考虑曲面上的“极值点”。在曲面上，我们可能找到一些局部极值点，比如最高点或最低点。在这样的点上，曲面的法向量会发生一些特殊的行为。对于一个光滑曲面，如果它有一个最高点，那么在该点的主曲率都应该是非正的，而且至少有一个是零（如果它是尖顶）。如果它有一个最低点，主曲率都应该是非负的。

但是，我们考虑的是整个曲面。对于一个光滑的紧致曲面，一定存在具有最大和最小高程的点。考虑最高点，在该点，所有的法平面方向上，曲面都是向下弯曲或者平坦的，因此两个主曲率 $k_1, k_2 le 0$。那么此时 $K = k_1 k_2 ge 0$。
同理，考虑最低点，在该点，所有的法平面方向上，曲面都是向上弯曲或者平坦的，因此两个主曲率 $k_1, k_2 ge 0$。那么此时 $K = k_1 k_2 ge 0$。

等等，这里似乎有一个误会。对于最高点，主曲率确实都应该是 $k_1 le 0, k_2 le 0$。这样它们的乘积 $K = k_1 k_2 ge 0$。
对于最低点，主曲率确实都应该是 $k_1 ge 0, k_2 ge 0$。这样它们的乘积 $K = k_1 k_2 ge 0$。

这直接就说明了，光滑紧致曲面上的极值点（最高点或最低点）一定具有非负的高斯曲率。如果这些极值点不是“尖锐的”（即不是局部圆锥体），那么在该点至少有一个主曲率是严格负的（最高点）或者严格正的（最低点），所以高斯曲率 $K > 0$。

然而，问题在于，这些极值点可能存在在曲面上吗？

是的，对于任何一个光滑的紧致曲面，我们可以定义一个函数，例如它在三维空间中的 $z$ 坐标。由于曲面是紧致的（有界的且闭合的），这个函数在曲面上必然会达到最大值和最小值。这些达到最大值和最小值的点就是我们所说的最高点和最低点。

那么，我们来仔细考察一下。
假设 $P$ 是曲面上的一个最高点。这意味着在 $P$ 点的任何方向上，曲面都是向下弯曲或者平坦的。从主曲率的角度来看，这意味着两个主曲率 $k_1$ 和 $k_2$ 都必须是非正的，即 $k_1 le 0$ 且 $k_2 le 0$。
因此，在这个最高点 $P$，高斯曲率 $K(P) = k_1(P) k_2(P) ge 0$。

同理，假设 $Q$ 是曲面上的一个最低点。这意味着在 $Q$ 点的任何方向上，曲面都是向上弯曲或者平坦的。从主曲率的角度来看，这意味着两个主曲率 $k_1$ 和 $k_2$ 都必须是非负的，即 $k_1 ge 0$ 且 $k_2 ge 0$。
因此，在这个最低点 $Q$，高斯曲率 $K(Q) = k_1(Q) k_2(Q) ge 0$。

这就说明了，光滑紧致曲面上的最高点和最低点一定具有非负的高斯曲率。

但是，我们想要的不仅仅是“非负”曲率的点，而是“正”曲率的点。
什么情况下，最高点或最低点的高斯曲率会是零呢？
当 $K = k_1 k_2 = 0$ 时，意味着至少有一个主曲率是零。
例如，一个“尖顶”的最高点，可能在一个方向上是平坦的，而在另一个方向上向下弯曲。
或者一个“平坦的圆盘”顶端。

现在我们来处理“严格为正”的情况。

根据一个重要的几何事实（与“第二基本形式的性质”有关，在微分几何中很常见），如果一个光滑曲面在某一点不是“平坦的”（即高斯曲率为零），并且它是一个极值点，那么它必然是正曲率的。

或者换个说法，如果一个最高点的主曲率 $k_1, k_2$ 都是非正的，那么如果至少有一个主曲率不是零（也就是说，这个最高点不是一个全局的平坦区域），那么高斯曲率 $K=k_1 k_2$ 必然是正的。
比如，如果 $k_1 < 0$ 且 $k_2 < 0$，那么 $K > 0$。
只有当至少有一个主曲率是零时，$K$ 才可能为零。

考虑一个最高点 $P$。如果曲面在 $P$ 点不是平坦的（即不是所有主曲率都为零），并且 $k_1 le 0, k_2 le 0$，那么要使得 $K=k_1 k_2 = 0$，必须至少有一个主曲率等于零。
但是，如果曲面在最高点 $P$ 处有一个非零的弯曲，这意味着至少有一个主曲率是非零的。

我们来利用“曲率的凸性”这个概念。

想象一下你在一个光滑曲面的最高点 $P$。你可以在 $P$ 点定义一个切平面。围绕 $P$ 点，曲面在切平面上方（或者如果 $P$ 是最低点，则在下方）的偏离程度由第二基本形式描述。

如果曲面在 $P$ 点是一个“光滑的圆顶”，那么在所有方向上它都在向下弯曲，并且弯曲程度是有限的。这种情况下，$k_1, k_2$ 都是负的，所以 $K = k_1 k_2 > 0$。

如果曲面在 $P$ 点是一个“尖顶”，比如一个像锥体顶部的那个点，那么在一个方向上它可能是平坦的，而在另一个方向上向下弯曲。这时 $k_1=0, k_2 < 0$（或者反过来），所以 $K=0$。

关键在于，“光滑性”保证了我们不会遇到尖锐的突起。

在一个光滑的紧致曲面上，必定存在一个最高点和最低点。
如果最高点 $P$ 的高斯曲率 $K(P) le 0$，那么根据我们上面的分析，必须是 $k_1(P) le 0$ 且 $k_2(P) le 0$。
如果 $K(P) = 0$，那么至少有一个主曲率是零。比如 $k_1(P)=0$。这意味着在 $P$ 点的某个切线方向上，曲面是平坦的。
但是，如果曲面在 $P$ 点的上方（因为它是最高点），那么在其他非零主曲率的方向上，曲面必定是向下弯曲的。

这里涉及到一个更深层次的论证：

假设存在一个光滑的紧致曲面，其所有点的 $K le 0$。
我们可以考虑曲面上的“尖点”或“边缘”的分布。
一个直观的论证是，如果曲面处处 $K le 0$，它就无法“封闭”自己。就像一个马鞍面，它总是在某些方向上“打开”。一个光滑的紧致曲面，是完全封闭且有界的。

让我们引入“欧拉示性数”和高斯博内定理的“味道”。

高斯博内定理说，对于一个光滑的、紧致的、无边界的曲面 $M$，其全纯高斯曲率 $K$ 的积分等于 $2pi$ 乘以它的欧拉示性数 $chi(M)$：
$$ int_M K , dA = 2pi chi(M) $$

欧拉示性数 $chi(M)$ 是一个拓扑不变量，它与曲面的“孔洞”数量有关。
对于一个球面，$chi( ext{Sphere}) = 2$。
对于一个环面（甜甜圈），$chi( ext{Torus}) = 0$。
对于一个带有 $g$ 个洞的曲面，$chi = 2 2g$。

一个光滑的紧致曲面，如果不允许“洞”或者其他复杂的拓扑结构，最简单的就是同胚于球面。
如果一个曲面是同胚于球面（即只有一个“整体”的凸起，没有洞），那么 $chi(M)=2$。
在这种情况下，$int_M K , dA = 2pi imes 2 = 4pi$。
如果曲面上的所有点的 $K le 0$，那么它的积分 $int_M K , dA$ 也必然 $le 0$。
但我们得到了 $4pi > 0$ 的结果。这就产生了矛盾！

所以，如果一个光滑紧致曲面同胚于球面，那么它必然存在 $K > 0$ 的点。

那么，对于更一般的紧致曲面呢？
如果一个光滑紧致曲面不是同胚于球面，它可能有洞。例如，环面。
对于环面，$chi( ext{Torus}) = 0$，所以 $int_{ ext{Torus}} K , dA = 0$。
这是否意味着环面上不存在 $K>0$ 的点呢？不一定。环面上的大部分区域是马鞍形的 ($K<0$)，但是它也有一些凸起的区域。比如，一个胖乎乎的甜甜圈，它的外表面和内表面都有一些凸起的部分。

核心问题在于，我们如何从“积分非负”推断出“存在正值点”？

如果一个连续函数在一个区域上的积分大于零，那么这个函数在该区域上必然存在至少一个正值点。
我们上面通过极值点论证，得到了最高点和最低点必然有 $K ge 0$。
但如果所有 $K ge 0$ 的点都恰好是 $K=0$ 的点呢？

让我们回到极值点的更严谨的论证。

对于一个光滑的紧致曲面 $S$ 在 $mathbb{R}^3$ 中，考虑函数 $f(p) = |p|^2$（距离原点的平方）。这个函数在 $S$ 上必然达到最大值和最小值。令 $p_{max}$ 为最大值点， $p_{min}$ 为最小值点。
$p_{max}$ 是离原点最远的点， $p_{min}$ 是离原点最近的点。

在 $p_{max}$ 点，曲面在这个点是“向内凹陷”的，相对于其切平面而言。
这意味着，在 $p_{max}$ 点，曲面的法向量与从原点指向 $p_{max}$ 的向量是平行的（或者反平行）。令 $n$ 为 $p_{max}$ 点的单位法向量。那么 $p_{max} = r_{max} u$ (其中 $u$ 是单位向量，$r_{max}$ 是距离)。在 $p_{max}$ 点，法向量 $n$ 必须指向远离原点的方向，所以 $n = u$。

考虑曲面在 $p_{max}$ 的主曲率。由于曲面在 $p_{max}$ 点是向内凹陷的，这意味着在所有切线方向上，曲面相对于切平面都向下偏离（即向圆心方向偏离）。
也就是说，主曲率 $k_1, k_2$ 都必须是非正的。
因此，$K(p_{max}) = k_1(p_{max}) k_2(p_{max}) ge 0$。

如果 $K(p_{max}) = 0$，那么至少有一个主曲率是零。比如 $k_1(p_{max})=0$。
这意味着在 $p_{max}$ 点的某个方向上，曲面是平坦的。
然而，如果 $k_1(p_{max})=0$ 且 $k_2(p_{max}) < 0$，那么 $K(p_{max})=0$。

现在，我们需要处理的是：为什么不会所有点的 $K le 0$？
关键在于光滑性！

如果一个最高点 $P$ 的高斯曲率 $K(P) le 0$，并且曲面是光滑的，那么我们可以利用更精细的分析来排除 $K le 0$ 的情况。

一个简化的说法是：
如果一个光滑紧致曲面上的所有点的曲率都是非正的（$K le 0$），那么它就像一个由马鞍面和平面组成的集合，它无法形成一个封闭且有界的整体。要形成一个封闭的整体，总需要一些“收拢”的区域，而这些“收拢”区域往往对应着正曲率。

更严谨的解释涉及到的定理是“曲率的最小值和最大值的存在性”，以及“平均曲率流”的演化。

实际上，有一个直接的证明方法：
1. 存在最高点 $p_{max}$ 和最低点 $p_{min}$。
2. 在这些点，$k_1, k_2 le 0$（最高点）或 $k_1, k_2 ge 0$（最低点）。
3. 因此，$K(p_{max}) ge 0$ 和 $K(p_{min}) ge 0$。
4. 如果 $K(p_{max}) = 0$，这意味着至少一个主曲率是零。假设 $k_1(p_{max}) = 0$ 且 $k_2(p_{max}) < 0$。
5. 那么，在 $p_{max}$ 点附近，曲面在 $k_2$ 的方向上向下弯曲，而在 $k_1$ 的方向上是平坦的。

一个重要的定理（由Weyl证明）指出，如果一个光滑紧致曲面没有“尖点”或“边缘”（即它是一个光滑的流形），并且它是“单连通的”（同胚于球面），那么它必然存在正曲率的点。
这个定理的证明比较复杂，涉及到黎曼几何和偏微分方程。

让我们回归到我们最直观的理解：
一个光滑的、封闭的、有限的表面，它不能一直“打开”或“弯曲成马鞍形”。如果它处处都是马鞍形或者平坦的，那么它最终会“散开”，无法形成一个封闭的整体。要形成一个封闭的整体，总需要有某个地方是“鼓起来的”，就像一个球一样，这个“鼓起来”的过程，自然就意味着正曲率。

换句话说，一个光滑紧致曲面，如果不包含任何正曲率的点，它就无法在三维欧氏空间中“包裹”住一个体积。 任何一个处处 $K le 0$ 的曲面，它在局部上要么是像马鞍一样向不同方向弯曲，要么是平坦的。这些性质都倾向于“展开”曲面，而不是“收拢”。一个曲面要能形成一个封闭的、有限的整体，它必然需要有“收拢”的性质，而这种“收拢”的性质，恰恰由正曲率来体现。

所以，总结一下这个比较初等但核心的论证：
任何光滑的紧致曲面都存在最高点和最低点。
在最高点，两个主曲率都非正，故高斯曲率为非负。
在最低点，两个主曲率都非负，故高斯曲率为非负。

那么，为什么不能所有点的 $K$ 都等于零或者都是非正/非负呢？

这里需要一个稍微强一点的论证：在最高点，如果曲面不是全局平坦的，那么至少有一个主曲率是严格负的。 如果不是这样，即在最高点， $k_1=0$ 且 $k_2=0$ ，那这个点就是“平坦的”，这与最高点不是全局平坦的假设相矛盾。如果存在一个点，曲率是 $k_1=0, k_2 < 0$，那么 $K=0$。

最终的答案是利用了这些极值点的存在性和曲面的光滑性，并结合了更深层次的几何分析，排除所有 $K le 0$ 的可能性。最简明的论证是基于最高点和最低点的存在，以及曲面在这些点的弯曲方向。如果最高点不是一个平坦区域，那么它必然是向某个方向“凹陷”的，这个凹陷的性质就意味着正曲率。

（这里需要更严谨的数学证明来完成“如果 $K=0$ 在最高点，且曲面不是全局平坦，会怎么样”这一步的推导，这通常会用到高阶导数或曲率张量的一些性质。但上述思路已经触及了核心。）

核心直觉是： 想要“封闭”自己，需要“收拢”。而“收拢”的几何特征就是正曲率。