我感觉陈维桓的微分几何书里面曲率的定义不太清楚，你们觉得呢，曲率的定义究竟应该是什么样？
陈维桓的《微分几何》确实是一本经典的教材，但对于初学者来说，曲率的定义确实容易让人感到有些“模糊”。这其中的原因，我觉得主要是因为在不同的语境下，曲率有着不同的侧重点和表现形式，而陈维桓的书中，为了体系的完整性和数学的严谨性，可能一步到位地引入了比较抽象的定义。
在我看来，要彻底理解曲率，咱们得从它最直观的“弯曲程度”这个根本概念入手，然后一层一层剥开它的数学面纱。
1. 最直观的理解：它到底弯了多少？
想象一下你手里拿着一根线，在空中画圈。画得越小，这圈就越“弯”，对吧？这最直观的“弯”的程度，就是曲率最朴素的想法。
平面曲线： 最简单的例子是平面曲线。如果你沿着一条曲线走，你的身体（比如脸的方向）转动的速度有多快，就能反映出曲线的弯曲程度。转得越快，曲率越大。
圆的例子： 一个半径为 R 的圆，无论你在哪里，它的弯曲程度都是一样的。如果你顺着圆走一圈，你的脸会转过 360 度。如果我们把“弯的程度”定义为“单位弧长上方向变化的多少”，那么对于一个半径为 R 的圆，走过一个单位的弧长，你的方向会改变 1/R。所以，圆的曲率就是 1/R。半径越小，1/R 越大，曲率越大，这和我们直观感觉是一致的。
空间曲线： 到了三维空间，情况就更复杂一些。你沿着一条空间曲线走，你的脸不仅可能转向，还可能上下倾斜。所以，空间曲线的弯曲程度，不再是单一的一个数值就能描述的。
2. 数学的语言：如何量化“弯”？
数学家们需要一个精确的工具来描述这个“弯”。
切向量的“变化率”： 还是回到上面“脸的方向”的例子。我们用切向量来描述曲线在某一点的方向。切向量是一个单位向量，它沿着曲线的方向。
平面曲线的曲率 (κ)： 陈维桓书中出现的曲率，对于平面曲线来说，通常是指单位弧长下，切向量方向变化的速率。
设曲线是 $gamma(s)$，其中 $s$ 是弧长参数。那么 $vec{T}(s) = gamma'(s)$ 就是切向量。曲率 $kappa(s)$ 的定义就是：
$$ kappa(s) = ||vec{T}'(s)|| $$
也就是说，我们对切向量求导（这代表了方向的变化），然后取其模长。这个模长就是曲率。
为什么是弧长参数？ 使用弧长参数是因为它保证了单位弧长，这样我们比较的是“在相同长度上方向改变了多少”，避免了速度快慢对曲率的影响。如果你走得快，即使弯曲程度一样，你单位时间内的方向变化率可能也不同，但这不应该是曲率本身决定的。
陈维桓书中的引入方式： 陈维桓的书里，一开始可能不是直接用弧长参数定义，而是从参数化的曲线 $gamma(t)$ 出发，通过计算 $frac{||gamma''(t) imes gamma'(t)||}{||gamma'(t)||^3}$ 来得到曲率。这里需要理解的是，$gamma'(t)$ 是速度向量，$gamma''(t)$ 是加速度向量。加速度向量 $gamma''(t)$ 可以分解为沿着切向量方向的分量（切向加速度）和垂直于切向量方向的分量（法向加速度）。曲率衡量的正是这个法向加速度在方向变化中的作用。当使用弧长参数时，$||gamma'(s)|| = 1$，$gamma''(s)$ 的方向就完全垂直于切向量 $vec{T}(s)$，此时 $kappa(s) = ||gamma''(s)||$。
空间曲线的“挠率”： 到了空间曲线，光有一个方向的变化还不够。考虑一根螺旋线。它既有“弯”的程度（像圆一样），又有“拧”的程度，就像螺丝一样，是螺旋上升的。这个“拧”的程度，我们就用挠率 (τ) 来衡量。
挠率的直观理解： 挠率描述的是曲线法平面（垂直于切向量的平面）的转动。如果你沿着空间曲线前进，你的脸不仅会转，还会歪，这个歪的程度就是由挠率决定的。
数学描述： 挠率的定义就更复杂一些，涉及到弗莱纳参照系（Frenet Frame）：单位切向量 $vec{T}$、单位主法向量 $vec{N}$（指向切向量变化的主要方向）和单位副法向量 $vec{B} = vec{T} imes vec{N}$（垂直于两者）。
此时，我们关注的是副法向量 $vec{B}$ 的变化率。具体来说，是 $vec{B}'(s)$ 在主法平面上的投影。
$$ au(s) = vec{B}'(s) cdot vec{N}(s) $$
同样，这是单位弧长下的定义。
陈维桓书中的联系： 陈维桓书中会详细推导切向量、法向量、副法向量的导数关系，即弗莱纳公式：
$$
egin{aligned}
vec{T}' &= kappa vec{N} \
vec{N}' &= kappa vec{T} + au vec{B} \
vec{B}' &= au vec{N}
end{aligned}
$$
从这些公式可以看出，曲率 $kappa$ 决定了切向量 $vec{T}$ 向法向量 $vec{N}$ 的变化率（也就是“弯”的程度），而挠率 $ au$ 决定了副法向量 $vec{B}$ 向法向量 $vec{N}$ 的变化率（也就是“拧”的程度）。
3. 曲率的几何意义：法平面与法向加速度
法平面： 对于空间曲线，在每一点都有一个垂直于切向量的平面，叫做法平面。这个平面包含了 $vec{N}$ 和 $vec{B}$。
法向加速度： 回到物理的直觉。当一个物体在曲线路径上运动时，它的速度向量在改变。速度的改变意味着加速度。加速度可以分解为沿着速度方向的切向加速度和垂直于速度方向的法向加速度。
曲率与法向加速度： 如果你开一辆车，方向盘打得越厉害（曲率越大），你为了保持方向不变，就需要施加一个更大的、垂直于前进方向的力（法向加速度）。反过来，同样大的法向加速度，在一个曲率更大的地方（更小的转弯半径），会使你的速度变化得更快（方向改变得更快）。
数学上，速度为 $vec{v}$，加速度为 $vec{a}$。在参数为 $t$ 的情况下，$vec{a} = vec{v}'$。我们将 $vec{a}$ 分解为平行于 $vec{v}$ 的 $vec{a}_{parallel}$ 和垂直于 $vec{v}$ 的 $vec{a}_{perp}$。
$$ vec{a} = vec{a}_{parallel} + vec{a}_{perp} $$
其中 $||vec{a}_{perp}||$ 就是法向加速度的大小。
可以证明，当曲线是单位速度曲线时（即 $||gamma'(s)|| = 1$），法向加速度的模长 $||gamma''(s)||$ 正是曲率 $kappa(s)$。
4. 陈维桓书中的“核心”：曲率张量与主曲率
陈维桓的书中，尤其是在讲到曲面论时，曲率的概念就更加深入和抽象了。
曲面上的“弯”： 曲面比曲线更复杂。一个曲面在某一点的弯曲程度，取决于你在这个点从哪个方向去“看”它。
正常曲率 (Normal Curvature)： 考虑曲面在一点 P 的一个切方向 $vec{v}$。通过 P 点，沿着 $vec{v}$ 的方向，我们可以构造一条过 P 点的法截线（曲面在包含法向量的平面上的截线）。这条法截线的曲率，就是曲面在 P 点沿着 $vec{v}$ 方向的法向曲率。
主曲率 (Principal Curvatures)： 欧拉发现，在曲面上，存在两个特殊的相互垂直的方向，这两个方向上的法向曲率有最大值和最小值。这两个值就是曲面在 P 点的主曲率，记为 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。
高斯曲率 (Gaussian Curvature) 和 平均曲率 (Mean Curvature)：
高斯曲率 $K = kappa_1 kappa_2$： 这是曲面固有的曲率，不随观测方向改变，只取决于曲面本身。它决定了曲面能否在不拉伸或压缩的情况下展平到平面上。如果 $K > 0$，是椭圆点（像球面）；如果 $K < 0$，是双曲点（像马鞍面）；如果 $K = 0$，是抛物点（像圆柱面）。
平均曲率 $H = frac{kappa_1 + kappa_2}{2}$： 这是两个主曲率的平均值。它在描述曲面的形状（比如极小曲面）时很重要。
陈维桓书中的“曲率张量”： 在陈维桓的书中，为了更一般地描述曲面的曲率，会引入第二基本形式。第二基本形式的系数可以构成一个曲率张量（或称为第二基本张量）。这个张量在局部坐标下是一个矩阵。
作用： 这个张量包含了关于曲面在某一点的局部形状的全部信息。它的特征值就是曲面的主曲率，特征值之积是高斯曲率，特征值之和的一半是平均曲率。
总结一下，我觉得陈维桓书中的曲率定义之所以可能让你觉得不清晰，是因为：
1. 层层递进的抽象： 从直观的“弯”到单位弧长下的切向量变化率，再到空间曲线的弗莱纳参照系，最后到曲面的主曲率和高斯曲率，每一步都引入了新的数学工具和概念。
2. 严谨的数学表达： 为了保证数学上的精确性，书中使用的定义往往是基于微积分和向量分析的最严谨形式，这需要读者有扎实的数学基础去理解。
3. 不同情境下的侧重点： 在讲曲线时，侧重于描述曲线本身的弯曲程度；在讲曲面时，则侧重于描述曲面在一点的局部形状，这需要用多个数值（主曲率）来描述，而高斯曲率和平均曲率是对这些数值的综合。
我的建议是：
先抓住直观概念： 始终记住曲率就是“弯曲程度”。
从平面曲线开始： 彻底理解平面曲线的曲率定义，例如圆的曲率是 1/R。
理解空间曲线的弗莱纳参照系： 明白切向量、法向量、副法向量及其导数关系，这有助于理解挠率。
曲面论的循序渐进： 学习曲面论的曲率时，从法截线和法向曲率开始，然后过渡到主曲率、高斯曲率和平均曲率。
多做练习： 陈维桓书中的习题是理解这些概念的绝佳途径。通过计算具体的例子，你会对抽象的定义有更深的体会。
希望我的这些想法，能帮助你更清晰地理解陈维桓书中关于曲率的定义。这是一个需要耐心和反复琢磨的过程，但一旦理解了，你会发现微分几何的魅力所在！
在我看来，要彻底理解曲率，咱们得从它最直观的“弯曲程度”这个根本概念入手，然后一层一层剥开它的数学面纱。
1. 最直观的理解：它到底弯了多少？
想象一下你手里拿着一根线，在空中画圈。画得越小，这圈就越“弯”，对吧？这最直观的“弯”的程度，就是曲率最朴素的想法。
平面曲线： 最简单的例子是平面曲线。如果你沿着一条曲线走，你的身体（比如脸的方向）转动的速度有多快，就能反映出曲线的弯曲程度。转得越快，曲率越大。
圆的例子： 一个半径为 R 的圆，无论你在哪里，它的弯曲程度都是一样的。如果你顺着圆走一圈，你的脸会转过 360 度。如果我们把“弯的程度”定义为“单位弧长上方向变化的多少”，那么对于一个半径为 R 的圆，走过一个单位的弧长，你的方向会改变 1/R。所以，圆的曲率就是 1/R。半径越小，1/R 越大，曲率越大，这和我们直观感觉是一致的。
空间曲线： 到了三维空间，情况就更复杂一些。你沿着一条空间曲线走，你的脸不仅可能转向，还可能上下倾斜。所以，空间曲线的弯曲程度，不再是单一的一个数值就能描述的。
2. 数学的语言：如何量化“弯”？
数学家们需要一个精确的工具来描述这个“弯”。
切向量的“变化率”： 还是回到上面“脸的方向”的例子。我们用切向量来描述曲线在某一点的方向。切向量是一个单位向量，它沿着曲线的方向。
平面曲线的曲率 (κ)： 陈维桓书中出现的曲率，对于平面曲线来说，通常是指单位弧长下，切向量方向变化的速率。
设曲线是 $gamma(s)$，其中 $s$ 是弧长参数。那么 $vec{T}(s) = gamma'(s)$ 就是切向量。曲率 $kappa(s)$ 的定义就是：
$$ kappa(s) = ||vec{T}'(s)|| $$
也就是说，我们对切向量求导（这代表了方向的变化），然后取其模长。这个模长就是曲率。
为什么是弧长参数？ 使用弧长参数是因为它保证了单位弧长，这样我们比较的是“在相同长度上方向改变了多少”，避免了速度快慢对曲率的影响。如果你走得快，即使弯曲程度一样，你单位时间内的方向变化率可能也不同，但这不应该是曲率本身决定的。
陈维桓书中的引入方式： 陈维桓的书里，一开始可能不是直接用弧长参数定义，而是从参数化的曲线 $gamma(t)$ 出发，通过计算 $frac{||gamma''(t) imes gamma'(t)||}{||gamma'(t)||^3}$ 来得到曲率。这里需要理解的是，$gamma'(t)$ 是速度向量，$gamma''(t)$ 是加速度向量。加速度向量 $gamma''(t)$ 可以分解为沿着切向量方向的分量（切向加速度）和垂直于切向量方向的分量（法向加速度）。曲率衡量的正是这个法向加速度在方向变化中的作用。当使用弧长参数时，$||gamma'(s)|| = 1$，$gamma''(s)$ 的方向就完全垂直于切向量 $vec{T}(s)$，此时 $kappa(s) = ||gamma''(s)||$。
空间曲线的“挠率”： 到了空间曲线，光有一个方向的变化还不够。考虑一根螺旋线。它既有“弯”的程度（像圆一样），又有“拧”的程度，就像螺丝一样，是螺旋上升的。这个“拧”的程度，我们就用挠率 (τ) 来衡量。
挠率的直观理解： 挠率描述的是曲线法平面（垂直于切向量的平面）的转动。如果你沿着空间曲线前进，你的脸不仅会转，还会歪，这个歪的程度就是由挠率决定的。
数学描述： 挠率的定义就更复杂一些，涉及到弗莱纳参照系（Frenet Frame）：单位切向量 $vec{T}$、单位主法向量 $vec{N}$（指向切向量变化的主要方向）和单位副法向量 $vec{B} = vec{T} imes vec{N}$（垂直于两者）。
此时，我们关注的是副法向量 $vec{B}$ 的变化率。具体来说，是 $vec{B}'(s)$ 在主法平面上的投影。
$$ au(s) = vec{B}'(s) cdot vec{N}(s) $$
同样，这是单位弧长下的定义。
陈维桓书中的联系： 陈维桓书中会详细推导切向量、法向量、副法向量的导数关系，即弗莱纳公式：
$$
egin{aligned}
vec{T}' &= kappa vec{N} \
vec{N}' &= kappa vec{T} + au vec{B} \
vec{B}' &= au vec{N}
end{aligned}
$$
从这些公式可以看出，曲率 $kappa$ 决定了切向量 $vec{T}$ 向法向量 $vec{N}$ 的变化率（也就是“弯”的程度），而挠率 $ au$ 决定了副法向量 $vec{B}$ 向法向量 $vec{N}$ 的变化率（也就是“拧”的程度）。
3. 曲率的几何意义：法平面与法向加速度
法平面： 对于空间曲线，在每一点都有一个垂直于切向量的平面，叫做法平面。这个平面包含了 $vec{N}$ 和 $vec{B}$。
法向加速度： 回到物理的直觉。当一个物体在曲线路径上运动时，它的速度向量在改变。速度的改变意味着加速度。加速度可以分解为沿着速度方向的切向加速度和垂直于速度方向的法向加速度。
曲率与法向加速度： 如果你开一辆车，方向盘打得越厉害（曲率越大），你为了保持方向不变，就需要施加一个更大的、垂直于前进方向的力（法向加速度）。反过来，同样大的法向加速度，在一个曲率更大的地方（更小的转弯半径），会使你的速度变化得更快（方向改变得更快）。
数学上，速度为 $vec{v}$，加速度为 $vec{a}$。在参数为 $t$ 的情况下，$vec{a} = vec{v}'$。我们将 $vec{a}$ 分解为平行于 $vec{v}$ 的 $vec{a}_{parallel}$ 和垂直于 $vec{v}$ 的 $vec{a}_{perp}$。
$$ vec{a} = vec{a}_{parallel} + vec{a}_{perp} $$
其中 $||vec{a}_{perp}||$ 就是法向加速度的大小。
可以证明，当曲线是单位速度曲线时（即 $||gamma'(s)|| = 1$），法向加速度的模长 $||gamma''(s)||$ 正是曲率 $kappa(s)$。
4. 陈维桓书中的“核心”：曲率张量与主曲率
陈维桓的书中，尤其是在讲到曲面论时，曲率的概念就更加深入和抽象了。
曲面上的“弯”： 曲面比曲线更复杂。一个曲面在某一点的弯曲程度，取决于你在这个点从哪个方向去“看”它。
正常曲率 (Normal Curvature)： 考虑曲面在一点 P 的一个切方向 $vec{v}$。通过 P 点，沿着 $vec{v}$ 的方向，我们可以构造一条过 P 点的法截线（曲面在包含法向量的平面上的截线）。这条法截线的曲率，就是曲面在 P 点沿着 $vec{v}$ 方向的法向曲率。
主曲率 (Principal Curvatures)： 欧拉发现，在曲面上，存在两个特殊的相互垂直的方向，这两个方向上的法向曲率有最大值和最小值。这两个值就是曲面在 P 点的主曲率，记为 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。
高斯曲率 (Gaussian Curvature) 和 平均曲率 (Mean Curvature)：
高斯曲率 $K = kappa_1 kappa_2$： 这是曲面固有的曲率，不随观测方向改变，只取决于曲面本身。它决定了曲面能否在不拉伸或压缩的情况下展平到平面上。如果 $K > 0$，是椭圆点（像球面）；如果 $K < 0$，是双曲点（像马鞍面）；如果 $K = 0$，是抛物点（像圆柱面）。
平均曲率 $H = frac{kappa_1 + kappa_2}{2}$： 这是两个主曲率的平均值。它在描述曲面的形状（比如极小曲面）时很重要。
陈维桓书中的“曲率张量”： 在陈维桓的书中，为了更一般地描述曲面的曲率，会引入第二基本形式。第二基本形式的系数可以构成一个曲率张量（或称为第二基本张量）。这个张量在局部坐标下是一个矩阵。
作用： 这个张量包含了关于曲面在某一点的局部形状的全部信息。它的特征值就是曲面的主曲率，特征值之积是高斯曲率，特征值之和的一半是平均曲率。
总结一下，我觉得陈维桓书中的曲率定义之所以可能让你觉得不清晰，是因为：
1. 层层递进的抽象： 从直观的“弯”到单位弧长下的切向量变化率，再到空间曲线的弗莱纳参照系，最后到曲面的主曲率和高斯曲率，每一步都引入了新的数学工具和概念。
2. 严谨的数学表达： 为了保证数学上的精确性，书中使用的定义往往是基于微积分和向量分析的最严谨形式，这需要读者有扎实的数学基础去理解。
3. 不同情境下的侧重点： 在讲曲线时，侧重于描述曲线本身的弯曲程度；在讲曲面时，则侧重于描述曲面在一点的局部形状，这需要用多个数值（主曲率）来描述，而高斯曲率和平均曲率是对这些数值的综合。
我的建议是：
先抓住直观概念： 始终记住曲率就是“弯曲程度”。
从平面曲线开始： 彻底理解平面曲线的曲率定义，例如圆的曲率是 1/R。
理解空间曲线的弗莱纳参照系： 明白切向量、法向量、副法向量及其导数关系，这有助于理解挠率。
曲面论的循序渐进： 学习曲面论的曲率时，从法截线和法向曲率开始，然后过渡到主曲率、高斯曲率和平均曲率。
多做练习： 陈维桓书中的习题是理解这些概念的绝佳途径。通过计算具体的例子，你会对抽象的定义有更深的体会。
希望我的这些想法，能帮助你更清晰地理解陈维桓书中关于曲率的定义。这是一个需要耐心和反复琢磨的过程，但一旦理解了，你会发现微分几何的魅力所在！
网友意见
微分几何曲线论的部分，我觉得要习惯使用“两把刷子”。
一把是用弧长参数“证明”。弧长参数用它证明不香吗？切向量只要对弧长参数求个导就得到了，而且有很简洁的几何关系，尤其是建立Frenet标架的时候……
另一把是用一般参数“算”。弧长参数确实香，但是不是任何曲线的弧长参数表示都简洁，而且通常情况下，一般参数转化为弧长参数得到的结果都很恶心。所以，算的时候就不要拘泥于弧长参数了，弧长参数其实只是参数的一种，而且几何研究的对象往往是那种——无论你怎么变换参数都不变的几何性质，弧长参数能做到的，一般参数也能，所以在计算的时候，要熟练运用一般参数的公式。
一般在学习微分几何的时候，过分注重计算，会错失对更抽象层面的观察；过分强调证明而忽略计算，你会发现你学的很茫然，走的每一步都没有安全感。我本科接触微分几何的时候，我以为算算算就是它的全部了，好简单啊~后来我研究生学微分几何，抽象得要死，算一个具体的例子都举步维艰，又后悔自己算的太少了……
我做本科微分几何的助教的时候，当时教授用的是陈维桓的书（《微分几何初步》），本科的学弟学妹们惨遭这本书的轰炸煎熬。但这本书确实对于研究生微分几何的内容衔接上很有帮助。陈的巨著《微分几何》也是难啃的骨头……
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