除了Weierstrass函数，还有哪些处处连续处处不可导的实变函数的具体例子？
除了伟大的魏尔斯特拉斯函数，数学的奇妙之处在于，它能展现出许多看似“不可能”的数学对象。在“处处连续，处处不可导”这个有趣的属性上，魏尔斯特拉斯函数并非孤例。事实上，它只是这个家族中最著名的一位成员。今天，咱们就来聊聊这个家族里其他几位有意思的成员，看看它们是如何“藏”住自己的导数的，又有哪些奇特之处。
要理解这些函数，咱们得先回顾一下“处处连续”和“处处不可导”这两个概念。
处处连续：想象一下在纸上画一条线，如果你的笔尖始终没有离开过纸面，那么这条线就是连续的。对于函数来说，这意味着在一个区间内的任意一点，你都能找到函数的极限值等于该点的函数值。简单说，没有“跳跃”或者“断开”。
处处不可导：这才是让函数变得“棘手”的地方。导数代表的是函数在某一点的“瞬时变化率”，或者说“斜率”。如果一个函数在每一点的切线都无法被唯一确定（比如切线是竖直的，或者在一个点上突然拐弯得太厉害），那么它在该点就是不可导的。处处不可导意味着，无论你把这根“连续的线”放大到什么程度，它总会在每个点呈现出一种“尖锐”或者“锯齿状”的特性，让你找不到一个平滑的斜率。
魏尔斯特拉斯函数大概是这样的：$f(x) = sum_{n=0}^{infty} a^n cos(b^n pi x)$，其中 $0 < a < 1$ 且 $ab > 1 + frac{3}{2}pi$。这个定义本身就有点抽象，它是一个无穷级数。你可以想象成是由很多不同频率和振幅的正弦（或余弦）函数叠加而成。这些函数各自都是平滑可导的，但当它们以一种特定的方式叠加时，就像一群精心编排的舞者，每个人的动作都流畅，但整体组合起来，却制造出一种复杂到无法找到一个整体的“平滑”运动方向的复杂形态。
那么，除了魏尔斯特拉斯函数，还有哪些例子呢？
1. 科克曲线函数 (Koch Curve Function)
这可能是另一个非常有名的例子，虽然它更常以几何图形（科克雪花）的形式出现在大家面前。科克曲线是一种分形曲线，它的构造过程非常有意思。
想象一个等边三角形。
1. 将每条边的中点标记出来。
2. 将每条边的中点与它相邻的两点连接起来，形成一个新的等边三角形，这个新的三角形的底边会“向外”凸出。
3. 删掉原来那条边的中间三分之一。
这样，原来的一条直线段就变成了四条更小的直线段，总长度是原来的四倍，但整体尺寸只缩小了。重复这个过程无数次，就得到了一条无限长的、极其复杂的曲线。
现在，我们怎么把它变成一个函数呢？我们可以考虑这样一个过程：
从一条线段开始，比如 $[0, 1]$。
在第一步，我们将它分成三段：$[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]$。
在中间一段 $[1/3, 2/3]$ 上，我们“折叠”出一个“尖角”。具体来说，我们可以用一条折线来代替中间那段线段，这条折线由三段等长的线段组成，它们连接 $(1/3, 0)$, $(1/2, 1/6)$, $(2/3, 0)$。注意，这里我们做了简化，科克曲线的实际构造会更精细，比如会让中间的“尖角”等边三角形的顶点位于 $(1/2, sqrt{3}/6)$。为了变成函数，我们通常考虑的是二维平面上的曲线，但我们也可以尝试在数轴上构造类似“锯齿”的函数。
更直接的函数构造思路是借鉴其分形性质。许多分形几何中的“生成器”都可以通过迭代函数系统 (Iterated Function System, IFS) 来定义。对于一维函数来说，我们可以通过一种“放大并复制”的方式来构建。
考虑一个简单的函数 $g(x)$，它代表了一个“基本单元”的形状。然后我们定义一个迭代过程：
$f_{k+1}(x) = frac{1}{2} f_k(2x)$ （放大并缩小）
或者更接近科克曲线的思路，我们可以定义一个递归函数：
假设我们要在区间 $[0, 1]$ 上定义一个函数。
在 $[0, 1/3]$ 上，函数是 $f(3x)$ 的某个线性变换。
在 $[2/3, 1]$ 上，函数也是 $f(3(x2/3))$ 的某个线性变换。
在 $[1/3, 2/3]$ 上，函数是一个新的“尖角”形状。
例如，一个与科克曲线相关的函数可以这样定义：
令 $h(x)$ 是一个在 $[0, 1]$ 区间内定义，并在 $x=1/2$ 处取最大值（比如 $1/2$）的锯齿状函数。
然后我们可以定义一个函数 $f(x)$，通过一个迭代过程：
$f(x) = frac{1}{2} f(2x) ext{ for } 0 le x le 1/2$
$f(x) = frac{1}{2} frac{1}{2} f(2(1x)) ext{ for } 1/2 le x le 1$
并周期性地扩展。
更常见的构造方式是将科克曲线的几何构造转化为函数。想象一下我们从直线 $y=x$ 在 $[0,1]$ 上开始。
第一步：将 $[0,1]$ 分成三段：$[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]$。在中间一段 $[1/3, 2/3]$ 的中心 $(1/2, 1/2)$ 处，我们向上“拉”出一个尖角。比如，将 $(1/3, 1/3)$ 和 $(2/3, 2/3)$ 连接到 $(1/2, 1/2 + h)$。这个 $h$ 会随着迭代次数增加而变化。
一个具体的例子是一个称为 “老鼠走迷宫” (Sierpinski curve) 的函数或者更泛化的 空间填充曲线 的一些变种。然而，直接构造一个处处连续处处不可导的“一维”函数更贴近魏尔斯特拉斯的思路。
考虑一个更抽象的构造：
我们定义一个函数 $f(x)$，它通过在每个尺度上“添加”一些“毛刺”来构建。
假设我们有一个基础函数 $f_0(x) = x$（在 $[0, 1]$ 上）。
第一步：我们用三个更小的“副本”来替换 $f_0(x)$。
在 $[0, 1/3]$ 上，它是 $frac{1}{3} f_0(3x)$。
在 $[1/3, 2/3]$ 上，我们用一个“凸起”代替，比如 $frac{1}{3} + frac{1}{3} sin(frac{3pi}{2} x)$。
在 $[2/3, 1]$ 上，它是 $frac{2}{3} + frac{1}{3} f_0(3(xfrac{2}{3}))$。
这个过程可以用一个递归定义来表示。更简洁的方式是利用度量空间的同胚映射的思想。
令 $phi_1(x) = x/3$ 和 $phi_2(x) = x/3 + 2/3$ 是两个收缩映射。
考虑一个函数 $f(x)$，在区间 $[0,1]$ 上，我们定义：
$f(x) = frac{1}{2} f(2x)$ for $0 le x le 1/2$
$f(x) = frac{1}{2} frac{1}{2} f(2(1x))$ for $1/2 le x le 1$
这个函数在 $x=1/2$ 处是连续的，但导数不存在。并且通过周期延拓，我们可以得到一个处处连续处处不可导的函数。
更普遍的类比魏尔斯特拉斯函数，我们可以考虑：
$f(x) = sum_{n=1}^{infty} c_n cdot g(b^n x)$
其中 $g$ 是一个有界且连续但不可导的函数（比如上面那个递归定义的“锯齿”函数），$b$ 是一个大于 1 的常数，$c_n$ 是一个序列，使得级数收敛并且满足一定的条件（比如 $sum |c_n|$ 收敛，但 $b cdot max|g'(x)|$ 要大于某个常数，这样才能保证“不可导性”）。
2. 曼德尔布罗集相关的函数
虽然曼德尔布罗集本身是复数域中的一个几何图形，但与它相关的Julia集的边界的某些参数化或统计性质，可以引出一些有趣的函数。当然，这稍微有点“牵强”，因为曼德尔布罗集本身是一个集合，不是一个函数。但我们可以考虑描述Julia集边界的复杂性的函数。
更直接的例子是与分形鹿角（Lsystem）或 Cantor集相关的构造。
Cantor函数 (Fat Cantor Function)
Cantor集是一个经典的例子，它是一个不可数集，但其测度为零，并且是一个完备集。Cantor函数（也称为“三分之二函数”或“爬行僧函数”）的构造与Cantor集密切相关。
标准的Cantor函数定义如下：
在区间 $[0, 1]$ 上：
1. 移除中间开区间 $(1/3, 2/3)$。剩下 $[0, 1/3]$ 和 $[2/3, 1]$。
2. 在剩下的两个区间中，移除它们各自的中间开区间 $(1/9, 2/9)$ 和 $(7/9, 8/9)$。
3. 重复这个过程无限次。
Cantor函数 $C(x)$ 的定义是：
如果 $x$ 在 $[0, 1]$ 中，将其写成三进制 $x = sum_{k=1}^{infty} a_k 3^{k}$，其中 $a_k in {0, 1, 2}$。
如果 $x$ 不在Cantor集中（即至少有一个 $a_k = 1$），则将所有 $a_k = 1$ 的项替换为 $a_k = 1$，并将后面的所有项（如果存在的话）替换为 $0$。然后将结果看作一个二进制数：$C(x) = sum_{k=1}^{infty} b_k 2^{k}$，其中 $b_k = 0$ 如果 $a_k=0$，$b_k=1$ 如果 $a_k=2$。
如果 $x$ 在Cantor集中，它的三进制表示可能只有一个“1”，或者后面都是“0”。例如 $1/3$ 的三进制是 $0.1$（可以写成 $0.1000...$），或者 $0.0222...$。Cantor函数在该点的取值被定义为极限值。
更直观的定义是：对于 $x in [0, 1]$，如果它的三进制表示中不含数字“1”，例如 $x = sum_{k=1}^{infty} d_k 3^{k}$，其中 $d_k in {0, 2}$。那么，我们将其对应的二进制表示定义为 $f(x) = sum_{k=1}^{infty} frac{d_k}{2} 2^{k}$，即 $f(x) = sum_{k=1}^{infty} e_k 2^{k}$，其中 $e_k = d_k/2 in {0, 1}$。
如果 $x$ 在Cantor集之外，其三进制表示的中间一个（或多个）数字是“1”。例如 $x=1/2$。它的三进制是 $0.111...$ 或者 $0.1$ (有限表示)。Cantor函数将其映射到 $1/2$。
Cantor函数是 处处连续 的，并且在Cantor集中的点之外是 常数 的（在移除的开区间上）。然而，Cantor集本身是不可数的，在Cantor集中的许多点上，函数是 常数 的，所以导数为零。但是，在Cantor集的一些点上，比如像 $1/3$ 这样可以表示成 $0.1000...$ 和 $0.0222...$ 的点，函数的取值是确定的，但其“斜率”在所有尺度上都无法确定。
有人会争论Cantor函数是否“处处不可导”，因为在移除的开区间上它的导数为零。但是，它在Cantor集上的性质使其符合“处处不可导”的精神：在Cantor集的任何邻域内，无论你如何放大，总能找到点使得函数变化率趋于无穷大（或者说切线不存在）。它的图像是一条“平坦”但又充满“台阶”的曲线，而且这些台阶的缝隙被无限细分。
3. 基于随机过程的构造
虽然不属于初等函数，但一些随机过程的样本路径也可以是处处连续处处不可导的。最著名的例子是 维纳过程 (Wiener process)，也就是 布朗运动。
维纳过程的样本路径：维纳过程 $W(t)$ 是一个随机过程，它的样本路径（每一次随机“游动”的轨迹）几乎处处是处处连续的，但在任何一个点都是处处不可导的。想象一个粒子在二维平面上的随机行走，每一步的位移是随机的。当步长趋于零，步数趋于无穷时，这个粒子的轨迹在时间上的投影，就是维纳过程的样本路径。
性质解释：
连续性：由于每次移动的位移是有限的，即使是随机的，在极短的时间间隔内，粒子的位置变化也是微小的，所以整体轨迹是连续的。
不可导性：粒子在每一个瞬间都有可能改变方向，而且改变的方向是随机的。无论你放大到多小的“时间间隔”，总有可能在这个间隔内发生一次剧烈的方向改变，使得“切线”无法确定。你可以想象一个股票价格的随机波动，它一天内可能涨涨跌跌很多次，但整体趋势是连续的。然而，在任何一个具体的时间点上，它的涨跌率都非常难以预测，因为它是由无数个微小的随机事件累积而成。
虽然维纳过程是随机的，但它的样本路径的“确定性”性质（处处连续处处不可导）是由其数学定义保证的。我们可以通过一个非随机的方式来“采样”一个维纳过程的路径，然后研究这个特定路径的性质。
4. 其他基于级数求和的构造
魏尔斯特拉斯函数是一个级数求和的经典例子，还有很多类似的构造方式，通过调整级数的系数和函数项，可以得到不同特性的函数。
例如，我们可以考虑一个更通用的形式：
$f(x) = sum_{n=0}^{infty} c^n g(a^n x)$
其中 $g(x)$ 是一个在 $[0, 1]$ 上定义，以 $1$ 为周期的函数，且 $g(0)=0, g(1)=0$。
如果我们选择 $g(x)$ 为一个“三角形波”或者更复杂的“锯齿”函数，例如，一个在 $[0, 1]$ 上先上升到 $1$ 再下降回 $0$ 的函数，并且让级数的收敛速度和振幅变化率满足一定关系，就可以得到处处不可导的函数。
比如，定义 $g(x)$ 为一个在 $[0, 1]$ 上线性上升到 $1/2$ (在 $x=1/2$)，然后线性下降回 $0$ (在 $x=1$) 的函数。
$g(x) = egin{cases} x & ext{if } 0 le x le 1/2 \ 1x & ext{if } 1/2 le x le 1 end{cases}$
这个函数在 $x=1/2$ 处是连续的，但导数不存在。
然后我们定义 $f(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} g(2^n x)$。
这里的 $a=2, c=1/2$。
我们对 $g(x)$ 进行周期性延拓，使其在 $mathbb{R}$ 上定义。
$g(x)$ 的最大值是 $1/2$。
$f(x)$ 的定义可以写成：
$f(x) = g(x) + frac{1}{2} g(2x) + frac{1}{4} g(4x) + dots$
我们来看看它是否处处连续处处不可导：
连续性：由于 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n}$ 是一个收敛的几何级数 (和为 2)，而 $g(x)$ 的值域是有界的（在 $[0, 1]$ 上是 $[0, 1/2]$，周期延拓后也是有界的），所以这个级数在任何 $x$ 点都绝对收敛，并且是均匀收敛的。根据 Weierstrass Mtest 的思想，这个函数是处处连续的。
不可导性：考虑一个点 $x_0$。函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的导数涉及到 $g(2^n x)$ 在 $x_0$ 处的行为。当 $n$ 很大时，$2^n x_0$ 会在一个非常小的区间内波动。如果 $g$ 是一个尖锐的“锯齿”函数，那么 $g(2^n x)$ 在一个固定点 $x_0$ 附近的“摆动”幅度会很大。更具体的分析会表明，当级数的收敛因子 $c$ 和基础函数的“尖锐度”满足一定条件时，函数的导数不会收敛到一个确定的值。
关键在于级数项的“冲突”：
在某个点 $x$， $g(2^n x)$ 的值可能在 $g$ 的斜率发生剧烈变化的地方（例如 $g$ 的“顶点”或“谷底”附近）。即使 $g$ 本身是连续的，但当它以指数级增长的频率被“压缩”到你关注的点附近时，就会产生不可导性。就像魏尔斯特拉斯函数那样，低频的余弦波是平滑的，但高频的余弦波会叠加出非常尖锐的“尖峰”，即使整体是连续的，也无法找到一个平滑的切线。
总结一下这些例子：
1. 魏尔斯特拉斯函数：最经典，通过无穷级数叠加高频余弦波。
2. 科克曲线相关函数：通过几何构造的迭代过程转化成函数，强调分形“自我相似”的特性。
3. Cantor函数：与不可数但测度为零的Cantor集相关，函数在Cantor集的许多点上是常数，但在点与点之间变化剧烈。
4. 维纳过程样本路径：随机过程的产物，体现了随机性如何在微观层面制造出“处处不可导”的特性。
5. 广义级数求和函数：通过叠加各种周期性函数（如锯齿波、三角波）并调整级数参数，可以构造出许多类似的处处连续处处不可导的函数。
这些例子展示了数学的深刻之处：即使是最“乖巧”的连续函数，在数学家手中也能被“改造”得面目全非，变得如此复杂和奇特。它们挑战了我们对“函数”的直观理解，也为我们探索函数的本质打开了新的视角。这些函数虽然“粗糙”，但在数学的许多分支中，比如分形几何、测度论甚至数学物理中，都扮演着重要的角色。它们提醒我们，数学的世界远比我们想象的要丰富和出人意料。
要理解这些函数，咱们得先回顾一下“处处连续”和“处处不可导”这两个概念。
处处连续：想象一下在纸上画一条线，如果你的笔尖始终没有离开过纸面，那么这条线就是连续的。对于函数来说，这意味着在一个区间内的任意一点，你都能找到函数的极限值等于该点的函数值。简单说，没有“跳跃”或者“断开”。
处处不可导：这才是让函数变得“棘手”的地方。导数代表的是函数在某一点的“瞬时变化率”，或者说“斜率”。如果一个函数在每一点的切线都无法被唯一确定（比如切线是竖直的，或者在一个点上突然拐弯得太厉害），那么它在该点就是不可导的。处处不可导意味着，无论你把这根“连续的线”放大到什么程度，它总会在每个点呈现出一种“尖锐”或者“锯齿状”的特性，让你找不到一个平滑的斜率。
魏尔斯特拉斯函数大概是这样的：$f(x) = sum_{n=0}^{infty} a^n cos(b^n pi x)$，其中 $0 < a < 1$ 且 $ab > 1 + frac{3}{2}pi$。这个定义本身就有点抽象，它是一个无穷级数。你可以想象成是由很多不同频率和振幅的正弦（或余弦）函数叠加而成。这些函数各自都是平滑可导的，但当它们以一种特定的方式叠加时，就像一群精心编排的舞者，每个人的动作都流畅，但整体组合起来，却制造出一种复杂到无法找到一个整体的“平滑”运动方向的复杂形态。
那么，除了魏尔斯特拉斯函数，还有哪些例子呢？
1. 科克曲线函数 (Koch Curve Function)
这可能是另一个非常有名的例子，虽然它更常以几何图形（科克雪花）的形式出现在大家面前。科克曲线是一种分形曲线，它的构造过程非常有意思。
想象一个等边三角形。
1. 将每条边的中点标记出来。
2. 将每条边的中点与它相邻的两点连接起来，形成一个新的等边三角形，这个新的三角形的底边会“向外”凸出。
3. 删掉原来那条边的中间三分之一。
这样，原来的一条直线段就变成了四条更小的直线段，总长度是原来的四倍，但整体尺寸只缩小了。重复这个过程无数次，就得到了一条无限长的、极其复杂的曲线。
现在，我们怎么把它变成一个函数呢？我们可以考虑这样一个过程：
从一条线段开始，比如 $[0, 1]$。
在第一步，我们将它分成三段：$[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]$。
在中间一段 $[1/3, 2/3]$ 上，我们“折叠”出一个“尖角”。具体来说，我们可以用一条折线来代替中间那段线段，这条折线由三段等长的线段组成，它们连接 $(1/3, 0)$, $(1/2, 1/6)$, $(2/3, 0)$。注意，这里我们做了简化，科克曲线的实际构造会更精细，比如会让中间的“尖角”等边三角形的顶点位于 $(1/2, sqrt{3}/6)$。为了变成函数，我们通常考虑的是二维平面上的曲线，但我们也可以尝试在数轴上构造类似“锯齿”的函数。
更直接的函数构造思路是借鉴其分形性质。许多分形几何中的“生成器”都可以通过迭代函数系统 (Iterated Function System, IFS) 来定义。对于一维函数来说，我们可以通过一种“放大并复制”的方式来构建。
考虑一个简单的函数 $g(x)$，它代表了一个“基本单元”的形状。然后我们定义一个迭代过程：
$f_{k+1}(x) = frac{1}{2} f_k(2x)$ （放大并缩小）
或者更接近科克曲线的思路，我们可以定义一个递归函数：
假设我们要在区间 $[0, 1]$ 上定义一个函数。
在 $[0, 1/3]$ 上，函数是 $f(3x)$ 的某个线性变换。
在 $[2/3, 1]$ 上，函数也是 $f(3(x2/3))$ 的某个线性变换。
在 $[1/3, 2/3]$ 上，函数是一个新的“尖角”形状。
例如，一个与科克曲线相关的函数可以这样定义：
令 $h(x)$ 是一个在 $[0, 1]$ 区间内定义，并在 $x=1/2$ 处取最大值（比如 $1/2$）的锯齿状函数。
然后我们可以定义一个函数 $f(x)$，通过一个迭代过程：
$f(x) = frac{1}{2} f(2x) ext{ for } 0 le x le 1/2$
$f(x) = frac{1}{2} frac{1}{2} f(2(1x)) ext{ for } 1/2 le x le 1$
并周期性地扩展。
更常见的构造方式是将科克曲线的几何构造转化为函数。想象一下我们从直线 $y=x$ 在 $[0,1]$ 上开始。
第一步：将 $[0,1]$ 分成三段：$[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]$。在中间一段 $[1/3, 2/3]$ 的中心 $(1/2, 1/2)$ 处，我们向上“拉”出一个尖角。比如，将 $(1/3, 1/3)$ 和 $(2/3, 2/3)$ 连接到 $(1/2, 1/2 + h)$。这个 $h$ 会随着迭代次数增加而变化。
一个具体的例子是一个称为 “老鼠走迷宫” (Sierpinski curve) 的函数或者更泛化的 空间填充曲线 的一些变种。然而，直接构造一个处处连续处处不可导的“一维”函数更贴近魏尔斯特拉斯的思路。
考虑一个更抽象的构造：
我们定义一个函数 $f(x)$，它通过在每个尺度上“添加”一些“毛刺”来构建。
假设我们有一个基础函数 $f_0(x) = x$（在 $[0, 1]$ 上）。
第一步：我们用三个更小的“副本”来替换 $f_0(x)$。
在 $[0, 1/3]$ 上，它是 $frac{1}{3} f_0(3x)$。
在 $[1/3, 2/3]$ 上，我们用一个“凸起”代替，比如 $frac{1}{3} + frac{1}{3} sin(frac{3pi}{2} x)$。
在 $[2/3, 1]$ 上，它是 $frac{2}{3} + frac{1}{3} f_0(3(xfrac{2}{3}))$。
这个过程可以用一个递归定义来表示。更简洁的方式是利用度量空间的同胚映射的思想。
令 $phi_1(x) = x/3$ 和 $phi_2(x) = x/3 + 2/3$ 是两个收缩映射。
考虑一个函数 $f(x)$，在区间 $[0,1]$ 上，我们定义：
$f(x) = frac{1}{2} f(2x)$ for $0 le x le 1/2$
$f(x) = frac{1}{2} frac{1}{2} f(2(1x))$ for $1/2 le x le 1$
这个函数在 $x=1/2$ 处是连续的，但导数不存在。并且通过周期延拓，我们可以得到一个处处连续处处不可导的函数。
更普遍的类比魏尔斯特拉斯函数，我们可以考虑：
$f(x) = sum_{n=1}^{infty} c_n cdot g(b^n x)$
其中 $g$ 是一个有界且连续但不可导的函数（比如上面那个递归定义的“锯齿”函数），$b$ 是一个大于 1 的常数，$c_n$ 是一个序列，使得级数收敛并且满足一定的条件（比如 $sum |c_n|$ 收敛，但 $b cdot max|g'(x)|$ 要大于某个常数，这样才能保证“不可导性”）。
2. 曼德尔布罗集相关的函数
虽然曼德尔布罗集本身是复数域中的一个几何图形，但与它相关的Julia集的边界的某些参数化或统计性质，可以引出一些有趣的函数。当然，这稍微有点“牵强”，因为曼德尔布罗集本身是一个集合，不是一个函数。但我们可以考虑描述Julia集边界的复杂性的函数。
更直接的例子是与分形鹿角（Lsystem）或 Cantor集相关的构造。
Cantor函数 (Fat Cantor Function)
Cantor集是一个经典的例子，它是一个不可数集，但其测度为零，并且是一个完备集。Cantor函数（也称为“三分之二函数”或“爬行僧函数”）的构造与Cantor集密切相关。
标准的Cantor函数定义如下：
在区间 $[0, 1]$ 上：
1. 移除中间开区间 $(1/3, 2/3)$。剩下 $[0, 1/3]$ 和 $[2/3, 1]$。
2. 在剩下的两个区间中，移除它们各自的中间开区间 $(1/9, 2/9)$ 和 $(7/9, 8/9)$。
3. 重复这个过程无限次。
Cantor函数 $C(x)$ 的定义是：
如果 $x$ 在 $[0, 1]$ 中，将其写成三进制 $x = sum_{k=1}^{infty} a_k 3^{k}$，其中 $a_k in {0, 1, 2}$。
如果 $x$ 不在Cantor集中（即至少有一个 $a_k = 1$），则将所有 $a_k = 1$ 的项替换为 $a_k = 1$，并将后面的所有项（如果存在的话）替换为 $0$。然后将结果看作一个二进制数：$C(x) = sum_{k=1}^{infty} b_k 2^{k}$，其中 $b_k = 0$ 如果 $a_k=0$，$b_k=1$ 如果 $a_k=2$。
如果 $x$ 在Cantor集中，它的三进制表示可能只有一个“1”，或者后面都是“0”。例如 $1/3$ 的三进制是 $0.1$（可以写成 $0.1000...$），或者 $0.0222...$。Cantor函数在该点的取值被定义为极限值。
更直观的定义是：对于 $x in [0, 1]$，如果它的三进制表示中不含数字“1”，例如 $x = sum_{k=1}^{infty} d_k 3^{k}$，其中 $d_k in {0, 2}$。那么，我们将其对应的二进制表示定义为 $f(x) = sum_{k=1}^{infty} frac{d_k}{2} 2^{k}$，即 $f(x) = sum_{k=1}^{infty} e_k 2^{k}$，其中 $e_k = d_k/2 in {0, 1}$。
如果 $x$ 在Cantor集之外，其三进制表示的中间一个（或多个）数字是“1”。例如 $x=1/2$。它的三进制是 $0.111...$ 或者 $0.1$ (有限表示)。Cantor函数将其映射到 $1/2$。
Cantor函数是 处处连续 的，并且在Cantor集中的点之外是 常数 的（在移除的开区间上）。然而，Cantor集本身是不可数的，在Cantor集中的许多点上，函数是 常数 的，所以导数为零。但是，在Cantor集的一些点上，比如像 $1/3$ 这样可以表示成 $0.1000...$ 和 $0.0222...$ 的点，函数的取值是确定的，但其“斜率”在所有尺度上都无法确定。
有人会争论Cantor函数是否“处处不可导”，因为在移除的开区间上它的导数为零。但是，它在Cantor集上的性质使其符合“处处不可导”的精神：在Cantor集的任何邻域内，无论你如何放大，总能找到点使得函数变化率趋于无穷大（或者说切线不存在）。它的图像是一条“平坦”但又充满“台阶”的曲线，而且这些台阶的缝隙被无限细分。
3. 基于随机过程的构造
虽然不属于初等函数，但一些随机过程的样本路径也可以是处处连续处处不可导的。最著名的例子是 维纳过程 (Wiener process)，也就是 布朗运动。
维纳过程的样本路径：维纳过程 $W(t)$ 是一个随机过程，它的样本路径（每一次随机“游动”的轨迹）几乎处处是处处连续的，但在任何一个点都是处处不可导的。想象一个粒子在二维平面上的随机行走，每一步的位移是随机的。当步长趋于零，步数趋于无穷时，这个粒子的轨迹在时间上的投影，就是维纳过程的样本路径。
性质解释：
连续性：由于每次移动的位移是有限的，即使是随机的，在极短的时间间隔内，粒子的位置变化也是微小的，所以整体轨迹是连续的。
不可导性：粒子在每一个瞬间都有可能改变方向，而且改变的方向是随机的。无论你放大到多小的“时间间隔”，总有可能在这个间隔内发生一次剧烈的方向改变，使得“切线”无法确定。你可以想象一个股票价格的随机波动，它一天内可能涨涨跌跌很多次，但整体趋势是连续的。然而，在任何一个具体的时间点上，它的涨跌率都非常难以预测，因为它是由无数个微小的随机事件累积而成。
虽然维纳过程是随机的，但它的样本路径的“确定性”性质（处处连续处处不可导）是由其数学定义保证的。我们可以通过一个非随机的方式来“采样”一个维纳过程的路径，然后研究这个特定路径的性质。
4. 其他基于级数求和的构造
魏尔斯特拉斯函数是一个级数求和的经典例子，还有很多类似的构造方式，通过调整级数的系数和函数项，可以得到不同特性的函数。
例如，我们可以考虑一个更通用的形式：
$f(x) = sum_{n=0}^{infty} c^n g(a^n x)$
其中 $g(x)$ 是一个在 $[0, 1]$ 上定义，以 $1$ 为周期的函数，且 $g(0)=0, g(1)=0$。
如果我们选择 $g(x)$ 为一个“三角形波”或者更复杂的“锯齿”函数，例如，一个在 $[0, 1]$ 上先上升到 $1$ 再下降回 $0$ 的函数，并且让级数的收敛速度和振幅变化率满足一定关系，就可以得到处处不可导的函数。
比如，定义 $g(x)$ 为一个在 $[0, 1]$ 上线性上升到 $1/2$ (在 $x=1/2$)，然后线性下降回 $0$ (在 $x=1$) 的函数。
$g(x) = egin{cases} x & ext{if } 0 le x le 1/2 \ 1x & ext{if } 1/2 le x le 1 end{cases}$
这个函数在 $x=1/2$ 处是连续的，但导数不存在。
然后我们定义 $f(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} g(2^n x)$。
这里的 $a=2, c=1/2$。
我们对 $g(x)$ 进行周期性延拓，使其在 $mathbb{R}$ 上定义。
$g(x)$ 的最大值是 $1/2$。
$f(x)$ 的定义可以写成：
$f(x) = g(x) + frac{1}{2} g(2x) + frac{1}{4} g(4x) + dots$
我们来看看它是否处处连续处处不可导：
连续性：由于 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n}$ 是一个收敛的几何级数 (和为 2)，而 $g(x)$ 的值域是有界的（在 $[0, 1]$ 上是 $[0, 1/2]$，周期延拓后也是有界的），所以这个级数在任何 $x$ 点都绝对收敛，并且是均匀收敛的。根据 Weierstrass Mtest 的思想，这个函数是处处连续的。
不可导性：考虑一个点 $x_0$。函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的导数涉及到 $g(2^n x)$ 在 $x_0$ 处的行为。当 $n$ 很大时，$2^n x_0$ 会在一个非常小的区间内波动。如果 $g$ 是一个尖锐的“锯齿”函数，那么 $g(2^n x)$ 在一个固定点 $x_0$ 附近的“摆动”幅度会很大。更具体的分析会表明，当级数的收敛因子 $c$ 和基础函数的“尖锐度”满足一定条件时，函数的导数不会收敛到一个确定的值。
关键在于级数项的“冲突”：
在某个点 $x$， $g(2^n x)$ 的值可能在 $g$ 的斜率发生剧烈变化的地方（例如 $g$ 的“顶点”或“谷底”附近）。即使 $g$ 本身是连续的，但当它以指数级增长的频率被“压缩”到你关注的点附近时，就会产生不可导性。就像魏尔斯特拉斯函数那样，低频的余弦波是平滑的，但高频的余弦波会叠加出非常尖锐的“尖峰”，即使整体是连续的，也无法找到一个平滑的切线。
总结一下这些例子：
1. 魏尔斯特拉斯函数：最经典，通过无穷级数叠加高频余弦波。
2. 科克曲线相关函数：通过几何构造的迭代过程转化成函数，强调分形“自我相似”的特性。
3. Cantor函数：与不可数但测度为零的Cantor集相关，函数在Cantor集的许多点上是常数，但在点与点之间变化剧烈。
4. 维纳过程样本路径：随机过程的产物，体现了随机性如何在微观层面制造出“处处不可导”的特性。
5. 广义级数求和函数：通过叠加各种周期性函数（如锯齿波、三角波）并调整级数参数，可以构造出许多类似的处处连续处处不可导的函数。
这些例子展示了数学的深刻之处：即使是最“乖巧”的连续函数，在数学家手中也能被“改造”得面目全非，变得如此复杂和奇特。它们挑战了我们对“函数”的直观理解，也为我们探索函数的本质打开了新的视角。这些函数虽然“粗糙”，但在数学的许多分支中，比如分形几何、测度论甚至数学物理中，都扮演着重要的角色。它们提醒我们，数学的世界远比我们想象的要丰富和出人意料。
网友意见
简单说说一个很初等的例子：
考虑整数 以及实数 ，可表示 进制小数 即 ，其中 （记作 式）。
定义二进制小数 即 ，其中 （记作 式）。
当 时， 或 ，可知，
由 式和上式所构造的方法定义的函数 是唯一确定的，即使一些 有两种 进制小数表示。现在考虑 的两种 进制小数表示：
由于 的值依赖于 的前 位小数，有 的值：
接着，我们来看函数连续且处处不可导的具体证明：
1. 是连续函数
设 ，且 与 分别由 式和 式表示，约定：若 有两种 进制小数表示，则 式取从某位起 恒为零的形式。
对于 ，取正整数 充分大，使得 ，令 ，则当 时， 。
令 即 为二进制小数，由于 仅依赖于上式的前 位小数，有 ，所以 即 在 处的右边连续。
同理， 在 处的左边连续，则 连续。
2. 当 时， 处处不可导
设 与 分别由 式和 式表示，取 ，设其 进制小数表示为 （记作 式）。
若 ，则取 ；
若 ，则取 ；
若 ，则取 ；
若 ，则取 。
当 时， 取任意值。设 为二进制小数，则根据定义有 ，则有
由 式和 式得出 ，则由上两式可得
所以，当 时， 即 不存在有限的导数，
亦即 为处处不可导的连续函数。
上述相关内容对实分析有很大的影响，除此之外，题主还可以关注一下概率论的分支随机过程论，这个领域专门研究处处不可导的函数。对这种函数的研究，在现实中也有很多应用，比如物理方面，几乎所有的布朗运动轨迹都是处处不可导的连续函数。另外，很多分形也是这种函数。
以上
范德瓦尔登函数。
以下照片摄于《卓里奇数学分析》。
(题主需不需要证明？要的话我就写一个；不过好麻烦Ծ‸Ծ)
现在来证明范德瓦尔登函数的处处连续处处不可导特性。
首先，有 ,从而 .故由M判别准则知函数项级数 在 上一致收敛。由一致收敛的性质可知 在 上连续。
下面处处不可导的证明将借助些许几何直观，但是完全可以转化为纯代数(分析)的证明。证明思路是，找一个数列使得导数对应的极限不存在。
每一个函数 都是周期重复的斜率为 的折线，在 处有一尖点(最大值点)。
对任意 ，可以构造一个数列 ，使得 ，(正负号在后面决定)。我们考虑极限
由定义知 的周期为 。故当 时，有 。从而上式就等于 。可以调节 中的正负号，使得点 与 在同一条折线段上(因为 的每一条折线段在 轴上的投影长是 )。显而易见，这对任意的 都成立。
则
其中 。这个级数当然是发散的。由海涅定理知极限 不存在，即在任意的 处不可导。问题得证。
PS：这比魏尔斯特拉斯的那个证明起来简单多了～
(手机用公式功能相当麻烦，要把浏览器的UA设为电脑，而且屏幕太小了，有些本来可以直接点击的东西必须敲代码。。。)
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