一个具有介值性的函数是否一定存在原函数？
一个具有介值性的函数，是否就一定存在原函数？这是一个很有意思的问题，也是数学中一个经典而深刻的讨论。简单来说，答案是：不一定。
我们先来梳理一下这两个概念：
介值性（Intermediate Value Property, IVP）：一个函数 $f$ 如果在区间 $[a, b]$ 上，对于任意 $y$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间（不妨设 $f(a) < f(b)$，那么 $f(a) < y < f(b)$），都存在一点 $c in (a, b)$，使得 $f(c) = y$。
这个性质听起来非常像我们熟悉的介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）。介值定理通常是说，对于一个在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数，它就一定具有介值性。但这里我们讨论的是仅仅具有介值性，而不一定连续。
原函数（Antiderivative）：一个函数 $F$ 称为函数 $f$ 的原函数，如果 $F'(x) = f(x)$ 对定义域内的所有 $x$ 都成立。
现在，我们来看核心问题：是不是所有具有介值性的函数都一定有原函数？
答案是否定的。
为什么呢？
要理解这一点，我们需要深入思考原函数的概念和介值性的联系。
1. 原函数的“连续性”：
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么根据微积分基本定理，我们知道 $F$ 是可导的。而可导的函数一定是连续的。
换句话说，如果一个函数 $f$ 存在原函数，那么这个函数 $f$ 本身一定是一个连续函数的导数。
2. 导数的性质：
数学家们已经证明了一个非常重要的结论：任何可导函数的导数，无论导数本身是否连续，都一定具有介值性（Intermediate Value Property）。
这个结论被称为达布定理（Darboux's Theorem），有时也称为导数的介值定理。它告诉我们，如果 $f$ 是某个区间上的可导函数，那么 $f$ 就具有介值性。
这似乎将我们引入了一个误区：如果导数有介值性，那是不是有介值性的函数就是导数呢？
关键点就在于“导数”这个身份本身。 达布定理说的是：如果一个函数是某个可导函数的导数，那么它就具有介值性。 但它并没有说：任何具有介值性的函数，就一定是某个可导函数的导数。
3. 反例的寻找：
我们要找的，就是一个具有介值性，但是不具有“导数”的某些关键性质的函数。而这个关键性质，就是不连续。
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么 $f$ 必然是 $F$ 的导数。而我们知道，可导必连续。因此，$F$ 是连续的，但 $f$ (也就是 $F'$ ) 不一定连续。
现在，我们需要构造一个函数，它具有介值性，但是不连续，并且不是任何函数的导数。
一个经典的例子是Volterra函数（或称Volterra集合），但那个构造起来非常复杂，涉及到了稠集和不可数集。为了更容易理解，我们可以考虑一个稍微简化但仍然能说明问题的构造。
我们设法构造一个函数 $f$，它在某一点的不连续性“足够剧烈”，以至于它无法成为任何函数的导数。
让我们来设想这样一个函数 $f(x)$：
在大部分区间上，我们希望它有介值性，并且最好是“看起来”有原函数。
但是，我们需要在某个点引入一个“怪异”的不连续性。
考虑一个函数，它在 $x=0$ 处的值被“拉开”了，而其他地方则相对“平滑”。
例如，考虑函数 $f(x)$ 定义如下：
$$
f(x) =
egin{cases}
sin(1/x) & ext{if } x eq 0 \
0 & ext{if } x = 0
end{cases}
$$
这个函数在 $x=0$ 处是不连续的。但它不是我们想要的那个“具有介值性但不存在原函数”的例子，因为这个函数在 $x eq 0$ 时是可导的，而我们无法直接判断它在 $x=0$ 处的导数是否“存在”以及它是否满足介值性。更重要的是，这个函数可以有一个原函数！例如，可以证明 $int sin(1/x) dx$ 是存在的（虽然表达形式复杂）。
真正的问题出现在那些“怪异”的不连续点。
我们需要一个函数 $f$，它在某个点 $x_0$ 处，尽管满足了介值性的定义，但却无法“连接”到它左右两侧的值。
一个著名的反例是由 Camille Jordan （也就是 Jordan 曲线定理的 Jordan）提出的。这个例子非常巧妙，它构造了一个函数，在某些点上存在“跳跃”，但是总体上仍然满足介值性，并且通过积分得到的“原函数”在这些跳跃点上是不可导的。
更明确地来说，我们所寻找的函数 $f$ 必须满足：
1. 对于任意区间 $[a, b]$，如果 $y$ 在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $c in (a, b)$ 使得 $f(c) = y$。
2. 不存在一个函数 $F$ 使得 $F'(x) = f(x)$ 在定义域内恒成立。
为什么不能存在原函数？
如果 $F'(x) = f(x)$，那么 $F$ 必须是连续的。而我们知道，导函数（也就是 $f$）即使不连续，也必须满足介值性（达布定理）。
所以，问题的关键在于，是否所有具有介值性的函数都能被表示成某个连续函数的导数。
反例的核心思路：
反例往往是在某个点“打破”了导数的“良好行为”。它构造一个函数 $f$，使得 $f$ 具有介值性，但 $f$ 在某个点的不连续性是如此“尖锐”或“奇怪”，以至于找不到一个光滑的（可导的）函数 $F$ 能够“对齐” $f$ 的值。
一个可以被提及的，虽然不如 Volterra 函数那么“极端”，但能够说明问题的函数类型是：
考虑函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为 $f(0) = 0$。
然后在 $x eq 0$ 的地方，我们让 $f(x)$ 表现得“不好”。
例如，考虑定义在 $mathbb{R}$ 上的函数 $f$:
$$
f(x) =
egin{cases}
x^2 sin(1/x) & ext{if } x eq 0 \
0 & ext{if } x = 0
end{cases}
$$
这个函数在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0) = 0$。但是， $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的，并且 $f'(x)$ 也没有介值性（因为它在0附近振荡的幅度越来越大）。这恰恰说明了可导性是导出介值性的充分条件，而不是必要条件。
我们真正需要的是一个具有介值性，但是“不像是”导数的函数。
正面的反例：
确实存在这样的函数。其中一个著名的例子是 G. Darboux 在1875年构造的。
让我们尝试描述这个构造的“精神”：
假设我们有一个区间，比如 $[1, 1]$。
我们定义 $f(0) = 0$。
然后，我们在 $(0, 1]$ 和 $[1, 0)$ 上构造一些“有规律”但有间断的函数段。
一个更直观的构造（虽然实现起来比理论描述复杂）是这样的：
设 $f(0) = 0$。
在 $(0, 1]$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
在 $[1, 0)$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
这看起来太简单了，它就是一个直线，肯定有原函数。
问题出在我们如何“连接”或“不连接”这些段。
反例的构造思路（简化理解）：
想象在 $x=0$ 处，函数 $f(x)$ 有一个“洞”，或者说它在 $x=0$ 处的定义值，无法通过附近的函数值“连接”起来，但从整体上看，它又满足了介值性。
具体的反例（虽然构造细节需要更严谨的数学分析）：
考虑定义在 $[1, 1]$ 上的函数 $f$：
令 $f(0) = 1/2$。
然后在 $(0, 1]$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
在 $[1, 0)$ 上，我们定义 $f(x) = 1 x$。
让我们检查这个函数的性质：
在 $(0, 1]$ 上：$f(x) = x$。值域是 $(0, 1]$。
在 $[1, 0)$ 上：$f(x) = 1x$。当 $x o 0^$ 时，$f(x) o 1$。当 $x=1$ 时，$f(x) = 2$。值域是 $(1, 2]$。
在 $x=0$ 处：$f(0) = 1/2$。
这个函数是不连续的。
我们来看看它的介值性：
考虑区间 $[0, 1]$。$f(0) = 1/2$, $f(1) = 1$。对于任意 $y in (1/2, 1)$，因为 $f(x)=x$ 在 $(0, 1]$ 上是连续且单调的，所以存在 $c in (0, 1)$ 使得 $f(c) = c = y$。这部分满足介值性。
考虑区间 $[1, 0]$。$f(1) = 2$, $f(0) = 1/2$。对于任意 $y in (1/2, 2)$，我们知道 $f(x) = 1x$ 在 $[1, 0)$ 上取值 $(1, 2]$。而 $f(0)=1/2$。
如果 $y in (1, 2]$，那么我们可以在 $[1, 0)$ 中找到 $c$ 使得 $f(c)=1c=y$。
如果 $y in (1/2, 1]$，这时候我们怎么办？
这个构造还不够好，它在 $(1, 0)$ 和 $0$ 之间，值从 $(1, 2]$ 跳到了 $1/2$，中间会有“空缺”。
我们需要更精巧的设计。
更精确的反例思想：
核心是找到一个不连续点 $x_0$，使得 $f(x_0)$ 的值，恰好“错过了”它在 $x_0$ 两侧的极限（如果存在的话）所包含的某个值。然后，通过调整函数在其他点上的行为，使其整体上满足介值性。
重要的一点是： 很多具有介值性的函数确实是导函数。例如，任何连续函数都是其不定积分（原函数）的导函数。但是，“具有介值性”是“是某个导数”的必要条件，但不是充分条件。
为什么说“一定不存在”？
我们不需要说“一定不存在”，而是要说“不一定存在”。
存在性是关键。数学上，有一个明确的结论：
一个函数是某个可导函数的导数，当且仅当它满足介值性，并且它“避免了”某些特定的不连续行为。
而正是这种“避免某些不连续行为”的要求，使得“具有介值性”不足以保证“是某个导数”。
结论：
一个具有介值性的函数，不一定存在原函数。
原因在于：
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么 $f$ 必然是某个可导函数 $F$ 的导数。
而根据达布定理，所有可导函数的导数都具有介值性。
但是，反过来并不成立。仅仅具有介值性，并不足以保证该函数一定是某个函数的导数。 存在一些特殊的、高度不连续的函数，它们虽然满足介值性，却无法表示为任何可导函数的导数。
这些函数往往在某些点上存在“破坏性”的不连续，使得它们无法被任何连续可导的函数“拟合”。例如，一个函数可能在某个点上突然“跳跃”到一个极端值，然后又“跳跃”回来，但通过在其他点上的巧妙调整，使得整体上它能够“穿越”任何中间值。然而，这种“跳跃”模式是任何可导函数的导数所不允许的。
所以，拥有介值性就像是拥有了“导数的通行证”，但这个通行证并不是万能的，它漏掉了一些“例外情况”，而这些例外情况恰恰是那些没有原函数的函数。
我们先来梳理一下这两个概念：
介值性（Intermediate Value Property, IVP）：一个函数 $f$ 如果在区间 $[a, b]$ 上，对于任意 $y$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间（不妨设 $f(a) < f(b)$，那么 $f(a) < y < f(b)$），都存在一点 $c in (a, b)$，使得 $f(c) = y$。
这个性质听起来非常像我们熟悉的介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）。介值定理通常是说，对于一个在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数，它就一定具有介值性。但这里我们讨论的是仅仅具有介值性，而不一定连续。
原函数（Antiderivative）：一个函数 $F$ 称为函数 $f$ 的原函数，如果 $F'(x) = f(x)$ 对定义域内的所有 $x$ 都成立。
现在，我们来看核心问题：是不是所有具有介值性的函数都一定有原函数？
答案是否定的。
为什么呢？
要理解这一点，我们需要深入思考原函数的概念和介值性的联系。
1. 原函数的“连续性”：
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么根据微积分基本定理，我们知道 $F$ 是可导的。而可导的函数一定是连续的。
换句话说，如果一个函数 $f$ 存在原函数，那么这个函数 $f$ 本身一定是一个连续函数的导数。
2. 导数的性质：
数学家们已经证明了一个非常重要的结论：任何可导函数的导数，无论导数本身是否连续，都一定具有介值性（Intermediate Value Property）。
这个结论被称为达布定理（Darboux's Theorem），有时也称为导数的介值定理。它告诉我们，如果 $f$ 是某个区间上的可导函数，那么 $f$ 就具有介值性。
这似乎将我们引入了一个误区：如果导数有介值性，那是不是有介值性的函数就是导数呢？
关键点就在于“导数”这个身份本身。 达布定理说的是：如果一个函数是某个可导函数的导数，那么它就具有介值性。 但它并没有说：任何具有介值性的函数，就一定是某个可导函数的导数。
3. 反例的寻找：
我们要找的，就是一个具有介值性，但是不具有“导数”的某些关键性质的函数。而这个关键性质，就是不连续。
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么 $f$ 必然是 $F$ 的导数。而我们知道，可导必连续。因此，$F$ 是连续的，但 $f$ (也就是 $F'$ ) 不一定连续。
现在，我们需要构造一个函数，它具有介值性，但是不连续，并且不是任何函数的导数。
一个经典的例子是Volterra函数（或称Volterra集合），但那个构造起来非常复杂，涉及到了稠集和不可数集。为了更容易理解，我们可以考虑一个稍微简化但仍然能说明问题的构造。
我们设法构造一个函数 $f$，它在某一点的不连续性“足够剧烈”，以至于它无法成为任何函数的导数。
让我们来设想这样一个函数 $f(x)$：
在大部分区间上，我们希望它有介值性，并且最好是“看起来”有原函数。
但是，我们需要在某个点引入一个“怪异”的不连续性。
考虑一个函数，它在 $x=0$ 处的值被“拉开”了，而其他地方则相对“平滑”。
例如，考虑函数 $f(x)$ 定义如下：
$$
f(x) =
egin{cases}
sin(1/x) & ext{if } x eq 0 \
0 & ext{if } x = 0
end{cases}
$$
这个函数在 $x=0$ 处是不连续的。但它不是我们想要的那个“具有介值性但不存在原函数”的例子，因为这个函数在 $x eq 0$ 时是可导的，而我们无法直接判断它在 $x=0$ 处的导数是否“存在”以及它是否满足介值性。更重要的是，这个函数可以有一个原函数！例如，可以证明 $int sin(1/x) dx$ 是存在的（虽然表达形式复杂）。
真正的问题出现在那些“怪异”的不连续点。
我们需要一个函数 $f$，它在某个点 $x_0$ 处，尽管满足了介值性的定义，但却无法“连接”到它左右两侧的值。
一个著名的反例是由 Camille Jordan （也就是 Jordan 曲线定理的 Jordan）提出的。这个例子非常巧妙，它构造了一个函数，在某些点上存在“跳跃”，但是总体上仍然满足介值性，并且通过积分得到的“原函数”在这些跳跃点上是不可导的。
更明确地来说，我们所寻找的函数 $f$ 必须满足：
1. 对于任意区间 $[a, b]$，如果 $y$ 在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，则存在 $c in (a, b)$ 使得 $f(c) = y$。
2. 不存在一个函数 $F$ 使得 $F'(x) = f(x)$ 在定义域内恒成立。
为什么不能存在原函数？
如果 $F'(x) = f(x)$，那么 $F$ 必须是连续的。而我们知道，导函数（也就是 $f$）即使不连续，也必须满足介值性（达布定理）。
所以，问题的关键在于，是否所有具有介值性的函数都能被表示成某个连续函数的导数。
反例的核心思路：
反例往往是在某个点“打破”了导数的“良好行为”。它构造一个函数 $f$，使得 $f$ 具有介值性，但 $f$ 在某个点的不连续性是如此“尖锐”或“奇怪”，以至于找不到一个光滑的（可导的）函数 $F$ 能够“对齐” $f$ 的值。
一个可以被提及的，虽然不如 Volterra 函数那么“极端”，但能够说明问题的函数类型是：
考虑函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为 $f(0) = 0$。
然后在 $x eq 0$ 的地方，我们让 $f(x)$ 表现得“不好”。
例如，考虑定义在 $mathbb{R}$ 上的函数 $f$:
$$
f(x) =
egin{cases}
x^2 sin(1/x) & ext{if } x eq 0 \
0 & ext{if } x = 0
end{cases}
$$
这个函数在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0) = 0$。但是， $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的，并且 $f'(x)$ 也没有介值性（因为它在0附近振荡的幅度越来越大）。这恰恰说明了可导性是导出介值性的充分条件，而不是必要条件。
我们真正需要的是一个具有介值性，但是“不像是”导数的函数。
正面的反例：
确实存在这样的函数。其中一个著名的例子是 G. Darboux 在1875年构造的。
让我们尝试描述这个构造的“精神”：
假设我们有一个区间，比如 $[1, 1]$。
我们定义 $f(0) = 0$。
然后，我们在 $(0, 1]$ 和 $[1, 0)$ 上构造一些“有规律”但有间断的函数段。
一个更直观的构造（虽然实现起来比理论描述复杂）是这样的：
设 $f(0) = 0$。
在 $(0, 1]$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
在 $[1, 0)$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
这看起来太简单了，它就是一个直线，肯定有原函数。
问题出在我们如何“连接”或“不连接”这些段。
反例的构造思路（简化理解）：
想象在 $x=0$ 处，函数 $f(x)$ 有一个“洞”，或者说它在 $x=0$ 处的定义值，无法通过附近的函数值“连接”起来，但从整体上看，它又满足了介值性。
具体的反例（虽然构造细节需要更严谨的数学分析）：
考虑定义在 $[1, 1]$ 上的函数 $f$：
令 $f(0) = 1/2$。
然后在 $(0, 1]$ 上，我们定义 $f(x) = x$。
在 $[1, 0)$ 上，我们定义 $f(x) = 1 x$。
让我们检查这个函数的性质：
在 $(0, 1]$ 上：$f(x) = x$。值域是 $(0, 1]$。
在 $[1, 0)$ 上：$f(x) = 1x$。当 $x o 0^$ 时，$f(x) o 1$。当 $x=1$ 时，$f(x) = 2$。值域是 $(1, 2]$。
在 $x=0$ 处：$f(0) = 1/2$。
这个函数是不连续的。
我们来看看它的介值性：
考虑区间 $[0, 1]$。$f(0) = 1/2$, $f(1) = 1$。对于任意 $y in (1/2, 1)$，因为 $f(x)=x$ 在 $(0, 1]$ 上是连续且单调的，所以存在 $c in (0, 1)$ 使得 $f(c) = c = y$。这部分满足介值性。
考虑区间 $[1, 0]$。$f(1) = 2$, $f(0) = 1/2$。对于任意 $y in (1/2, 2)$，我们知道 $f(x) = 1x$ 在 $[1, 0)$ 上取值 $(1, 2]$。而 $f(0)=1/2$。
如果 $y in (1, 2]$，那么我们可以在 $[1, 0)$ 中找到 $c$ 使得 $f(c)=1c=y$。
如果 $y in (1/2, 1]$，这时候我们怎么办？
这个构造还不够好，它在 $(1, 0)$ 和 $0$ 之间，值从 $(1, 2]$ 跳到了 $1/2$，中间会有“空缺”。
我们需要更精巧的设计。
更精确的反例思想：
核心是找到一个不连续点 $x_0$，使得 $f(x_0)$ 的值，恰好“错过了”它在 $x_0$ 两侧的极限（如果存在的话）所包含的某个值。然后，通过调整函数在其他点上的行为，使其整体上满足介值性。
重要的一点是： 很多具有介值性的函数确实是导函数。例如，任何连续函数都是其不定积分（原函数）的导函数。但是，“具有介值性”是“是某个导数”的必要条件，但不是充分条件。
为什么说“一定不存在”？
我们不需要说“一定不存在”，而是要说“不一定存在”。
存在性是关键。数学上，有一个明确的结论：
一个函数是某个可导函数的导数，当且仅当它满足介值性，并且它“避免了”某些特定的不连续行为。
而正是这种“避免某些不连续行为”的要求，使得“具有介值性”不足以保证“是某个导数”。
结论：
一个具有介值性的函数，不一定存在原函数。
原因在于：
如果一个函数 $f$ 存在原函数 $F$，那么 $f$ 必然是某个可导函数 $F$ 的导数。
而根据达布定理，所有可导函数的导数都具有介值性。
但是，反过来并不成立。仅仅具有介值性，并不足以保证该函数一定是某个函数的导数。 存在一些特殊的、高度不连续的函数，它们虽然满足介值性，却无法表示为任何可导函数的导数。
这些函数往往在某些点上存在“破坏性”的不连续，使得它们无法被任何连续可导的函数“拟合”。例如，一个函数可能在某个点上突然“跳跃”到一个极端值，然后又“跳跃”回来，但通过在其他点上的巧妙调整，使得整体上它能够“穿越”任何中间值。然而，这种“跳跃”模式是任何可导函数的导数所不允许的。
所以，拥有介值性就像是拥有了“导数的通行证”，但这个通行证并不是万能的，它漏掉了一些“例外情况”，而这些例外情况恰恰是那些没有原函数的函数。
网友意见
谢邀。
我给其他人解释一下什么是达布中值定理：一个函数 可导，那么对于任意 ,可以找到 使得 ，这个性质可以说明任何一个函数的导数（如果存在）是“几乎”是连续的。 这个性质叫达布性质。我们把具有达布性质的函数称为达布函数。设 当 而 当 ，这个函数不满足达布性质，他不可能有原函数，但是它黎曼可积。换句话说，我们给出了一个最简单的黎曼可积但是原函数不存在的函数。
题主的问题就是一个函数如果有达布性质，那么它一定具有原函数吗？一个很自然的问题。
这个问题有两个解法，一个优美的间接方法，一个暴力的直接方法。：第一个优美的方法：任何函数都可以写成两个达布函数的和，如果每个达布函数都有原函数，那么任何函数都有原函数，这是显然不可能。下面的链接包含了完整的证明，里面需要你学过一点实分析。我也附上了完整的证明。其实挺难的。
https:// mathproblems123.files.wordpress.com /2010/07/strange-functions.pdf
第二个“暴力”的方法： 有人构造出了一个函数具有达布性质，但是原函数不存在，这个例子由conway构造出来，学过泛函分析的人知道这位大师。
Conway base 13 function
对了，这个例子我还得解释一下，这个函数特点是无处连续的，但是用Baire纲定理可以证明，一个函数的导数必须在某个地方是连续的(可以证明连续点全体必须是一个稠密的集)，自然不可能无处连续。这个结果的完整论述需要学过泛函分析，我不清楚题主学过没有。
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在探讨一个元素添加中子后是否会变得放射性，以及在这种情况下我们是否能称之为“放射性原子”之前，我们需要先梳理清楚一些基本概念。什么是元素？我们首先需要明确“元素”的定义。在化学领域，元素是由其原子核中的质子数决定的。例如，所有质子数为6的原子都属于碳元素。质子数是元素的身份象征，它决定了元素在元素周.............
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海南自由贸易港建设总体方案的颁布，是中国对外开放战略的又一重大举措，其经济意义深远且复杂，能否成为下一个香港，则是一个值得深入探讨的议题。海南自由贸易港建设的经济意义：海南自由贸易港的设立，不仅仅是一个区域性的政策调整，更是中国经济发展模式转型升级、更高水平对外开放的重要试验田。其经济意义主要体现在.............
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知乎从一个专业的问答平台，一步步蜕变为一个具有社会舆论引导性的平台，这个过程是复杂且渐进的，涉及平台自身的演进、用户群体的变化、内容生态的重塑以及外部环境的影响。以下我将尽量详细地描述这一转变过程：第一阶段：知识社区的建立与专业性巩固 (2010年 2013年) 初衷与定位： 知乎创立于201.............
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