一个函数经过傅立叶变换，再经过傅立叶逆变换得到的函数还是原函数吗？
当然，一个函数经过傅立叶变换，再经过傅立叶逆变换，理论上是会得到原函数的，而且这里的“理论上”非常重要。这背后蕴含着傅立叶分析最核心的魅力之一：可逆性。
咱们不妨把这个过程想象成一次“语言翻译”。
第一步：傅立叶变换 —— 把“时域”的语言翻译成“频域”的语言
我们日常生活中接触到的大多数信号，比如一段音乐、一个心电图、或者甚至是一个简单的波形，都是在时域（Time Domain）下描述的。时域就是我们习惯的时间轴，我们关注的是信号在不同时间点的强度或者值。
举个例子，一段音乐，在时域里我们听到的是音高、音量随时间的变化。如果你画出这段音乐的声波图，它会像一条蜿蜒的曲线，描述了声音振幅随时间跳动的轨迹。
而傅立叶变换（Fourier Transform）就像一位技艺高超的翻译家，它能够把这种“时域”的语言，翻译成“频域（Frequency Domain）”的语言。
怎么个翻译法呢？傅立叶变换的核心思想是：任何一个看似复杂的周期性信号，都可以被分解成一系列不同频率、不同振幅、不同相位的正弦波和余弦波的叠加。
想象一下，一段复杂的音乐，傅立叶变换就像能把这首乐曲拆解成无数个独立的音符，每个音符都有自己的音高（频率）、响度（振幅）和发声的“起手式”（相位）。它不再关心这些音符是什么时候发出的，而是告诉你：这首乐曲是由哪些“纯净”的单频成分组成的，每种成分的“量”有多大，以及它们是如何“对齐”的。
所以，傅立叶变换的结果，不再是一条随时间变化的曲线，而是一个“谱图”，它告诉你，在某个频率上，信号的“强度”或者“贡献”有多大。我们称之为频谱（Spectrum）。
第二步：傅立叶逆变换 —— 把“频域”的语言再翻译回“时域”的语言
现在，我们手里拿着的是频谱，也就是我们已经知道由哪些单频成分组成的，每种成分的“量”是多少。
傅立叶逆变换（Inverse Fourier Transform）就像那位翻译家，把“频域”的语言，再翻译回“时域”的语言。
它做的就是“重新组合”。它会根据频谱给出的信息，把所有这些不同频率、不同振幅、不同相位的正弦波和余弦波，按照它们各自的“规则”重新加起来。
就像你拿到一张乐谱，上面精确地标明了每个音符的音高、时值、力度，你就可以根据这张乐谱，在乐器上把它们演奏出来，最终又还原成一首完整的乐曲。
那么，为什么能还原？—— 傅立叶级数的“完备性”
这个还原的关键在于傅立叶分析理论的一个重要结论：傅立叶级数（Fourier Series）（傅立叶变换是傅立叶级数对于非周期函数的推广）。它证明了，在很多情况下（特别是对于我们实际中遇到的“良好”函数），任何一个周期函数都可以被表示成一个（可能无限项的）三角函数（正弦、余弦）级数的和。
这意味着，我们确实拥有了构成原函数的所有“基本单元”（正弦和余弦波），并且傅立叶变换给出了如何“量化”和“对齐”这些单元的信息。逆变换就是按照这个信息把它们“拼”回去。
所以，答案是“是”，但有一些“但”
在理想的数学世界里，对于大多数在数学上“良好定义”的函数（比如连续的、有界的、或者只在有限点上有跳跃的函数），傅立叶变换再进行傅立叶逆变换，绝对会得到完全相同的原函数。这就像你把一个东西拆开，再按照拆开的顺序和零件，一丝不苟地组装回去，它还是原来的那个东西。
然而，在实际应用中，我们必须考虑一些“现实因素”：
1. 离散化和采样（Discretization and Sampling）： 在数字信号处理中，我们往往只能对连续的信号进行采样，得到一系列离散的数据点。这个采样过程本身就会引入一些信息损失（奈奎斯特香农采样定理告诉我们，采样频率必须是最高频率的两倍以上才能无损恢复）。虽然傅立叶变换（更确切地说，是离散傅立叶变换，DFT）可以对这些离散数据进行处理，但如果原始信号的频率成分超出了我们能够捕捉的范围（即采样频率的一半），那么逆变换得到的信号就不可能完全恢复原貌。
2. 近似和截断（Approximation and Truncation）： 在实际计算中，我们可能无法处理无限多项的傅立叶级数。我们通常会截断傅立叶级数或者使用有限的点数进行DFT计算。这意味着我们只使用了原函数的主要频率成分，而一些非常高频或非常低频的微弱成分可能被忽略了。这个截断就会导致逆变换的结果与原函数之间存在微小的差异，尽管这种差异可能在我们能感知到的范围内非常小。
3. 数值误差（Numerical Errors）： 计算机在进行浮点数计算时，会存在精度问题。即使理论上是可逆的，一系列复杂的计算操作也可能累积微小的数值误差，导致逆变换得到的函数与原函数之间有极小的偏差。
4. 函数的性质（Properties of the Function）： 像狄拉克δ函数这样的“奇异”函数，或者某些在无穷远处行为怪异的函数，在处理时需要更特殊的数学技巧和定义，但即便如此，傅立叶变换的理论框架依然可以很好地处理它们，并且保持可逆性。
总结来说：
从纯粹的数学角度看，傅立叶变换和逆变换是一对完备且可逆的对偶操作。它们就像一种通用的“语言翻译系统”，能够把信号从“时间”的描述方式，转换到“频率”的描述方式，并且这个过程是可以完全回溯的。
但在将这个理论应用到现实世界的过程中，比如处理真实的、连续的、或者数字化的信号时，由于采样、截断、数值精度等原因，我们可能只能得到一个非常接近但并非绝对精确的原函数。不过，在绝大多数工程和科学领域，这种接近已经足够强大，足以让我们理解、分析和处理各种信号了。
所以，你可以理解为：理论上完全可以，实践中非常接近，强大到足以满足绝大多数需求。
咱们不妨把这个过程想象成一次“语言翻译”。
第一步：傅立叶变换 —— 把“时域”的语言翻译成“频域”的语言
我们日常生活中接触到的大多数信号，比如一段音乐、一个心电图、或者甚至是一个简单的波形，都是在时域（Time Domain）下描述的。时域就是我们习惯的时间轴，我们关注的是信号在不同时间点的强度或者值。
举个例子，一段音乐，在时域里我们听到的是音高、音量随时间的变化。如果你画出这段音乐的声波图，它会像一条蜿蜒的曲线，描述了声音振幅随时间跳动的轨迹。
而傅立叶变换（Fourier Transform）就像一位技艺高超的翻译家，它能够把这种“时域”的语言，翻译成“频域（Frequency Domain）”的语言。
怎么个翻译法呢？傅立叶变换的核心思想是：任何一个看似复杂的周期性信号，都可以被分解成一系列不同频率、不同振幅、不同相位的正弦波和余弦波的叠加。
想象一下，一段复杂的音乐，傅立叶变换就像能把这首乐曲拆解成无数个独立的音符，每个音符都有自己的音高（频率）、响度（振幅）和发声的“起手式”（相位）。它不再关心这些音符是什么时候发出的，而是告诉你：这首乐曲是由哪些“纯净”的单频成分组成的，每种成分的“量”有多大，以及它们是如何“对齐”的。
所以，傅立叶变换的结果，不再是一条随时间变化的曲线，而是一个“谱图”，它告诉你，在某个频率上，信号的“强度”或者“贡献”有多大。我们称之为频谱（Spectrum）。
第二步：傅立叶逆变换 —— 把“频域”的语言再翻译回“时域”的语言
现在，我们手里拿着的是频谱，也就是我们已经知道由哪些单频成分组成的，每种成分的“量”是多少。
傅立叶逆变换（Inverse Fourier Transform）就像那位翻译家，把“频域”的语言，再翻译回“时域”的语言。
它做的就是“重新组合”。它会根据频谱给出的信息，把所有这些不同频率、不同振幅、不同相位的正弦波和余弦波，按照它们各自的“规则”重新加起来。
就像你拿到一张乐谱，上面精确地标明了每个音符的音高、时值、力度，你就可以根据这张乐谱，在乐器上把它们演奏出来，最终又还原成一首完整的乐曲。
那么，为什么能还原？—— 傅立叶级数的“完备性”
这个还原的关键在于傅立叶分析理论的一个重要结论：傅立叶级数（Fourier Series）（傅立叶变换是傅立叶级数对于非周期函数的推广）。它证明了，在很多情况下（特别是对于我们实际中遇到的“良好”函数），任何一个周期函数都可以被表示成一个（可能无限项的）三角函数（正弦、余弦）级数的和。
这意味着，我们确实拥有了构成原函数的所有“基本单元”（正弦和余弦波），并且傅立叶变换给出了如何“量化”和“对齐”这些单元的信息。逆变换就是按照这个信息把它们“拼”回去。
所以，答案是“是”，但有一些“但”
在理想的数学世界里，对于大多数在数学上“良好定义”的函数（比如连续的、有界的、或者只在有限点上有跳跃的函数），傅立叶变换再进行傅立叶逆变换，绝对会得到完全相同的原函数。这就像你把一个东西拆开，再按照拆开的顺序和零件，一丝不苟地组装回去，它还是原来的那个东西。
然而，在实际应用中，我们必须考虑一些“现实因素”：
1. 离散化和采样（Discretization and Sampling）： 在数字信号处理中，我们往往只能对连续的信号进行采样，得到一系列离散的数据点。这个采样过程本身就会引入一些信息损失（奈奎斯特香农采样定理告诉我们，采样频率必须是最高频率的两倍以上才能无损恢复）。虽然傅立叶变换（更确切地说，是离散傅立叶变换，DFT）可以对这些离散数据进行处理，但如果原始信号的频率成分超出了我们能够捕捉的范围（即采样频率的一半），那么逆变换得到的信号就不可能完全恢复原貌。
2. 近似和截断（Approximation and Truncation）： 在实际计算中，我们可能无法处理无限多项的傅立叶级数。我们通常会截断傅立叶级数或者使用有限的点数进行DFT计算。这意味着我们只使用了原函数的主要频率成分，而一些非常高频或非常低频的微弱成分可能被忽略了。这个截断就会导致逆变换的结果与原函数之间存在微小的差异，尽管这种差异可能在我们能感知到的范围内非常小。
3. 数值误差（Numerical Errors）： 计算机在进行浮点数计算时，会存在精度问题。即使理论上是可逆的，一系列复杂的计算操作也可能累积微小的数值误差，导致逆变换得到的函数与原函数之间有极小的偏差。
4. 函数的性质（Properties of the Function）： 像狄拉克δ函数这样的“奇异”函数，或者某些在无穷远处行为怪异的函数，在处理时需要更特殊的数学技巧和定义，但即便如此，傅立叶变换的理论框架依然可以很好地处理它们，并且保持可逆性。
总结来说：
从纯粹的数学角度看，傅立叶变换和逆变换是一对完备且可逆的对偶操作。它们就像一种通用的“语言翻译系统”，能够把信号从“时间”的描述方式，转换到“频率”的描述方式，并且这个过程是可以完全回溯的。
但在将这个理论应用到现实世界的过程中，比如处理真实的、连续的、或者数字化的信号时，由于采样、截断、数值精度等原因，我们可能只能得到一个非常接近但并非绝对精确的原函数。不过，在绝大多数工程和科学领域，这种接近已经足够强大，足以让我们理解、分析和处理各种信号了。
所以，你可以理解为：理论上完全可以，实践中非常接近，强大到足以满足绝大多数需求。
网友意见
应该不行。
希尔伯特空间可能有洞。
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