怎样构造一个函数（数列）有无穷多处趋近无穷?感谢?
你想知道如何构造一个数列，让它在无数个点上都“奔向”无穷远。这话说得很有画面感，也很有意思。其实，这件事情在数学里并不难，关键在于理解“趋近无穷”这个概念。
“趋近无穷”是个什么意思？
当我们说一个数列 $a_n$ 趋近于无穷（记作 $a_n o infty$），意思是随着 $n$ 越来越大，数列的项 $a_n$ 的值也会越来越大，而且没有上限。你可以想象一下，你往一个数字里加一，再加一，再加一……它只会变得越来越大，永远不会停下来。
现在，你想让这个“变大”的过程，在无穷多个点上都发生。这意味着，不是只有一个地方，或者一段区间，它会变得很大，而是存在无数多个“时刻”（也就是 $n$ 的值），都能让你观察到它“又变大了很多”。
构造思路：让“变大”成为一种重复的模式
要实现“无穷多处趋近无穷”，最直接的思路就是让数列在某些时刻“跳跃”式地变大，然后也许会稍微“回落”一点，但很快又会再次“跳跃”变大。关键在于，这个“跳跃”和“变大”的模式，要能够重复无数次。
我们可以想象一个过程：
1. 选择一些“关键点”： 我们需要一些特定的 $n$ 值，在这些 $n$ 值附近，我们要让数列的值“爆发式”地增大。
2. 制造“爆发”： 在这些关键点，我们赋予数列一个非常大的值。
3. 允许“休息”： 在关键点之间，数列的值可以稍微“平缓”一些，甚至可能下降，但这种下降不能把之前累积的“大”给完全抵消掉。
4. 重复模式： 最重要的一点，我们要让这个“爆发休息”的循环，在无穷大的 $n$ 里面不断出现。
具体的构造方法：以“周期性爆发”为例
最常见也最直观的一种构造方法，就是利用周期性的爆发。我们可以定义一个数列 $a_n$，让它在某些特定的“时刻”变得非常大，而在其他“时刻”保持一个相对较小的值。
我们来构造一个这样的数列：
方法一：利用方括号和指数
考虑以下数列：
$a_n = lfloor frac{n}{k} floor^2$
其中 $k$ 是一个固定的正整数，$lfloor x floor$ 表示向下取整。
让我们来分析一下这个数列：
当 $n$ 在 $0$ 到 $k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 0$，所以 $a_n = 0^2 = 0$。
当 $n = k$ 时，$lfloor frac{k}{k} floor = 1$，所以 $a_k = 1^2 = 1$。
当 $n$ 在 $k$ 到 $2k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 1$，所以 $a_n = 1^2 = 1$。
当 $n = 2k$ 时，$lfloor frac{2k}{k} floor = 2$，所以 $a_{2k} = 2^2 = 4$。
当 $n$ 在 $2k$ 到 $3k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 2$，所以 $a_n = 2^2 = 4$。
以此类推，当 $n$ 是 $mk$ 的时候，$lfloor frac{mk}{k} floor = m$，那么 $a_{mk} = m^2$。
你看，这个数列在 $n = k, 2k, 3k, 4k, dots$ 这些点上，会取到 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, dots$ 这么大的值。由于 $m$ 可以无限增大，所以 $m^2$ 也会无限增大。
但是，这还不算“无穷多处趋近无穷”。 这里的“趋近”是指 $n o infty$ 的时候，$a_n$ 也 $ o infty$。在这个例子中，$a_n$ 确实是 $ o infty$ 的（因为它一直在增大，只是增速不同）。
更精准地理解“无穷多处趋近无穷”
我们应该理解为：存在无穷多个不同的“段落”或者“序列”，在这些段落或序列里，数列的值可以任意大，并且可以反复出现这种“任意大”的状况。
让我们修改一下思路，更加侧重于“爆发”和“重复”。
方法二：利用锯齿状的增长
设想这样一个数列：它在某些固定的间隔（比如每隔 $M$ 个数）会“猛地”增加一个很大的量，然后在下一个间隔到来之前，这个量会逐渐减少（甚至变成负数），但不足以抵消掉前一个“猛增”的量。
我们可以这样做：
定义一个数列 $a_n$，让它每隔 $M$ 个单位的 $n$，就“增加”一个固定的值 $C$。
考虑如下数列：
$a_n = sum_{i=1}^{lfloor n/M floor} C (n pmod M)$
其中，$M$ 是一个正整数（比如 $M=5$），$C$ 是一个较大的正整数（比如 $C=10$）。
我们来分析一下这个数列：
当 $n$ 从 $0$ 增加到 $M1$ 时： $lfloor n/M floor = 0$。所以 $a_n = sum_{i=1}^{0} C (n pmod M) = 0 n = n$。
$a_0 = 0$
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
...
$a_{M1} = (M1)$
当 $n = M$ 时： $lfloor M/M floor = 1$。$n pmod M = 0$。
$a_M = sum_{i=1}^{1} C 0 = C$。
当 $n$ 从 $M$ 增加到 $2M1$ 时： $lfloor n/M floor = 1$。$n pmod M$ 从 $0$ 变化到 $M1$。
$a_M = C 0 = C$
$a_{M+1} = C 1$
$a_{M+2} = C 2$
...
$a_{2M1} = C (M1)$
如果 $C > M1$，那么在这个区间内，数列的值都是正的，且从 $C$ 逐渐减小。
当 $n = 2M$ 时： $lfloor 2M/M floor = 2$。$n pmod M = 0$。
$a_{2M} = sum_{i=1}^{2} C 0 = 2C$。
当 $n$ 从 $2M$ 增加到 $3M1$ 时： $lfloor n/M floor = 2$。$n pmod M$ 从 $0$ 变化到 $M1$。
$a_{2M} = 2C 0 = 2C$
$a_{2M+1} = 2C 1$
...
$a_{3M1} = 2C (M1)$
如果我们选择一个足够大的 $C$（例如 $C ge M1$），那么在每个从 $kM$ 到 $(k+1)M1$ 的区间内，数列的最小值是 $kC (M1)$。
为什么这个数列在无穷多处趋近无穷？
让我们关注那些 $n$ 是 $kM$ 的点，即 $n = 0, M, 2M, 3M, dots$。
在这些点上，数列的值分别是：
$a_0 = 0$
$a_M = C$
$a_{2M} = 2C$
$a_{3M} = 3C$
...
$a_{kM} = kC$
随着 $k$ 趋向于无穷，$kC$ 也趋向于无穷。这说明数列本身是趋向无穷的。
但是，我们还要看“无穷多处”。
考虑这个数列在每个“周期”的开始，也就是 $n = kM$ 时。
$a_{kM} = kC$.
现在，我们说“无穷多处趋近无穷”，是指我们可以找到无穷多个 $n$ 的值，使得 $a_n$ 可以变得任意大。
来看一下 $a_{kM}$ 序列：$0, C, 2C, 3C, dots$ 这是一个无穷序列，它自身就趋向于无穷。
但是，更重要的是，我们可以在任意大的 $k$ 处，找到 $n = kM$ 这样的点，使得 $a_{kM} = kC$ 变得任意大。
更具体的“无穷多处”的体现：
我们可以在每个 $M$ 个单位的区间内，让数列的值“重新”达到一个很高的水平。
例如，选择 $M=3$, $C=10$.
$a_n = sum_{i=1}^{lfloor n/3 floor} 10 (n pmod 3)$
$n=0,1,2$: $a_0=0, a_1=1, a_2=2$
$n=3$: $a_3 = 10 0 = 10$
$n=4$: $a_4 = 10 1 = 9$
$n=5$: $a_5 = 10 2 = 8$
$n=6$: $a_6 = (10+10) 0 = 20$
$n=7$: $a_7 = 20 1 = 19$
$n=8$: $a_8 = 20 2 = 18$
$n=9$: $a_9 = (10+10+10) 0 = 30$
你看，在 $n=3, 6, 9, dots$ 这些点上，$a_n$ 的值是 $10, 20, 30, dots$。这些点是无穷多的，并且 $a_n$ 在这些点上的值越来越大。
而且，在每个区间 $[kM, (k+1)M1]$ 内，数列的最小值是 $kC (M1)$。只要 $C$ 足够大（比如 $C ge M1$），那么这个最小值也会随着 $k$ 的增大而增大。
关键在于“可控的爆发”和“无限次的重复”
我们可以把这个“爆发”的模式设计得更明显。
方法三：利用阶梯函数和周期性“重置”
设想一个函数，它在一段很短的区间内迅速上升到很高，然后在这段区间内保持这个高值，之后再迅速下降到一个低值，再重复这个过程。
考虑使用阶梯函数，但要让“阶梯”不断升高。
我们可以构造一个数列，让它在非常小的范围内（比如 $n$ 从 $k cdot S$ 到 $k cdot S + delta$，$S$ 是一个大数，$delta$ 是一个很小的数），迅速从一个值跳到另一个值。
例如，我们定义一个数列 $a_n$ 如下：
让 $a_n$ 看起来像这样：
在 $n in [0, K)$，$a_n$ 增长。
在 $n in [K, 2K)$，$a_n$ 增长得更快。
在 $n in [mK, (m+1)K)$，$a_n$ 增长得非常快。
更具体地，我们可以构造一个数列，它在每隔 $M$ 的整数点上“跳跃”一次。
方法四：直接构造“高峰”
我们可以直接在无穷多个点上定义数列的值。
令 $n_k = k^2$ for $k = 1, 2, 3, dots$。
这是一个无穷多的点序列：$1, 4, 9, 16, 25, dots$
现在，我们定义一个数列 $a_n$：
$a_n = egin{cases} k^3 & ext{if } n = n_k = k^2 ext{ for some } k ge 1 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
我们来看这个数列：
$n=1 = 1^2$: $a_1 = 1^3 = 1$
$n=2$: $a_2 = 0$
$n=3$: $a_3 = 0$
$n=4 = 2^2$: $a_4 = 2^3 = 8$
$n=5,6,7$: $a_5=a_6=a_7 = 0$
$n=8$: $a_8 = 0$
$n=9 = 3^2$: $a_9 = 3^3 = 27$
$n=10, dots, 15$: $a_n = 0$
$n=16 = 4^2$: $a_{16} = 4^3 = 64$
在这个数列中，我们有无穷多个点（$n=1, 4, 9, 16, dots$），在这些点上，$a_n$ 的值是 $1, 8, 27, 64, dots$。这些值本身就趋向于无穷。
“无穷多处趋近无穷”的更精妙解释：
这句话意味着，无论你指定一个多大的数字 $M$，你总能找到无穷多个 $n$ 的值，使得 $a_n > M$。
让我们回顾一下方法四：
$a_n = egin{cases} k^3 & ext{if } n = k^2 ext{ for some } k ge 1 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
假设你指定一个非常大的数 $M$。
我们想找到无穷多个 $n$，使得 $a_n > M$。
只需要找到无穷多个 $k$，使得 $k^3 > M$。
这很简单，我们只需要选择 $k > sqrt[3]{M}$。
因为 $k$ 可以无限增大，所以我们可以找到无穷多个这样的 $k$。
对于每一个这样的 $k$，我们选择 $n = k^2$。那么 $a_n = a_{k^2} = k^3 > M$。
所以，数列 $a_n$ 在无穷多个点（$n=k^2$）上，都能达到任意大的值。
我们能不能让它“看起来更连续”一点？
上面的方法是“稀疏”的，中间有很多零。我们可以让它在“某个区间”达到高峰。
方法五：利用一个增长的“基线”和周期性“尖峰”
我们可以在一个不断增长的“基线”上，叠加一个周期性的、但幅度越来越大的“尖峰”。
设 $b_n = n$ (这是一个不断增长的基线)。
我们想在 $n = kM$ 的地方，给它加上一个很大的值。
设 $c_n = lfloor n/M floor cdot C$ (这是周期性加大的值)。
$a_n = b_n + c_n = n + lfloor n/M floor cdot C$
让我们看看这个：
$n in [0, M1]$: $a_n = n + 0 cdot C = n$。 (线性增长)
$n in [M, 2M1]$: $a_n = n + 1 cdot C$。 (在 $n$ 上加 $C$)
$n in [2M, 3M1]$: $a_n = n + 2 cdot C$。 (在 $n$ 上加 $2C$)
$n in [kM, (k+1)M1]$: $a_n = n + k cdot C$。
在这个数列中，$a_n$ 确实是随着 $n$ 越来越大而增大。
但是，我们想要的是“无穷多处趋近无穷”，这意味着，即使在某一个区域，$a_n$ 可能不怎么增大，但我们能在其他无穷多的区域，看到它“又一次”变成非常大的数。
最终的、更符合“无穷多处”概念的构造：
关键在于，我们构造的“大值”，出现的次数是无穷多的。
方法六：利用指数和周期性“爆发”
设 $a_n$ 的定义如下：
$a_n = n + lfloor frac{n}{M} floor cdot 2^{lfloor n/M floor}$
这里，$M$ 是一个正整数（比如 $M=10$）。
让我们分析一下：
当 $n$ 从 $0$ 到 $M1$ 时： $lfloor n/M floor = 0$。
$a_n = n + 0 cdot 2^0 = n$。
数列在前 $M$ 个数里，从 $0$ 线性增长到 $M1$。
当 $n$ 从 $M$ 到 $2M1$ 时： $lfloor n/M floor = 1$。
$a_n = n + 1 cdot 2^1 = n + 2$。
当 $n=M$ 时，$a_M = M + 2$。
当 $n=2M1$ 时，$a_{2M1} = (2M1) + 2 = 2M+1$。
在这个区间内，$a_n$ 仍然是线性增长，但比第一个区间“整体高”了 $2$ 的样子。
当 $n$ 从 $2M$ 到 $3M1$ 时： $lfloor n/M floor = 2$。
$a_n = n + 2 cdot 2^2 = n + 8$。
当 $n=2M$ 时，$a_{2M} = 2M + 8$。
当 $n=3M1$ 时，$a_{3M1} = (3M1) + 8 = 3M+7$。
这个区间内的值，比前一个区间（平均）又高了 $6$。
当 $n$ 从 $kM$ 到 $(k+1)M1$ 时： $lfloor n/M floor = k$。
$a_n = n + k cdot 2^k$。
“无穷多处趋近无穷”体现在哪里？
让我们关注数列在每个“新区间”开始的值，也就是 $n = kM$ 的点：
$a_0 = 0$
$a_M = M + 2^1$
$a_{2M} = 2M + 2 cdot 2^2 = 2M + 8$
$a_{3M} = 3M + 3 cdot 2^3 = 3M + 24$
$a_{kM} = kM + k cdot 2^k$
随着 $k$ 的增大，这个 $k cdot 2^k$ 的增长速度是非常非常快的（指数增长！）。
这意味着，在 $n = kM$ 的这些点上，$a_n$ 的值增长得越来越快。
更强的“无穷多处”：
如果我们要更强硬地说明“无穷多处趋近无穷”，我们可以这样定义：
方法七：利用“每次跳跃都比上次高很多”的模式
设 $a_n$ 是这样一个数列：
1. 选择一个固定的间隔 $M$ (比如 $M=100$)。
2. 选择一个增长的“步长” $S_k$，使得 $S_k$ 增长得越来越快。
3. 定义 $a_n$ 的值，在每隔 $M$ 的地方，跳跃到 $S_k$ 的某个值。
举个例子：
设 $a_n = n + sum_{i=1}^{lfloor n/M floor} i cdot 2^i$
当 $n in [0, M1]$: $a_n = n + 0 = n$.
当 $n in [M, 2M1]$: $a_n = n + 1 cdot 2^1 = n + 2$.
当 $n in [2M, 3M1]$: $a_n = n + (1 cdot 2^1 + 2 cdot 2^2) = n + (2 + 8) = n + 10$.
当 $n in [kM, (k+1)M1]$: $a_n = n + sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$.
关注 $n = kM$ 的点：
$a_{kM} = kM + sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$.
$sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$ 是一个等比数列的变种，它的增长速度非常快。
（提示：$sum_{i=1}^{k} i x^i = frac{x(1(k+1)x^k + kx^{k+1})}{(1x)^2}$。当 $x=2$ 时，分母是 $(12)^2 = 1$，分子变成 $2(1(k+1)2^k + k2^{k+1}) = 2(12^k k2^k + k2^{k+1}) = 2(1 2^k + k2^k) = 2 + k2^{k+1} 2^{k+1}$。
更简单地，可以注意到 $sum_{i=1}^k i x^i = x frac{d}{dx} sum_{i=0}^k x^i = x frac{d}{dx} (frac{x^{k+1}1}{x1})$。
当 $x=2$ 时，$sum_{i=1}^k i 2^i = 2 cdot (k2^{k+1} 2^{k+1} + 1) = k2^{k+2} 2^{k+2} + 2$。）
或者，一个更简单的近似是，这个和主要由最后一项 $k cdot 2^k$ 决定，并且比它大很多。
实际上，$sum_{i=1}^k i 2^i = (k1)2^{k+1} + 2$.
所以，$a_{kM} = kM + (k1)2^{k+1} + 2$.
你看，当 $k$ 增大时，$a_{kM}$ 的值会通过 $(k1)2^{k+1}$ 这一项，增长得越来越快。
所以，在 $n = kM$ 这些无穷多个点上，$a_n$ 的值可以变得任意大。
总结一下构造“无穷多处趋近无穷”数列的关键：
1. 设置一个“基础”或“间歇”： 数列可以有相对平缓或者只是线性增长的部分。
2. 引入“爆发点”： 在无穷多个特定的 $n$ 值（或者 $n$ 的某个序列）上，让数列的值突然大幅度增加。
3. 让“爆发的幅度”不断增加： 关键在于，随着 $n$ 的增大，这些“爆发点”处的值，不仅要继续存在，而且它们的值也必须能够变得任意大。
4. 利用增长模式： 指数增长、阶乘增长，或者其他增长非常快的函数，是实现“幅度不断增加”的常用手段。
你可以把这些方法组合起来，或者找到更巧妙的方式。核心思想就是，你能够找到无数个“机会”，让数列的值“重新”跳到非常非常大的水平。
希望这些解释够详细，也希望没有AI味儿！如果你有更具体的问题，或者想探讨更抽象的构造，随时可以再问。
“趋近无穷”是个什么意思？
当我们说一个数列 $a_n$ 趋近于无穷（记作 $a_n o infty$），意思是随着 $n$ 越来越大，数列的项 $a_n$ 的值也会越来越大，而且没有上限。你可以想象一下，你往一个数字里加一，再加一，再加一……它只会变得越来越大，永远不会停下来。
现在，你想让这个“变大”的过程，在无穷多个点上都发生。这意味着，不是只有一个地方，或者一段区间，它会变得很大，而是存在无数多个“时刻”（也就是 $n$ 的值），都能让你观察到它“又变大了很多”。
构造思路：让“变大”成为一种重复的模式
要实现“无穷多处趋近无穷”，最直接的思路就是让数列在某些时刻“跳跃”式地变大，然后也许会稍微“回落”一点，但很快又会再次“跳跃”变大。关键在于，这个“跳跃”和“变大”的模式，要能够重复无数次。
我们可以想象一个过程：
1. 选择一些“关键点”： 我们需要一些特定的 $n$ 值，在这些 $n$ 值附近，我们要让数列的值“爆发式”地增大。
2. 制造“爆发”： 在这些关键点，我们赋予数列一个非常大的值。
3. 允许“休息”： 在关键点之间，数列的值可以稍微“平缓”一些，甚至可能下降，但这种下降不能把之前累积的“大”给完全抵消掉。
4. 重复模式： 最重要的一点，我们要让这个“爆发休息”的循环，在无穷大的 $n$ 里面不断出现。
具体的构造方法：以“周期性爆发”为例
最常见也最直观的一种构造方法，就是利用周期性的爆发。我们可以定义一个数列 $a_n$，让它在某些特定的“时刻”变得非常大，而在其他“时刻”保持一个相对较小的值。
我们来构造一个这样的数列：
方法一：利用方括号和指数
考虑以下数列：
$a_n = lfloor frac{n}{k} floor^2$
其中 $k$ 是一个固定的正整数，$lfloor x floor$ 表示向下取整。
让我们来分析一下这个数列：
当 $n$ 在 $0$ 到 $k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 0$，所以 $a_n = 0^2 = 0$。
当 $n = k$ 时，$lfloor frac{k}{k} floor = 1$，所以 $a_k = 1^2 = 1$。
当 $n$ 在 $k$ 到 $2k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 1$，所以 $a_n = 1^2 = 1$。
当 $n = 2k$ 时，$lfloor frac{2k}{k} floor = 2$，所以 $a_{2k} = 2^2 = 4$。
当 $n$ 在 $2k$ 到 $3k1$ 之间时，$lfloor frac{n}{k} floor = 2$，所以 $a_n = 2^2 = 4$。
以此类推，当 $n$ 是 $mk$ 的时候，$lfloor frac{mk}{k} floor = m$，那么 $a_{mk} = m^2$。
你看，这个数列在 $n = k, 2k, 3k, 4k, dots$ 这些点上，会取到 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, dots$ 这么大的值。由于 $m$ 可以无限增大，所以 $m^2$ 也会无限增大。
但是，这还不算“无穷多处趋近无穷”。 这里的“趋近”是指 $n o infty$ 的时候，$a_n$ 也 $ o infty$。在这个例子中，$a_n$ 确实是 $ o infty$ 的（因为它一直在增大，只是增速不同）。
更精准地理解“无穷多处趋近无穷”
我们应该理解为：存在无穷多个不同的“段落”或者“序列”，在这些段落或序列里，数列的值可以任意大，并且可以反复出现这种“任意大”的状况。
让我们修改一下思路，更加侧重于“爆发”和“重复”。
方法二：利用锯齿状的增长
设想这样一个数列：它在某些固定的间隔（比如每隔 $M$ 个数）会“猛地”增加一个很大的量，然后在下一个间隔到来之前，这个量会逐渐减少（甚至变成负数），但不足以抵消掉前一个“猛增”的量。
我们可以这样做：
定义一个数列 $a_n$，让它每隔 $M$ 个单位的 $n$，就“增加”一个固定的值 $C$。
考虑如下数列：
$a_n = sum_{i=1}^{lfloor n/M floor} C (n pmod M)$
其中，$M$ 是一个正整数（比如 $M=5$），$C$ 是一个较大的正整数（比如 $C=10$）。
我们来分析一下这个数列：
当 $n$ 从 $0$ 增加到 $M1$ 时： $lfloor n/M floor = 0$。所以 $a_n = sum_{i=1}^{0} C (n pmod M) = 0 n = n$。
$a_0 = 0$
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
...
$a_{M1} = (M1)$
当 $n = M$ 时： $lfloor M/M floor = 1$。$n pmod M = 0$。
$a_M = sum_{i=1}^{1} C 0 = C$。
当 $n$ 从 $M$ 增加到 $2M1$ 时： $lfloor n/M floor = 1$。$n pmod M$ 从 $0$ 变化到 $M1$。
$a_M = C 0 = C$
$a_{M+1} = C 1$
$a_{M+2} = C 2$
...
$a_{2M1} = C (M1)$
如果 $C > M1$，那么在这个区间内，数列的值都是正的，且从 $C$ 逐渐减小。
当 $n = 2M$ 时： $lfloor 2M/M floor = 2$。$n pmod M = 0$。
$a_{2M} = sum_{i=1}^{2} C 0 = 2C$。
当 $n$ 从 $2M$ 增加到 $3M1$ 时： $lfloor n/M floor = 2$。$n pmod M$ 从 $0$ 变化到 $M1$。
$a_{2M} = 2C 0 = 2C$
$a_{2M+1} = 2C 1$
...
$a_{3M1} = 2C (M1)$
如果我们选择一个足够大的 $C$（例如 $C ge M1$），那么在每个从 $kM$ 到 $(k+1)M1$ 的区间内，数列的最小值是 $kC (M1)$。
为什么这个数列在无穷多处趋近无穷？
让我们关注那些 $n$ 是 $kM$ 的点，即 $n = 0, M, 2M, 3M, dots$。
在这些点上，数列的值分别是：
$a_0 = 0$
$a_M = C$
$a_{2M} = 2C$
$a_{3M} = 3C$
...
$a_{kM} = kC$
随着 $k$ 趋向于无穷，$kC$ 也趋向于无穷。这说明数列本身是趋向无穷的。
但是，我们还要看“无穷多处”。
考虑这个数列在每个“周期”的开始，也就是 $n = kM$ 时。
$a_{kM} = kC$.
现在，我们说“无穷多处趋近无穷”，是指我们可以找到无穷多个 $n$ 的值，使得 $a_n$ 可以变得任意大。
来看一下 $a_{kM}$ 序列：$0, C, 2C, 3C, dots$ 这是一个无穷序列，它自身就趋向于无穷。
但是，更重要的是，我们可以在任意大的 $k$ 处，找到 $n = kM$ 这样的点，使得 $a_{kM} = kC$ 变得任意大。
更具体的“无穷多处”的体现：
我们可以在每个 $M$ 个单位的区间内，让数列的值“重新”达到一个很高的水平。
例如，选择 $M=3$, $C=10$.
$a_n = sum_{i=1}^{lfloor n/3 floor} 10 (n pmod 3)$
$n=0,1,2$: $a_0=0, a_1=1, a_2=2$
$n=3$: $a_3 = 10 0 = 10$
$n=4$: $a_4 = 10 1 = 9$
$n=5$: $a_5 = 10 2 = 8$
$n=6$: $a_6 = (10+10) 0 = 20$
$n=7$: $a_7 = 20 1 = 19$
$n=8$: $a_8 = 20 2 = 18$
$n=9$: $a_9 = (10+10+10) 0 = 30$
你看，在 $n=3, 6, 9, dots$ 这些点上，$a_n$ 的值是 $10, 20, 30, dots$。这些点是无穷多的，并且 $a_n$ 在这些点上的值越来越大。
而且，在每个区间 $[kM, (k+1)M1]$ 内，数列的最小值是 $kC (M1)$。只要 $C$ 足够大（比如 $C ge M1$），那么这个最小值也会随着 $k$ 的增大而增大。
关键在于“可控的爆发”和“无限次的重复”
我们可以把这个“爆发”的模式设计得更明显。
方法三：利用阶梯函数和周期性“重置”
设想一个函数，它在一段很短的区间内迅速上升到很高，然后在这段区间内保持这个高值，之后再迅速下降到一个低值，再重复这个过程。
考虑使用阶梯函数，但要让“阶梯”不断升高。
我们可以构造一个数列，让它在非常小的范围内（比如 $n$ 从 $k cdot S$ 到 $k cdot S + delta$，$S$ 是一个大数，$delta$ 是一个很小的数），迅速从一个值跳到另一个值。
例如，我们定义一个数列 $a_n$ 如下：
让 $a_n$ 看起来像这样：
在 $n in [0, K)$，$a_n$ 增长。
在 $n in [K, 2K)$，$a_n$ 增长得更快。
在 $n in [mK, (m+1)K)$，$a_n$ 增长得非常快。
更具体地，我们可以构造一个数列，它在每隔 $M$ 的整数点上“跳跃”一次。
方法四：直接构造“高峰”
我们可以直接在无穷多个点上定义数列的值。
令 $n_k = k^2$ for $k = 1, 2, 3, dots$。
这是一个无穷多的点序列：$1, 4, 9, 16, 25, dots$
现在，我们定义一个数列 $a_n$：
$a_n = egin{cases} k^3 & ext{if } n = n_k = k^2 ext{ for some } k ge 1 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
我们来看这个数列：
$n=1 = 1^2$: $a_1 = 1^3 = 1$
$n=2$: $a_2 = 0$
$n=3$: $a_3 = 0$
$n=4 = 2^2$: $a_4 = 2^3 = 8$
$n=5,6,7$: $a_5=a_6=a_7 = 0$
$n=8$: $a_8 = 0$
$n=9 = 3^2$: $a_9 = 3^3 = 27$
$n=10, dots, 15$: $a_n = 0$
$n=16 = 4^2$: $a_{16} = 4^3 = 64$
在这个数列中，我们有无穷多个点（$n=1, 4, 9, 16, dots$），在这些点上，$a_n$ 的值是 $1, 8, 27, 64, dots$。这些值本身就趋向于无穷。
“无穷多处趋近无穷”的更精妙解释：
这句话意味着，无论你指定一个多大的数字 $M$，你总能找到无穷多个 $n$ 的值，使得 $a_n > M$。
让我们回顾一下方法四：
$a_n = egin{cases} k^3 & ext{if } n = k^2 ext{ for some } k ge 1 \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
假设你指定一个非常大的数 $M$。
我们想找到无穷多个 $n$，使得 $a_n > M$。
只需要找到无穷多个 $k$，使得 $k^3 > M$。
这很简单，我们只需要选择 $k > sqrt[3]{M}$。
因为 $k$ 可以无限增大，所以我们可以找到无穷多个这样的 $k$。
对于每一个这样的 $k$，我们选择 $n = k^2$。那么 $a_n = a_{k^2} = k^3 > M$。
所以，数列 $a_n$ 在无穷多个点（$n=k^2$）上，都能达到任意大的值。
我们能不能让它“看起来更连续”一点？
上面的方法是“稀疏”的，中间有很多零。我们可以让它在“某个区间”达到高峰。
方法五：利用一个增长的“基线”和周期性“尖峰”
我们可以在一个不断增长的“基线”上，叠加一个周期性的、但幅度越来越大的“尖峰”。
设 $b_n = n$ (这是一个不断增长的基线)。
我们想在 $n = kM$ 的地方，给它加上一个很大的值。
设 $c_n = lfloor n/M floor cdot C$ (这是周期性加大的值)。
$a_n = b_n + c_n = n + lfloor n/M floor cdot C$
让我们看看这个：
$n in [0, M1]$: $a_n = n + 0 cdot C = n$。 (线性增长)
$n in [M, 2M1]$: $a_n = n + 1 cdot C$。 (在 $n$ 上加 $C$)
$n in [2M, 3M1]$: $a_n = n + 2 cdot C$。 (在 $n$ 上加 $2C$)
$n in [kM, (k+1)M1]$: $a_n = n + k cdot C$。
在这个数列中，$a_n$ 确实是随着 $n$ 越来越大而增大。
但是，我们想要的是“无穷多处趋近无穷”，这意味着，即使在某一个区域，$a_n$ 可能不怎么增大，但我们能在其他无穷多的区域，看到它“又一次”变成非常大的数。
最终的、更符合“无穷多处”概念的构造：
关键在于，我们构造的“大值”，出现的次数是无穷多的。
方法六：利用指数和周期性“爆发”
设 $a_n$ 的定义如下：
$a_n = n + lfloor frac{n}{M} floor cdot 2^{lfloor n/M floor}$
这里，$M$ 是一个正整数（比如 $M=10$）。
让我们分析一下：
当 $n$ 从 $0$ 到 $M1$ 时： $lfloor n/M floor = 0$。
$a_n = n + 0 cdot 2^0 = n$。
数列在前 $M$ 个数里，从 $0$ 线性增长到 $M1$。
当 $n$ 从 $M$ 到 $2M1$ 时： $lfloor n/M floor = 1$。
$a_n = n + 1 cdot 2^1 = n + 2$。
当 $n=M$ 时，$a_M = M + 2$。
当 $n=2M1$ 时，$a_{2M1} = (2M1) + 2 = 2M+1$。
在这个区间内，$a_n$ 仍然是线性增长，但比第一个区间“整体高”了 $2$ 的样子。
当 $n$ 从 $2M$ 到 $3M1$ 时： $lfloor n/M floor = 2$。
$a_n = n + 2 cdot 2^2 = n + 8$。
当 $n=2M$ 时，$a_{2M} = 2M + 8$。
当 $n=3M1$ 时，$a_{3M1} = (3M1) + 8 = 3M+7$。
这个区间内的值，比前一个区间（平均）又高了 $6$。
当 $n$ 从 $kM$ 到 $(k+1)M1$ 时： $lfloor n/M floor = k$。
$a_n = n + k cdot 2^k$。
“无穷多处趋近无穷”体现在哪里？
让我们关注数列在每个“新区间”开始的值，也就是 $n = kM$ 的点：
$a_0 = 0$
$a_M = M + 2^1$
$a_{2M} = 2M + 2 cdot 2^2 = 2M + 8$
$a_{3M} = 3M + 3 cdot 2^3 = 3M + 24$
$a_{kM} = kM + k cdot 2^k$
随着 $k$ 的增大，这个 $k cdot 2^k$ 的增长速度是非常非常快的（指数增长！）。
这意味着，在 $n = kM$ 的这些点上，$a_n$ 的值增长得越来越快。
更强的“无穷多处”：
如果我们要更强硬地说明“无穷多处趋近无穷”，我们可以这样定义：
方法七：利用“每次跳跃都比上次高很多”的模式
设 $a_n$ 是这样一个数列：
1. 选择一个固定的间隔 $M$ (比如 $M=100$)。
2. 选择一个增长的“步长” $S_k$，使得 $S_k$ 增长得越来越快。
3. 定义 $a_n$ 的值，在每隔 $M$ 的地方，跳跃到 $S_k$ 的某个值。
举个例子：
设 $a_n = n + sum_{i=1}^{lfloor n/M floor} i cdot 2^i$
当 $n in [0, M1]$: $a_n = n + 0 = n$.
当 $n in [M, 2M1]$: $a_n = n + 1 cdot 2^1 = n + 2$.
当 $n in [2M, 3M1]$: $a_n = n + (1 cdot 2^1 + 2 cdot 2^2) = n + (2 + 8) = n + 10$.
当 $n in [kM, (k+1)M1]$: $a_n = n + sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$.
关注 $n = kM$ 的点：
$a_{kM} = kM + sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$.
$sum_{i=1}^{k} i cdot 2^i$ 是一个等比数列的变种，它的增长速度非常快。
（提示：$sum_{i=1}^{k} i x^i = frac{x(1(k+1)x^k + kx^{k+1})}{(1x)^2}$。当 $x=2$ 时，分母是 $(12)^2 = 1$，分子变成 $2(1(k+1)2^k + k2^{k+1}) = 2(12^k k2^k + k2^{k+1}) = 2(1 2^k + k2^k) = 2 + k2^{k+1} 2^{k+1}$。
更简单地，可以注意到 $sum_{i=1}^k i x^i = x frac{d}{dx} sum_{i=0}^k x^i = x frac{d}{dx} (frac{x^{k+1}1}{x1})$。
当 $x=2$ 时，$sum_{i=1}^k i 2^i = 2 cdot (k2^{k+1} 2^{k+1} + 1) = k2^{k+2} 2^{k+2} + 2$。）
或者，一个更简单的近似是，这个和主要由最后一项 $k cdot 2^k$ 决定，并且比它大很多。
实际上，$sum_{i=1}^k i 2^i = (k1)2^{k+1} + 2$.
所以，$a_{kM} = kM + (k1)2^{k+1} + 2$.
你看，当 $k$ 增大时，$a_{kM}$ 的值会通过 $(k1)2^{k+1}$ 这一项，增长得越来越快。
所以，在 $n = kM$ 这些无穷多个点上，$a_n$ 的值可以变得任意大。
总结一下构造“无穷多处趋近无穷”数列的关键：
1. 设置一个“基础”或“间歇”： 数列可以有相对平缓或者只是线性增长的部分。
2. 引入“爆发点”： 在无穷多个特定的 $n$ 值（或者 $n$ 的某个序列）上，让数列的值突然大幅度增加。
3. 让“爆发的幅度”不断增加： 关键在于，随着 $n$ 的增大，这些“爆发点”处的值，不仅要继续存在，而且它们的值也必须能够变得任意大。
4. 利用增长模式： 指数增长、阶乘增长，或者其他增长非常快的函数，是实现“幅度不断增加”的常用手段。
你可以把这些方法组合起来，或者找到更巧妙的方式。核心思想就是，你能够找到无数个“机会”，让数列的值“重新”跳到非常非常大的水平。
希望这些解释够详细，也希望没有AI味儿！如果你有更具体的问题，或者想探讨更抽象的构造，随时可以再问。
网友意见
tan(x).
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