有限正函数，在任意区间里可测且勒贝格积分无限的函数怎么构造？
要构造一个在任意区间里可测且勒贝格积分无限的有限正函数，这听起来有些矛盾。有限正函数是指其值域在某个有限区间内，例如 $f(x) in [0, M]$ 对某个常数 $M > 0$ 成立。然而，如果一个函数在任意区间里的勒贝格积分无限，这意味着它的“面积”会随着区间的增大而无限制地增大。
这里面存在一个关键的理解：你提到的“有限正函数”是指函数的值本身有上界（例如 $f(x) leq M$），还是指函数定义域是有限的？从你后面描述的“在任意区间里可测且勒贝格积分无限”来看，你很可能指的是函数的取值是有界的，而不是定义域。
如果函数的取值有界，比如 $0 leq f(x) leq M$，那么在任何有限区间 $[a, b]$ 上，它的勒贝格积分 $int_a^b f(x) , dx$ 也必然是有界的，因为 $int_a^b f(x) , dx leq int_a^b M , dx = M(ba)$。这就与“勒贝格积分无限”矛盾了。
因此，我们必须重新审视“有限正函数”的含义。一种可能的理解是，你可能误解了“有限”在这里的含义，或者你想构造的是一个在某些意义下“有限”但积分无限的函数。
最符合你描述的函数，通常是指非负且几乎处处有界（或在你构造时可以使其处处有界）的函数，但它的积分在无限大的区间上会趋于无穷。你提到了“任意区间”，这可以理解为对任何长度固定的区间，积分是有限的，但随着区间的“范围”扩大，积分会无限。
让我们澄清一下：
正函数: $f(x) geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
在任意区间里可测: 这意味着对于任何可测集 $E$，集合 ${x in E mid f(x) > alpha}$ 是可测的，对于任何 $alpha in mathbb{R}$。
勒贝格积分无限: 对于“任意区间”，如果这个“任意区间”是无界区间（例如 $(infty, infty)$），那么积分可以无限。如果“任意区间”是指任意有限区间，那么取值有界的函数积分必然有限。
所以，我们这里构造的函数，其“有限”性质更可能是指它的取值有界。而“在任意区间里可测且勒贝格积分无限”则指向了函数的定义域是无限的，并且它在无限延展时“累积”的量是无限的。
如何构造一个在无限区间上积分无限的正函数（其值域可能是有界的）
问题的核心在于，如果一个函数在所有有限区间上的积分都是有限的，那么它在无限区间上的积分很可能也是有限的（除非函数的“增长方式”非常特殊，比如在某些点“尖峰”无限大）。
我们通常构造这种函数的思路是利用收敛与发散的交替，或者通过点集来控制积分行为。
一种常见的例子是构造一个在实轴上积分无限的函数。但是，如果你坚持要求“有限正函数”，这意味着函数的值域受到一个上限的约束，比如 $0 leq f(x) leq M$。如前所述，这种函数在有限区间上的积分总是有限的。因此，“有限正函数”在字面意义上与“勒贝格积分无限”在任意（有限）区间上是相互排斥的。
假设你的意思是构造一个非负的、可测的函数，它在任意给定的有限区间上的积分是有限的，但在整个实轴（或某个无限区间）上的积分是无限的。 这种函数的值域通常是无界的，或者在某些地方可以非常“集中”地累积“密度”。
如果你坚持要值有界且积分无限，那只能是在测度不为零的集合上取正值，在测度为零的集合上取零，并且通过构造使得这些正值累积起来的“积分”在无限延展时变大。但即便如此，值有界的情况下，在无限区间上的积分仍然可能有限。
让我们尝试解释可能存在的误解，并构造一个接近你描述的函数的例子，即使它可能不完全满足“有限正函数”的字面要求。
构造一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限的、可测的非负函数（值域可能无界）
最经典的例子是与康托集相关的函数。但康托集上的函数通常是连续的，且在康托集外积分为零，在康托集上积分为零（如果构造得当）。
我们需要一个函数，它在无限多的地方“积累”出一些“厚度”。
考虑一个分段常值函数，在某些“有间隔”的区间上取正值。
构造思路：
1. 定义一个可测集 $E subset mathbb{R}$，使得它的测度（长度）在某种意义下是无限的。 例如，我们可以考虑一个并集，它的长度是可数的无限和。
2. 在集合 $E$ 上定义函数的值为某个常数 $c > 0$。
3. 在集合 $mathbb{R} setminus E$ 上定义函数的值为 $0$。
如果集合 $E$ 的测度是无限的，那么 $int_{mathbb{R}} f(x) , dx = int_E c , dx = c cdot m(E) = infty$（其中 $m(E)$ 是 $E$ 的勒贝格测度）。
问题来了： 如何构造一个可测集 $E$，它的测度是无限的，并且可以被看作是“任意区间”的一种推广？如果 $E$ 是整个实轴，那么函数取常数 $c>0$ 在任意有限区间上的积分都是 $c cdot ( ext{长度})$，这本身就是有限的。
关键在于“任意区间”的理解。如果你指的是对所有有限区间 $[a, b]$ 的积分都有限，但对于无限区间（如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）积分无限，那么函数的值域可以是有界的。
例如，我们知道 $int_0^infty frac{1}{1+x^2} dx = arctan(x)|_0^infty = frac{pi}{2}$ 是有限的。即使 $int_0^infty frac{1}{1+x} dx = ln(1+x)|_0^infty = infty$ （值域无界）。
让我们回到你的要求：有限正函数，在任意区间里可测，且勒贝格积分无限。
如果“有限正函数”指的是 $f(x) in [0, M]$，并且在任意有限区间上的积分都无限，那么这是不可能的。因为 $int_a^b f(x) dx leq int_a^b M dx = M(ba)$，这总是有界的。
所以，我们必须假设你指的“有限”与“无限”的关系是：函数的值是有限的（有界），但在一个无限的定义域上积分是无限的。 也就是说，函数在整个实轴 $mathbb{R}$ 上积分是无限的。
构造一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限，值域有界且可测的函数
我们可以利用一个“可计算的”、“间隔性”的结构。
例1：利用调和级数的分母
考虑函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$，它在 $[0, infty)$ 上的积分是发散的。但它的值域是 $(0, 1]$，是有限的。它在任意有限区间 $[a, b]$ 上的积分是 $ln(1+b) ln(1+a)$，这是有限的。
这似乎非常接近你的要求，如果“任意区间”可以包含无限区间。
例2：更具“离散”结构的构造（如果允许函数不是处处有界，但我们尝试控制）
假设我们想要一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限的函数，而且它的值域可以被认为是“有限的”——例如，我们可以让它在大部分地方取值 $0$，在一些点（或小区间）取值 $M$。
让我们定义一个特殊的点集。
考虑一个序列的区间 $I_n = [n, n + frac{1}{n^2}]$。
这些区间的长度是 $m(I_n) = frac{1}{n^2}$。
这些区间彼此不重叠（对于 $n geq 2$）。
现在，让我们在这些区间上定义函数：
定义函数 $f(x)$ 如下：
$f(x) = egin{cases} n & ext{if } x in [n, n + frac{1}{n^2}] \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
对于 $n = 1, 2, 3, dots$
分析这个函数：
1. 正函数: $f(x) geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
2. 可测性: 这个函数是分段常值函数，它的支撑集（非零值所在的集合）是 $igcup_{n=1}^infty [n, n + frac{1}{n^2}]$，这是一个可测集。因此，$f(x)$ 是可测函数。
3. 有限值？: 这个函数的值域是 ${0, 1, 2, 3, dots}$，这是可数无限的，不是一个有限区间 $[0, M]$ 的。所以它不是“值域有限”的函数。
如果你的“有限正函数”指的是函数的值不超过某个 $M$，那么这个例子就不符合。
4. 勒贝格积分无限:
我们计算在整个实轴 $mathbb{R}$ 上的积分：
$int_{infty}^{infty} f(x) , dx = sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} f(x) , dx$
因为在区间 $[n, n + frac{1}{n^2}]$ 上 $f(x) = n$，所以：
$int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} f(x) , dx = int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} n , dx = n cdot left( (n + frac{1}{n^2}) n ight) = n cdot frac{1}{n^2} = frac{1}{n}$
因此，整个积分是：
$int_{infty}^{infty} f(x) , dx = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$
这是一个调和级数，它发散到无穷。
那么，在“任意区间里可测且勒贝格积分无限”？
可测: 如前所述，它是可测的。
在任意区间里勒贝格积分无限:
对于有限区间 $[a, b]$: $int_a^b f(x) , dx$ 是有限的。因为 $f(x)$ 在这个有限区间上的非零值最多只存在于有限个 $I_n$ 上，并且这些区间的总长度是有限的。例如，在一个有限区间 $[a, b]$ 内，可能只包含有限个完整的 $I_n$，以及 $I_n$ 的一部分。但即使如此，积分值也是有限的。
对于无限区间，如 $[0, infty)$: $int_0^infty f(x) , dx = sum_{n=1}^infty frac{1}{n} = infty$。
所以，这个例子是：
正函数: 是的。
可测: 是的。
值域有限: 否。值域是 ${0, 1, 2, dots}$。
如果你的“有限正函数”确实意味着 $0 leq f(x) leq M$ 对于某个常数 $M$，那么在任意有限区间上的积分就必然是有限的。所以，你可能是在描述一个在无限区间（如实轴 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限的函数，并且这个函数的值域可以是被控制的，但不是严格意义上的“有限区间”。
另一种尝试，更接近值域有限（但有代价）
如果我们强行让函数的值域是有限的，例如 $f(x) in [0, M]$，那么我们必须在定义域上动脑筋，让“测度”以一种“无限”的方式累积。
考虑这样一个集合：
令 $S = { sum_{k=1}^n a_k mid n in mathbb{N}, a_k in {0, 1} ext{ and } sum_{k=1}^n a_k ext{ represents a binary expansion}}$.
这更像是实数的表示。
一个更实用的想法是利用测度论中的稠集（dense sets）的概念，但构造一个积分无限的稠集上的函数，其值域有界，且在任意有限区间上积分有限，这是非常困难的，甚至可能是自相矛盾的。
或许，你可能在思考的是一个在特定测度下“积”起来是无限的函数，但值本身是有限的。这通常涉及到“奇异积分”或“加权积分”的概念，但标准勒贝格积分是不涉及权重的。
让我们再次确认你的意图：
1. “有限正函数”: 是指 $f(x) in [0, M]$ 对某个 $M>0$？
2. “任意区间里可测”: 这是标准要求。
3. “勒贝格积分无限”: 是指在所有有限区间 $[a, b]$ 上的积分都无限，还是指在某个无限区间（如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限？
如果答案是：
1. $f(x) in [0, M]$
2. 在所有有限区间 $[a, b]$ 上的积分都无限。
那么这样的函数是不存在的。
如果答案是：
1. $f(x) in [0, M]$ (值域有界)
2. 在某个无限区间（比如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限。
那么，这依然很难直接实现，因为一个有界函数在一个有限区间上的积分总是有限的。即使在一个无限区间上，如果它的“支撑”集测度是有限的，积分也可能是有限的。
例如，函数 $g(x) = frac{1}{1+x^2}$ 在 $mathbb{R}$ 上的积分是 $pi$（有限），值域是 $(0, 1]$（有限）。
你可能是在寻找一个函数，它在某些“特殊”的点上，或者在某些“密集”但零测度的集合上，以一种“分布”的方式累积出无限的积分量，同时其函数值本身不超过某个界限。但标准的勒贝格积分处理的是函数的“高度”乘以“宽度”（测度），如果高度有界，要使其在无限范围内积分无限，要么“宽度”（测度）必须是无限的，要么定义域本身就是无限的。
也许你对“有限”的理解是：函数的“局部”行为有限？
举一个更贴近你描述的（但可能仍不完全符合“值域有限”字面意思）的例子：
考虑函数 $f(x)$ 在 $[0, infty)$ 上定义。
我们想让 $int_0^infty f(x) dx = infty$ 且 $f(x)$ 可测。
并希望它的值是“有限的”。
我们可以利用一个可数稠密的点集，并在这些点上定义函数值。
思路：
构造一个在 $[0, infty)$ 上的可数稠密集 $Q = {q_1, q_2, q_3, dots}$。
然后，定义一个函数 $f(x)$，在这些点上取一个固定值 $M > 0$，在其他地方取 $0$。
$f(x) = egin{cases} M & ext{if } x in Q \ 0 & ext{if } x otin Q end{cases}$
这个函数是正函数。它是可测的。
但是，它的勒贝格积分是多少？
因为 $Q$ 是一个可数集，它的勒贝格测度 $m(Q) = 0$。
所以，$int_0^infty f(x) , dx = int_{[0,infty)} M cdot mathbb{1}_Q(x) , dx = M cdot m(Q) = M cdot 0 = 0$。
这不是我们想要的。
问题出在哪里？
我们需要一个集合 $E$，使得 $int_E dx = infty$，同时在 $E$ 上定义一个有界函数。
结论（基于对你问题的理解）：
如果你说的“有限正函数”是指函数的值在某个有限区间 $[0, M]$ 内，并且在任意有限区间上的勒贝格积分都无限，那么这是不可能的。
如果你说的“有限正函数”是指函数的值是有限的（即有界），但定义域可以延展到无限，使得在无限延展的区域上的积分无限，并且在任意有限区间上的积分都是有限的，那么你需要的函数可能长这样：
它需要在无限延展的区域上“积累”无限的积分，但又要保持在任何有限区间上的积分有限。这通常意味着函数在无穷远处（或者在无限区间的“边缘”）仍然有“贡献”，但这种贡献不能在有限区间内累积成无限。
最接近你描述的，并且经常被提及的，是调和函数的一个变体：
考虑在 $[0, infty)$ 上的函数。
我们知道 $int_0^infty frac{1}{1+x^p} dx$ 在 $p>1$ 时是收敛的，在 $p leq 1$ 时是发散的。
例如，$int_0^infty frac{1}{1+x} dx = infty$。函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$ 在 $[0, infty)$ 上是正的，可测的，值域是 $(0, 1]$（有限的），在任何有限区间 $[a, b]$ 上的积分是 $ln(1+b) ln(1+a)$（有限的），但在无限区间 $[0, infty)$ 上的积分是无限的。
这个例子最可能符合你的意图。它满足：
正函数: 是的，$frac{1}{1+x} > 0$ 对 $x geq 0$。
值域有限: 是的，值域是 $(0, 1]$。
可测: 是的，它是连续函数，因此是可测的。
在任意有限区间里可测且勒贝格积分有限: 是的，如前所述，$int_a^b frac{1}{1+x} dx = ln(1+b) ln(1+a)$ 是有限的。
在无限区间里勒贝格积分无限: 是的，$int_0^infty frac{1}{1+x} dx = infty$。
如果你认为“任意区间”只包含有限区间，并且要求积分无限，那就没有这样的函数了。但通常在这种语境下，“任意区间”也包含了无限延展的可能性。
总结一下，要构造一个符合你多数要求的函数，你需要一个在无限区间（如 $[0, infty)$ 或 $mathbb{R}$）上积分发散，同时其值域有界的函数。函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$ 在 $[0, infty)$ 上就是这样的一个例子。
这里面存在一个关键的理解：你提到的“有限正函数”是指函数的值本身有上界（例如 $f(x) leq M$），还是指函数定义域是有限的？从你后面描述的“在任意区间里可测且勒贝格积分无限”来看，你很可能指的是函数的取值是有界的，而不是定义域。
如果函数的取值有界，比如 $0 leq f(x) leq M$，那么在任何有限区间 $[a, b]$ 上，它的勒贝格积分 $int_a^b f(x) , dx$ 也必然是有界的，因为 $int_a^b f(x) , dx leq int_a^b M , dx = M(ba)$。这就与“勒贝格积分无限”矛盾了。
因此，我们必须重新审视“有限正函数”的含义。一种可能的理解是，你可能误解了“有限”在这里的含义，或者你想构造的是一个在某些意义下“有限”但积分无限的函数。
最符合你描述的函数，通常是指非负且几乎处处有界（或在你构造时可以使其处处有界）的函数，但它的积分在无限大的区间上会趋于无穷。你提到了“任意区间”，这可以理解为对任何长度固定的区间，积分是有限的，但随着区间的“范围”扩大，积分会无限。
让我们澄清一下：
正函数: $f(x) geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
在任意区间里可测: 这意味着对于任何可测集 $E$，集合 ${x in E mid f(x) > alpha}$ 是可测的，对于任何 $alpha in mathbb{R}$。
勒贝格积分无限: 对于“任意区间”，如果这个“任意区间”是无界区间（例如 $(infty, infty)$），那么积分可以无限。如果“任意区间”是指任意有限区间，那么取值有界的函数积分必然有限。
所以，我们这里构造的函数，其“有限”性质更可能是指它的取值有界。而“在任意区间里可测且勒贝格积分无限”则指向了函数的定义域是无限的，并且它在无限延展时“累积”的量是无限的。
如何构造一个在无限区间上积分无限的正函数（其值域可能是有界的）
问题的核心在于，如果一个函数在所有有限区间上的积分都是有限的，那么它在无限区间上的积分很可能也是有限的（除非函数的“增长方式”非常特殊，比如在某些点“尖峰”无限大）。
我们通常构造这种函数的思路是利用收敛与发散的交替，或者通过点集来控制积分行为。
一种常见的例子是构造一个在实轴上积分无限的函数。但是，如果你坚持要求“有限正函数”，这意味着函数的值域受到一个上限的约束，比如 $0 leq f(x) leq M$。如前所述，这种函数在有限区间上的积分总是有限的。因此，“有限正函数”在字面意义上与“勒贝格积分无限”在任意（有限）区间上是相互排斥的。
假设你的意思是构造一个非负的、可测的函数，它在任意给定的有限区间上的积分是有限的，但在整个实轴（或某个无限区间）上的积分是无限的。 这种函数的值域通常是无界的，或者在某些地方可以非常“集中”地累积“密度”。
如果你坚持要值有界且积分无限，那只能是在测度不为零的集合上取正值，在测度为零的集合上取零，并且通过构造使得这些正值累积起来的“积分”在无限延展时变大。但即便如此，值有界的情况下，在无限区间上的积分仍然可能有限。
让我们尝试解释可能存在的误解，并构造一个接近你描述的函数的例子，即使它可能不完全满足“有限正函数”的字面要求。
构造一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限的、可测的非负函数（值域可能无界）
最经典的例子是与康托集相关的函数。但康托集上的函数通常是连续的，且在康托集外积分为零，在康托集上积分为零（如果构造得当）。
我们需要一个函数，它在无限多的地方“积累”出一些“厚度”。
考虑一个分段常值函数，在某些“有间隔”的区间上取正值。
构造思路：
1. 定义一个可测集 $E subset mathbb{R}$，使得它的测度（长度）在某种意义下是无限的。 例如，我们可以考虑一个并集，它的长度是可数的无限和。
2. 在集合 $E$ 上定义函数的值为某个常数 $c > 0$。
3. 在集合 $mathbb{R} setminus E$ 上定义函数的值为 $0$。
如果集合 $E$ 的测度是无限的，那么 $int_{mathbb{R}} f(x) , dx = int_E c , dx = c cdot m(E) = infty$（其中 $m(E)$ 是 $E$ 的勒贝格测度）。
问题来了： 如何构造一个可测集 $E$，它的测度是无限的，并且可以被看作是“任意区间”的一种推广？如果 $E$ 是整个实轴，那么函数取常数 $c>0$ 在任意有限区间上的积分都是 $c cdot ( ext{长度})$，这本身就是有限的。
关键在于“任意区间”的理解。如果你指的是对所有有限区间 $[a, b]$ 的积分都有限，但对于无限区间（如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）积分无限，那么函数的值域可以是有界的。
例如，我们知道 $int_0^infty frac{1}{1+x^2} dx = arctan(x)|_0^infty = frac{pi}{2}$ 是有限的。即使 $int_0^infty frac{1}{1+x} dx = ln(1+x)|_0^infty = infty$ （值域无界）。
让我们回到你的要求：有限正函数，在任意区间里可测，且勒贝格积分无限。
如果“有限正函数”指的是 $f(x) in [0, M]$，并且在任意有限区间上的积分都无限，那么这是不可能的。因为 $int_a^b f(x) dx leq int_a^b M dx = M(ba)$，这总是有界的。
所以，我们必须假设你指的“有限”与“无限”的关系是：函数的值是有限的（有界），但在一个无限的定义域上积分是无限的。 也就是说，函数在整个实轴 $mathbb{R}$ 上积分是无限的。
构造一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限，值域有界且可测的函数
我们可以利用一个“可计算的”、“间隔性”的结构。
例1：利用调和级数的分母
考虑函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$，它在 $[0, infty)$ 上的积分是发散的。但它的值域是 $(0, 1]$，是有限的。它在任意有限区间 $[a, b]$ 上的积分是 $ln(1+b) ln(1+a)$，这是有限的。
这似乎非常接近你的要求，如果“任意区间”可以包含无限区间。
例2：更具“离散”结构的构造（如果允许函数不是处处有界，但我们尝试控制）
假设我们想要一个在 $mathbb{R}$ 上积分无限的函数，而且它的值域可以被认为是“有限的”——例如，我们可以让它在大部分地方取值 $0$，在一些点（或小区间）取值 $M$。
让我们定义一个特殊的点集。
考虑一个序列的区间 $I_n = [n, n + frac{1}{n^2}]$。
这些区间的长度是 $m(I_n) = frac{1}{n^2}$。
这些区间彼此不重叠（对于 $n geq 2$）。
现在，让我们在这些区间上定义函数：
定义函数 $f(x)$ 如下：
$f(x) = egin{cases} n & ext{if } x in [n, n + frac{1}{n^2}] \ 0 & ext{otherwise} end{cases}$
对于 $n = 1, 2, 3, dots$
分析这个函数：
1. 正函数: $f(x) geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
2. 可测性: 这个函数是分段常值函数，它的支撑集（非零值所在的集合）是 $igcup_{n=1}^infty [n, n + frac{1}{n^2}]$，这是一个可测集。因此，$f(x)$ 是可测函数。
3. 有限值？: 这个函数的值域是 ${0, 1, 2, 3, dots}$，这是可数无限的，不是一个有限区间 $[0, M]$ 的。所以它不是“值域有限”的函数。
如果你的“有限正函数”指的是函数的值不超过某个 $M$，那么这个例子就不符合。
4. 勒贝格积分无限:
我们计算在整个实轴 $mathbb{R}$ 上的积分：
$int_{infty}^{infty} f(x) , dx = sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} f(x) , dx$
因为在区间 $[n, n + frac{1}{n^2}]$ 上 $f(x) = n$，所以：
$int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} f(x) , dx = int_{n}^{n + frac{1}{n^2}} n , dx = n cdot left( (n + frac{1}{n^2}) n ight) = n cdot frac{1}{n^2} = frac{1}{n}$
因此，整个积分是：
$int_{infty}^{infty} f(x) , dx = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$
这是一个调和级数，它发散到无穷。
那么，在“任意区间里可测且勒贝格积分无限”？
可测: 如前所述，它是可测的。
在任意区间里勒贝格积分无限:
对于有限区间 $[a, b]$: $int_a^b f(x) , dx$ 是有限的。因为 $f(x)$ 在这个有限区间上的非零值最多只存在于有限个 $I_n$ 上，并且这些区间的总长度是有限的。例如，在一个有限区间 $[a, b]$ 内，可能只包含有限个完整的 $I_n$，以及 $I_n$ 的一部分。但即使如此，积分值也是有限的。
对于无限区间，如 $[0, infty)$: $int_0^infty f(x) , dx = sum_{n=1}^infty frac{1}{n} = infty$。
所以，这个例子是：
正函数: 是的。
可测: 是的。
值域有限: 否。值域是 ${0, 1, 2, dots}$。
如果你的“有限正函数”确实意味着 $0 leq f(x) leq M$ 对于某个常数 $M$，那么在任意有限区间上的积分就必然是有限的。所以，你可能是在描述一个在无限区间（如实轴 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限的函数，并且这个函数的值域可以是被控制的，但不是严格意义上的“有限区间”。
另一种尝试，更接近值域有限（但有代价）
如果我们强行让函数的值域是有限的，例如 $f(x) in [0, M]$，那么我们必须在定义域上动脑筋，让“测度”以一种“无限”的方式累积。
考虑这样一个集合：
令 $S = { sum_{k=1}^n a_k mid n in mathbb{N}, a_k in {0, 1} ext{ and } sum_{k=1}^n a_k ext{ represents a binary expansion}}$.
这更像是实数的表示。
一个更实用的想法是利用测度论中的稠集（dense sets）的概念，但构造一个积分无限的稠集上的函数，其值域有界，且在任意有限区间上积分有限，这是非常困难的，甚至可能是自相矛盾的。
或许，你可能在思考的是一个在特定测度下“积”起来是无限的函数，但值本身是有限的。这通常涉及到“奇异积分”或“加权积分”的概念，但标准勒贝格积分是不涉及权重的。
让我们再次确认你的意图：
1. “有限正函数”: 是指 $f(x) in [0, M]$ 对某个 $M>0$？
2. “任意区间里可测”: 这是标准要求。
3. “勒贝格积分无限”: 是指在所有有限区间 $[a, b]$ 上的积分都无限，还是指在某个无限区间（如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限？
如果答案是：
1. $f(x) in [0, M]$
2. 在所有有限区间 $[a, b]$ 上的积分都无限。
那么这样的函数是不存在的。
如果答案是：
1. $f(x) in [0, M]$ (值域有界)
2. 在某个无限区间（比如 $mathbb{R}$ 或 $[0, infty)$）上的积分无限。
那么，这依然很难直接实现，因为一个有界函数在一个有限区间上的积分总是有限的。即使在一个无限区间上，如果它的“支撑”集测度是有限的，积分也可能是有限的。
例如，函数 $g(x) = frac{1}{1+x^2}$ 在 $mathbb{R}$ 上的积分是 $pi$（有限），值域是 $(0, 1]$（有限）。
你可能是在寻找一个函数，它在某些“特殊”的点上，或者在某些“密集”但零测度的集合上，以一种“分布”的方式累积出无限的积分量，同时其函数值本身不超过某个界限。但标准的勒贝格积分处理的是函数的“高度”乘以“宽度”（测度），如果高度有界，要使其在无限范围内积分无限，要么“宽度”（测度）必须是无限的，要么定义域本身就是无限的。
也许你对“有限”的理解是：函数的“局部”行为有限？
举一个更贴近你描述的（但可能仍不完全符合“值域有限”字面意思）的例子：
考虑函数 $f(x)$ 在 $[0, infty)$ 上定义。
我们想让 $int_0^infty f(x) dx = infty$ 且 $f(x)$ 可测。
并希望它的值是“有限的”。
我们可以利用一个可数稠密的点集，并在这些点上定义函数值。
思路：
构造一个在 $[0, infty)$ 上的可数稠密集 $Q = {q_1, q_2, q_3, dots}$。
然后，定义一个函数 $f(x)$，在这些点上取一个固定值 $M > 0$，在其他地方取 $0$。
$f(x) = egin{cases} M & ext{if } x in Q \ 0 & ext{if } x otin Q end{cases}$
这个函数是正函数。它是可测的。
但是，它的勒贝格积分是多少？
因为 $Q$ 是一个可数集，它的勒贝格测度 $m(Q) = 0$。
所以，$int_0^infty f(x) , dx = int_{[0,infty)} M cdot mathbb{1}_Q(x) , dx = M cdot m(Q) = M cdot 0 = 0$。
这不是我们想要的。
问题出在哪里？
我们需要一个集合 $E$，使得 $int_E dx = infty$，同时在 $E$ 上定义一个有界函数。
结论（基于对你问题的理解）：
如果你说的“有限正函数”是指函数的值在某个有限区间 $[0, M]$ 内，并且在任意有限区间上的勒贝格积分都无限，那么这是不可能的。
如果你说的“有限正函数”是指函数的值是有限的（即有界），但定义域可以延展到无限，使得在无限延展的区域上的积分无限，并且在任意有限区间上的积分都是有限的，那么你需要的函数可能长这样：
它需要在无限延展的区域上“积累”无限的积分，但又要保持在任何有限区间上的积分有限。这通常意味着函数在无穷远处（或者在无限区间的“边缘”）仍然有“贡献”，但这种贡献不能在有限区间内累积成无限。
最接近你描述的，并且经常被提及的，是调和函数的一个变体：
考虑在 $[0, infty)$ 上的函数。
我们知道 $int_0^infty frac{1}{1+x^p} dx$ 在 $p>1$ 时是收敛的，在 $p leq 1$ 时是发散的。
例如，$int_0^infty frac{1}{1+x} dx = infty$。函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$ 在 $[0, infty)$ 上是正的，可测的，值域是 $(0, 1]$（有限的），在任何有限区间 $[a, b]$ 上的积分是 $ln(1+b) ln(1+a)$（有限的），但在无限区间 $[0, infty)$ 上的积分是无限的。
这个例子最可能符合你的意图。它满足：
正函数: 是的，$frac{1}{1+x} > 0$ 对 $x geq 0$。
值域有限: 是的，值域是 $(0, 1]$。
可测: 是的，它是连续函数，因此是可测的。
在任意有限区间里可测且勒贝格积分有限: 是的，如前所述，$int_a^b frac{1}{1+x} dx = ln(1+b) ln(1+a)$ 是有限的。
在无限区间里勒贝格积分无限: 是的，$int_0^infty frac{1}{1+x} dx = infty$。
如果你认为“任意区间”只包含有限区间，并且要求积分无限，那就没有这样的函数了。但通常在这种语境下，“任意区间”也包含了无限延展的可能性。
总结一下，要构造一个符合你多数要求的函数，你需要一个在无限区间（如 $[0, infty)$ 或 $mathbb{R}$）上积分发散，同时其值域有界的函数。函数 $f(x) = frac{1}{1+x}$ 在 $[0, infty)$ 上就是这样的一个例子。
网友意见
上图公式应为
第七章例39的程序如下：
【评注】第一张图测度为 的选择，会使得第二张图最后一步 一直没有定义的各点的测度为 .此时在那些地方让 恒等于某一个正数，就能满足题目“正函数”的要求了。
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