在正整数 n 充分大的时候，|sin(n)|＞1/n 是否成立？是否有证明或者反例？

咱们来聊聊这个问题：“在正整数 n 充分大的时候，|sin(n)|＞1/n 是否成立？”这其实是一个非常经典且有趣的数论问题，涉及到三角函数和整数的性质。

简单来说，这个命题是成立的。也就是说，当正整数 n 足够大时，我们总能找到一个 n 使得 $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 这个不等式成立。不仅如此，它甚至可以说是一种“普遍”现象，因为大部分情况下 $|sin(n)|$ 的值都会比 $frac{1}{n}$ 大得多。

要理解这一点，我们需要深入探讨一下 $sin(n)$ 在整数点上的行为。

为什么 $|sin(n)|$ 不会“太小”？

三角函数 $sin(x)$ 的值域是 $[1, 1]$。而我们关注的是当 n 是正整数时，$sin(n)$ 的绝对值 $|sin(n)|$ 的大小。

如果我们随机取一个正整数 n，$sin(n)$ 的值会怎样分布呢？直观上讲，如果 n 是随机的，那么 $sin(n)$ 的值就像是在 $[1, 1]$ 区间内随机取值一样。如果 $sin(n)$ 真的会“经常性地”变得非常接近于零，那么 $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 这个不等式就可能不成立，因为 $frac{1}{n}$ 随着 n 的增大而趋近于零，但如果 $|sin(n)|$ 比它更慢地趋近于零，那就会出问题。

问题的关键在于 n 是整数，而不是连续的实数。 这是最核心的。

证明的思路：连分数理论

要严谨地证明这一点，我们需要借助一个强大的数学工具——连分数理论。

连分数可以很好地“逼近”实数。任何实数 $alpha$ 都可以表示成一个连分数：
$alpha = a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}}$
其中 $a_i$ 是整数，且 $a_i ge 1$ 对于 $i ge 1$。

我们把 $pi$（圆周率）也写成连分数的形式：
$pi = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1 + frac{1}{292 + dots}}}}$

连分数理论告诉我们，这些连分数的渐进分数（也叫收敛级数）可以非常精确地逼近 $pi$。令 $frac{p_k}{q_k}$ 表示 $pi$ 的第 k 个渐进分数。例如：
$frac{p_0}{q_0} = 3$
$frac{p_1}{q_1} = 3 + frac{1}{7} = frac{22}{7}$
$frac{p_2}{q_2} = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15}} = frac{333}{106}$
等等。

连分数理论有一个非常重要的性质：对于任何实数 $alpha$，存在无穷多对互质整数 (p, q) 使得 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。 这些最佳逼近数恰恰就是连分数的渐进分数。

现在，我们把这个理论应用到我们的问题上。考虑 $pi$ 和一个正整数 n。我们想要分析 $|sin(n)|$ 的大小。

我们知道，$sin(n)$ 的值与 n 模 $2pi$ 的位置有关。换句话说，$sin(n) = sin(n pmod{2pi})$。如果我们能找到一个整数 n 使得 $n$ 非常接近 $kpi$ 的某个整数倍，那么 $sin(n)$ 就会非常接近 $sin(kpi) = 0$。

这里的巧妙之处在于我们关注的是 n 是整数，而 $pi$ 是无理数。

由于 $pi$ 是无理数，它不能被写成两个整数的比值。这意味着无论我们取多大的整数 n，n 都不可能精确地等于 $kpi$ 的某个整数倍（除了 n=0，但我们讨论的是正整数）。总会有一个“误差”。

我们知道：
$|sin(n)| = |sin(n kpi + kpi)|$
令 $n = q cdot (frac{pi}{m})$ （这个想法有点跳跃，我们换个更正规的思路）。

更直接地，我们考虑 $frac{n}{2pi}$ 的值。我们知道 $sin(n)$ 的大小取决于 $n pmod{2pi}$ 的值。也就是说，$sin(n)$ 的值会非常接近 0 当且仅当 $n$ 非常接近 $kpi$ 的某个整数倍，即 $frac{n}{2pi}$ 非常接近 $frac{k}{2}$ 的某个整数。这等价于 $frac{n}{pi}$ 非常接近一个整数。

换句话说，如果 $frac{n}{pi}$ 能被两个整数的比值 $frac{p}{q}$ 非常好地逼近，这意味着 $n$ 接近 $frac{p}{q} pi$。

根据连分数理论，存在无穷多对互质整数 $(p, q)$，使得 $|frac{n}{2pi} frac{p}{q}|$ 非常小。这里我们通常考虑的是逼近 $pi$ 本身，所以我们关注的是 $|pi frac{p}{q}|$ 的最小值。

一个非常重要的结果是关于狄利克雷逼近定理 (Dirichlet's Approximation Theorem) 的一个推论，或者更直接地说，是关于有理数逼近无理数的性质。对于任何无理数 $alpha$ 和任何实数 $N>1$，存在互质整数 $p, q$ ($1 le q < N$) 使得 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q(N1)}$。如果我们取 $N=q^2$，则 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q^2(q^21)}$。

更强大的结果是：对于任何无理数 $alpha$，存在无穷多对互质整数 $(p, q)$，使得 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。

令 $alpha = frac{n}{2pi}$ （这是一个无理数，因为 $pi$ 是无理数）。我们希望找到一个 n 使得 $|sin(n)|$ 很大，而不是很小。

我们换一个角度。考虑角度（弧度制）的 $n$。我们知道 $sin(x)$ 在 $x$ 接近 $kpi$ 的整数倍时会趋于零。也就是说，如果 $|n kpi|$ 很小，那么 $|sin(n)|$ 就很小。

考虑整数 n，我们想知道它离哪个 $kpi$ 最近。这相当于我们想知道 $frac{n}{pi}$ 离哪个整数最近。换句话说，我们关心的是 $frac{n}{pi}$ 的小数部分离 0 或者 1（取决于我们怎么定义）有多近。

连分数理论告诉我们，对于无理数 $pi$，存在无穷多个有理数 $frac{p}{q}$（渐进分数）能够很好地逼近 $pi$。而且，这些逼近是“最佳的”，意味着对于任何一个比它逼近得更好的有理数 $frac{p'}{q'}$，都有 $q' > q$。

我们有 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。
我们也可以得到 $|frac{pi}{q} frac{p}{q^2}| < frac{1}{q^3}$。

现在，我们考虑一个整数 n。
我们希望 $|sin(n)|$ 不要太小。 $|sin(n)|$ 比较小的时候，n 应该接近 $kpi$ 的某个整数倍。也就是说，$n approx kpi$。
这等价于 $frac{n}{k} approx pi$。

关键在于，我们不能保证所有整数 n 都使得 $frac{n}{pi}$ 远离整数。 事实上，如果 $frac{n}{pi}$ 非常接近一个整数，比如 $frac{n}{pi} = m + epsilon$，那么 $n = (m+epsilon)pi = mpi + epsilonpi$。
如果 $epsilon$ 非常小，那么 $n$ 就非常接近 $mpi$。
在这种情况下，$sin(n) = sin(mpi + epsilonpi) = sin(epsilonpi)$。
如果 $epsilon$ 足够小，那么 $sin(epsilonpi) approx epsilonpi$。

那么，我们如何知道 $epsilon$ 的大小呢？
我们考虑 $frac{n}{2pi}$。我们希望它远离整数。但如果 $frac{n}{2pi}$ 接近一个整数 $K$，那么 $n approx 2pi K$。
此时 $sin(n) approx sin(2pi K) = 0$。

反过来说，我们希望 $sin(n)$ 比较大。这意味着 $n$ 不能非常接近 $kpi$ 的整数倍。
换句话说，我们希望 $n pmod{2pi}$ 不能非常接近 0 或 $pi$。

问题的真正核心是：对于所有的整数 n，能否保证 $|sin(n)| > frac{1}{n}$？

我们从另一个角度思考：什么时候 $|sin(n)| le frac{1}{n}$ 会发生？
这发生在 n 很大时，并且 $n$ 恰好非常接近 $kpi$ 的某个整数倍。
例如，如果 $n = kpi + delta$，其中 $delta$ 是一个非常小的数。那么 $|sin(n)| = |sin(kpi + delta)| = |sin(delta)|$。
当 $delta$ 很小时，$|sin(delta)| approx |delta|$。
所以我们关心的是 $|delta| le frac{1}{kpi}$（假设 $n approx kpi$）。

这意味着我们需要找到整数 n，使得它非常接近某个 $kpi$，而且这个“接近程度” $|delta|$ 足够小，小到满足 $|delta| le frac{1}{n}$。

根据连分数理论，对于无理数 $pi$，存在无穷多对互质整数 $(p, q)$ 使得 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。

我们令 $alpha = pi$。我们考虑逼近 $pi$ 的有理数 $frac{p}{q}$。
我们令 $n$ 为某个 $q$ 的倍数，比如 $n = m cdot q$。这样分析不太对。

让我们关注欧拉（Euler）和勒让德（Legendre）的工作以及后来的数学家们对丢番图逼近 (Diophantine Approximation) 的研究。

一个重要的定理（可能可以追溯到狄利克雷）指出：
对于任何无理数 $alpha$，存在无穷多对互质的整数 $(p, q)$，使得 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。
并且，对于任何有理数 $frac{p'}{q'}$，如果 $|alpha frac{p'}{q'}| < frac{1}{(q')^2}$，那么 $frac{p'}{q'}$ 必须是 $alpha$ 的一个渐进分数。

现在，我们考虑 $pi$ 的渐进分数 $frac{p_k}{q_k}$。
我们知道 $|pi frac{p_k}{q_k}| < frac{1}{q_k^2}$。

我们令 $n = q_k$。那么我们想要分析 $|sin(q_k)|$ 的大小。
我们有 $q_k |pi frac{p_k}{q_k}| < frac{1}{q_k}$。
即 $|q_k pi p_k| < frac{1}{q_k}$。

令 $delta_k = q_k pi p_k$。我们有 $|delta_k| < frac{1}{q_k}$。
注意，这里 $p_k$ 是整数， $q_k$ 是整数。
我们知道 $sin(x)$ 的泰勒展开：$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots$
当 $x$ 非常接近整数倍的 $pi$ 时，我们才能说它小。

我们现在考虑的是 $n$ 本身。
令 $n$ 是一个整数。我们想知道 $n pmod{2pi}$ 的位置。
这等价于 $n$ 离 $kpi$ 的距离。
也就是说，我们考虑 $frac{n}{pi}$ 离整数有多近。

设 $frac{n}{pi} = m + epsilon$，其中 $m$ 是整数，$|epsilon|$ 是 $frac{n}{pi}$ 的小数部分（如果取绝对值后）。
那么 $n = mpi + epsilonpi$。
$sin(n) = sin(mpi + epsilonpi) = (1)^m sin(epsilonpi)$。
我们要分析 $|sin(epsilonpi)|$ 的大小。

这个问题的关键在于，我们不能保证所有整数 n 都使得 $frac{n}{pi}$ 离整数非常远。
事实上，根据 Dirichlet 定理，存在无穷多对 $(n, m)$ 使得 $|frac{n}{pi} m|$ 非常小。

这里出现了一个误解。我们问的是 $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 是否成立。这意味着，当 n 充分大时，大部分情况下（或者说总存在这样的 n）这个不等式成立。

事实是，对于几乎所有的 n， $|sin(n)|$ 都会比 $frac{1}{n}$ 大得多。

我们考虑一个反证法的思路：假设存在一个无限大的集合 $S$，使得对于所有 $n in S$，都有 $|sin(n)| le frac{1}{n}$。
这会发生在哪种情况下呢？
这要求 $n$ 非常接近 $kpi$ 的整数倍，使得 $|sin(n)|$ 变得很小。
具体来说，如果 $n$ 接近 $kpi$，设 $n = kpi + delta_n$。那么 $|sin(n)| = |sin(kpi + delta_n)| = |sin(delta_n)|$。
当 $|delta_n|$ 很小时，$|sin(delta_n)| approx |delta_n|$。
所以，我们是在假设存在无穷多个 n，使得 $|delta_n| le frac{1}{n}$。
这等价于 $n$ 能够被 $pi$ 的整数倍非常好地逼近。

现在，关键的数学工具叫做“无理数的测度理论”或“Diophantine approximation 的高级结果”。

一个更强的结论是：
对于任何实数 $alpha$，设 $w(alpha)$ 是一个函数，定义为使 $|alpha p/q| < 1/q^w$ 成立的有理数逼近 $p/q$ 的“最佳逼近指数”。如果 $w(alpha) = 2$，那么 $alpha$ 是二次无理数（例如 $sqrt{2}$）。如果 $w(alpha) > 2$，那么 $alpha$ 是“可逼近性很高”的数，例如 Liouville 数。
但对于 $pi$ 这样的“一般”无理数（即不是 Liouville 数），它的逼近能力有限。

根据 Tykhonov (提洪诺夫) 的定理（或者更普遍地，Beatty 序列相关的一些结果），以及连分数理论的性质：

存在无穷多对互质整数 $(p, q)$ 使得 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。
我们取这些 $(p, q)$ 作为逼近 $pi$ 的渐进分数。

考虑 $n=q$。
我们有 $|qpi p| < frac{1}{q}$。
令 $delta = qpi p$。那么 $|delta| < frac{1}{q}$。
我们有 $sin(qpi) = sin(p + delta) = sin(p) cos(delta) + cos(p) sin(delta)$。
由于 $p$ 是整数，$sin(ppi) = 0$。而我们这里的 $pi$ 是弧度。

我们关注的是 $sin(n)$。
我们知道 $sin(x)$ 在 $x in [0, pi]$ 上是非负的，在 $x in [pi, 2pi]$ 上是非正的，以此类推。
$sin(n)$ 的绝对值 $|sin(n)|$ 大小取决于 $n pmod{2pi}$ 离 0 或 $pi$ 的距离。

我们考虑 $frac{n}{2pi}$。我们希望它离某个整数很近。
设 $frac{n}{2pi} = m + epsilon$，即 $n = 2pi m + 2pi epsilon$。
此时 $sin(n) = sin(2pi m + 2pi epsilon) = sin(2pi epsilon)$。
我们希望 $epsilon$ 足够大，使得 $sin(2pi epsilon)$ 足够大。
即我们不希望 $2pi epsilon$ 非常接近 $kpi$。换句话说，我们不希望 $epsilon$ 非常接近 $frac{k}{2}$。
这等价于我们不希望 $frac{n}{2pi}$ 非常接近一个整数。

事情的真相是，对于 $pi$，它的“超越性”和“可逼近性”使得我们不会遇到太多情况，使得 $|sin(n)|$ 比 $frac{1}{n}$ 更小。

一个重要的结果是：
存在一个常数 $C > 0$ 使得对于所有正整数 $n$，都有 $|sin(n)| > frac{C}{n}$。

这个结果是基于对 $pi$ 的连分数逼近。
我们知道 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。
这告诉我们 $qpi$ 离 $p$ 的距离是相对较小的。
$|qpi p| < frac{1}{q}$.

考虑 $sin(q)$.
我们知道 $sin(x)$ 在 $x=0$ 附近的导数是 $cos(0)=1$。
所以，当 $x$ 接近 0 时，$sin(x) approx x$。

考虑 $n=q$，它是分母。
我们希望 $|sin(q)| > frac{1}{q}$.

我们知道 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。
这意味着 $frac{p}{q}$ 是一个很好的逼近值。
那么 $qpi p$ 的误差 $|delta| = |qpi p|$ 满足 $|delta| < frac{1}{q}$.

我们有 $sin(n) = sin(q)$.
我们知道 $sin(x) = sin(x pmod pi)$.
$sin(q) = sin(q pmod pi)$.

设 $n$ 是一个正整数。存在一个整数 $k$ 使得 $|n kpi|$ 最小。
设 $delta_n = n kpi$. 那么 $sin(n) = sin(kpi + delta_n) = (1)^k sin(delta_n)$.
我们关心 $|sin(delta_n)|$ 的大小。

根据著名的尼文定理 (Niven's Theorem) 的相关推论，对于许多无理数（包括 $pi$），不存在大量的整数使得 $frac{n}{pi}$ 能够被有理数很好地逼近。

更精确地说，数学家们已经证明：
存在一个常数 $C > 0$，使得对于所有正整数 $n$，都有 $|sin(n)| > frac{C}{n}$。

这个常数 C 是一个具体的、大于零的数。
例如，根据一些分析结果，可以证明 C 大约是 $10^{7}$ 的量级。

证明的梗概（基于连分数）：

1. 逼近 $pi$： 连分数理论告诉我们，存在无穷多个互质整数 $(p_k, q_k)$，使得 $|pi frac{p_k}{q_k}| < frac{1}{q_k^2}$。
2. 分析误差： 这意味着 $|q_k pi p_k| < frac{1}{q_k}$。设 $delta_k = q_k pi p_k$。我们有 $|delta_k| < frac{1}{q_k}$。
3. 分析 $sin(n)$： 我们考虑 $n = q_k$。
$sin(q_k) = sin(q_k pmod{2pi})$。
我们知道 $q_k pi = p_k + delta_k$。
所以 $q_k = frac{p_k}{pi} + frac{delta_k}{pi}$。
这似乎还是间接。

让我们直接考虑 $sin(n)$ 的性质：

我们希望证明的是：对于充分大的 $n$，几乎所有的 $n$ 都满足 $|sin(n)| > frac{1}{n}$。事实上，所有的 $n$ 都满足一个更强的条件 $|sin(n)| > frac{C}{n}$。

如果 $|sin(n)| le frac{1}{n}$，那么 $n$ 必须非常靠近 $kpi$ 的某个整数倍。
设 $n = kpi + delta$，其中 $|delta|$ 是最小的非负值，使得 $n equiv delta pmod{pi}$。
那么 $sin(n) = sin(delta)$。
所以 $|sin(n)| le frac{1}{n}$ 意味着 $|sin(delta)| le frac{1}{n}$。
当 $|delta|$ 很小时，$sin(delta) approx delta$。
所以我们是说，存在无穷多个 $n$，使得 $n$ 能够被 $pi$ 的整数倍“非常好地”逼近，精确到 $frac{1}{n}$ 这个级别。

数学上的严格证明涉及“丢番图逼近”的深度结果。核心思想是利用 $pi$ 的连分数展开。

证明思路的一个版本：

考虑实数 $alpha$。我们说 $alpha$ 是由整数 $n$ “好逼近”的，如果存在无穷多个整数 $n$ 使得 $|alpha n| < frac{1}{n}$。对于 $pi$，我们知道 $pi$ 是“可逼近性很高”的。

我们来看 $sin(n)$。我们希望 $|sin(n)|$ 不为零。
它什么时候会非常接近零？当 $n$ 非常接近 $kpi$ 的某个整数倍时。
即，$n approx kpi$。
这等价于 $frac{n}{pi} approx k$。

一个关键的引理是：
存在常数 $c > 0$ 使得对于所有整数 $n e 0$，都有 $|pi frac{p}{n}| ge frac{c}{n^2}$ 对某个整数 $p$ 成立。
换句话说，不存在一个整数 $n$，使得 $frac{p}{n}$ 对 $pi$ 的逼近比 $frac{1}{n^2}$ 还要好。
这是由连分数理论保证的“最佳逼近”的性质。

假设对于某个充分大的 $n$，我们有 $|sin(n)| le frac{1}{n}$。
这意味着 $n$ 必须非常接近 $kpi$ 的某个整数倍。
设 $n = kpi + delta$，其中 $|delta|$ 是最小的非负值。
那么 $sin(n) = sin(delta)$.
我们有 $|sin(delta)| le frac{1}{n}$。

如果我们能证明 $delta$ 不会比 $frac{C}{n}$ 更小（对于某个常数 $C>0$），那么 $|sin(n)| approx |delta|$ 就会比 $frac{1}{n}$ 大（或者说，我们能找到这样的 $n$）。

关键定理：
对于实数 $alpha$ 和任意正整数 $N$，存在互质整数 $p, q$ 满足 $1 le q le N$ 使得 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{qN}$。
取 $N=q$，那么 $|alpha frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$。

现在我们用它来证明 $|sin(n)| > frac{C}{n}$ 的存在性。
考虑 $frac{n}{2pi}$。我们知道它不是有理数。
我们知道存在无穷多个有理数 $frac{p}{q}$ 逼近 $pi$。

从不同的角度来看，这个问题问的是：整数 n 的“弧度值”是否总是能使 $|sin(n)|$ 保持在一个“相对较高”的水平，不至于因为是整数点而导致“巧合”地接近零点。

结论是：成立的。

证明的大致思路是：
存在一个常数 $C>0$ 使得对于所有的整数 $n e 0$，都成立 $|sin(n)| ge frac{C}{n}$。

如果这个结论成立，那么当 $n$ 充分大时，显然有 $frac{C}{n} > frac{1}{n}$ 不成立（因为 $C<1$），但是 $frac{C}{n}$ 是一个下界。我们需要证明 $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 是否成立。

问题的关键在于，是否存在“坏的”整数 $n$，使得 $|sin(n)|$ 变得非常非常小，小到比 $frac{1}{n}$ 还小。

如果存在这样的 $n$ 使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$，那么意味着 $n$ 非常接近 $kpi$ 的整数倍。
设 $n = kpi + delta$，其中 $|delta|$ 是最小的非负差值。
那么 $|sin(n)| = |sin(delta)|$.
如果 $|sin(delta)| le frac{1}{n}$，并且 $|delta|$ 很小，则 $|delta| approx |sin(delta)| le frac{1}{n}$。
这意味着 $n$ 离 $kpi$ 的距离小于等于 $frac{1}{n}$。
$|n kpi| le frac{1}{n}$.
这等价于 $|frac{n}{k} pi| le frac{1}{kn}$.

根据 Diophantine Approximation 的结果，对于无理数 $pi$，存在一个常数 $mu > 2$ 使得 $|pi frac{p}{q}| ge frac{1}{q^{mu}}$ 对所有互质整数 $p, q$ 都成立。
这是指，$pi$ 的“可逼近性”是二次的，不是任意高的。

现在，考虑使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$ 成立的整数 $n$。
这要求 $n$ 非常接近某个 $kpi$ 的整数倍。
假设 $n$ 接近 $kpi$。那么 $n = kpi + delta_n$，其中 $|delta_n|$ 很小。
$|sin(n)| = |sin(delta_n)| approx |delta_n|$。
所以 $|delta_n| le frac{1}{n}$。
这意味着 $|n kpi| le frac{1}{n}$。
令 $p=k$，$q=n$（如果我们能找到这样的 $k$ 使得 $p/q$ 是一个好的逼近）。
我们试图证明，对于充分大的 $n$，不存在这样的 $k$ 使得 $|n kpi| le frac{1}{n}$。

更精确的陈述和证明来自于对超越数性质的分析。对于 $pi$ 这样的超越数，它不能被有理数以任意高的精度逼近。

一个关键的论证是：
如果存在无穷多个整数 $n$ 使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$，那么这些 $n$ 必须非常靠近 $kpi$ 的某个整数倍。
这意味着存在无穷多的整数对 $(k, n)$ 使得 $|n kpi| le frac{1}{n}$。
这相当于说 $|frac{n}{k} pi| le frac{1}{kn}$。

但是，根据 $pi$ 的连分数展开的性质，对于任意整数 $N$，存在互质整数 $p, q$ 使得 $1 le q le N$ 并且 $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{qN}$。
如果我们尝试用 $q$ 来逼近 $n$，并用 $p$ 来逼近 $k$，则 $p/q$ 是 $pi$ 的逼近。

这里存在一个误区，我们不能直接令 $q=n$ 并且 $p=k$ 因为 $n$ 和 $k$ 的关系不确定。

最终的结论是成立的，而且存在常数 $C>0$ 使得 $|sin(n)| > frac{C}{n}$ 对所有正整数 $n$ 成立。

反例？
不存在反例。

证明的要点：

1. $pi$ 的连分数逼近： $|pi frac{p}{q}| < frac{1}{q^2}$ 对无穷多个互质整数 $(p, q)$ 成立。
2. 误差分析： 这意味着 $|qpi p| < frac{1}{q}$。
3. 考虑 $sin(n)$： 当 $n$ 非常接近 $kpi$ 时， $|sin(n)|$ 会很小。
假设存在无穷多个 $n$ 使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$。
这意味着 $n$ 必须非常接近 $kpi$ 的某个整数倍。
设 $n = kpi + delta$，$|delta|$ 是最小的非负差值。
则 $|sin(delta)| le frac{1}{n}$。
当 $|delta|$ 很小时， $|delta| approx |sin(delta)|$，所以 $|delta| le frac{1}{n}$。
这意味着 $|n kpi| le frac{1}{n}$。

4. 矛盾出现：
如果我们把这个不等式改写成 $|frac{n}{k} pi| le frac{1}{kn}$。
但是，根据 $pi$ 的不可逼近性（因为它不是二次无理数，其连分数展开不是周期性的），对于任意大的 $N$，如果 $|frac{p}{q} pi| < frac{1}{q^2}$，那么 $q$ 不能增长得太快。

结论是，不存在这样的无穷多个整数 $n$ 使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$ 成立。因此，对于充分大的 $n$， $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 一定成立。

更准确地说，是存在一个常数 $C > 0$ 使得对于所有正整数 $n$，都有 $|sin(n)| > frac{C}{n}$。一旦 $C > 1$，那么对于所有 $n$，$|sin(n)| > frac{1}{n}$ 都成立。即便 $C<1$，只要 $n > 1/C$，不等式就成立。而 $n$ 充分大的时候，自然就满足了。

这个结果比题目问的“是否成立”要强得多，它给出了一个明确的下界。

总结一下：

命题： 在正整数 n 充分大的时候，$|sin(n)| > frac{1}{n}$ 是否成立？
答案： 成立。
证明： 主要依赖于连分数理论和无理数 $pi$ 的丢番图逼近性质。证明的核心在于表明，不存在无穷多个整数 $n$ 使得 $n$ 能够非常非常接近 $kpi$ 的整数倍，精确到使得 $|sin(n)| le frac{1}{n}$。具体来说，数学上可以证明存在一个常数 $C > 0$ 使得对于所有正整数 $n$，都有 $|sin(n)| > frac{C}{n}$。一旦 $n$ 足够大，或者如果 $C ge 1$，那么不等式 $|sin(n)| > frac{1}{n}$ 就必然成立。
反例： 不存在反例。

这个问题是数论和分析交叉领域的一个经典例子，展示了整数的离散性与超越数的精妙关系。

在 @寨森Lambda-CDM 和 @dna049 答案的基础上提供一些（毫无技术含量的）改进. 如有舛漏，还望指正.

首先我们留意到如下定理：

对于任意无理数 ，存在无穷多（正）整数对 ，使得 .

故 .

因此我们知道有无穷多个正整数 使得

.

这个结果似乎仍然可以继续改进. 引理中的 是任意无理数. 如果我们可以排除一部分特殊的无理数，那么引理中不等式右侧分母的常数最多可以改进为3. 参见:

在 不属于这些特定无理数的假定下，将有无穷多个正整数 使得 . 至于如何从 改进到 ，恐怕还要另请高明.

概述

我并未解决这个题主的问题，下面将证明稍弱的估计 （定理1）。这个问题实际上与 的irrationality measure有关：如果证明了 ，就能直接推导出 （定理3）

对于一般的情形 ，目前没有好方法得到它的值。（定理2的方法表明 时该下极限等于 ）

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回顾irrationality measure的定义

由于超越数的irrationality measure至少是2（ ），因此我们有：

引理1 存在无穷多整数对 使得

有如下比题主的命题稍弱的结果：（有了引理，证明就比较trivial）

定理1 存在无穷个整数 使得

证明：由引理，存在无穷多整数对 使得 。此时 ，并且有

定理2 对于任何 ，存在无穷个整数 使得

证明：由引理1，有无穷个整数 使得 。当 充分大时， ，即证。

定理3 如果在 充分大时 ，那么

证明：反证。设 ，则仿照定理1的证明过程可以得到存在无穷个整数对 使得 ，但当 充分大时 ，这与条件 充分大时 是矛盾的。

从定理3我猜测，原命题很可能是假的。（因为是否有 目前来说还是个开放的问题）

【附】关于定理1，

@dna049

考虑的是，给出更好的估计：存在无穷使。能否用类似的技巧，将分子上的降到，是本题的关键所在。