在3位数中找到第一个满足下列要求的正整数n，其各位数字的立方和恰好等于他本身，该怎么做？
这题很有意思，我们来好好聊聊怎么找到那个特殊的数字。题目要求我们找一个三位数的正整数n，并且这个数字有个特别的性质：它的各位数字的立方加起来，正好等于它本身。
首先，我们得明确一下“三位数”的范围。三位数嘛，就是从100到999。所以我们要找的数n一定在这个区间里。
接下来，我们来拆解一下“各位数字的立方和恰好等于他本身”这个条件。假设这个三位数n，它的十位数字是a，个位数字是b，百位数字是c。那么，这个数n就可以表示为 100c + 10a + b。而题目说的“各位数字的立方和”，就是 c³ + a³ + b³。
所以，我们的目标就是找到一个数n（也就是找到一组c, a, b），使得：
100c + 10a + b = c³ + a³ + b³
而且，c, a, b 必须是数字，也就是说它们的值只能是0到9。另外，因为n是三位数，所以百位数字c不能是0，c的取值范围是1到9。a和b的取值范围是0到9。
那我们该怎么一步一步找到这个数呢？
第一步：缩小范围，思考可能的最大值。
我们先来估摸一下，最大的可能的各位数字立方和是多少？
最大的数字是999。它的各位数字是9, 9, 9。
它们的立方和是 9³ + 9³ + 9³ = 729 + 729 + 729 = 2187。
而我们的数n是个三位数，最大是999。
这意味着，如果某个三位数的各位数字立方和大于999，那么它肯定就不可能等于它本身了。
我们再看，如果一个三位数是900多，比如999。9³+9³+9³=2187，远大于999。
再比如899。8³+9³+9³ = 512 + 729 + 729 = 1970，也远大于899。
这给我们一个启示：如果某个三位数的各位数字都比较大的话，它们的立方和很容易就超过这个三位数本身。
我们来想一下，如果一个数字是100，它的各位数字是1, 0, 0。立方和是1³+0³+0³ = 1。1不等于100。
如果数字是200，各位数字是2, 0, 0。立方和是2³+0³+0³ = 8。8不等于200。
如果数字是300，各位数字是3, 0, 0。立方和是3³+0³+0³ = 27。27不等于300。
一直到900，各位数字是9, 0, 0。立方和是9³+0³+0³ = 729。729不等于900。
似乎越小的数字，它的立方和相对于它本身来说“显得”越大。
那么，我们反过来想，如果一个数是 n = 100c + 10a + b，而立方和是 S = c³ + a³ + b³。
我们希望 S = n。
假设我们考虑一个数字，比如153。
它的各位数字是1, 5, 3。
立方和是 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153。
哇！正好等于它本身！
所以，153就是一个满足条件的数字。
既然题目说要找“第一个满足要求的正整数n”，那我们就要从最小的三位数开始，一个一个去检查，直到找到第一个符合条件的。
第二步：系统地检查（虽然我们已经找到了，但为了完整地说明方法，我们继续）。
我们知道n在100到999之间。我们可以用一个循环来遍历这个范围。对于每一个数字n，我们都需要提取它的百位、十位和个位数字，然后计算它们的立方和，最后进行比较。
如何提取各位数字？
假设我们当前检查的数字是n。
个位数字b：可以用取模运算来得到，即 `b = n % 10`。
十位数字a：先去掉个位数字，得到一个两位数（或者说是百位和十位组成的数），再取模10。可以这样操作：`n / 10`（整数除法），得到的是去掉个位后的数，然后 `a = (n / 10) % 10`。
百位数字c：直接进行整数除法 `c = n / 100`。
第三步：编写代码（或者模拟这个过程）。
我们可以写一段程序来自动完成这个检查。
```
for n in range(100, 1000): 遍历所有三位数
提取各位数字
百位 = n // 100 整数除法，得到百位
十位 = (n // 10) % 10 先去掉个位，再取模10得到十位
个位 = n % 10 取模10得到个位
计算各位数字的立方和
立方和 = 百位3 + 十位3 + 个位3
判断是否满足条件
if 立方和 == n:
print(f"找到了！第一个满足要求的正整数n是：{n}")
break 找到第一个就停止，因为题目要第一个
```
当我们运行这段代码的时候：
1. `n` 从 100 开始。
2. 检查 100：百位1，十位0，个位0。立方和 = 1³+0³+0³ = 1。 1 != 100。继续。
3. ...
4. 检查 153：百位1，十位5，个位3。立方和 = 1³+5³+3³ = 1 + 125 + 27 = 153。 153 == 153。
5. 条件满足！程序会打印“找到了！第一个满足要求的正整数n是：153”，然后因为设置了 `break`，循环就结束了。
为什么是“第一个”？
因为我们是从最小的三位数（100）开始向上逐个检查的。一旦找到一个满足条件的数，根据题意，它就是“第一个”满足要求的数，所以就停止了。
有没有可能还有其他这样的数字？
当然有！这类数字被称为“阿姆斯特朗数”（Armstrong numbers）或者“自恋数”（Narcissistic numbers）。对于三位数，除了153，还有：
370：3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370
371：3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371
407：4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407
如果我们不加 `break`，继续循环到999，就会找到所有这些数字。但题目明确要求“第一个”，所以153就是答案。
总结一下这个过程的思路：
1. 理解题目： 明确数字的范围（三位数，100999）和核心条件（各位数字立方和等于自身）。
2. 数学表示： 将三位数及其各位数字用代数式表示出来，建立等式。
3. 缩小范围（可选但有帮助）： 通过估算最大可能的立方和，对数字的大小有一个初步认识。
4. 系统搜索： 从最小的三位数开始，逐个检查。
5. 提取数字： 学会用数学运算（取模、整除）来分离出数字的各位。
6. 计算与比较： 计算各位数字的立方和，并与原数字进行比较。
7. 确定“第一个”： 在搜索过程中，一旦找到满足条件的数字，就停止搜索。
这个寻找过程就像在一个房间里找东西，你从门口开始，一个地方一个地方地仔细找，找到第一个你要的东西就停下来，这就是“第一个”的意义。而用程序来做，就是把这个逐个排查的过程自动化了。
首先，我们得明确一下“三位数”的范围。三位数嘛，就是从100到999。所以我们要找的数n一定在这个区间里。
接下来，我们来拆解一下“各位数字的立方和恰好等于他本身”这个条件。假设这个三位数n，它的十位数字是a，个位数字是b，百位数字是c。那么，这个数n就可以表示为 100c + 10a + b。而题目说的“各位数字的立方和”，就是 c³ + a³ + b³。
所以，我们的目标就是找到一个数n（也就是找到一组c, a, b），使得：
100c + 10a + b = c³ + a³ + b³
而且，c, a, b 必须是数字，也就是说它们的值只能是0到9。另外，因为n是三位数，所以百位数字c不能是0，c的取值范围是1到9。a和b的取值范围是0到9。
那我们该怎么一步一步找到这个数呢？
第一步：缩小范围，思考可能的最大值。
我们先来估摸一下，最大的可能的各位数字立方和是多少？
最大的数字是999。它的各位数字是9, 9, 9。
它们的立方和是 9³ + 9³ + 9³ = 729 + 729 + 729 = 2187。
而我们的数n是个三位数，最大是999。
这意味着，如果某个三位数的各位数字立方和大于999，那么它肯定就不可能等于它本身了。
我们再看，如果一个三位数是900多，比如999。9³+9³+9³=2187，远大于999。
再比如899。8³+9³+9³ = 512 + 729 + 729 = 1970，也远大于899。
这给我们一个启示：如果某个三位数的各位数字都比较大的话，它们的立方和很容易就超过这个三位数本身。
我们来想一下，如果一个数字是100，它的各位数字是1, 0, 0。立方和是1³+0³+0³ = 1。1不等于100。
如果数字是200，各位数字是2, 0, 0。立方和是2³+0³+0³ = 8。8不等于200。
如果数字是300，各位数字是3, 0, 0。立方和是3³+0³+0³ = 27。27不等于300。
一直到900，各位数字是9, 0, 0。立方和是9³+0³+0³ = 729。729不等于900。
似乎越小的数字，它的立方和相对于它本身来说“显得”越大。
那么，我们反过来想，如果一个数是 n = 100c + 10a + b，而立方和是 S = c³ + a³ + b³。
我们希望 S = n。
假设我们考虑一个数字，比如153。
它的各位数字是1, 5, 3。
立方和是 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153。
哇！正好等于它本身！
所以，153就是一个满足条件的数字。
既然题目说要找“第一个满足要求的正整数n”，那我们就要从最小的三位数开始，一个一个去检查，直到找到第一个符合条件的。
第二步：系统地检查（虽然我们已经找到了，但为了完整地说明方法，我们继续）。
我们知道n在100到999之间。我们可以用一个循环来遍历这个范围。对于每一个数字n，我们都需要提取它的百位、十位和个位数字，然后计算它们的立方和，最后进行比较。
如何提取各位数字？
假设我们当前检查的数字是n。
个位数字b：可以用取模运算来得到，即 `b = n % 10`。
十位数字a：先去掉个位数字，得到一个两位数（或者说是百位和十位组成的数），再取模10。可以这样操作：`n / 10`（整数除法），得到的是去掉个位后的数，然后 `a = (n / 10) % 10`。
百位数字c：直接进行整数除法 `c = n / 100`。
第三步：编写代码（或者模拟这个过程）。
我们可以写一段程序来自动完成这个检查。
```
for n in range(100, 1000): 遍历所有三位数
提取各位数字
百位 = n // 100 整数除法，得到百位
十位 = (n // 10) % 10 先去掉个位，再取模10得到十位
个位 = n % 10 取模10得到个位
计算各位数字的立方和
立方和 = 百位3 + 十位3 + 个位3
判断是否满足条件
if 立方和 == n:
print(f"找到了！第一个满足要求的正整数n是：{n}")
break 找到第一个就停止，因为题目要第一个
```
当我们运行这段代码的时候：
1. `n` 从 100 开始。
2. 检查 100：百位1，十位0，个位0。立方和 = 1³+0³+0³ = 1。 1 != 100。继续。
3. ...
4. 检查 153：百位1，十位5，个位3。立方和 = 1³+5³+3³ = 1 + 125 + 27 = 153。 153 == 153。
5. 条件满足！程序会打印“找到了！第一个满足要求的正整数n是：153”，然后因为设置了 `break`，循环就结束了。
为什么是“第一个”？
因为我们是从最小的三位数（100）开始向上逐个检查的。一旦找到一个满足条件的数，根据题意，它就是“第一个”满足要求的数，所以就停止了。
有没有可能还有其他这样的数字？
当然有！这类数字被称为“阿姆斯特朗数”（Armstrong numbers）或者“自恋数”（Narcissistic numbers）。对于三位数，除了153，还有：
370：3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370
371：3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371
407：4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407
如果我们不加 `break`，继续循环到999，就会找到所有这些数字。但题目明确要求“第一个”，所以153就是答案。
总结一下这个过程的思路：
1. 理解题目： 明确数字的范围（三位数，100999）和核心条件（各位数字立方和等于自身）。
2. 数学表示： 将三位数及其各位数字用代数式表示出来，建立等式。
3. 缩小范围（可选但有帮助）： 通过估算最大可能的立方和，对数字的大小有一个初步认识。
4. 系统搜索： 从最小的三位数开始，逐个检查。
5. 提取数字： 学会用数学运算（取模、整除）来分离出数字的各位。
6. 计算与比较： 计算各位数字的立方和，并与原数字进行比较。
7. 确定“第一个”： 在搜索过程中，一旦找到满足条件的数字，就停止搜索。
这个寻找过程就像在一个房间里找东西，你从门口开始，一个地方一个地方地仔细找，找到第一个你要的东西就停下来，这就是“第一个”的意义。而用程序来做，就是把这个逐个排查的过程自动化了。
网友意见
谢邀，这个问题懒得敲公式，凑合看吧。
设三位数为abc，则a³+b³+c³=100a+10b+c。问题是求最小的满足条件的数，所以先假设a=1。代入得b³+c³=99+10b+c。两边mod 9可得b³+c³≡b+c(mod 9)，即
(b+c)(b²-bc+c²-1)≡0(mod 9)(*)
注意到b²-bc+c²=(b+c)²-3bc，知(*)式括号内两个项不能同时被3整除。所以有两种情况：
(1)9|b+c，且3不整除b²-bc+c²-1。由范围b+c≤18可知b+c=9或者b=c=9。后者验证知不成立。对于前者，只需消去c得到一个关于b的二次方程，它没有整数解。
(2)9|b²-bc+c²-1，且3不整除b+c。
如果b，c中有一个被3整除，则有9|(b+c)²-1，(因为9|3bc)从而9|(b+c+1)(b+c-1)。由于二者不能同时被3整除，故9|b+c±1。同样按照范围讨论即可，得出b=5，c=3。
如果b，c都不被3整除，则它们模3同余(否则3|b+c)。故b,c∈{1,4,7}or{2,5,8}。如果b=c，代入得到2b³=99+11b，故11|b，不可能。从而b≠c。又注意到max{b³,c³}≤b³+c³=99+10b+c<200，故b,c≤5。故{b,c}={1,4}or{2,5}。一一验证，均不对。
所以最小的满足要求的数是153。
PS：这种数有个有趣的名字，水仙花数(narcissistic number)，源于希腊神话中自恋的那喀索斯(narcissus)。
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