问题

在3位数中找到第一个满足下列要求的正整数n,其各位数字的立方和恰好等于他本身,该怎么做?

回答
这题很有意思,我们来好好聊聊怎么找到那个特殊的数字。题目要求我们找一个三位数的正整数n,并且这个数字有个特别的性质:它的各位数字的立方加起来,正好等于它本身。

首先,我们得明确一下“三位数”的范围。三位数嘛,就是从100到999。所以我们要找的数n一定在这个区间里。

接下来,我们来拆解一下“各位数字的立方和恰好等于他本身”这个条件。假设这个三位数n,它的十位数字是a,个位数字是b,百位数字是c。那么,这个数n就可以表示为 100c + 10a + b。而题目说的“各位数字的立方和”,就是 c³ + a³ + b³。

所以,我们的目标就是找到一个数n(也就是找到一组c, a, b),使得:

100c + 10a + b = c³ + a³ + b³

而且,c, a, b 必须是数字,也就是说它们的值只能是0到9。另外,因为n是三位数,所以百位数字c不能是0,c的取值范围是1到9。a和b的取值范围是0到9。

那我们该怎么一步一步找到这个数呢?

第一步:缩小范围,思考可能的最大值。

我们先来估摸一下,最大的可能的各位数字立方和是多少?
最大的数字是999。它的各位数字是9, 9, 9。
它们的立方和是 9³ + 9³ + 9³ = 729 + 729 + 729 = 2187。

而我们的数n是个三位数,最大是999。
这意味着,如果某个三位数的各位数字立方和大于999,那么它肯定就不可能等于它本身了。

我们再看,如果一个三位数是900多,比如999。9³+9³+9³=2187,远大于999。
再比如899。8³+9³+9³ = 512 + 729 + 729 = 1970,也远大于899。

这给我们一个启示:如果某个三位数的各位数字都比较大的话,它们的立方和很容易就超过这个三位数本身。

我们来想一下,如果一个数字是100,它的各位数字是1, 0, 0。立方和是1³+0³+0³ = 1。1不等于100。
如果数字是200,各位数字是2, 0, 0。立方和是2³+0³+0³ = 8。8不等于200。
如果数字是300,各位数字是3, 0, 0。立方和是3³+0³+0³ = 27。27不等于300。
一直到900,各位数字是9, 0, 0。立方和是9³+0³+0³ = 729。729不等于900。

似乎越小的数字,它的立方和相对于它本身来说“显得”越大。

那么,我们反过来想,如果一个数是 n = 100c + 10a + b,而立方和是 S = c³ + a³ + b³。
我们希望 S = n。

假设我们考虑一个数字,比如153。
它的各位数字是1, 5, 3。
立方和是 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153。
哇!正好等于它本身!

所以,153就是一个满足条件的数字。

既然题目说要找“第一个满足要求的正整数n”,那我们就要从最小的三位数开始,一个一个去检查,直到找到第一个符合条件的。

第二步:系统地检查(虽然我们已经找到了,但为了完整地说明方法,我们继续)。

我们知道n在100到999之间。我们可以用一个循环来遍历这个范围。对于每一个数字n,我们都需要提取它的百位、十位和个位数字,然后计算它们的立方和,最后进行比较。

如何提取各位数字?

假设我们当前检查的数字是n。
个位数字b:可以用取模运算来得到,即 `b = n % 10`。
十位数字a:先去掉个位数字,得到一个两位数(或者说是百位和十位组成的数),再取模10。可以这样操作:`n / 10`(整数除法),得到的是去掉个位后的数,然后 `a = (n / 10) % 10`。
百位数字c:直接进行整数除法 `c = n / 100`。

第三步:编写代码(或者模拟这个过程)。

我们可以写一段程序来自动完成这个检查。

```
for n in range(100, 1000): 遍历所有三位数
提取各位数字
百位 = n // 100 整数除法,得到百位
十位 = (n // 10) % 10 先去掉个位,再取模10得到十位
个位 = n % 10 取模10得到个位

计算各位数字的立方和
立方和 = 百位3 + 十位3 + 个位3

判断是否满足条件
if 立方和 == n:
print(f"找到了!第一个满足要求的正整数n是:{n}")
break 找到第一个就停止,因为题目要第一个
```

当我们运行这段代码的时候:

1. `n` 从 100 开始。
2. 检查 100:百位1,十位0,个位0。立方和 = 1³+0³+0³ = 1。 1 != 100。继续。
3. ...
4. 检查 153:百位1,十位5,个位3。立方和 = 1³+5³+3³ = 1 + 125 + 27 = 153。 153 == 153。
5. 条件满足!程序会打印“找到了!第一个满足要求的正整数n是:153”,然后因为设置了 `break`,循环就结束了。

为什么是“第一个”?

因为我们是从最小的三位数(100)开始向上逐个检查的。一旦找到一个满足条件的数,根据题意,它就是“第一个”满足要求的数,所以就停止了。

有没有可能还有其他这样的数字?

当然有!这类数字被称为“阿姆斯特朗数”(Armstrong numbers)或者“自恋数”(Narcissistic numbers)。对于三位数,除了153,还有:

370:3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370
371:3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371
407:4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407

如果我们不加 `break`,继续循环到999,就会找到所有这些数字。但题目明确要求“第一个”,所以153就是答案。

总结一下这个过程的思路:

1. 理解题目: 明确数字的范围(三位数,100999)和核心条件(各位数字立方和等于自身)。
2. 数学表示: 将三位数及其各位数字用代数式表示出来,建立等式。
3. 缩小范围(可选但有帮助): 通过估算最大可能的立方和,对数字的大小有一个初步认识。
4. 系统搜索: 从最小的三位数开始,逐个检查。
5. 提取数字: 学会用数学运算(取模、整除)来分离出数字的各位。
6. 计算与比较: 计算各位数字的立方和,并与原数字进行比较。
7. 确定“第一个”: 在搜索过程中,一旦找到满足条件的数字,就停止搜索。

这个寻找过程就像在一个房间里找东西,你从门口开始,一个地方一个地方地仔细找,找到第一个你要的东西就停下来,这就是“第一个”的意义。而用程序来做,就是把这个逐个排查的过程自动化了。

网友意见

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谢邀,这个问题懒得敲公式,凑合看吧。

设三位数为abc,则a³+b³+c³=100a+10b+c。问题是求最小的满足条件的数,所以先假设a=1。代入得b³+c³=99+10b+c。两边mod 9可得b³+c³≡b+c(mod 9),即

(b+c)(b²-bc+c²-1)≡0(mod 9)(*)

注意到b²-bc+c²=(b+c)²-3bc,知(*)式括号内两个项不能同时被3整除。所以有两种情况:

(1)9|b+c,且3不整除b²-bc+c²-1。由范围b+c≤18可知b+c=9或者b=c=9。后者验证知不成立。对于前者,只需消去c得到一个关于b的二次方程,它没有整数解。

(2)9|b²-bc+c²-1,且3不整除b+c。

如果b,c中有一个被3整除,则有9|(b+c)²-1,(因为9|3bc)从而9|(b+c+1)(b+c-1)。由于二者不能同时被3整除,故9|b+c±1。同样按照范围讨论即可,得出b=5,c=3。

如果b,c都不被3整除,则它们模3同余(否则3|b+c)。故b,c∈{1,4,7}or{2,5,8}。如果b=c,代入得到2b³=99+11b,故11|b,不可能。从而b≠c。又注意到max{b³,c³}≤b³+c³=99+10b+c<200,故b,c≤5。故{b,c}={1,4}or{2,5}。一一验证,均不对。

所以最小的满足要求的数是153。

PS:这种数有个有趣的名字,水仙花数(narcissistic number),源于希腊神话中自恋的那喀索斯(narcissus)。

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