将一个大于等于3的数分成三个正整数相加有多少种分法？

好的，咱们来聊聊一个挺有意思的问题：一个大于等于3的数，比如叫做 $n$，咱们想把它拆成三个正整数（也就是说，这些数得是1或更大的整数）相加，有多少种不同的拆法呢？

咱们先不着急说数学公式，先来举几个例子，这样更容易理解。

举个例子

假设我们要分的数是 5，也就是 $n=5$。我们要找到三个正整数 $a, b, c$ 使得 $a + b + c = 5$。

想想看，能怎么分？

如果 $a=1$，那么 $b+c$ 就得是 4。$b+c=4$ 有几种分法？
$b=1, c=3$ (所以是 1+1+3)
$b=2, c=2$ (所以是 1+2+2)
$b=3, c=1$ (所以是 1+3+1)
如果 $a=2$，那么 $b+c$ 就得是 3。$b+c=3$ 有几种分法？
$b=1, c=2$ (所以是 2+1+2)
$b=2, c=1$ (所以是 2+2+1)
如果 $a=3$，那么 $b+c$ 就得是 2。$b+c=2$ 只有一种分法：
$b=1, c=1$ (所以是 3+1+1)

我们再数数看，我们找到了哪些组合？
1+1+3
1+2+2
1+3+1
2+1+2
2+2+1
3+1+1

这里好像有6种。但是，问题来了，数学上我们通常关心的是“组合”而不是“排列”。也就是说，1+1+3，1+3+1，3+1+1，这三种在数学上算作同一种“分法”，因为它们使用的数字都是一样的（一个1，一个1，一个3）。如果咱们这么算，那有多少种呢？

使用数字 1, 1, 3 （这相当于 1+1+3）
使用数字 1, 2, 2 （这相当于 1+2+2）

这样看来，5 种 不同组合 的分法是 2 种。

你看，这里就出现了一个关键点：我们是算“排列”还是算“组合”？题目里说“有多少种分法”，一般情况下，我们倾向于认为不考虑顺序的组合。也就是说，1+2+3 和 2+1+3 被认为是同一种分法。

为了避免混淆，咱们先明确一下，我们这里算的是不考虑顺序的“分法”。

再举个例子：$n=6$

我们要找到 $a+b+c=6$，其中 $a, b, c$ 都是正整数。

为了不重复，我们约定一个规则：$a le b le c$。这样就能确保我们不会算重。

$a=1$ 时，$b+c=5$。根据 $b le c$ 且 $b ge a=1$：
$b=1, c=4$ (1+1+4)
$b=2, c=3$ (1+2+3)
$a=2$ 时，$b+c=4$。根据 $b le c$ 且 $b ge a=2$：
$b=2, c=2$ (2+2+2)

所以，对于 $n=6$，不考虑顺序的分法有 3 种：(1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2)。

数学上的思考

这个问题，在数学上叫做“整数分拆”或者“整数加法表示”。更具体一点，是关于“将一个正整数表示为三个正整数之和的无序分拆数”。

咱们先尝试用一个更系统的方法来计算。

对于一个数 $n$，我们要找 $a+b+c = n$，且 $a, b, c ge 1$。
为了方便计算，我们可以先假设 $a, b, c$ 是有序的（允许重复）。

想象一下 $n$ 个小球排成一排：`o o o o o ... o` (总共 $n$ 个)。
我们要在它们之间放两个隔板，把这些小球分成三组。比如 $n=5$：
`o | o o | o o` 这代表 1 + 2 + 2
`o o | o | o o` 这代表 2 + 1 + 2
`o o o | o | o` 这代表 3 + 1 + 1

这里有个问题，如果隔板放在小球的边上，比如 `| o o o o o` 就代表 0+5，但我们要求的是正整数，所以隔板不能紧挨着。
更准确地说，我们有 $n$ 个球，那么就有 $n1$ 个空隙可以放隔板：
`o ^ o ^ o ^ ... ^ o`
如果我们在这 $n1$ 个空隙中选择两个位置放隔板，就可以把 $n$ 个球分成三份。
比如 $n=5$，有 4 个空隙：`o ^ o ^ o ^ o`
选两个位置放隔板：
`o | o | o o o` > 1+1+3
`o | o o | o o` > 1+2+2
`o | o o o | o` > 1+3+1
`o o | o | o o` > 2+1+2
`o o | o o | o` > 2+2+1
`o o o | o | o` > 3+1+1

总共有 $inom{n1}{2}$ 种方法可以选出两个隔板的位置。
计算一下：$inom{n1}{2} = frac{(n1)(n2)}{2}$

我们用这个公式来算我们刚才的例子：
$n=5$: $inom{51}{2} = inom{4}{2} = frac{4 imes 3}{2} = 6$ 种。这和我们一开始算的有序结果一样。
$n=6$: $inom{61}{2} = inom{5}{2} = frac{5 imes 4}{2} = 10$ 种。

这个公式 $frac{(n1)(n2)}{2}$ 计算的是有序的三个正整数之和。
但我们前面说了，我们想求的是无序的分法。

如何从有序到无序？

无序的分法，就是我们不关心数字的顺序。例如 1+2+3 和 3+1+2 算一种。
有序的分法有几种情况：
1. 三个数都一样：$a=b=c$。这种情况只有当 $n$ 能被 3 整除时才可能，而且只有一种。例如 $n=6$，就是 2+2+2。
2. 有两个数一样，一个数不一样：$a=b e c$ 或者 $a e b = c$ 或者 $a=c e b$。例如 1+1+3，1+3+1，3+1+1 就是其中一类。
3. 三个数都不一样：$a e b e c e a$。例如 1+2+3。

我们计算的 $inom{n1}{2}$ 里面，包含了所有这些情况的排列。

如果三个数都一样 (形如 $a+a+a$)，它只对应一种有序的表示法。
如果两个数一样，一个不一样 (形如 $a+a+b$ 且 $a e b$)，它有 3 种有序的表示法（$a+a+b, a+b+a, b+a+a$）。
如果三个数都不一样 (形如 $a+b+c$ 且 $a,b,c$ 都不同)，它有 $3! = 6$ 种有序的表示法。

这个转换有点复杂。有没有更直接的方法？

换个思路：考虑 $n3$ 的分法

我们要求 $a+b+c=n$，其中 $a, b, c ge 1$。
我们可以先给 $a, b, c$ 各自“预支”1，让它们变成 $a' = a1, b' = b1, c' = c1$。
那么 $a', b', c'$ 都是非负整数 (也就是 $ge 0$)。
原式变成：$(a'+1) + (b'+1) + (c'+1) = n$
即 $a'+b'+c' = n3$。

现在问题变成了：将 $n3$ 分成三个非负整数相加有多少种无序分法。

这个问题的标准解法是利用“隔板法”，但针对非负整数。
如果我们考虑 $n3$ 这个数，想象有 $n3$ 个小球。我们要用两个隔板把它分成三组（可以有空组）。
总共有 $(n3)$ 个球，那么就有 $(n3)+1 = n2$ 个“空隙”可以放隔板（包括球的前面和后面）。
我们在这 $n2$ 个空隙中选择两个位置放隔板。
可以表示为：`^ o ^ o ^ ... ^ o ^`
总共有 $(n3)$ 个球，所以有 $(n3)+1$ 个位置可以放隔板。
如果我们从这 $n2$ 个位置中选2个放隔板，那么就有 $inom{n3+2}{2} = inom{n1}{2}$ 种方法。

等等，这个还是算出了有序的。这可能是“隔板法”的通病。
隔板法计算的是 $x_1 + x_2 + dots + x_k = N$ 的非负整数解的数量，结果是 $inom{N+k1}{k1}$。
在这里，我们是 $a'+b'+c' = n3$ ($k=3, N=n3$)，所以解的数量是 $inom{(n3)+31}{31} = inom{n1}{2}$。这个还是有序解。

回到无序分拆

数学上，这个问题有一个更直接的公式，它是关于整数分拆的特定情况。
将一个整数 $n$ 分成 $k$ 个正整数之和的无序分拆数，通常记作 $P(n, k)$。我们这里求的是 $P(n, 3)$。

对于 $P(n, 3)$，它的结果是最接近 $frac{n^2}{12}$ 的整数。更精确一点，是 $lfloor frac{n^2}{12} floor$ 或者 $lfloor frac{n^2}{12} + frac{1}{2} floor$ （根据 $n$ 的模 6 的余数来判断）。

我们来验证一下：

$n=3$: $a+b+c=3$ (只能是 1+1+1)。1种分法。
公式：$lfloor frac{3^2}{12} floor = lfloor frac{9}{12} floor = 0$。不对。
公式的精确形式：当 $n equiv 0 pmod 6$ 或 $n equiv 2 pmod 6$ 时，是 $frac{n^2}{12}$。
当 $n equiv 1 pmod 6$ 或 $n equiv 5 pmod 6$ 时，是 $frac{n^21}{12}$。
当 $n equiv 3 pmod 6$ 或 $n equiv 4 pmod 6$ 时，是 $frac{n^23}{12}$ （或者说 $frac{n^23+12}{12}$ 来确保是整数）。
有一个更统一的公式：$P(n,3) = frac{n^26n+12}{12}$ 或者是 $frac{n(n6)}{12} + 1$. 这种公式需要小心处理。

一个更直观的推导方法 (基于 $a le b le c$)

我们要找 $a+b+c=n$ 且 $1 le a le b le c$ 的整数解的数量。

最小的 $a$ 是 1。
此时 $b+c = n1$。
我们还需要 $1 le b le c$ 且 $b ge a=1$。
所以 $b$ 的取值范围是什么？
$b le c$ 意味着 $b le frac{n1}{2}$。
所以 $b$ 可以从 1 取到 $lfloor frac{n1}{2} floor$。
当 $a=1$ 时，b的可能取值有 $lfloor frac{n1}{2} floor$ 个。

如果 $a=2$，那么 $b+c = n2$。
我们还需要 $2 le b le c$ 且 $b ge a=2$。
所以 $b$ 的取值范围是 $2 le b le lfloor frac{n2}{2} floor$。
b的可能取值有 $lfloor frac{n2}{2} floor 2 + 1 = lfloor frac{n2}{2} floor 1$ 个。

这看起来还是有点复杂，因为 $a$ 的上限也有限制。
$a$ 的最大值是什么？
由于 $a le b le c$，那么 $a+a+a le a+b+c = n$，即 $3a le n$，所以 $a le lfloor frac{n}{3} floor$。

所以，我们可以循环 $a$ 从 1 到 $lfloor frac{n}{3} floor$。
对于每一个 $a$，我们要求 $b+c = na$，且 $a le b le c$。
这意味着 $b$ 的取值范围是 $a le b le lfloor frac{na}{2} floor$。
对于每一个合法的 $b$， $c$ 就唯一确定为 $nab$。我们只需要确保 $b le c$ 即可，而这个条件已经被 $b le lfloor frac{na}{2} floor$ 包含了。

所以，总的分法数量是：
$sum_{a=1}^{lfloor n/3 floor} left( lfloor frac{na}{2} floor a + 1 ight)$

我们来用这个公式算几个例子：

$n=3$: $lfloor n/3 floor = 1$。
$a=1$: $lfloor frac{31}{2} floor 1 + 1 = lfloor frac{2}{2} floor = 1$。总共 1 种 (1+1+1)。

$n=4$: $lfloor n/3 floor = 1$。
$a=1$: $lfloor frac{41}{2} floor 1 + 1 = lfloor frac{3}{2} floor = 1$。总共 1 种 (1+1+2)。

$n=5$: $lfloor n/3 floor = 1$。
$a=1$: $lfloor frac{51}{2} floor 1 + 1 = lfloor frac{4}{2} floor = 2$。总共 2 种 (1+1+3, 1+2+2)。

$n=6$: $lfloor n/3 floor = 2$。
$a=1$: $lfloor frac{61}{2} floor 1 + 1 = lfloor frac{5}{2} floor = 2$。 (1+1+4, 1+2+3)
$a=2$: $lfloor frac{62}{2} floor 2 + 1 = lfloor frac{4}{2} floor 2 + 1 = 2 2 + 1 = 1$。 (2+2+2)
总共 2 + 1 = 3 种。

$n=7$: $lfloor n/3 floor = 2$。
$a=1$: $lfloor frac{71}{2} floor 1 + 1 = lfloor frac{6}{2} floor = 3$。 (1+1+5, 1+2+4, 1+3+3)
$a=2$: $lfloor frac{72}{2} floor 2 + 1 = lfloor frac{5}{2} floor 2 + 1 = 2 2 + 1 = 1$。 (2+2+3)
总共 3 + 1 = 4 种。

这个公式似乎是正确的！

公式的简化和解释

虽然 $sum_{a=1}^{lfloor n/3 floor} left( lfloor frac{na}{2} floor a + 1 ight)$ 是正确的，但它不够“简洁”。
这个求和的精确结果，确实就是前面提到的 $frac{n^2}{12}$ 的某种取整。

让我们看看这个求和结果与 $n^2/12$ 的关系。

我们可以尝试根据 $n$ 的奇偶性和模 6 的余数来分析这个求和式。这个分析会比较细致，需要写出很多情况。

更简洁的公式推导思路：

有一个更巧妙的技巧，可以避免直接求和。
我们知道有序解的数量是 $inom{n1}{2} = frac{(n1)(n2)}{2}$。
假设总的无序分法（不考虑顺序）的数量是 $S$。
如果三个数都一样（$a=b=c$），只有一种情况。它贡献 1 个有序解。
如果两个数一样，一个不一样（$a=a e b$），这有 3 种排列 ($a+a+b, a+b+a, b+a+a$)。
如果三个数都不一样（$a e b e c$），这有 6 种排列。

反过来想，我们知道有序解的总数。
设 $N_3$ 是三个数都一样的情况。
设 $N_2$ 是有两个数一样的情况。
设 $N_1$ 是三个数都不一样的情况。

总的有序解数是 $N_3 imes 1 + N_2 imes 3 + N_1 imes 6 = inom{n1}{2}$。
我们要求的是总的无序分法数 $S = N_3 + N_2 + N_1$。

$N_3$ 只有在 $n$ 能被 3 整除时存在，且为 1。如果 $n % 3 == 0$, $N_3 = 1$, 否则 $N_3 = 0$.
例如 $n=6$， $N_3 = 1$ (2+2+2)。
$n=5$, $N_3 = 0$.

这种方法也需要先找出 $N_2$ 的情况，这还是挺麻烦的。

官方数学结果：

将整数 $n$ 分成三个正整数之和的无序分拆数，精确的公式是：

令 $p_3(n)$ 表示这个数量。
$p_3(n) = egin{cases} frac{n^2}{12} & ext{if } n equiv 0 pmod 6 \ frac{n^21}{12} & ext{if } n equiv 1, 5 pmod 6 \ frac{n^24}{12} & ext{if } n equiv 2, 4 pmod 6 \ frac{n^23}{12} & ext{if } n equiv 3 pmod 6 end{cases}$

这个公式可以写成更紧凑的形式：
$p_3(n) = leftlfloor frac{n^2}{12} ight floor$ 或者是 $leftlfloor frac{n^2}{12} + frac{1}{2} ight floor$ 并不总是对的，需要看具体取整方式。

最普遍接受的简洁形式是：
$p_3(n) = ext{round}left(frac{n^2}{12} ight)$ 或者更精确地是
$p_3(n) = frac{n^2 6n + 12}{12}$ (当 $n ge 3$)

我们来验证这个公式 $frac{n^2 6n + 12}{12}$：
$n=3$: $frac{3^2 6(3) + 12}{12} = frac{9 18 + 12}{12} = frac{3}{12}$。 这不是整数，所以这个公式也需要小心。

正确且常用的公式是：
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 12)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 0 pmod 6$
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 1)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 1 pmod 6$
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 1)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 5 pmod 6$
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 4)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 2 pmod 6$
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 4)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 4 pmod 6$
$p_3(n) = frac{1}{12}(n^2 6n + 9)$ 当 $n ge 3$ 且 $n equiv 3 pmod 6$

这似乎也不是最简便的表达。
最简洁且常见的表述是基于 $n$ 的奇偶性：

如果 $n$ 是奇数：分法数量是 $frac{(n1)(n5)}{12}$ 如果 $n$ 能被 6 整除余1或5， $frac{(n1)(n5)+4}{12}$ 如果 $n$ 能被6整除余3.
这是非常混乱的。

让我们回到最初的求和公式，它确实是正确的且易于理解的：
分法数量 = $sum_{a=1}^{lfloor n/3 floor} left( lfloor frac{na}{2} floor a + 1 ight)$

最终结论和解释

要将一个大于等于3的数 $n$ 分成三个正整数相加，有多少种不同的分法（不考虑顺序），我们可以通过以下方法来计算：

1. 设定约束，避免重复：为了确保我们计算的“分法”是不同的组合，我们通常会给这三个正整数设定一个顺序关系，比如 $a le b le c$。

2. 确定最小数的范围：由于 $a le b le c$，那么 $a+a+a le a+b+c = n$，即 $3a le n$。所以，第一个数 $a$ 的取值范围是 $1 le a le lfloor n/3 floor$。

3. 枚举第一个数，计算剩余的可能：
我们从最小可能的 $a$（也就是 1）开始，一直枚举到最大的可能 $a$（即 $lfloor n/3 floor$）。
对于每一个确定的 $a$，我们需要找到 $b$ 和 $c$ 使得 $b+c = na$，并且满足 $a le b le c$。
从 $b+c = na$ 和 $b le c$ 可以推导出 $b le frac{na}{2}$。
同时，我们还有约束 $b ge a$。
所以，对于每一个 $a$， $b$ 的取值范围是 $a le b le lfloor frac{na}{2} floor$。
对于每一个符合条件的 $b$， $c$ 就唯一确定了 ($c = nab$)，并且这个 $c$ 会自动满足 $c ge b$。
因此，对于一个固定的 $a$，满足条件的 $b$ 的个数就是 $lfloor frac{na}{2} floor a + 1$（注意这里是闭区间，所以要加 1）。

4. 求和：将所有可能的 $a$ 值对应的 $b$ 的个数加起来，就是总的无序分法数量。

所以，最终的计算方法是：

分法总数 = $sum_{a=1}^{lfloor n/3 floor} left( lfloor frac{na}{2} floor a + 1 ight)$

这个公式在数学上是完全成立的，并且比任何基于模运算的公式都更容易理解和应用。它直接反映了我们如何系统地枚举和计数。

举例说明这个公式

比如 $n=10$：
$a$ 的范围是 $1 le a le lfloor 10/3 floor = 3$。

当 $a=1$ 时：
我们需要 $b+c = 101=9$，且 $1 le b le lfloor 9/2 floor = 4$。
$b$ 的可能取值有：1, 2, 3, 4。
个数为 $lfloor frac{101}{2} floor 1 + 1 = lfloor 4.5 floor 1 + 1 = 4$。
对应的分法是：1+1+8, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5。

当 $a=2$ 时：
我们需要 $b+c = 102=8$，且 $2 le b le lfloor 8/2 floor = 4$。
$b$ 的可能取值有：2, 3, 4。
个数为 $lfloor frac{102}{2} floor 2 + 1 = lfloor 4 floor 2 + 1 = 4 2 + 1 = 3$。
对应的分法是：2+2+6, 2+3+5, 2+4+4。

当 $a=3$ 时：
我们需要 $b+c = 103=7$，且 $3 le b le lfloor 7/2 floor = 3$。
$b$ 的可能取值只有：3。
个数为 $lfloor frac{103}{2} floor 3 + 1 = lfloor 3.5 floor 3 + 1 = 3 3 + 1 = 1$。
对应的分法是：3+3+4。

总分法数量 = 4 + 3 + 1 = 8 种。

希望这个解释够详细，也希望它听起来像是一个人思考问题的过程，而不是一个冰冷的计算器输出。

面向OEIS答题 https://oeis.org/A069905

对于 ，有 种分法，其中 表示四舍五入

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现在的解答都非常好，有用容斥原理列出递推式的，有用隔板法再去重的，我这里再来一个方法吧。我的想法非常朴素，就是将拆三数之和转化为拆两数之和。

显然对于 ，拆成两个正整数之和的方法数是 。不过还不够。我们需要更强的结论。

对于 ，将其拆成两个正整数之和 ，且 的方法数记做 ，则

（这个是很容易讨论的，读者可以在纸上画画，这里就不展开了）

设对于 ，将其拆成三个正整数有 种方法。假设这三个正整数中，较小的两个正整数之和为 ，则最大的正整数为 ，此时较小的两个正整数每一个都不能超过 ，因此对应的方法数就是 。遍历每一个 求和，即有：

这里的 可以被分为三部分，对应上面分段式子的三部分： ， ，

1. ，这一部分对应的 ，就不考虑了
2. ，这等价于 ，此时
3. ，这等价于 ，此时

因此 ，进一步整理成

为了计算求和式，鉴于 ，最暴力的方法就是穷举 六种情形把取整号去掉，分别算出结果再合并。对于 的情形，

对于其他情形，可以类似讨论。