包含所有各项不大于n的n元正整数列且长度最小的序列有多少个？
这个问题很有意思，它要求我们寻找一个包含所有不大于n的n元正整数的序列，并且这个序列的长度是所有满足条件的序列中最短的。然后，我们需要计算有多少个这样的最短长度序列。
我们先来拆解一下问题：
n元正整数列: 这是指由n个正整数组成的序列，例如对于n=3，一个3元正整数列可以是 (1, 2, 3)，也可以是 (5, 1, 8)。
不大于n: 这个限制条件是关键。也就是说，序列中的每一个数字都必须小于或等于n。
包含所有各项: 这意味着我们的序列必须能够“触及”到从1到n的所有正整数。换句话说，如果我们把所有出现的数字收集起来，它们组成的集合必须是 {1, 2, ..., n}。
长度最小的序列: 我们不是随便找一个包含所有不大于n的n元正整数的序列，而是要找到那个最短的。
有多少个这样的最短长度序列: 最终的目标是计数。
让我们先从一个小的例子入手，比如 n = 3。
我们需要一个3元正整数列，其中的每个数字都不大于3。并且，这个序列要包含1，2，和3。
可能的序列有哪些？
(1, 2, 3) 这个序列包含了1, 2, 3。长度是3。
(3, 2, 1) 这个序列也包含了1, 2, 3。长度是3。
(1, 1, 2, 3) 包含了1, 2, 3。长度是4。
(1, 2, 1, 3) 包含了1, 2, 3。长度是4。
(1, 2, 3, 1, 2, 3) 包含了1, 2, 3。长度是6。
我们发现，为了包含1到n这n个数字，我们至少需要n个位置来放置它们，除非我们可以通过一些巧妙的排列让一个数字“覆盖”多个目标。但这里的“包含”是指的是序列中的实际数值，不是某种覆盖关系。
所以，一个包含1到n所有正整数的序列，至少需要n个元素。
为什么至少需要n个元素？
想象一下我们有一个长度为k的序列 (a1, a2, ..., ak)。如果我们要求它包含1到n所有数字，那么集合 {a1, a2, ..., ak} 必须至少包含n个不同的元素。而一个长度为k的序列最多只能包含k个不同的元素。因此，k必须大于或等于n。
现在的问题是，我们能不能找到一个长度恰好为n的序列，它包含1到n的所有数字，并且每个数字都不大于n？
答案是肯定的。最直接的例子就是 (1, 2, 3, ..., n) 这个序列。
它是一个n元正整数列。
序列中的每一个数字都大于0且小于或等于n。
它包含了1, 2, 3, ..., n 这n个数字。
它的长度是n。
由于我们已经证明了任何包含1到n所有数字的序列的长度至少是n，而 (1, 2, 3, ..., n) 这个序列的长度恰好是n，所以 长度最小的序列长度就是n。
那么，有多少个长度为n的n元正整数列，能够包含1到n的所有数字呢？
这样的序列就是 所有包含数字1到n的n个元素的排列。
让我们回到 n = 3 的例子：
长度是3。
必须包含 1, 2, 3。
每个元素不大于3。
这些序列就是 {1, 2, 3} 这三个数字的所有可能的排列：
1. (1, 2, 3)
2. (1, 3, 2)
3. (2, 1, 3)
4. (2, 3, 1)
5. (3, 1, 2)
6. (3, 2, 1)
这正好是3的阶乘，也就是 3! = 3 2 1 = 6 个。
推广到一般情况：
对于任意给定的正整数 n，我们要寻找包含所有不大于n的n元正整数列且长度最小的序列。
我们已经确定了最小长度是 n。
那么，有多少个长度为 n 的 n 元正整数列，其元素恰好是 {1, 2, ..., n} 的一个排列呢？
这个问题就转化成了：集合 {1, 2, ..., n} 的元素的排列有多少种？
答案是 n 的阶乘，记作 n!。
所以，包含所有各项不大于n的n元正整数列且长度最小的序列的个数，就是 n 的阶乘。
详细解释一下为什么是n的阶乘：
我们知道最小长度是n。这意味着我们的序列必须恰好有n个位置，并且这n个位置上的数字需要覆盖从1到n的所有数字。由于序列的长度也是n，所以不可能有重复的数字（如果有一个数字重复出现，那么必然有某个数字会缺失）。因此，这n个位置上的数字必须是1到n这n个数字的一个精确的组合，并且顺序是允许不同的。
例如，对于n=4，最小长度是4。我们需要的序列是包含 {1, 2, 3, 4} 的所有排列。
(1, 2, 3, 4)
(1, 2, 4, 3)
...
(4, 3, 2, 1)
总共有多少种排列呢？
第一个位置有 n 种选择（可以是1到n中的任何一个）。
第二个位置有 n1 种选择（因为已经有一个数字被选走了）。
第三个位置有 n2 种选择。
...
最后一个位置只有 1 种选择。
根据乘法原理，总的排列数就是 n (n1) (n2) ... 1，这就是 n 的阶乘，n!。
总结一下整个思考过程：
1. 理解问题定义： 首先明确了“n元正整数列”、“不大于n”、“包含所有各项”、“长度最小”以及“有多少个”这几个关键概念。
2. 寻找最小长度： 通过逻辑推理，我们认识到要包含n个不同的数字，序列的长度至少是n。
3. 构造最小长度序列： 证明了长度为n的序列是可能的，最简单的例子是 (1, 2, ..., n)。
4. 确定最小长度的值： 确定了最小长度就是n。
5. 计算符合条件的序列数量： 认识到长度为n且包含1到n所有数字的序列，实际上就是这n个数字的所有排列。
6. 应用组合数学知识： 利用排列的定义，计算出n个不同元素的排列数为n!。
所以，答案就是 n!。
网友意见
最少长度是 ，用类似于贪心法的思想即可构造（已有答主构造）。
猜测最佳序列的个数是 。这里证明最佳序列个数的上界是 ，并给出探索下界的方法。
有一个上界
以 为例。考虑长度为 的串 。以 为结尾的串有 个： 。对于这三个中的任一个，如果它在最佳序列中，那么它接下去的串一定要以 打头。而以 打头的串也有 个 。现在要把 分配到 后面，有 种分配方案。
（比如题目的例子 关于串 的分配方案是 ）
但是假如考虑长度为 的串 ，此时就要把 分配到 后面。注意到 不能接在 后面，因此会少 种情况，只有 种分配方案。
长度为 的串共有这些： ，其中前 个只有 种分配方案，后 个有 种分配方案，因此搭配起来共有 种分配方案。
在同一种分配方案中，可以指定任一串作为开头。选好开头以后，再配上分配方案，就唯一确定了整个序列了。由于一共有 个长度为 的串，因此有 个开头方式。这样一共就有 个可能的序列。当然这些序列并不都是满足题意的序列，因此只是一个上界估计。从题中可以看到这是真实数据的 倍。
一般而言，固定长度为 的串 （ ），以这 位为末尾的串一共有 个（记为 ）。
显见，如果最佳方案中 后接一个数，则下一个串必须以 打头。而以 打头的串也是只有 个（记为 ）。现在要将 分配到 后面。
假如 中 中不全相等（这样的串有 个），那么 是互不相同的 个数，因此将 分配到 后面有 种分配方案；否则若 （这样的串有 个），那么存在且仅存在一对 使得 ，此时将 分配到 后面有 种分配方案（因为 不能放到 后面）。因此，搭配起来总共的分配方案数是
每种分配方案可以选定 个开头，给定开头和分配方案后就唯一确定了整个序列，因此所有序列的个数的上界就是
下界的思路
我的想法是局部替换。比如题目中的例子 ，按刚才 的例子，其实就是这么分配的
， ， （虽然 在末尾，但是如果首尾相接的话你会看到 ）
现在我想生成其他分配方案。比如生成 。那么我局部替换一下，比如现在让 ，那么直接定位到 ，其后的部分直到 之前是 ，现在再让 ，那么定位到 ，其后的部分直到 之前是 。最后让 。因此这样粘合就得到了
按照这种局部替换方法，就可以生成其他分配方案。
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