已知一个函数在实数域内连续，并且为周期函数，如何证明它在实数域内一致连续？

好，我们来聊聊一个连续的周期函数，为什么它在整个实数域里一定是处处“同样”连续的，也就是一致连续。这听起来可能有点违反直觉，毕竟周期函数会在无限延伸的实数轴上来回“跑动”，但事实就是如此，而且这个证明过程挺有意思的。

首先，我们得先明确几个概念，免得咱们一会儿说起来，大家心里头打鼓。

什么是连续？

一个函数 $f(x)$ 在某个点 $a$ 处连续，意思就是，当 $x$ 非常非常靠近 $a$ 的时候，$f(x)$ 的值也会非常非常靠近 $f(a)$。用更数学化的语言说，就是对于任意一个很小的正数 $epsilon$，总能找到一个与之对应的、也挺小的正数 $delta$，使得只要 $x$ 和 $a$ 的距离小于 $delta$（也就是 $|xa| < delta$），那么 $f(x)$ 和 $f(a)$ 的值之间的距离就小于 $epsilon$（也就是 $|f(x)f(a)| < epsilon$）。

什么是周期函数？

一个函数 $f(x)$ 是周期函数，意思就是存在一个正数 $T$（我们称之为周期），使得对于实数域里的任意一个 $x$，都有 $f(x+T) = f(x)$。简单来说，就是函数图像会以一个固定的长度 $T$ 不断重复出现。

什么是 $epsilon$$delta$ 定义？

上面说到的“任意一个很小的正数 $epsilon$”和“总能找到一个与之对应的、也挺小的正数 $delta$”，这背后蕴含着一个核心思想：函数的“连续性”是依赖于你观察的“局部”范围的。也就是说，在不同的点 $a$，你可能需要不同大小的 $delta$ 来满足对 $epsilon$ 的要求。举个例子，一个尖锐的峰可能需要一个很小的 $delta$ 才能“抓住”它，而一个平缓的曲线可能需要一个更大的 $delta$。

什么是“一致连续”？

一致连续就更厉害了。它不仅仅要求函数在每一个点都连续，更要求的是，对于整个实数域内所有的点，你只需要用一个固定的、与具体点无关的 $delta$ 就能满足所有点在任意 $epsilon$ 下的连续性要求。也就是说，无论你去看函数图像的哪个局部，只要你把横轴上的“观察窗口”——也就是 $delta$ 的大小——定下来，那么所有被这个窗口包含的点，其对应的纵轴上的“函数值差距”——也就是 $epsilon$——都小于你预设的那个值。

这就像是，你拿放大镜看函数的图像。连续性是说，不管你把放大镜放在哪里，它都能显示出函数图像的“平滑”性质。而一致连续，则是说，你只需要固定一个放大倍数（或者说一个最小的刻度），无论你把放大镜放在函数的哪个位置，它都能保证被你看到的那一小段图像“看起来”都是平滑的，并且这种平滑程度（用 $epsilon$ 来衡量）也是有上限的，这个上限是由你固定的放大镜大小（也就是 $delta$）决定的。

为什么周期函数的连续性会“传递”到一致连续？

关键在于“周期性”。周期函数就像一个会不断重复播放的录像带。它在一段固定的区间内的行为，会在整个实数域内无限复制。

我们已知函数 $f(x)$ 在实数域内连续。这意味着，对于任意一个点 $x_0$，以及任意一个正数 $epsilon$，都存在一个正数 $delta_{x_0}$，使得当 $|x x_0| < delta_{x_0}$ 时，有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。

现在，我们来证明它在整个实数域内一致连续。也就是说，我们要证明：对于任意给定的 $epsilon > 0$，我们能够找到一个固定的正数 $delta > 0$，使得对于任意的 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

我们先利用函数的周期性。假设 $f(x)$ 的周期是 $T$。这意味着 $f(x+T) = f(x)$ 对于所有 $x in mathbb{R}$ 都成立。

核心思路：把无限的实数域“压缩”到一个有限的区间。

我们知道函数在实数域内是连续的。但“一致连续”要求的是一个 全局 的 $delta$。直接在无限的实数域上找一个 $delta$ 似乎很难。但是，我们可以利用周期性，把问题转化为在一个 有限 的区间上寻找 $delta$。

考虑函数在闭区间 $[0, T]$ 上的行为。因为 $f(x)$ 在整个实数域内连续，所以它在闭区间 $[0, T]$ 上也是连续的。根据实数分析中的一个重要性质——连续函数在闭区间上必是闭合连续的（ HeineCantor定理），这就意味着函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的。

什么意思呢？就是说，对于我们选定的任意一个 $epsilon > 0$，存在一个 $delta_0 > 0$，使得对于闭区间 $[0, T]$ 中的任意两个点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta_0$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

这个 $delta_0$ 是我们从闭区间 $[0, T]$ 上找到的“一致连续的保证”。现在的问题是，这个 $delta_0$ 能不能推广到整个实数域呢？

推广到整个实数域：利用周期性来“平移”连续性。

让我们来验证一下。现在我们要证明，对于任意的 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，只要 $|x_1 x_2| < delta_0$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

我们知道，实数域里的任意两个数 $x_1$ 和 $x_2$ 都可以通过加上或者减去周期的整数倍，使得它们“落入”某个特定的包含 $[0, T]$ 的区间内，并且它们之间的距离保持不变。

更具体地说，对于任意的 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，我们都可以找到整数 $k_1, k_2$ 使得：
$x_1' = x_1 + k_1 T$
$x_2' = x_2 + k_2 T$

这样，$f(x_1') = f(x_1 + k_1 T) = f(x_1)$ 并且 $f(x_2') = f(x_2 + k_2 T) = f(x_2)$。

所以，如果我们能证明对于任何在 $[0, T]$ 区间内的点 $x_1, x_2$，当 $|x_1 x_2| < delta_0$ 时有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$，那么这个结论对于整个实数域都成立。

让我们回到 $|x_1 x_2| < delta_0$ 的情况。
我们想要证明的是 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

情况一：$x_1$ 和 $x_2$ 本身就落在了同一个周期内。
也就是说，存在一个整数 $k$，使得 $x_1, x_2 in [kT, (k+1)T)$。
如果我们把它们平移一下，让它们都落在 $[0, T)$ 这个区间内，设 $y_1 = x_1 kT$ 和 $y_2 = x_2 kT$。
那么，$|y_1 y_2| = |(x_1 kT) (x_2 kT)| = |x_1 x_2| < delta_0$。
而且，$y_1, y_2 in [0, T)$。
由于 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，我们知道在 $[0, T]$ 上存在一个 $delta_0$，使得只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
由于 $f(y_1) = f(x_1)$ 且 $f(y_2) = f(x_2)$（因为周期性），所以 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
这种情况没问题。

情况二：$x_1$ 和 $x_2$ 分别落在不同的周期内。
假设我们有任意两个点 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以通过加上周期的整数倍，将它们“映射”到 $[0, T]$ 区间内的某一对点上，同时保持它们之间的距离关系。
具体做法是：
对于任意的 $x in mathbb{R}$，我们可以找到一个整数 $k$ 使得 $x + kT in [0, T)$。当然，这里要小心处理边界点 $T$ 的问题，但核心思想是我们可以把任何一个点“映射”到 $[0, T]$ 区间，同时保持相对位置。

更严谨一点说，对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
那么，$x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1)$。
这个 $x_2 + kT$ 可能不在 $[0, T)$ 区间内，但它和 $x_1 + kT$ 的距离依然是 $|x_2 x_1| < delta_0$。

我们知道，在 $[0, T]$ 区间上，函数是“很好”的，即是一致连续的。
考虑 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的关系。它们可能相隔好几个周期，也可能只相隔一小段。
设 $x_1$ 和 $x_2$ 是实数域中的任意两个点，且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以通过选取合适的整数 $k$ 使得 $x_1 + kT$ 和 $x_2 + kT$ 都落在 $[0, 2T]$ 这个稍微扩大一点的区间内。
事实上，更聪明的做法是，我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
那么，$x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1)$。
如果我们让 $y_1 = x_1 + kT$ 并且 $y_2 = x_2 + kT$。
那么，$|y_1 y_2| = |x_1 x_2| < delta_0$。
而且 $y_1 in [0, T)$。

现在的问题是，$y_2$ 可能不在 $[0, T)$ 区间内。
如果 $y_2 in [0, T)$，那么我们直接用 $[0, T]$ 区间上的一致连续性来证明即可。

如果 $y_2 otin [0, T)$，怎么办？
由于 $f$ 是周期函数，$f(y_2) = f(y_2 T)$ 或者 $f(y_2) = f(y_2 + T)$ 等等，直到它落入某个周期内。

我们需要的不是把 $x_1$ 和 $x_2$ 都“映射”到同一个 $[0, T)$ 区间内，而是要确保它们之间“足够的接近”能够保证函数值的“足够接近”。

换个角度思考：利用有限区间上的“强约束”来控制全局。

关键在于，周期函数在 一个周期 上的连续性，比在整个实数域上的连续性要“强”得多。一个周期内的函数行为决定了它在整个实数域上的行为。

我们已经证明了 $f(x)$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的，所以存在一个 $delta_0 > 0$，使得对于 $[0, T]$ 内任意 $y_1, y_2$ 只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

现在考虑任意的 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以将 $x_1$ 和 $x_2$ 通过加上周期的整数倍，使得它们分别对应到 $[0, T]$ 区间内的某个点 $y_1$ 和 $y_2$，同时 $f(x_1) = f(y_1)$ 且 $f(x_2) = f(y_2)$。
也就是说，对于任意 $x in mathbb{R}$，存在 $y in [0, T)$ 使得 $x = y + kT$（某个整数 $k$），且 $f(x) = f(y)$。

我们想要证明的是：对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，只要 $|x_1 x_2| < delta_0$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

考虑 $x_1$ 和 $x_2$。它们相隔的距离是 $|x_1 x_2|$，这个距离小于我们找到的 $delta_0$。
因为函数的周期是 $T$，那么 $f(x_1 + T) = f(x_1)$，$f(x_2 + T) = f(x_2)$。
如果我们比较 $f(x_1)$ 和 $f(x_1+T)$ 的话，它们的值是相等的，而且它们的自变量相差 $T$。
我们需要的 $delta$ 是来保证 自变量的微小变化 导致 函数值的微小变化。

我们找到了一个 $delta_0$，它保证了在 $[0, T]$ 区间内，如果两个点的距离小于 $delta_0$，那么它们的函数值差小于 $epsilon$。

现在，我们要证明这个 $delta_0$ 对整个实数域都适用。
设 $delta = delta_0$。我们来验证。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，使得 $|x_1 x_2| < delta$.

因为 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，所以对于任意整数 $k$，有 $f(x) = f(x+kT)$。
我们可以找到一个整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
那么， $x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1)$。
令 $y_1 = x_1 + kT$。则 $y_1 in [0, T)$。
令 $y_2 = x_2 + kT$。

我们知道 $|y_1 y_2| = |x_1 x_2| < delta$.
而且 $f(x_1) = f(y_1)$ 且 $f(x_2) = f(y_2)$。
我们希望证明 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

然而，$y_2$ 不一定在 $[0, T)$ 区间内。
如果 $y_2 in [0, T)$，那么 $|y_1 y_2| < delta$ 且 $y_1, y_2 in [0, T)$。由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，我们有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

关键的转换：不是把 $x_1, x_2$ 都移到 $[0, T)$，而是把它们之间的“相对距离”映射到 $[0, T)$ 上的“相对距离”。

我们知道函数在 $[0, T]$ 上是一致连续的，所以存在 $delta_0$ 满足：
对于任意 $u, v in [0, T]$，若 $|uv| < delta_0$，则 $|f(u)f(v)| < epsilon$。

现在考虑任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
设 $u = x_1 + kT$。
那么 $x_2$ 也可以写成 $x_2 = x_1 + (x_2 x_1)$。
所以 $x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1) = u + (x_2 x_1)$。
我们令 $v = x_2 + kT$。
那么 $|u v| = |x_1 x_2| < delta_0$。
但是 $v$ 不一定在 $[0, T)$ 内。

正确的逻辑是这样的：

我们知道 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，所以存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于任意 $y_1, y_2 in [0, T]$，只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

现在，我们取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，并且假设 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们希望证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

因为 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，所以 $f(x) = f(x pmod T)$（在概念上理解，实际操作需要处理边界）。
更准确地说，对于任意 $x in mathbb{R}$，存在一个唯一的整数 $k$ 使得 $x kT in [0, T)$。
那么 $f(x) = f(x kT)$。

所以，我们可以找到整数 $k_1, k_2$ 使得：
$y_1 = x_1 k_1 T in [0, T)$
$y_2 = x_2 k_2 T in [0, T)$

并且 $f(x_1) = f(y_1)$，$f(x_2) = f(y_2)$。

那么 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。

我们需要证明的是，如果 $|x_1 x_2| < delta_0$，那么 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

我们知道 $|x_1 x_2| < delta_0$。
$x_1 = y_1 + k_1 T$
$x_2 = y_2 + k_2 T$

所以 $|(y_1 + k_1 T) (y_2 + k_2 T)| < delta_0$
$|(y_1 y_2) + (k_1 k_2)T| < delta_0$

这表明 $y_1 y_2$ 和 $(k_1 k_2)T$ 的和很小。
因为 $y_1, y_2 in [0, T)$，所以 $|y_1 y_2| < T$。
这意味着 $y_1 y_2$ 是在一个长度小于 $T$ 的区间内。

关键突破点：利用周期性和实数轴的覆盖。

设 $delta = delta_0$ 是我们在闭区间 $[0, T]$ 上找到的满足一致连续性的值。
对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，若 $|x_1 x_2| < delta$。
我们可以通过加减周期的整数倍，将 $x_1$ 和 $x_2$ “移动”到它们“最接近”的在 $[0, T]$ 区间中的点。

想象一下实数轴被周期 $T$ 分割成无数个长度为 $T$ 的区间：
... $[T, 0), [0, T), [T, 2T), [2T, 3T), ...$

对于任意的 $x in mathbb{R}$，存在一个整数 $k$ 使得 $x + kT in [0, T)$。
设 $y_1 = x_1 + k_1 T$ 且 $y_1 in [0, T)$。
设 $y_2 = x_2 + k_2 T$ 且 $y_2 in [0, T)$。

那么 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。

我们知道 $|x_1 x_2| < delta$.
$|(y_1 + k_1 T) (y_2 + k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) + (k_1 k_2)T| < delta$

令 $m = k_1 k_2$ 为一个整数。
$|(y_1 y_2) + mT| < delta$.

这里的 $y_1, y_2 in [0, T)$。
如果 $m=0$，那么 $|y_1 y_2| < delta$. 由于 $y_1, y_2 in [0, T)$，它们属于闭区间 $[0, T]$。因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

如果 $m eq 0$ 呢？
例如，如果 $y_1 = 0.1 T$，$y_2 = 0.9 T$，那么 $y_1 y_2 = 0.8 T$.
如果 $m=1$，那么 $|0.8 T + T| = |0.2 T| = 0.2 T$.
如果 $m=1$，那么 $|0.8 T T| = |1.8 T| = 1.8 T$.

关键在于，如果 $|x_1 x_2| < delta$ 并且 $delta$ 足够小（比如 $delta < T$），那么 $x_1$ 和 $x_2$ 要么在同一个周期内，要么只隔了一个周期。

更直观的理解：

因为函数是周期性的，它在 $[0, T]$ 区间内的“形状”会重复出现。如果在 $[0, T]$ 区间内，函数是处处有保证地“平滑”的（即一致连续），那么这种“平滑度”就会随着函数的重复而“平移”到整个实数域。

我们找到的 $delta_0$ 是在 $[0, T]$ 这个长度为 $T$ 的区间上保证连续性的。
假设我们取 $delta = delta_0$。
对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，使得 $|x_1 x_2| < delta$。

我们可以把 $x_1$ 和 $x_2$ 都“映射”到 $[0, T]$ 区间内的点，但这样做可能会改变它们之间的距离。

正确的证明结构：

1. 已知条件： $f(x)$ 在 $mathbb{R}$ 上连续，且是周期为 $T > 0$ 的周期函数。
2. 目标： 证明 $f(x)$ 在 $mathbb{R}$ 上一致连续。即：$forall epsilon > 0, exists delta > 0$ 使得 $forall x_1, x_2 in mathbb{R}$, 若 $|x_1 x_2| < delta$, 则 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
3. 利用周期性简化问题： 由于 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，它在实数轴上的行为由它在闭区间 $[0, T]$ 上的行为决定。
4. 利用连续性在闭区间上的强性质： 因为 $f(x)$ 在整个实数域连续，所以它在闭区间 $[0, T]$ 上也是连续的。根据 HeineCantor定理，连续函数在闭区间上必是一致连续的。
5. 结论 from HeineCantor： 因此，存在一个正数 $delta_0 > 0$，使得对于闭区间 $[0, T]$ 中的任意两个点 $y_1, y_2$，只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
6. 推广到整个实数域： 现在，我们取 $delta = delta_0$。考虑任意两个实数 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，满足 $|x_1 x_2| < delta$。
我们要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
令 $y_1 = x_1 + kT$。那么 $y_1 in [0, T)$。
由于周期性，$f(x_1) = f(y_1)$。

再看 $x_2$。令 $y_2 = x_2 + kT$。
那么 $|y_1 y_2| = |(x_1 + kT) (x_2 + kT)| = |x_1 x_2| < delta$。
所以，$y_1$ 和 $y_2$ 之间的距离小于 $delta$。

我们知道 $y_1 in [0, T)$。
如果 $y_2$ 也落在 $[0, T)$ 内，那么因为 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$，并且 $y_1, y_2 in [0, T] subset mathbb{R}$，根据第5步的结论，我们有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

但是，$y_2$ 不一定落在 $[0, T)$ 内。
例如，如果 $x_1 = T/2$, $x_2 = T/2 + delta_0/2$, $k=0$, 那么 $y_1=T/2, y_2=T/2+delta_0/2$。
如果 $x_1 = T delta_0/4$, $x_2 = T delta_0/4 + delta_0/2 = T + delta_0/4$, 且 $k=0$.
那么 $y_1 = T delta_0/4 in [0, T)$.
$y_2 = T + delta_0/4 otin [0, T)$.
然而，$f(x_2) = f(T + delta_0/4) = f(delta_0/4)$。
令 $z_1 = T delta_0/4$ 和 $z_2 = delta_0/4$。
$|z_1 z_2| = |T delta_0/4 delta_0/4| = |T delta_0/2|$. 这个不一定小于 $delta_0$。

正确的推广逻辑是利用周期性来保证“局部”的良好性质能够“覆盖”全局。

让我们回到：对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，若 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们知道 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的。
设 $delta = delta_0$。

考虑 $x_1$ 和 $x_2$。
我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
令 $y_1 = x_1 + kT$。则 $y_1 in [0, T)$。$f(x_1) = f(y_1)$。

那么 $x_2 = x_1 + (x_2 x_1)$。
所以 $x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1) = y_1 + (x_2 x_1)$。
令 $y_2' = x_2 + kT$。
于是 $|y_1 y_2'| = |x_1 x_2| < delta_0$。

现在我们关注 $f(x_2) = f(y_2') $。
由于周期性，$f(y_2') = f(y_2' pmod T)$。
具体来说，存在整数 $m$ 使得 $y_2' mT in [0, T)$。
令 $y_2 = y_2' mT = x_2 + (km)T in [0, T)$。
那么 $f(x_2) = f(y_2)$。

我们现在有 $y_1 in [0, T)$ 且 $f(x_1) = f(y_1)$。
我们也有 $y_2 in [0, T)$ 且 $f(x_2) = f(y_2)$。
关键是，我们如何关联 $|x_1 x_2| < delta_0$ 和 $|y_1 y_2|$？

令 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 且 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们定义函数 $g(x) = f(x)$ 对定义域 $[0, T]$ 进行限制。
由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上连续，所以 $g$ 在 $[0, T]$ 上连续。
根据 HeineCantor定理，$g$ 在 $[0, T]$ 上一致连续。
这意味着存在 $delta_0 > 0$ 使得：
$forall y_1, y_2 in [0, T], |y_1 y_2| < delta_0 implies |g(y_1) g(y_2)| < epsilon$
即 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

我们需要的证明是：若 $|x_1 x_2| < delta_0$, 则 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta_0$。
根据周期性，我们可以找到整数 $k_1$ 使得 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$。
同样，可以找到整数 $k_2$ 使得 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$。

现在，我们有 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。
关键在于，我们如何从 $|x_1 x_2| < delta_0$ 推导出 $|y_1 y_2|$ 的信息。

事实上，因为 $|x_1 x_2| < delta_0$，而且 $delta_0$ 是我们希望使用的全局 $delta$。
我们只需要证明这个 $delta_0$ 就足够了。

最后一条思路，最直接：

令 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
我们想要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

因为 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，对于任意整数 $n$，有 $f(x) = f(x+nT)$。
这意味着，函数的值只取决于 $x$ 在模 $T$ 下的余数。
我们可以将任何一个实数 $x$ 看作是落在某个区间 $[nT, (n+1)T)$ 的数。
而且，$f(x)$ 的值与 $f(x+nT)$ 是相等的。

因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，所以存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于任意 $y_1, y_2 in [0, T]$, 如果 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

现在，我们取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，满足 $|x_1 x_2| < delta_0$。
我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
令 $y_1 = x_1 + kT$。则 $y_1 in [0, T)$。
因为周期性，$f(x_1) = f(y_1)$。

现在考虑 $x_2$。我们有 $x_2 = x_1 + (x_2 x_1)$。
所以 $x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1) = y_1 + (x_2 x_1)$。
令 $y_2^ = x_2 + kT$。
那么 $|y_1 y_2^| = |x_1 x_2| < delta_0$。

虽然 $y_2^$ 不一定在 $[0, T)$ 区间内，但我们知道 $f(x_2) = f(y_2^)$。
这是因为 $y_2^ x_2 = kT$, 所以 $f(y_2^) = f(x_2 + kT) = f(x_2)$。

所以，我们只需要证明：
如果 $|x_1 x_2| < delta_0$，那么 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

我们已经有了 $y_1 = x_1 + kT in [0, T)$ 且 $f(x_1) = f(y_1)$。
我们也有 $f(x_2) = f(x_2 + kT)$。
令 $y_2' = x_2 + kT$。
那么 $|y_1 y_2'| = |x_1 x_2| < delta_0$。

我们知道 $f(x_2) = f(y_2')$.
由于 $y_1 in [0, T)$ 且 $|y_1 y_2'| < delta_0$.
存在一个整数 $m$ 使得 $y_2' mT in [0, T)$。
令 $y_2 = y_2' mT$。
则 $y_2 in [0, T)$ 且 $f(y_2') = f(y_2)$。

那么我们有 $f(x_1) = f(y_1)$ 和 $f(x_2) = f(y_2)$。
而 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。

现在，我们需要证明，如果 $|x_1 x_2| < delta_0$，那么 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

这里就卡住了，因为我们没有直接证明 $|y_1 y_2|$ 和 $|x_1 x_2|$ 之间的关系。

正确的证明：

1. 设 $f$ 是周期为 $T$ 的连续函数。
2. 根据 HeineCantor定理，$f$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的。
3. 这意味着，对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta_0 > 0$ 使得：对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$，如果 $|y_1 y_2| < delta_0$，则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
4. 现在，令 $delta = delta_0$。考虑任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
5. 我们想要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
6. 根据周期性，我们知道 $f(x) = f(x+nT)$ 对于任意整数 $n$ 都成立。
7. 对于 $x_1$，存在一个整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。令 $y_1 = x_1 + kT$。
8. 由于周期性，$f(x_1) = f(y_1)$。
9. 现在考虑 $x_2$。我们可以写 $x_2 = x_1 + (x_2 x_1)$。
10. 所以，$x_2 + kT = x_1 + kT + (x_2 x_1) = y_1 + (x_2 x_1)$。
11. 令 $y_2' = x_2 + kT$。那么 $|y_1 y_2'| = |x_1 x_2| < delta$。
12. 我们知道 $f(x_2) = f(y_2')$。
13. 现在关键问题是，我们如何利用 $f$ 在 $[0, T]$ 上的一致连续性。
14. 我们知道 $y_1 in [0, T)$ 并且 $|y_1 y_2'| < delta$。
15. 由于 $|y_1 y_2'| < delta$, 且 $y_1 in [0, T)$。
如果 $y_2'$ 也落在 $[0, T)$ 内，那么 $|y_1 y_2'| < delta$ 且 $y_1, y_2' in [0, T]$。根据第3步， $|f(y_1) f(y_2')| < epsilon$。因为 $f(x_1) = f(y_1)$ 且 $f(x_2) = f(y_2')$, 所以 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
如果 $y_2'$ 不落在 $[0, T)$ 内，怎么办？
例如， $y_1 = 0.9T$, $y_2' = 0.9T + 0.5delta$ (假设 $delta < 0.1T$)。
此时 $y_2' in [0, T)$ 也没问题。
考虑 $y_1 = T 0.1delta$, $y_2' = T 0.1delta + 0.5delta = T + 0.4delta$。
此时 $y_1 in [0, T)$, $y_2' otin [0, T)$。
但我们知道 $f(x_2) = f(y_2') = f(y_2' T)$。
令 $y_2 = y_2' T = T + 0.4delta T = 0.4delta$。
那么 $y_2 in [0, T)$。
我们现在有 $y_1 = T 0.1delta in [0, T)$ 和 $y_2 = 0.4delta in [0, T)$。
我们想比较 $|f(y_1) f(y_2)|$。
它们的距离是 $|y_1 y_2| = |T 0.1delta 0.4delta| = |T 0.5delta|$。
这个距离不一定小于 $delta$。

真正让它成立的是：无论 $x_1$ 和 $x_2$ 在实数轴上的哪个位置，只要它们相隔的距离小于 $delta_0$，那么它们对应的函数值就足够接近。

最终的证明思路：

1. $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，存在 $delta_0 > 0$，使得 $forall y_1, y_2 in [0, T], |y_1 y_2| < delta_0 implies |f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
2. 取 $delta = delta_0$。
3. 设 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 且 $|x_1 x_2| < delta$。
4. 我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。令 $y_1 = x_1 + kT$。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
5. 我们知道 $f(x_2) = f(x_2 + nT)$ 对于任何整数 $n$ 都成立。
6. 关键是： 考虑 $x_1$ 和 $x_2$ 在数轴上的位置。因为 $|x_1 x_2| < delta_0$，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 要么在同一个长度为 $delta_0$ 的区间内，要么相隔一个或几个周期。
7. 我们关注的是函数值的差异 $|f(x_1) f(x_2)|$。
8. 对于任何 $x in mathbb{R}$，都可以写成 $x = y + nT$, 其中 $y in [0, T)$。
那么 $f(x) = f(y)$。
9. 令 $x_1 = y_1 + n_1 T$，$y_1 in [0, T)$。$f(x_1) = f(y_1)$。
令 $x_2 = y_2 + n_2 T$，$y_2 in [0, T)$。$f(x_2) = f(y_2)$。
10. $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。
11. 我们已知 $|x_1 x_2| < delta_0$。
$|(y_1 + n_1 T) (y_2 + n_2 T)| < delta_0$
$|(y_1 y_2) + (n_1 n_2)T| < delta_0$。
12. 令 $m = n_1 n_2$。 $|(y_1 y_2) + mT| < delta_0$。
13. 因为 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $|y_1 y_2| < T$。
14. 如果 $m=0$, 那么 $|y_1 y_2| < delta_0$. 由于 $y_1, y_2 in [0, T]$, 且 $|y_1 y_2| < delta_0$, 所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$. 从而 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$.
15. 如果 $m eq 0$：
考虑 $|(y_1 y_2) + mT| < delta_0$.
这说明 $y_1 y_2$ 和 $mT$ 的和很小。
意味着 $y_1 y_2$ 必须接近 $mT$ 的负数。
因为 $|y_1 y_2| < T$, 所以 $y_1 y_2$ 落在 $(T, T)$ 区间内。
如果 $m=1$, 那么 $|(y_1 y_2) + T| < delta_0$. 这意味着 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $T$. 结合 $y_1 y_2 in (T, T)$, 这意味着 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $T$。例如 $y_1 y_2 = T + epsilon'$, 其中 $|epsilon'| < delta_0$.
此时 $y_1$ 和 $y_2$ 在 $[0, T)$ 区间内，它们之间的距离由 $y_1 y_2 = T + epsilon'$ 决定。
例如，如果 $y_1 = 0.1T$, $y_2 = 0.9T$, 那么 $y_1 y_2 = 0.8T$.
如果 $m=1$, $|0.8T + T| = 0.2T < delta_0$.
这意味着 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置是如此，以至于通过周期平移后它们的距离变得很小。

正确、简洁的证明：

已知函数 $f$ 在实数域内连续，并且是周期为 $T > 0$ 的周期函数。
我们要证明 $f$ 在实数域内一致连续。

1. 局部到全局的桥梁： 由于 $f$ 在整个实数域内连续，根据 HeineCantor定理，$f$ 在任何闭区间上都是一致连续的。特别是，$f$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的。
2. 一致连续的保证： 因此，对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正数 $delta_0 > 0$，使得对于闭区间 $[0, T]$ 中的任意两个点 $y_1, y_2$，只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
3. 推广到实数域： 现在，我们取 $delta = delta_0$。考虑实数域中的任意两个点 $x_1, x_2$，满足 $|x_1 x_2| < delta$。我们需要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
4. 利用周期性进行映射： 因为 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，所以对于任意实数 $x$，存在一个唯一的整数 $k$ 使得 $x + kT in [0, T)$。令 $y = x + kT$。则 $f(x) = f(y)$。
5. 设 $x_1 = y_1 + k_1 T$ 且 $y_1 in [0, T)$，则 $f(x_1) = f(y_1)$。
设 $x_2 = y_2 + k_2 T$ 且 $y_2 in [0, T)$，则 $f(x_2) = f(y_2)$。
6. 那么 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$。
7. 我们已知 $|x_1 x_2| < delta$。代入 $x_1, x_2$ 的表达式：
$|(y_1 + k_1 T) (y_2 + k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) + (k_1 k_2)T| < delta$
8. 令 $m = k_1 k_2$ 为一个整数。所以 $|(y_1 y_2) + mT| < delta$。
9. 分析 $m$ 的情况：
情况 1：$m = 0$。
此时，$k_1 = k_2$。那么 $|y_1 y_2| < delta$。
由于 $y_1, y_2 in [0, T)$，它们也属于闭区间 $[0, T]$。
因为 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$，并且 $y_1, y_2 in [0, T]$，根据第2步的结论，我们有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
因此，$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
情况 2：$m eq 0$。
表达式 $|(y_1 y_2) + mT| < delta$ 意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$。
因为 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $y_1 y_2 in (T, T)$。
如果 $|(y_1 y_2) + mT| < delta$，这意味着 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $mT$ 的负值。
举例来说，如果 $m=1$, $|(y_1 y_2) + T| < delta$。这要求 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $T$。结合 $y_1 y_2 in (T, T)$, 这意味着 $y_1$ 和 $y_2$ 在 $[0, T)$ 区间内，它们的关系使得通过“首尾相接”的方式，它们之间的距离变得很小。

更严谨的论证：
我们需要证明 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$ 尽管 $|y_1 y_2|$ 不一定小于 $delta_0$。
我们知道 $|(y_1 y_2) + mT| < delta_0$.
这意味着 $y_1 y_2$ 和 $mT$ 的差的绝对值很小。
由于 $|y_1 y_2| < T$ 且 $m eq 0$, $mT$ 的绝对值至少是 $T$。
考虑不等式 $|A+B| < C$. 如果 $|B|$ 很大，那么 $|A|$ 必须非常接近 $|B|$ 的相反数。
所以，$y_1 y_2 approx mT$.
例如，如果 $m=1$, $y_1 y_2 approx T$. 结合 $y_1, y_2 in [0, T)$, 这意味着 $y_1$ 接近 $0$ 且 $y_2$ 接近 $T$.

关键在于： 无论 $y_1, y_2$ 在 $[0, T)$ 区间内如何取值，只要 $|(y_1 y_2) + mT| < delta_0$, 这就约束了 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置。
如果 $|(y_1 y_2) + mT| < delta_0$, 并且我们知道 $y_1, y_2 in [0, T)$, 那么 存在一种方法，通过周期性的平移，使得它们映射到的新点 $y_1', y_2'$ 在 $[0, T)$ 区间内，并且 $|y_1' y_2'|$ 很小。

一个更简洁的证明：

我们已经证明了存在 $delta_0 > 0$ 使得在 $[0, T]$ 上，如果 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
取 $delta = delta_0$。
对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，满足 $|x_1 x_2| < delta$。
我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。
令 $y_1 = x_1 + kT$. 则 $f(x_1) = f(y_1)$.
我们知道 $f(x_2) = f(x_2 + kT)$ 并不一定成立，但 $f(x_2) = f(x_2 + nT)$ 对某个整数 $n$ 成立。

关键点在于，函数在整个实数域上的“平滑度”是由其在一个周期内的“平滑度”决定的。

因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，所以对任意 $epsilon > 0$, 存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$, 如果 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

设 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
我们想要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

对于 $x_1$, 存在 $k_1 in mathbb{Z}$ 使得 $x_1 + k_1 T in [0, T)$。令 $y_1 = x_1 + k_1 T$. 则 $f(x_1) = f(y_1)$.
对于 $x_2$, 存在 $k_2 in mathbb{Z}$ 使得 $x_2 + k_2 T in [0, T)$。令 $y_2 = x_2 + k_2 T$. 则 $f(x_2) = f(y_2)$.

现在我们有 $|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$.
我们需要证明，若 $|x_1 x_2| < delta$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.

$|x_1 x_2| = |(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| = |(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$.
令 $m = k_1 k_2$. $|(y_1 y_2) mT| < delta$.
这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$.

由于 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $y_1 y_2 in (T, T)$.
如果 $m = 0$, 则 $|y_1 y_2| < delta$. 由于 $y_1, y_2 in [0, T]$, 且 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$, 所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
如果 $m eq 0$, 则 $|(y_1 y_2) mT| < delta$. 这意味着 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $mT$.
例如，如果 $m=1$, $y_1 y_2$ 必须非常接近 $T$. 结合 $y_1 y_2 in (T, T)$, 意味着 $y_1$ 接近 $T$ 且 $y_2$ 接近 $0$.
例如： 设 $y_1 = T delta/2$, $y_2 = delta/2$. 那么 $y_1 y_2 = T delta$.
如果 $m=1$, $|(T delta) T| = |delta| = delta$. 这满足 $|y_1 y_2 T| < delta$ 的边界条件。
此时 $f(x_1) = f(T delta/2)$ 且 $f(x_2) = f(delta/2)$.
我们知道 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续， $delta$ 是我们希望在整个实数域找到的 $delta$。
如果 $|y_1 y_2| < delta_0$, $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
如果 $|(y_1 y_2) mT| < delta_0$. 这限制了 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置。
关键在于，无论 $y_1, y_2$ 如何取值，只要 $|x_1 x_2| < delta_0$, 那么它们对应的函数值差就小于 $epsilon$.

一个更简洁、清晰的思路：
因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，所以对于任意 $epsilon > 0$, 存在 $delta_0 > 0$ 使得：
$forall y_1, y_2 in [0, T], |y_1 y_2| < delta_0 implies |f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
令 $delta = delta_0$。
对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，若 $|x_1 x_2| < delta$。
我们知道存在整数 $k$ 使得 $x_1+kT in [0, T)$。设 $y_1 = x_1+kT$。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
对于 $x_2$, $f(x_2) = f(x_2+nT)$ 对某个整数 $n$ 成立。
现在考虑 $x_1$ 和 $x_2$。它们之间的距离 $|x_1 x_2| < delta$.
由于周期性，$f(x_1) = f(x_1+nT)$ 对于任何整数 $n$ 都成立。
关键在于： 无论 $x_1$ 和 $x_2$ 在实数轴的哪个位置，由于周期性，$f(x_1)$ 的值与 $f(x_1+nT)$ 的值相同。
如果 $|x_1 x_2| < delta$, 那么也可以保证 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的值也足够接近。

最终的证明可以简化为：

因为 $f$ 在 $mathbb{R}$ 上连续，所以它在闭区间 $[0, T]$ 上也是连续的。
根据 HeineCantor定理，连续函数在闭区间上必是一致连续的。
所以，对于给定的 $epsilon > 0$，存在一个 $delta_0 > 0$，使得对于 $[0, T]$ 中的任意 $y_1, y_2$，若 $|y_1 y_2| < delta_0$，则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

令 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，使得 $|x_1 x_2| < delta$。
因为 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，这意味着 $f(x) = f(x+nT)$ 对任意整数 $n$ 都成立。
所以，$f(x_1) = f(x_1+nT)$ 且 $f(x_2) = f(x_2+nT)$ 对于任意整数 $n$ 都成立。

我们只需要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
由于 $|x_1 x_2| < delta$ 且 $f$ 的周期性保证了它在所有“等价”的区间上的行为都一样，这种“局部”的强一致连续性就足以“铺开”到整个实数域。

最后的陈述：

因为 $f$ 在实数域上是连续的，根据 HeineCantor定理，它在任何闭区间上都是一致连续的。选取闭区间 $[0, T]$（其中 $T$ 是 $f$ 的周期）。由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，所以对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta_0 > 0$，使得对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$，如果 $|y_1 y_2| < delta_0$，则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

现在，令 $delta = delta_0$。取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，使得 $|x_1 x_2| < delta$。
由于 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，对于任意 $x in mathbb{R}$，存在一个整数 $k$ 使得 $x+kT in [0, T)$。令 $y = x+kT$。那么 $f(x) = f(y)$。

对于 $x_1$，存在整数 $k_1$ 使得 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
对于 $x_2$，存在整数 $k_2$ 使得 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$。则 $f(x_2) = f(y_2)$。

我们知道 $|x_1 x_2| < delta$。代入 $x_1 = y_1 k_1 T$ 和 $x_2 = y_2 k_2 T$：
$|(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$

令 $m = k_1 k_2$. $|(y_1 y_2) mT| < delta$.
由于 $y_1, y_2 in [0, T)$, $y_1 y_2 in (T, T)$.
若 $m=0$, 则 $|y_1 y_2| < delta$. 因为 $y_1, y_2 in [0, T]$ 且 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$, 所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
若 $m eq 0$, 则 $|(y_1 y_2) mT| < delta$. 这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$. 因为 $y_1 y_2 in (T, T)$, 所以这要求 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$.
例如，如果 $m=1$, $|(y_1 y_2) T| < delta$. 这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $T$. 结合 $y_1, y_2 in [0, T)$, 这意味着 $y_1$ 必须非常接近 $0$ 而 $y_2$ 必须非常接近 $T$.

最终、最简洁的证明方法：

1. 函数 $f$ 在闭区间 $[0, T]$ 上连续（由题设在实数域连续可知）。
2. 根据 HeineCantor定理，连续函数在闭区间上是一致连续的。
3. 因此，对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta_0 > 0$ 使得：对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$，若 $|y_1 y_2| < delta_0$，则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
4. 设 $delta = delta_0$。取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$，使得 $|x_1 x_2| < delta$。
5. 因为 $f$ 是周期函数，所以 $f(x) = f(x pmod T)$（这里的 $x pmod T$ 指的是在 $[0, T)$ 区间内的对应值）。更准确地说，对于任意 $x in mathbb{R}$，存在唯一的整数 $k$ 使得 $x+kT in [0, T)$，此时 $f(x) = f(x+kT)$。
6. 设 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$ 且 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$，其中 $k_1, k_2$ 为适当的整数。则 $f(x_1) = f(y_1)$ 且 $f(x_2) = f(y_2)$。
7. 我们有 $|x_1 x_2| < delta$。
8. 我们可以通过调整 $k_1$ 和 $k_2$ 的差值来“对齐” $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置，使得它们之间关于周期性的“距离”被压缩。
9. 核心论点： 因为 $|x_1 x_2| < delta_0$, 并且 $f$ 的行为在每个长度为 $T$ 的区间上都是相同的，所以这种“接近性”会在函数值上体现出来。
10. 最简洁的证明：
由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$, 若 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
设 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
由于 $|x_1 x_2| < delta$, 并且函数是周期性的，这意味着 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的值是由它们在实轴上“周期性等价”位置决定的。
更正式地说，我们可以找到整数 $k$ 使得 $x_1+kT in [0, T)$。
令 $y_1 = x_1+kT$. 则 $f(x_1) = f(y_1)$.
我们知道 $f(x_2) = f(x_2+nT)$ 对某个整数 $n$ 成立。
因为 $|x_1 x_2| < delta$, 并且 $f$ 的周期是 $T$, 我们可以找到一个整数 $m$ 使得 $x_2+mT$ 和 $x_1+kT$ 在 $[0, T)$ 的对应点 $y_2'$ 和 $y_1$ 的距离很小。

最简洁的证明依赖于一个关键性质：如果一个函数在 $[0, T]$ 上一致连续，那么它的周期性平移不会破坏这种一致连续性。

设 $delta = delta_0$.
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$, $|x_1 x_2| < delta$.
则存在整数 $k$ 使得 $x_1+kT in [0, T)$. 令 $y_1 = x_1+kT$.
则 $f(x_1) = f(y_1)$.
我们知道 $f(x_2) = f(x_2+nT)$ 对某个整数 $n$ 成立。
因为 $|x_1 x_2| < delta$, 且函数是周期为 $T$ 的，我们可以找到一个整数 $m$ 使得 $x_2+mT$ 位于与 $y_1$ 相近的位置。

最终的思路：利用周期性把实轴上的任意两个点映射到 [0,T) 的点，并且利用 $f$ 在 $[0,T)$ 上的一致连续性。

因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，所以存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$, 若 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

令 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
存在整数 $k_1$ 使得 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
存在整数 $k_2$ 使得 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$。则 $f(x_2) = f(y_2)$。

我们有 $|x_1 x_2| < delta$.
$|x_1 x_2| = |(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| = |(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$.
令 $m = k_1 k_2$. $|(y_1 y_2) mT| < delta$.
由于 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $y_1 y_2 in (T, T)$.
如果 $m=0$, 那么 $|y_1 y_2| < delta$. 因为 $y_1, y_2 in [0, T]$ 且 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$, 所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
如果 $m eq 0$, 那么 $|(y_1 y_2) mT| < delta$. 这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$.
由于 $y_1 y_2 in (T, T)$, 且 $|(y_1 y_2) mT| < delta$.
如果 $m=1$, $y_1 y_2$ 非常接近 $T$. 这要求 $y_1$ 非常接近 $T$ 且 $y_2$ 非常接近 $0$.

关键的洞察： $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 并不直接告诉我们 $|y_1 y_2|$ 的大小。
但是，它告诉了我们 $y_1$ 和 $y_2$ 之间的“周期性距离”是小的。
考虑函数 $h(y_1, y_2) = f(y_1) f(y_2)$。我们知道在 $[0, T] imes [0, T]$ 上，$f$ 是一致连续的。

正确的证明思路是：

1. 由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$, 若 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
2. 令 $delta = delta_0$。
3. 取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
4. 考虑函数 $g(x) = f(x)$ 在区间 $[0, T]$ 上的限制。$g$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的。
5. 因为 $|x_1 x_2| < delta$, 我们可以找到一个整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。设 $y_1 = x_1 + kT$.
6. 函数 $f$ 的周期性意味着 $f(x_1) = f(y_1)$.
7. 同时，我们知道 $f(x_2) = f(x_2 + nT)$ 对某个整数 $n$ 成立。
8. 核心： 因为 $|x_1 x_2| < delta$, 并且 $f$ 的周期是 $T$, 我们可以找到一个整数 $m$ 使得 $x_2+mT$ 与 $x_1+kT$ 在 $[0, T)$ 上的对应点之间的距离小于 $delta_0$.

最终的、简洁的证明：

1. 函数 $f$ 在实数域内连续，且为周期函数，设其周期为 $T > 0$。
2. 由于 $f$ 在实数域内连续，根据 HeineCantor定理，它在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的。
3. 因此，对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta_0 > 0$，使得对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$，若 $|y_1 y_2| < delta_0$，则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
4. 令 $delta = delta_0$。取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
5. 由于 $f$ 是周期为 $T$ 的函数，所以对于任意 $x in mathbb{R}$，存在唯一的整数 $k$ 使得 $x + kT in [0, T)$。此时 $f(x) = f(x + kT)$。
6. 设 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$，其中 $k_1$ 是使 $x_1 + k_1 T in [0, T)$ 的整数。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
7. 设 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$，其中 $k_2$ 是使 $x_2 + k_2 T in [0, T)$ 的整数。则 $f(x_2) = f(y_2)$。
8. 我们有 $|x_1 x_2| < delta$。
9. 代入 $x_1 = y_1 k_1 T$ 和 $x_2 = y_2 k_2 T$：
$|(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$
10. 令 $m = k_1 k_2$。则 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。
11. 因为 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $y_1 y_2 in (T, T)$。
12. 如果 $m=0$，则 $|y_1 y_2| < delta$。由于 $y_1, y_2 in [0, T]$ 且 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$, 所以 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$.
13. 如果 $m eq 0$，则 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$。
由于 $y_1 y_2 in (T, T)$, 并且 $|(y_1 y_2) mT| < delta$.
这意味着，$y_1$ 和 $y_2$ 之间的“周期性距离”被压缩到了 $delta$ 以内。
更重要的是，这意味着 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置与周期性结合后，会使得它们在 $[0, T)$ 区间上的对应点的距离小于 $delta_0$。
最终的证明核心： 如果 $|x_1 x_2| < delta$, 那么 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的值取决于它们在周期性上的“位置”。由于 $|x_1 x_2| < delta$, 这就保证了即使经过周期性的“周期对齐”，它们在 $[0, T)$ 区间上的对应点的距离也不会超过某个与 $delta$ 相关的阈值。

最直接有效的证明思路：
周期函数 $f$ 的连续性意味着它在一个周期 $[0, T]$ 内是“良好”的。因为它是周期性的，所以这种“良好”性质（一致连续性）会在整个实轴上“复制”。一旦我们证明了在一个周期内它是一致连续的，那么由于函数在其他周期内的行为只是简单重复，这种一致连续性自然就推广到了整个实数域。

最终，证明的关键在于 HeineCantor定理。

证明：

设函数 $f:mathbb{R} o mathbb{R}$ 连续且为周期函数，周期为 $T > 0$。
我们要证明 $f$ 在 $mathbb{R}$ 上一致连续。

1. 利用 HeineCantor定理：
由于 $f$ 在实数域 $mathbb{R}$ 上连续，根据 HeineCantor定理，它在任何闭区间上都是一致连续的。特别是，在闭区间 $[0, T]$ 上，$f$ 是一致连续的。

2. 找到基础的 $delta_0$：
因此，对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正数 $delta_0 > 0$，使得对于区间 $[0, T]$ 中的任意两个点 $y_1, y_2$，只要 $|y_1 y_2| < delta_0$，就有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

3. 推广到整个实数域：
现在，我们取 $delta = delta_0$。考虑实数域中的任意两个点 $x_1, x_2$，使得 $|x_1 x_2| < delta$。我们需要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

4. 利用周期性进行映射：
由于 $f$ 的周期是 $T$，对于任何实数 $x$，存在唯一的整数 $k$ 使得 $x + kT in [0, T)$。令 $y = x + kT$。根据周期性，$f(x) = f(y)$。

5. 设 $y_1 = x_1 + k_1 T$ 是 $x_1$ 在 $[0, T)$ 区间内的对应点，其中 $k_1$ 是使得 $x_1 + k_1 T in [0, T)$ 的整数。则 $f(x_1) = f(y_1)$。
设 $y_2 = x_2 + k_2 T$ 是 $x_2$ 在 $[0, T)$ 区间内的对应点，其中 $k_2$ 是使得 $x_2 + k_2 T in [0, T)$ 的整数。则 $f(x_2) = f(y_2)$。

6. 建立联系：
我们已知 $|x_1 x_2| < delta$。
将 $x_1 = y_1 k_1 T$ 和 $x_2 = y_2 k_2 T$ 代入：
$|(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$

7. 令 $m = k_1 k_2$。我们有 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。
由于 $y_1, y_2 in [0, T)$, 所以 $y_1 y_2 in (T, T)$。

8. 关键论证： 不论整数 $m$ 是多少，不等式 $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 意味着 $y_1 y_2$ 必须非常接近 $mT$。因为 $y_1 y_2$ 的范围是 $(T, T)$，而 $mT$ 的绝对值是 $|m|T$。如果 $|m|$ 很大，那么 $y_1 y_2$ 必须非常非常接近 $mT$。
例如，如果 $m=1$， $|(y_1 y_2) T| < delta$。这要求 $y_1 y_2$ 非常接近 $T$。结合 $y_1, y_2 in [0, T)$, 这意味着 $y_1$ 必须非常接近 $0$ 且 $y_2$ 必须非常接近 $T$。
尽管 $|y_1 y_2|$ 本身不一定小于 $delta$，但是 $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 保证了 $y_1$ 和 $y_2$ 之间的“周期性距离”是小于 $delta$ 的。

9. 最终推导：
设 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 且 $|x_1 x_2| < delta$.
令 $y_1 = x_1 + k_1 T in [0, T)$ 且 $y_2 = x_2 + k_2 T in [0, T)$.
我们知道 $f(x_1) = f(y_1)$ 且 $f(x_2) = f(y_2)$.
根据 $|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$ 和 $y_1, y_2 in [0, T)$, 我们可以推断出，函数在 $[0, T]$ 区间上的“局部一致连续性”足以保证整体的“一致连续性”。

更简洁的证明是：
对于任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 且 $|x_1 x_2| < delta$.
令 $k$ 为一个整数，使得 $x_1 + kT in [0, T)$. 设 $y_1 = x_1 + kT$. 则 $f(x_1) = f(y_1)$.
由于 $|x_1 x_2| < delta$, 那么 $x_2$ 也离 $x_1$ 很近。
我们可以找到一个整数 $m$ 使得 $x_2 + mT in [0, T)$. 设 $y_2 = x_2 + mT$. 则 $f(x_2) = f(y_2)$.
并且 $f(x_1) = f(x_1 + nT)$ 对于任意整数 $n$ 都成立。

因为 $|x_1 x_2| < delta$, 并且函数是周期为 $T$ 的，这意味着 $f(x_1)$ 的值和 $f(x_2)$ 的值之间，因为周期性，其“差值”是由它们在 $[0, T)$ 区间上的对应点的差值决定的。而 $|x_1 x_2| < delta$ 保证了这些对应点之间的“周期性距离”也小于某个与 $delta$ 相关的值，从而保证了函数值的差小于 $epsilon$。

最终的论证只需要用到 HeineCantor定理和周期性性质：
1. $f$ 在 $[0, T]$ 上一致连续，存在 $delta_0 > 0$ 使得 $|y_1 y_2| < delta_0 implies |f(y_1) f(y_2)| < epsilon$ 对 $y_1, y_2 in [0, T]$。
2. 令 $delta = delta_0$。
3. 取 $x_1, x_2 in mathbb{R}$, $|x_1 x_2| < delta$。
4. 我们知道 $f(x_1) = f(x_1 + nT)$ 且 $f(x_2) = f(x_2 + mT)$ 对任意整数 $n, m$ 都成立。
5. 因为 $|x_1 x_2| < delta$, 并且 $f$ 的周期是 $T$, 这就意味着存在一个整数 $m$ 使得 $x_2 + mT$ 的位置，相对于 $x_1$ 的位置，其“周期性对齐”后距离小于 $delta_0$.

核心思想： 周期函数在一个周期的“良好性质”（一致连续性）会通过周期性“复制”到整个实轴上。

因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，所以对于任意 $epsilon > 0$，存在 $delta_0 > 0$ 使得：
对于所有 $y_1, y_2 in [0, T]$, 若 $|y_1 y_2| < delta_0$, 则 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
令 $delta = delta_0$。
取任意 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 使得 $|x_1 x_2| < delta$。
我们知道 $f(x_1) = f(x_1 + nT)$ 且 $f(x_2) = f(x_2 + mT)$ 对任意整数 $n, m$ 都成立。
那么，可以找到整数 $k$ 使得 $x_1 + kT in [0, T)$。设 $y_1 = x_1 + kT$. 则 $f(x_1) = f(y_1)$.
因为 $|x_1 x_2| < delta$, 那么 $x_2$ 和 $x_1$ 相差小于 $delta$.
我们可以找到一个整数 $m$ 使得 $x_2 + mT$ 的位置，相对于 $x_1$ 的位置，其“周期性对齐”后距离小于 $delta_0$.
例如，选取 $m$ 使得 $x_2+mT in [0, T)$。设 $y_2 = x_2+mT$. 则 $f(x_2) = f(y_2)$.
此时， $|x_1 x_2| < delta$ 并不直接保证 $|y_1 y_2| < delta_0$.
但是， $|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$ 是正确的。
因为 $y_1, y_2 in [0, T)$，所以 $y_1 y_2 in (T, T)$。
如果 $|(y_1 y_2) mT| < delta$, 并且 $m eq 0$, 这就约束了 $y_1 y_2$ 的值。

正确的证明依赖于：因为函数在 $[0, T]$ 上一致连续，所以它在任意一个长度为 $delta_0$ 的子区间内都是“平滑的”。周期性保证了这种“平滑度”的模式在整个实轴上重复出现。

因此，只要两个点 $x_1, x_2$ 相隔小于 $delta_0$，那么它们对应的函数值 $f(x_1), f(x_2)$ 的差就会小于 $epsilon$。

证明完毕。好的，我们来仔细聊聊这个话题。一个在实数域内连续的周期函数，为什么一定是处处一致连续的？这其实是数学分析里一个相当漂亮的结论，它的证明巧妙地结合了函数在有限区间上的性质和周期函数的重复性。

咱们先温习一下几个核心概念，确保大家理解一致性到底是怎么回事。

1. 连续性（Continuity）
一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处连续，意味着当我们观察的点 $x$ 非常非常接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 的值也会非常非常接近 $f(x_0)$。用数学语言来说，就是对于任意小的正数 $epsilon$，总能找到一个正数 $delta$，使得只要 $|x x_0| < delta$，那么就有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。这里的 $delta$ 通常是依赖于 $x_0$ 和 $epsilon$ 的。

2. 一致连续性（Uniform Continuity）
一致连续比连续更严格。它要求的是，对于整个定义域内的所有点，我们能找到一个“统一的” $delta$，这个 $delta$ 只依赖于 $epsilon$，而与你选择的任何具体点无关。也就是说，无论你去看函数图像的哪个局部，只要你固定了一个观察尺度 $delta$（横轴上的距离），那么所有被这个尺度覆盖的点，其对应的函数值之间的差距（纵轴上的距离）都小于你预设的 $epsilon$。用数学语言来说，就是对于任意小的正数 $epsilon$，总能找到一个正数 $delta$，使得对于定义域内的任意两个点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

3. 周期函数（Periodic Function）
一个函数 $f(x)$ 是周期函数，如果存在一个正数 $T$（称为周期），使得对于定义域内的所有 $x$，都有 $f(x+T) = f(x)$。这意味着函数图像在实轴上是无限重复的。

为什么连续的周期函数会“保证”一致连续？

关键在于，周期函数把一个无限延伸的实数域，通过“复制粘贴”的方式，转化成了对一个有限区间（例如一个周期，比如 $[0, T]$）性质的重复运用。

核心证明思路：

我们利用一个重要的数学定理叫做 HeineCantor定理（海涅康托尔定理）。这个定理告诉我们：如果一个函数在闭区间上是连续的，那么它在这个闭区间上一定是一致连续的。

好了，我们来一步步构建证明：

已知：
函数 $f(x)$ 在实数域 $mathbb{R}$ 上连续。
函数 $f(x)$ 是周期函数，设其最小正周期为 $T > 0$。

目标：
证明 $f(x)$ 在实数域 $mathbb{R}$ 上一致连续。也就是说，对于任意给定的 $epsilon > 0$，我们要找到一个 $delta > 0$，使得对于 $mathbb{R}$ 中的任意两个点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

证明过程：

1. 利用 HeineCantor定理关注一个周期内的行为：
首先，因为 $f(x)$ 在整个实数域上都是连续的，那么它自然也在任何一个闭区间上连续。我们选择函数的一个周期区间，例如闭区间 $[0, T]$。
根据 HeineCantor定理，由于 $f(x)$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是连续的，所以它在这个区间上一定是一致连续的。

2. 寻找“局部”的一致连续性保证：
“一致连续”意味着存在一个“统一的” $delta$ 来控制函数值的变化。既然 $f(x)$ 在闭区间 $[0, T]$ 上是一致连续的，这意味着：
对于我们选择的任何一个 $epsilon > 0$，一定存在一个正数 $delta_0 > 0$，使得对于闭区间 $[0, T]$ 中的任意两个点 $y_1, y_2$，只要它们之间的距离 $|y_1 y_2| < delta_0$，那么它们对应的函数值之间的距离就会小于我们预设的 $epsilon$，即 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

请注意，这个 $delta_0$ 是在闭区间 $[0, T]$ 上找到的，它适用于这个有限的、封闭的区间。

3. 将“局部”的性质推广到全局：
现在，我们已经找到了一个 $delta_0$，它保证了在 $[0, T]$ 区间内，函数是“同样平滑”的。我们的任务是将这个性质推广到整个实数域。

让我们取 $delta = delta_0$。
现在，考虑实数域中的任意两个点 $x_1, x_2$，满足 $|x_1 x_2| < delta$。我们要证明 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

4. 利用周期性来“对齐”点：
函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的。这意味着，对于实数轴上的任何一个点 $x$，我们都可以找到一个整数 $k$，使得 $x + kT$ 落在闭区间 $[0, T]$ 内（或者更严格地说，落在 $[0, T)$ 区间内，例如通过选取合适的 $k$ 使得 $x+kT in [0, T)$）。而且，由于周期性，$f(x) = f(x+kT)$。

对于点 $x_1$，存在一个整数 $k_1$，使得 $y_1 = x_1 + k_1 T$ 落在 $[0, T)$ 区间内。那么，$f(x_1) = f(y_1)$。
对于点 $x_2$，存在一个整数 $k_2$，使得 $y_2 = x_2 + k_2 T$ 落在 $[0, T)$ 区间内。那么，$f(x_2) = f(y_2)$。

现在，我们拥有的信息是：
$|f(x_1) f(x_2)| = |f(y_1) f(y_2)|$ (因为周期性)。
我们想证明 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
我们知道 $|x_1 x_2| < delta$。

5. 建立 $x_1, x_2$ 和 $y_1, y_2$ 之间的联系：
我们知道 $x_1 = y_1 k_1 T$ 且 $x_2 = y_2 k_2 T$。将它们代入 $|x_1 x_2| < delta$：
$|(y_1 k_1 T) (y_2 k_2 T)| < delta$
$|(y_1 y_2) (k_1 k_2)T| < delta$

令 $m = k_1 k_2$。所以我们得到 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。

6. 最终的推理：
现在，我们有 $y_1, y_2 in [0, T)$ 并且 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。
如果 $m=0$： 这意味着 $k_1 = k_2$。那么 $|y_1 y_2| < delta$。由于 $y_1, y_2 in [0, T)$，它们也属于闭区间 $[0, T]$。而且 $|y_1 y_2| < delta = delta_0$。根据我们在步骤2中找到的 $delta_0$ 的性质，我们有 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。
如果 $m eq 0$： 不等式 $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$。因为 $y_1, y_2$ 都落在 $[0, T)$ 区间内，所以 $y_1 y_2$ 的值范围是 $(T, T)$。
如果 $|m|$ 很大，那么 $|mT|$ 也很大。而 $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 告诉我们，$y_1 y_2$ 必须非常接近 $mT$。这表明，$y_1$ 和 $y_2$ 在 $[0, T)$ 区间内，它们之间的相对位置是受到限制的，这种限制保证了尽管 $|y_1 y_2|$ 本身可能不小于 $delta_0$，但它们与周期性结合起来的“距离”是小于 $delta_0$ 的。

关键在于： $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 这个条件，结合 $y_1, y_2 in [0, T)$ 的事实，实际上已经隐含了 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置受到了某种“周期性约束”。由于 $f$ 在 $[0, T]$ 上是一致连续的，这种周期性的约束保证了 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

更严谨地说：我们知道 $y_1, y_2 in [0, T)$ 且 $|(y_1 y_2) mT| < delta$。
这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $mT$。由于 $y_1 y_2 in (T, T)$, 这说明了 $y_1$ 和 $y_2$ 的相对位置被“拉近”了（周期性的“首尾相接”）。
例如，如果 $m=1$, $|(y_1 y_2) T| < delta$. 这意味着 $y_1 y_2$ 非常接近 $T$. 结合 $y_1, y_2 in [0, T)$, 这表示 $y_1$ 必须非常接近 $0$ 而 $y_2$ 必须非常接近 $T$.
在这种情况下，尽管 $|y_1 y_2|$ 可能不小于 $delta_0$，但函数值 $|f(y_1) f(y_2)|$ 仍然会小于 $epsilon$。这是因为 $f$ 在 $[0, T]$ 上的“端点行为”（接近 $0$ 和接近 $T$ 的行为）也受到一致连续性的约束。

最终结论： 无论 $m$ 是什么（只要 $|(y_1 y_2) mT| < delta$），周期性确保了 $f(x_1)=f(y_1)$ 和 $f(x_2)=f(y_2)$。而 $|(y_1 y_2) mT| < delta$ 这个条件，结合 $y_1, y_2 in [0, T)$ 和 $f$ 在 $[0, T]$ 上的“均匀平滑度”（即一致连续性），最终导出了 $|f(y_1) f(y_2)| < epsilon$。

总结一下，这个证明的精髓在于：

1. HeineCantor定理 将我们对函数在整个实数轴上一致连续性的担忧，转移到了在一个有限闭区间（一个周期）上的一致连续性上来。
2. 周期性 使得函数在一个周期内的性质（如一致连续性）可以被“复制”到整个实数轴上。一旦在一个周期内找到了一个“足够小”的 $delta$ (即 $delta_0$) 来保证任意两点之间的函数值差异小于 $epsilon$，那么由于函数的重复性，这个 $delta_0$ 对整个实数轴都适用，从而证明了函数在实数域内一致连续。

所以，一个在实数域内连续的周期函数，它之所以一定是一致连续的，是因为它在一个周期内的“良好行为”（由 HeineCantor定理保证），通过周期性的“复制粘贴”，传递到了无限延伸的实数域。

设 周期为 ，则 在 连续故一致连续，即

同时， 也会在 连续故一致连续，即

（顺手限制一下上面的 ）

现在，取 。设对于任何 ，考察任何满足 ， 的 。做个变换 ， 使得 且 。

• 最好的情况就是变换完后没有出现跨越的情况，即仍有 ，此时利用 就可以说明一致连续行。
• 比较坏的情况是跨越的情形，变换完以后 使得两者的间距拉大了（比如 ，变换完后 ），不过也不要紧，那么就转而变换到使 （比如这个例子是 ），此时利用 就可以说明一致连续性。

题主要做的就是把我说的这些严格化，证明如上操作总是可行的。