一个凸五边形中，已知五条边边长，如何求其最大面积？
咱们聊聊怎么求一个边长都给定了的凸五边形的最大面积。这可不是个简单问题，比求三角形或四边形的最大面积要复杂得多。
问题核心：
你知道一个五边形，它的五条边分别是 $a, b, c, d, e$。但它不是一个固定的形状，你可以“捏”它，改变它的内角，只要五条边长不变，它仍然是同一个五边形。想象一下，你手里拿着五根不同长度的木棍，用它们首尾相连搭成一个五边形，你可以把这个形状捏得扁一点，或者撑得圆一点，它的边长是固定的，但形状（也就是面积）却在变。我们要找的就是那个能让它面积最大的“姿势”。
为什么这比三角形和四边形复杂？
三角形： 三角形是“刚性”的。一旦三条边确定了，它的形状和面积也就唯一确定了（海伦公式）。
四边形： 四边形比三角形多一个自由度。即使四条边长确定了，你还可以通过改变对角线的长度来改变它的形状，从而改变面积。已知四边长，四边形的最大面积是当它内接于一个圆时取得的。这个结论（Brahmagupta 公式，虽然这是对圆内接四边形面积的推广）告诉我们，对多边形来说，“尽可能圆”是面积增大的关键。
五边形及更高次多边形： 随着边数增加，自由度也随之增加。对于一个 $n$ 边形，已知 $n$ 条边长，它有 $n3$ 个自由度。五边形（$n=5$），就有 $53=2$ 个自由度。这意味着你需要两个参数来唯一确定它的形状和面积。光知道边长不够。
最大面积的直觉：
前面提到，对于四边形，最大面积出现在“尽可能圆”的时候。这个直觉对于更高次的边数也同样适用：一个具有给定边长的凸多边形，当且仅当它可以内接于一个圆时，其面积达到最大。
为什么是内接于圆？
这背后是数学上的一个重要定理（或更准确地说，是一个需要证明的结论）。简单来说，你可以想象用微积分的“变分法”来处理这个问题。如果你有一个非圆内接的五边形，你总能通过微小地调整它的顶点位置，使得它的面积增大，而边长不变，直到这个五边形能够被一个圆完美地“套住”。在这个过程中，你会发现，只有当所有顶点都在同一个圆上时，进一步的调整就无法增大面积了。
如何求解？
既然我们知道最大面积出现在内接于圆的情况下，那么问题就转化为：找到一个圆，使得这个五边形可以内接于这个圆，并且这个五边形的面积最大。
这听起来简单，但实际上，我们不知道圆的半径是多少，也不知道这个圆上的五边形的内角是多少。我们需要同时确定这两个 unknowns。
方法一：迭代逼近（数值解法）
这是最实际的求解方法，因为没有一个简单的封闭公式可以直接计算出结果。
1. 假设一个圆: 首先，我们得假设存在这样一个圆。我们不知道它的半径 $R$。
2. 根据边长和半径确定角度: 如果一个五边形内接于一个半径为 $R$ 的圆，那么它的每条边 $s_i$（也就是我们已知的边长 $a, b, c, d, e$）与圆心所夹的圆心角 $ heta_i$ 是可以确定的。根据余弦定理，对于边长为 $s_i$ 的弦，它对应的圆心角 $ heta_i$ 满足：
$s_i^2 = R^2 + R^2 2R^2 cos( heta_i)$
$s_i^2 = 2R^2 (1 cos( heta_i))$
$cos( heta_i) = 1 frac{s_i^2}{2R^2}$
$ heta_i = arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2})$
注意: 这里需要确保 $1 frac{s_i^2}{2R^2}$ 的值在 $[1, 1]$ 之间，否则这个半径 $R$ 是不可能的（边长太大了）。对于所有边都成立的最小 $R$ 是一个有界的。
3. 角度之和的约束: 对于一个闭合的多边形，所有内角之和是 $(n2) imes 180^circ$。在圆内接的情况下，我们关注的是圆心角。所有圆心角之和必须是 $360^circ$ (或 $2pi$ 弧度)。所以，对于我们的五边形，我们有：
$sum_{i=1}^5 heta_i = 2pi$
$sum_{i=1}^5 arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$
4. 求解半径 R: 上面这个方程 $sum_{i=1}^5 arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$ 是一个关于 $R$ 的方程。它没有简单的解析解，需要用数值方法来求解，例如：
二分法 (Bisection Method): 你可以设定一个 $R$ 的搜索范围（比如从一个稍微大于 $frac{max(s_i)}{2}$ 的值开始，一直到一个很大的值），然后不断地尝试中间值。如果 $sum heta_i$ 大于 $2pi$，说明 $R$ 太小了，需要增大；如果小于 $2pi$，说明 $R$ 太大了，需要减小。
牛顿法 (Newton's Method): 如果你能计算出方程的导数，牛顿法会收敛得更快。
其他优化算法。
5. 计算面积: 一旦你找到了满足条件的半径 $R$，那么五边形的面积就可以很容易地计算出来。每个由圆心和边 $s_i$ 组成的三角形的面积是 $frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$。将所有这五个三角形的面积加起来，就是五边形的面积：
面积 $= sum_{i=1}^5 frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$
其中 $ heta_i = arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2})$。
方法二：三角剖分与优化（更复杂的数值解）
即使我们知道是内接于圆，但如何“摆放”这五条边在圆上，使得它们连接成一个五边形，并且面积最大，仍然需要考虑。
1. 三角剖分: 将五边形剖分成三角形。一种常见的剖分方式是从一个顶点出发，连接到其他不相邻的顶点，这样可以得到 $n2$ 个三角形。对于五边形，可以分成三个三角形。例如，连接顶点 $V_1$ 到 $V_3$ 和 $V_4$，得到 $ riangle V_1V_2V_3$, $ riangle V_1V_3V_4$, $ riangle V_1V_4V_5$。
2. 变量: 这里的变量就不再是半径，而是可以是一些内角或者连接的对角线长度。例如，如果我们已知边长 $a, b, c, d, e$：
可以选择一条对角线（比如连接 $V_1$ 和 $V_3$）的长度 $x$ 作为变量。
根据余弦定理，在 $ riangle V_1V_2V_3$ 中，如果知道 $a, b$ 和夹角 $angle V_2$，就能算出 $x$。
知道 $x$ 和边 $c$ 后，在 $ riangle V_1V_3V_4$ 中，根据边长 $x, c$ 和另一条边 $d$，可以确定 $angle V_3$ 的大小，进而根据余弦定理计算出第三条对角线 $y$（连接 $V_1$ 和 $V_4$）。
有了 $y$ 和边 $e$ 后，在 $ riangle V_1V_4V_5$ 中，就可以确定 $angle V_4$ 的大小。
然后，整个五边形的面积就可以用这些三角形的面积之和表示。
3. 优化: 这是一个多变量优化问题。我们需要找到一组变量（例如，某些内角，或者对角线长度），使得总面积最大，同时满足所有边长限制和多边形构成条件。
求解难点总结：
没有封闭公式： 对于五边形及以上，没有像海伦公式或Brahmagupta公式那样简洁的封闭解析解。
多自由度： 边长固定后，仍有多个自由度可以调整形状。
内接于圆是关键： 最大面积的条件是内接于圆，但求解这个条件本身就需要数值方法。
实际操作建议：
如果你真的需要计算一个具体五边形的最大面积，并且已经给定了边长：
1. 使用数值计算软件/库： 编程语言（如Python、MATLAB）都有强大的数值计算库。你可以编写一个函数，输入边长，然后使用迭代算法（如SciPy库中的优化函数 `scipy.optimize.root` 或 `scipy.optimize.minimize`）来求解那个关于半径 $R$ 的方程 $sum arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$。
2. 理解背后的原理： 知道最大面积发生在内接于圆的情况下，这是最核心的理解。其他的数值方法都是为了找到这个“最圆”的形状。
举个例子：
假设五边形的边长是 $1, 2, 3, 4, 5$。
1. 你需要找到一个 $R$，使得：
$arccos(1 frac{1^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{2^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{3^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{4^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{5^2}{2R^2}) = 2pi$
2. 你会发现，对于这个方程，没有一个“傻瓜”式的求解方法。你需要用计算机来迭代计算 $R$。
首先，你需要一个初始的 $R$ 值。例如，最长的边是5，所以 $R$ 至少要大于 $5/2 = 2.5$。
然后，你可以尝试一个 $R=5$。计算左边的和，看看它是不是 $2pi$。如果不是，根据差值调整 $R$。
重复这个过程，直到找到一个 $R$ 使得等式成立（在一定的精度范围内）。
3. 一旦你得到了这个 $R$ 值，就可以计算出每个圆心角 $ heta_i$，然后计算每个三角形的面积 $frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，最后加总得到最大面积。
总结一下：
要找到一个凸五边形的最大面积，当其五条边长已知时，核心思想是让这个五边形“尽可能圆”，也就是说，它能够内接于一个圆。由于不存在简单的解析公式，解决这类问题通常需要数值计算方法，通过迭代求解一个关于圆半径 $R$ 的方程，该方程源于所有边所对应的圆心角之和必须等于 $360^circ$。一旦找到这个最佳的 $R$ 值，就能计算出五边形的最大面积。
希望这个解释够详细，并且没有那种“机器生成”的感觉。这是一个非常有意思的几何优化问题！
问题核心：
你知道一个五边形，它的五条边分别是 $a, b, c, d, e$。但它不是一个固定的形状，你可以“捏”它，改变它的内角，只要五条边长不变，它仍然是同一个五边形。想象一下，你手里拿着五根不同长度的木棍，用它们首尾相连搭成一个五边形，你可以把这个形状捏得扁一点，或者撑得圆一点，它的边长是固定的，但形状（也就是面积）却在变。我们要找的就是那个能让它面积最大的“姿势”。
为什么这比三角形和四边形复杂？
三角形： 三角形是“刚性”的。一旦三条边确定了，它的形状和面积也就唯一确定了（海伦公式）。
四边形： 四边形比三角形多一个自由度。即使四条边长确定了，你还可以通过改变对角线的长度来改变它的形状，从而改变面积。已知四边长，四边形的最大面积是当它内接于一个圆时取得的。这个结论（Brahmagupta 公式，虽然这是对圆内接四边形面积的推广）告诉我们，对多边形来说，“尽可能圆”是面积增大的关键。
五边形及更高次多边形： 随着边数增加，自由度也随之增加。对于一个 $n$ 边形，已知 $n$ 条边长，它有 $n3$ 个自由度。五边形（$n=5$），就有 $53=2$ 个自由度。这意味着你需要两个参数来唯一确定它的形状和面积。光知道边长不够。
最大面积的直觉：
前面提到，对于四边形，最大面积出现在“尽可能圆”的时候。这个直觉对于更高次的边数也同样适用：一个具有给定边长的凸多边形，当且仅当它可以内接于一个圆时，其面积达到最大。
为什么是内接于圆？
这背后是数学上的一个重要定理（或更准确地说，是一个需要证明的结论）。简单来说，你可以想象用微积分的“变分法”来处理这个问题。如果你有一个非圆内接的五边形，你总能通过微小地调整它的顶点位置，使得它的面积增大，而边长不变，直到这个五边形能够被一个圆完美地“套住”。在这个过程中，你会发现，只有当所有顶点都在同一个圆上时，进一步的调整就无法增大面积了。
如何求解？
既然我们知道最大面积出现在内接于圆的情况下，那么问题就转化为：找到一个圆，使得这个五边形可以内接于这个圆，并且这个五边形的面积最大。
这听起来简单，但实际上，我们不知道圆的半径是多少，也不知道这个圆上的五边形的内角是多少。我们需要同时确定这两个 unknowns。
方法一：迭代逼近（数值解法）
这是最实际的求解方法，因为没有一个简单的封闭公式可以直接计算出结果。
1. 假设一个圆: 首先，我们得假设存在这样一个圆。我们不知道它的半径 $R$。
2. 根据边长和半径确定角度: 如果一个五边形内接于一个半径为 $R$ 的圆，那么它的每条边 $s_i$（也就是我们已知的边长 $a, b, c, d, e$）与圆心所夹的圆心角 $ heta_i$ 是可以确定的。根据余弦定理，对于边长为 $s_i$ 的弦，它对应的圆心角 $ heta_i$ 满足：
$s_i^2 = R^2 + R^2 2R^2 cos( heta_i)$
$s_i^2 = 2R^2 (1 cos( heta_i))$
$cos( heta_i) = 1 frac{s_i^2}{2R^2}$
$ heta_i = arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2})$
注意: 这里需要确保 $1 frac{s_i^2}{2R^2}$ 的值在 $[1, 1]$ 之间，否则这个半径 $R$ 是不可能的（边长太大了）。对于所有边都成立的最小 $R$ 是一个有界的。
3. 角度之和的约束: 对于一个闭合的多边形，所有内角之和是 $(n2) imes 180^circ$。在圆内接的情况下，我们关注的是圆心角。所有圆心角之和必须是 $360^circ$ (或 $2pi$ 弧度)。所以，对于我们的五边形，我们有：
$sum_{i=1}^5 heta_i = 2pi$
$sum_{i=1}^5 arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$
4. 求解半径 R: 上面这个方程 $sum_{i=1}^5 arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$ 是一个关于 $R$ 的方程。它没有简单的解析解，需要用数值方法来求解，例如：
二分法 (Bisection Method): 你可以设定一个 $R$ 的搜索范围（比如从一个稍微大于 $frac{max(s_i)}{2}$ 的值开始，一直到一个很大的值），然后不断地尝试中间值。如果 $sum heta_i$ 大于 $2pi$，说明 $R$ 太小了，需要增大；如果小于 $2pi$，说明 $R$ 太大了，需要减小。
牛顿法 (Newton's Method): 如果你能计算出方程的导数，牛顿法会收敛得更快。
其他优化算法。
5. 计算面积: 一旦你找到了满足条件的半径 $R$，那么五边形的面积就可以很容易地计算出来。每个由圆心和边 $s_i$ 组成的三角形的面积是 $frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$。将所有这五个三角形的面积加起来，就是五边形的面积：
面积 $= sum_{i=1}^5 frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$
其中 $ heta_i = arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2})$。
方法二：三角剖分与优化（更复杂的数值解）
即使我们知道是内接于圆，但如何“摆放”这五条边在圆上，使得它们连接成一个五边形，并且面积最大，仍然需要考虑。
1. 三角剖分: 将五边形剖分成三角形。一种常见的剖分方式是从一个顶点出发，连接到其他不相邻的顶点，这样可以得到 $n2$ 个三角形。对于五边形，可以分成三个三角形。例如，连接顶点 $V_1$ 到 $V_3$ 和 $V_4$，得到 $ riangle V_1V_2V_3$, $ riangle V_1V_3V_4$, $ riangle V_1V_4V_5$。
2. 变量: 这里的变量就不再是半径，而是可以是一些内角或者连接的对角线长度。例如，如果我们已知边长 $a, b, c, d, e$：
可以选择一条对角线（比如连接 $V_1$ 和 $V_3$）的长度 $x$ 作为变量。
根据余弦定理，在 $ riangle V_1V_2V_3$ 中，如果知道 $a, b$ 和夹角 $angle V_2$，就能算出 $x$。
知道 $x$ 和边 $c$ 后，在 $ riangle V_1V_3V_4$ 中，根据边长 $x, c$ 和另一条边 $d$，可以确定 $angle V_3$ 的大小，进而根据余弦定理计算出第三条对角线 $y$（连接 $V_1$ 和 $V_4$）。
有了 $y$ 和边 $e$ 后，在 $ riangle V_1V_4V_5$ 中，就可以确定 $angle V_4$ 的大小。
然后，整个五边形的面积就可以用这些三角形的面积之和表示。
3. 优化: 这是一个多变量优化问题。我们需要找到一组变量（例如，某些内角，或者对角线长度），使得总面积最大，同时满足所有边长限制和多边形构成条件。
求解难点总结：
没有封闭公式： 对于五边形及以上，没有像海伦公式或Brahmagupta公式那样简洁的封闭解析解。
多自由度： 边长固定后，仍有多个自由度可以调整形状。
内接于圆是关键： 最大面积的条件是内接于圆，但求解这个条件本身就需要数值方法。
实际操作建议：
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1. 使用数值计算软件/库： 编程语言（如Python、MATLAB）都有强大的数值计算库。你可以编写一个函数，输入边长，然后使用迭代算法（如SciPy库中的优化函数 `scipy.optimize.root` 或 `scipy.optimize.minimize`）来求解那个关于半径 $R$ 的方程 $sum arccos(1 frac{s_i^2}{2R^2}) = 2pi$。
2. 理解背后的原理： 知道最大面积发生在内接于圆的情况下，这是最核心的理解。其他的数值方法都是为了找到这个“最圆”的形状。
举个例子：
假设五边形的边长是 $1, 2, 3, 4, 5$。
1. 你需要找到一个 $R$，使得：
$arccos(1 frac{1^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{2^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{3^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{4^2}{2R^2}) + arccos(1 frac{5^2}{2R^2}) = 2pi$
2. 你会发现，对于这个方程，没有一个“傻瓜”式的求解方法。你需要用计算机来迭代计算 $R$。
首先，你需要一个初始的 $R$ 值。例如，最长的边是5，所以 $R$ 至少要大于 $5/2 = 2.5$。
然后，你可以尝试一个 $R=5$。计算左边的和，看看它是不是 $2pi$。如果不是，根据差值调整 $R$。
重复这个过程，直到找到一个 $R$ 使得等式成立（在一定的精度范围内）。
3. 一旦你得到了这个 $R$ 值，就可以计算出每个圆心角 $ heta_i$，然后计算每个三角形的面积 $frac{1}{2} R^2 sin( heta_i)$，最后加总得到最大面积。
总结一下：
要找到一个凸五边形的最大面积，当其五条边长已知时，核心思想是让这个五边形“尽可能圆”，也就是说，它能够内接于一个圆。由于不存在简单的解析公式，解决这类问题通常需要数值计算方法，通过迭代求解一个关于圆半径 $R$ 的方程，该方程源于所有边所对应的圆心角之和必须等于 $360^circ$。一旦找到这个最佳的 $R$ 值，就能计算出五边形的最大面积。
希望这个解释够详细，并且没有那种“机器生成”的感觉。这是一个非常有意思的几何优化问题！
网友意见
已知五根木棒的长度,摆成面积最大的五边形, 你能写出此时的面积公式 吗?
这个问题其貌不扬, 看似不过是初中几何入门练手题.
但事实上,这个公式不存在.
这个结论有点出乎意料,毕竟三角形有赫伦公式,四边形有布雷特施奈德公式,五边形怎么就没公式了?
会不会和五次方程有点关系呢?
完整证明比较冗长,以图代证缩短证明.
- 引理一: 凸多边形面积必然大于凹多边形
如果图形是凹多边形,那么通过对称外翻一个点总能使得面积更大.
- 引理二: 存在唯一变换 使得凸多边形所有点共圆.
取连续三点确定一个圆:
其他点依次吸附到圆上, 然后可能变成一下结果之一:
通过推拉中间的D点根据中值定理总能使得A F点重合.
且这样的形状及其确定的圆是唯一的.
代数证明: 求证：任意多边形都能不改变边长，通过推动各边变形后使其内接于一个圆中？
呵呵, 被威武的小管家干掉了...
- 引理三: 所有点共圆时面积最大.
让红色部分吸附在边上,推动各点使其变形.
显然, 不管怎样这个图形周长是不变的.
所有周长相等的图形中圆面积最大.
注意到红色部分面积不变,证毕.
- 引理四: 面积最大的多边形与其边的排列顺序无关.
以上命题显然,读者自证不难.
于是根据引理一二三四,以下就是面积最大的五边形.
设该圆半径为 , 已知边长度 ,设边对应的角为 .
根据三角关系有:
所有圆心角之和为
逆用欧拉公式有:
两遍取对数,使用欧拉公式
也就是说半径满足方程:
分析发现这个方程的高度(最高次数)是 ,也就说五边形时要解六次方程.
当然五次方程以上都没有通解,因此五边形边长求面积的公式也就不存在了.
当然可以通过数值计算求出R
然后使用公式:
求出面积.
计算机代数推导表明取 时的面积是某个六次方程的根.
数值结果大约是25.6775,这个结果和遗传算法的数值结果一致.
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