X的5次方减去X的4次方，直至X，这样一个函数，怎么计算出结果为0的所有的解?
我们来聊聊怎么找出这样一种函数的零点，也就是让函数值等于零的X值。你描述的函数是这样的：
$f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$
我们要做的，就是找到所有让 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
第一步：观察函数并尝试化简
先看看这个函数长什么样：
$f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$
你有没有发现什么共同的项？没错，每一项都包含 $x$。这意味着我们可以把 $x$ 提出来，这样函数就变成了一个更简单的形式：
$f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
这样一来，我们就可以把问题分解成两个部分来考虑：
1. $x = 0$ 的情况： 如果 $x$ 本身就等于 0，那么整个函数的值 $f(x)$ 自然就是 0。所以，我们立刻找到了第一个解：$x_1 = 0$。
2. 括号里面的部分等于 0 的情况： 现在，我们需要解决 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 这个方程。我们称这个新的函数为 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$。
第二步：处理 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$
这个四次方程看起来有点棘手。我们再仔细观察一下它。
尝试因式分解： 我们可以尝试对 $g(x)$ 进行分组因式分解。
把前两项和后两项分一组：
$g(x) = (x^4 x^3) + (x^2 x) + 1$
$g(x) = x^3(x 1) + x(x 1) + 1$
看起来这一步并没有直接得到公共因子，但我们还可以试试其他的组合。
另一种分组方式：
$g(x) = x^4 + x^2 + 1 x^3 x$
这也不太容易看出什么来。
再试试分组：
$g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$
观察一下系数：1, 1, 1, 1, 1。这像不像一种有规律的数列？
构造一个更容易处理的表达式：
注意 $x^4 x^3 + x^2 x + 1$ 这个结构。如果我们能够让它和一个 $x+1$ 相乘，看看会发生什么。
$(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
我们来展开它：
$= x(x^4 x^3 + x^2 x + 1) + 1(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
$= (x^5 x^4 + x^3 x^2 + x) + (x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
把同类项合并一下：
$= x^5 + (x^4 + x^4) + (x^3 x^3) + (x^2 + x^2) + (x x) + 1$
$= x^5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1$
$= x^5 + 1$
哦！这太有用了！原来 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$ 和 $x+1$ 相乘等于 $x^5+1$。
也就是说，$g(x) = frac{x^5 + 1}{x+1}$ （这里需要注意，当 $x+1=0$ 即 $x=1$ 的时候，这个关系不直接成立，因为我们不能除以零。但我们后面会单独处理 $x=1$ 的情况）。
所以，我们现在要解的方程 $g(x) = 0$ 就变成了：
$frac{x^5 + 1}{x+1} = 0$
要使一个分数等于零，分子必须等于零，而分母不能等于零。
所以，我们需要解 $x^5 + 1 = 0$ 并且 $x+1 eq 0$。
第三步：解 $x^5 + 1 = 0$
$x^5 + 1 = 0$
$x^5 = 1$
要求 $x^5 = 1$ 的解，我们可以考虑在复数范围内寻找。
在实数范围内，很容易看出 $x = 1$ 是一个解，因为 $(1)^5 = 1$。
但是，根据代数基本定理，一个 $n$ 次方程在复数范围内有 $n$ 个根（重根也算）。所以，这个五次方程应该有 5 个根。
我们知道 $x^5 + 1$ 可以被 $(x+1)$ 整除，结果就是我们之前的 $g(x)$。
$x^5 + 1 = (x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
所以，解 $x^5 + 1 = 0$ 就是解 $(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = 0$。
这又回到了我们的问题：
$x+1 = 0 implies x = 1$
$x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ （也就是我们之前说的 $g(x)=0$）
第四步：重新审视我们的原始函数和问题
我们最初要求的是 $f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = 0$ 的解。
我们已经知道一个解是 $x=0$。
现在我们需要解 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$。
我们刚刚发现 $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$。
所以，如果 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$，那么必然有 $x^5 + 1 = 0$。
我们把这个问题再捋一遍：
我们找的是 $f(x) = x cdot g(x) = 0$ 的解。
这等价于 $x=0$ 或者 $g(x) = 0$。
而我们发现 $g(x) = frac{x^5+1}{x+1}$。
所以，解 $g(x)=0$ 意味着 $frac{x^5+1}{x+1} = 0$，这要求 $x^5+1 = 0$ 且 $x+1 eq 0$。
$x^5+1 = 0$ 的根是什么？
我们知道 $x=1$ 是一个根。
$x^5 = 1$
在复数中，这些根是 $x = e^{i(frac{pi + 2kpi}{5})}$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, 4$。
$k=0: x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$k=1: x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$k=2: x = e^{ifrac{5pi}{5}} = e^{ipi} = 1$
$k=3: x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
$k=4: x = e^{ifrac{9pi}{5}}$
这些是 $x^5+1=0$ 的全部五个根。
现在我们回到 $g(x)=0$ 的条件：$x^5+1=0$ 并且 $x+1 eq 0$。
从上面 $x^5+1=0$ 的根中，我们看到 $x=1$ 是其中一个。
而 $x+1 eq 0$ 要求我们排除 $x=1$ 这个根。
所以，$g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解实际上就是 $x^5+1=0$ 的所有根，除了 $x=1$ 那个根。
这些解是：
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$。
第五步：总结所有解
我们找的是 $f(x) = x cdot g(x) = 0$ 的解。
这包括：
1. $x=0$
2. $g(x) = 0$ 的解，也就是 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解。
我们发现 $g(x) = 0$ 的解是 $x^5+1=0$ 的所有解（除了 $x=1$）。
$x^5+1=0$ 的解是 $e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$ 和 $x=1$。
所以，$g(x)=0$ 的解就是：$e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$。
把这两部分所有的解合在一起，就是 $f(x)=0$ 的所有解：
实数解： $x=0$
复数解：
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{9pi}{5}}$
这些是方程 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的四个复数根。
最后确认一下：
我们的函数是 $f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$。
我们可以把它写成 $f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$。
1. $x=0$ 是一个解，因为 $f(0) = 0(0 0 + 0 0 + 0) = 0$。
2. 我们解 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$。
我们知道 $(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = x^5 + 1$。
所以 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = frac{x^5+1}{x+1}$。
我们要让 $frac{x^5+1}{x+1} = 0$。
这要求 $x^5+1=0$ 且 $x+1 eq 0$。
$x^5+1=0$ 的解是 $x^5 = 1$。
在复数中，这些是与单位圆相交，且角度为 $frac{pi}{5}, frac{3pi}{5}, pi, frac{7pi}{5}, frac{9pi}{5}$ 的点。
即 $e^{ifrac{pi}{5}}, e^{ifrac{3pi}{5}}, e^{ipi}, e^{ifrac{7pi}{5}}, e^{ifrac{9pi}{5}}$。
其中 $e^{ipi} = 1$。
我们必须排除 $x=1$（因为分母不能为零）。
所以，$x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解是：
$e^{ifrac{pi}{5}}, e^{ifrac{3pi}{5}}, e^{ifrac{7pi}{5}}, e^{ifrac{9pi}{5}}$。
将所有解集合起来，就是 $f(x)=0$ 的所有解：
$x=0$
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{9pi}{5}}$
这些是您所说的函数的所有零点。其中 $x=0$ 是唯一的实数解，其余四个都是复数解。
$f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$
我们要做的，就是找到所有让 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
第一步：观察函数并尝试化简
先看看这个函数长什么样：
$f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$
你有没有发现什么共同的项？没错，每一项都包含 $x$。这意味着我们可以把 $x$ 提出来，这样函数就变成了一个更简单的形式：
$f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
这样一来，我们就可以把问题分解成两个部分来考虑：
1. $x = 0$ 的情况： 如果 $x$ 本身就等于 0，那么整个函数的值 $f(x)$ 自然就是 0。所以，我们立刻找到了第一个解：$x_1 = 0$。
2. 括号里面的部分等于 0 的情况： 现在，我们需要解决 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 这个方程。我们称这个新的函数为 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$。
第二步：处理 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$
这个四次方程看起来有点棘手。我们再仔细观察一下它。
尝试因式分解： 我们可以尝试对 $g(x)$ 进行分组因式分解。
把前两项和后两项分一组：
$g(x) = (x^4 x^3) + (x^2 x) + 1$
$g(x) = x^3(x 1) + x(x 1) + 1$
看起来这一步并没有直接得到公共因子，但我们还可以试试其他的组合。
另一种分组方式：
$g(x) = x^4 + x^2 + 1 x^3 x$
这也不太容易看出什么来。
再试试分组：
$g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$
观察一下系数：1, 1, 1, 1, 1。这像不像一种有规律的数列？
构造一个更容易处理的表达式：
注意 $x^4 x^3 + x^2 x + 1$ 这个结构。如果我们能够让它和一个 $x+1$ 相乘，看看会发生什么。
$(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
我们来展开它：
$= x(x^4 x^3 + x^2 x + 1) + 1(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
$= (x^5 x^4 + x^3 x^2 + x) + (x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
把同类项合并一下：
$= x^5 + (x^4 + x^4) + (x^3 x^3) + (x^2 + x^2) + (x x) + 1$
$= x^5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1$
$= x^5 + 1$
哦！这太有用了！原来 $g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1$ 和 $x+1$ 相乘等于 $x^5+1$。
也就是说，$g(x) = frac{x^5 + 1}{x+1}$ （这里需要注意，当 $x+1=0$ 即 $x=1$ 的时候，这个关系不直接成立，因为我们不能除以零。但我们后面会单独处理 $x=1$ 的情况）。
所以，我们现在要解的方程 $g(x) = 0$ 就变成了：
$frac{x^5 + 1}{x+1} = 0$
要使一个分数等于零，分子必须等于零，而分母不能等于零。
所以，我们需要解 $x^5 + 1 = 0$ 并且 $x+1 eq 0$。
第三步：解 $x^5 + 1 = 0$
$x^5 + 1 = 0$
$x^5 = 1$
要求 $x^5 = 1$ 的解，我们可以考虑在复数范围内寻找。
在实数范围内，很容易看出 $x = 1$ 是一个解，因为 $(1)^5 = 1$。
但是，根据代数基本定理，一个 $n$ 次方程在复数范围内有 $n$ 个根（重根也算）。所以，这个五次方程应该有 5 个根。
我们知道 $x^5 + 1$ 可以被 $(x+1)$ 整除，结果就是我们之前的 $g(x)$。
$x^5 + 1 = (x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$
所以，解 $x^5 + 1 = 0$ 就是解 $(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = 0$。
这又回到了我们的问题：
$x+1 = 0 implies x = 1$
$x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ （也就是我们之前说的 $g(x)=0$）
第四步：重新审视我们的原始函数和问题
我们最初要求的是 $f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = 0$ 的解。
我们已经知道一个解是 $x=0$。
现在我们需要解 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$。
我们刚刚发现 $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$。
所以，如果 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$，那么必然有 $x^5 + 1 = 0$。
我们把这个问题再捋一遍：
我们找的是 $f(x) = x cdot g(x) = 0$ 的解。
这等价于 $x=0$ 或者 $g(x) = 0$。
而我们发现 $g(x) = frac{x^5+1}{x+1}$。
所以，解 $g(x)=0$ 意味着 $frac{x^5+1}{x+1} = 0$，这要求 $x^5+1 = 0$ 且 $x+1 eq 0$。
$x^5+1 = 0$ 的根是什么？
我们知道 $x=1$ 是一个根。
$x^5 = 1$
在复数中，这些根是 $x = e^{i(frac{pi + 2kpi}{5})}$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, 4$。
$k=0: x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$k=1: x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$k=2: x = e^{ifrac{5pi}{5}} = e^{ipi} = 1$
$k=3: x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
$k=4: x = e^{ifrac{9pi}{5}}$
这些是 $x^5+1=0$ 的全部五个根。
现在我们回到 $g(x)=0$ 的条件：$x^5+1=0$ 并且 $x+1 eq 0$。
从上面 $x^5+1=0$ 的根中，我们看到 $x=1$ 是其中一个。
而 $x+1 eq 0$ 要求我们排除 $x=1$ 这个根。
所以，$g(x) = x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解实际上就是 $x^5+1=0$ 的所有根，除了 $x=1$ 那个根。
这些解是：
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$。
第五步：总结所有解
我们找的是 $f(x) = x cdot g(x) = 0$ 的解。
这包括：
1. $x=0$
2. $g(x) = 0$ 的解，也就是 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解。
我们发现 $g(x) = 0$ 的解是 $x^5+1=0$ 的所有解（除了 $x=1$）。
$x^5+1=0$ 的解是 $e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$ 和 $x=1$。
所以，$g(x)=0$ 的解就是：$e^{ifrac{pi}{5}}$, $e^{ifrac{3pi}{5}}$, $e^{ifrac{7pi}{5}}$, $e^{ifrac{9pi}{5}}$。
把这两部分所有的解合在一起，就是 $f(x)=0$ 的所有解：
实数解： $x=0$
复数解：
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{9pi}{5}}$
这些是方程 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的四个复数根。
最后确认一下：
我们的函数是 $f(x) = x^5 x^4 + x^3 x^2 + x$。
我们可以把它写成 $f(x) = x(x^4 x^3 + x^2 x + 1)$。
1. $x=0$ 是一个解，因为 $f(0) = 0(0 0 + 0 0 + 0) = 0$。
2. 我们解 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$。
我们知道 $(x+1)(x^4 x^3 + x^2 x + 1) = x^5 + 1$。
所以 $x^4 x^3 + x^2 x + 1 = frac{x^5+1}{x+1}$。
我们要让 $frac{x^5+1}{x+1} = 0$。
这要求 $x^5+1=0$ 且 $x+1 eq 0$。
$x^5+1=0$ 的解是 $x^5 = 1$。
在复数中，这些是与单位圆相交，且角度为 $frac{pi}{5}, frac{3pi}{5}, pi, frac{7pi}{5}, frac{9pi}{5}$ 的点。
即 $e^{ifrac{pi}{5}}, e^{ifrac{3pi}{5}}, e^{ipi}, e^{ifrac{7pi}{5}}, e^{ifrac{9pi}{5}}$。
其中 $e^{ipi} = 1$。
我们必须排除 $x=1$（因为分母不能为零）。
所以，$x^4 x^3 + x^2 x + 1 = 0$ 的解是：
$e^{ifrac{pi}{5}}, e^{ifrac{3pi}{5}}, e^{ifrac{7pi}{5}}, e^{ifrac{9pi}{5}}$。
将所有解集合起来，就是 $f(x)=0$ 的所有解：
$x=0$
$x = e^{ifrac{pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{3pi}{5}}$
$x = e^{ifrac{7pi}{5}}$
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这些是您所说的函数的所有零点。其中 $x=0$ 是唯一的实数解，其余四个都是复数解。
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