闭区间上的导函数f'有界，是否可以在闭区间上取到最大值，最小值？
是的，如果一个函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的导函数 $f'$ 有界，那么函数 $f$ 一定可以在闭区间 $[a, b]$ 上取到最大值和最小值。
下面我们来详细解释原因：
1. 导函数有界意味着什么？
导函数 $f'$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，意味着存在一个正数 $M$，使得对于 $[a, b]$ 中的所有 $x$，都有 $|f'(x)| le M$。
这层含义可以从几个角度来理解：
斜率的限制： 导函数 $f'(x)$ 代表了函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的切线斜率。导函数有界意味着在整个区间 $[a, b]$ 上，函数 $f(x)$ 的斜率不会无限大或无限小。它被一个固定的数值范围所限制住。
函数增长/下降速度的限制： 这也意味着函数 $f(x)$ 的增长或下降的速度是有限的。函数不会以无限快的速度上升或下降。
2. 函数在闭区间上连续的条件
要讨论最大值和最小值，我们通常需要函数是连续的。对于可导函数，连续性是隐含的。如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是可导的，那么它在这个区间上一定也是连续的。
3. 中值定理的力量：拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是解决这类问题的关键。它陈述如下：
> 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在一点 $c in (a, b)$，使得
>
> $$f'(c) = frac{f(b) f(a)}{b a}$$
将拉格朗日中值定理应用到我们的问题中：
我们有一个在闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$。
我们知道它的导函数 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界。这保证了 $f$ 在 $(a, b)$ 上是可导的。
如果 $f$ 本身在 $[a, b]$ 上是连续的（可导函数必然连续），那么我们可以对任意子区间使用中值定理。
4. 利用导函数有界来证明函数的有界性
假设 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界，即 $|f'(x)| le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立。
这意味着 $M le f'(x) le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立。
现在，我们考虑函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的取值。
对于区间内的任意两个点 $x_1$ 和 $x_2$（假设 $x_1 < x_2$），它们都属于 $[a, b]$。
根据拉格朗日中值定理，存在一个 $c in (x_1, x_2)$，使得：
$$f(x_2) f(x_1) = f'(c)(x_2 x_1)$$
由于 $|f'(c)| le M$，我们可以得到：
$$|f(x_2) f(x_1)| = |f'(c)| |x_2 x_1| le M |x_2 x_1|$$
这意味着函数 $f$ 的变化量（纵向上的差值）与它对应区间的长度（横向上的差值）成正比，并且这个比例被 $M$ 所限制。
现在我们来看看函数值本身是否会被限制：
考虑 $f(x)$ 相对于 $f(a)$ 的变化：
对于任意的 $x in [a, b]$，应用拉格朗日中值定理在区间 $[a, x]$ 上（如果 $x=a$，则差值为0）。
存在 $c in (a, x)$ (如果 $x=a$ 则不需要考虑)，使得：
$$f(x) f(a) = f'(c)(x a)$$
由于 $|f'(c)| le M$ 并且 $x a ge 0$，我们有：
$$|f(x) f(a)| le M |x a|$$
这可以写成：
$$M(x a) le f(x) f(a) le M(x a)$$
将 $f(a)$ 加到不等式的每一侧：
$$f(a) M(x a) le f(x) le f(a) + M(x a)$$
分析上述不等式：
因为 $x$ 在闭区间 $[a, b]$ 上，所以 $xa$ 是非负的，并且最大值是 $ba$。
因此，$M(xa)$ 的最大值是 $M(ba)$。
这说明：
$f(x)$ 的上限是 $f(a) + M(xa)$。当 $x$ 取 $b$ 时，这个上限是 $f(a) + M(ba)$。
$f(x)$ 的下限是 $f(a) M(xa)$。当 $x$ 取 $b$ 时，这个下限是 $f(a) M(ba)$。
更普遍地说，对于任何 $x in [a, b]$，我们有：
$$f(x) le f(a) + M(xa) le f(a) + M(ba)$$
$$f(x) ge f(a) M(xa) ge f(a) M(ba)$$
这表明，函数 $f(x)$ 的所有取值都被限制在一个有限的范围内：
$$f(a) M(ba) le f(x) le f(a) + M(ba)$$
这意味着函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是有界的。
5. 最值定理（又称极值定理或魏尔斯特拉斯定理）
现在我们知道了函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是连续的且有界的。
最值定理告诉我们：
> 任何在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f$，在该区间上必定能取到其最大值和最小值。
更详细地解释一下最值定理为何成立（尽管这不是直接证明导函数有界的结论，而是最值定理的证明思路）：
存在性证明（概要）：
考虑函数在区间上的所有函数值构成的集合 $S = {f(x) | x in [a, b]}$。
由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，集合 $S$ 是有界的。根据实数的上确界原理，有界集合必存在上确界（最大值）和下确界（最小值）。
关键在于证明这个上确界和下确界确实是函数在区间某一点上取到的值（而不是仅仅是趋近的值）。这通常通过构造一个数列，利用函数连续性来证明可以收敛到上确界或下确界的点，并且在该点函数值就是上确界或下确界。
总结推理过程：
1. 条件： 函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可导，且其导函数 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界（存在 $M > 0$ 使得 $|f'(x)| le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立）。
2. 连续性： 可导函数在定义域上必然连续。因此，$f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是连续的。
3. 有界性证明： 利用拉格朗日中值定理，我们证明了对于区间内的任意 $x$，函数值 $f(x)$ 相对于 $f(a)$ 的变化是被导函数有界性所限制的。具体来说，我们得到了 $f(a) M(ba) le f(x) le f(a) + M(ba)$，这说明函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是（数值上）有界的。
4. 最值定理应用： 根据最值定理，任何在闭区间上连续的函数都一定在该区间上取到最大值和最小值。
5. 结论： 由于函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且有界，所以它一定可以在闭区间 $[a, b]$ 上取到最大值和最小值。
举个例子：
考虑函数 $f(x) = sin(x)$ 在闭区间 $[0, 2pi]$ 上。
它的导函数是 $f'(x) = cos(x)$。
在闭区间 $[0, 2pi]$ 上，$cos(x)$ 的值域是 $[1, 1]$。
所以，$|cos(x)| le 1$ 对于所有 $x in [0, 2pi]$ 成立。
这意味着 $f'(x)$ 是有界的。
根据上面的论证，我们知道 $sin(x)$ 在 $[0, 2pi]$ 上一定能取到最大值和最小值。我们知道 $sin(x)$ 在 $x=pi/2$ 时取到最大值 $1$，在 $x=3pi/2$ 时取到最小值 $1$。
反过来思考（补充）：
如果导函数在闭区间上无界，函数就不一定能在闭区间上取到最大值和最小值。例如，$f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 区间上，$f'(x) = 1$ 有界。但是在 $(0, 1)$ 区间上，$f(x)$ 的最大值和最小值都不存在（它趋近于1，但永远达不到；它趋近于0，但永远达不到）。
如果区间是开区间，即使导函数有界，函数也不一定能取到最大值和最小值。例如，上面提到的 $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 区间上。
总结：
导函数在闭区间上的有界性，通过拉格朗日中值定理保证了函数自身的有界性，而函数在闭区间上的连续性和有界性是根据最值定理能够取到最大值和最小值的充分条件。因此，答案是肯定的。
下面我们来详细解释原因：
1. 导函数有界意味着什么？
导函数 $f'$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有界，意味着存在一个正数 $M$，使得对于 $[a, b]$ 中的所有 $x$，都有 $|f'(x)| le M$。
这层含义可以从几个角度来理解：
斜率的限制： 导函数 $f'(x)$ 代表了函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的切线斜率。导函数有界意味着在整个区间 $[a, b]$ 上，函数 $f(x)$ 的斜率不会无限大或无限小。它被一个固定的数值范围所限制住。
函数增长/下降速度的限制： 这也意味着函数 $f(x)$ 的增长或下降的速度是有限的。函数不会以无限快的速度上升或下降。
2. 函数在闭区间上连续的条件
要讨论最大值和最小值，我们通常需要函数是连续的。对于可导函数，连续性是隐含的。如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是可导的，那么它在这个区间上一定也是连续的。
3. 中值定理的力量：拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是解决这类问题的关键。它陈述如下：
> 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，那么存在一点 $c in (a, b)$，使得
>
> $$f'(c) = frac{f(b) f(a)}{b a}$$
将拉格朗日中值定理应用到我们的问题中：
我们有一个在闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$。
我们知道它的导函数 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界。这保证了 $f$ 在 $(a, b)$ 上是可导的。
如果 $f$ 本身在 $[a, b]$ 上是连续的（可导函数必然连续），那么我们可以对任意子区间使用中值定理。
4. 利用导函数有界来证明函数的有界性
假设 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界，即 $|f'(x)| le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立。
这意味着 $M le f'(x) le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立。
现在，我们考虑函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的取值。
对于区间内的任意两个点 $x_1$ 和 $x_2$（假设 $x_1 < x_2$），它们都属于 $[a, b]$。
根据拉格朗日中值定理，存在一个 $c in (x_1, x_2)$，使得：
$$f(x_2) f(x_1) = f'(c)(x_2 x_1)$$
由于 $|f'(c)| le M$，我们可以得到：
$$|f(x_2) f(x_1)| = |f'(c)| |x_2 x_1| le M |x_2 x_1|$$
这意味着函数 $f$ 的变化量（纵向上的差值）与它对应区间的长度（横向上的差值）成正比，并且这个比例被 $M$ 所限制。
现在我们来看看函数值本身是否会被限制：
考虑 $f(x)$ 相对于 $f(a)$ 的变化：
对于任意的 $x in [a, b]$，应用拉格朗日中值定理在区间 $[a, x]$ 上（如果 $x=a$，则差值为0）。
存在 $c in (a, x)$ (如果 $x=a$ 则不需要考虑)，使得：
$$f(x) f(a) = f'(c)(x a)$$
由于 $|f'(c)| le M$ 并且 $x a ge 0$，我们有：
$$|f(x) f(a)| le M |x a|$$
这可以写成：
$$M(x a) le f(x) f(a) le M(x a)$$
将 $f(a)$ 加到不等式的每一侧：
$$f(a) M(x a) le f(x) le f(a) + M(x a)$$
分析上述不等式：
因为 $x$ 在闭区间 $[a, b]$ 上，所以 $xa$ 是非负的，并且最大值是 $ba$。
因此，$M(xa)$ 的最大值是 $M(ba)$。
这说明：
$f(x)$ 的上限是 $f(a) + M(xa)$。当 $x$ 取 $b$ 时，这个上限是 $f(a) + M(ba)$。
$f(x)$ 的下限是 $f(a) M(xa)$。当 $x$ 取 $b$ 时，这个下限是 $f(a) M(ba)$。
更普遍地说，对于任何 $x in [a, b]$，我们有：
$$f(x) le f(a) + M(xa) le f(a) + M(ba)$$
$$f(x) ge f(a) M(xa) ge f(a) M(ba)$$
这表明，函数 $f(x)$ 的所有取值都被限制在一个有限的范围内：
$$f(a) M(ba) le f(x) le f(a) + M(ba)$$
这意味着函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是有界的。
5. 最值定理（又称极值定理或魏尔斯特拉斯定理）
现在我们知道了函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是连续的且有界的。
最值定理告诉我们：
> 任何在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f$，在该区间上必定能取到其最大值和最小值。
更详细地解释一下最值定理为何成立（尽管这不是直接证明导函数有界的结论，而是最值定理的证明思路）：
存在性证明（概要）：
考虑函数在区间上的所有函数值构成的集合 $S = {f(x) | x in [a, b]}$。
由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，集合 $S$ 是有界的。根据实数的上确界原理，有界集合必存在上确界（最大值）和下确界（最小值）。
关键在于证明这个上确界和下确界确实是函数在区间某一点上取到的值（而不是仅仅是趋近的值）。这通常通过构造一个数列，利用函数连续性来证明可以收敛到上确界或下确界的点，并且在该点函数值就是上确界或下确界。
总结推理过程：
1. 条件： 函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可导，且其导函数 $f'$ 在 $[a, b]$ 上有界（存在 $M > 0$ 使得 $|f'(x)| le M$ 对所有 $x in [a, b]$ 成立）。
2. 连续性： 可导函数在定义域上必然连续。因此，$f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是连续的。
3. 有界性证明： 利用拉格朗日中值定理，我们证明了对于区间内的任意 $x$，函数值 $f(x)$ 相对于 $f(a)$ 的变化是被导函数有界性所限制的。具体来说，我们得到了 $f(a) M(ba) le f(x) le f(a) + M(ba)$，这说明函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是（数值上）有界的。
4. 最值定理应用： 根据最值定理，任何在闭区间上连续的函数都一定在该区间上取到最大值和最小值。
5. 结论： 由于函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且有界，所以它一定可以在闭区间 $[a, b]$ 上取到最大值和最小值。
举个例子：
考虑函数 $f(x) = sin(x)$ 在闭区间 $[0, 2pi]$ 上。
它的导函数是 $f'(x) = cos(x)$。
在闭区间 $[0, 2pi]$ 上，$cos(x)$ 的值域是 $[1, 1]$。
所以，$|cos(x)| le 1$ 对于所有 $x in [0, 2pi]$ 成立。
这意味着 $f'(x)$ 是有界的。
根据上面的论证，我们知道 $sin(x)$ 在 $[0, 2pi]$ 上一定能取到最大值和最小值。我们知道 $sin(x)$ 在 $x=pi/2$ 时取到最大值 $1$，在 $x=3pi/2$ 时取到最小值 $1$。
反过来思考（补充）：
如果导函数在闭区间上无界，函数就不一定能在闭区间上取到最大值和最小值。例如，$f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 区间上，$f'(x) = 1$ 有界。但是在 $(0, 1)$ 区间上，$f(x)$ 的最大值和最小值都不存在（它趋近于1，但永远达不到；它趋近于0，但永远达不到）。
如果区间是开区间，即使导函数有界，函数也不一定能取到最大值和最小值。例如，上面提到的 $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 区间上。
总结：
导函数在闭区间上的有界性，通过拉格朗日中值定理保证了函数自身的有界性，而函数在闭区间上的连续性和有界性是根据最值定理能够取到最大值和最小值的充分条件。因此，答案是肯定的。
网友意见
谢邀，反例如下
导数为
.
显然 有界，我们可以发现 .
所以1是 的上界，我们取 , 那么我们发现 ，所以1是 的上确界，但是没有一点可以取到它。所以 取不到最大值。
这个例子的特别在于如果 定义在 上，那么它是一个在0点取到最大值但是在0的两边都（任意小的区间内都）不单调的例子。
这种类型的反例很常见，可以参考「实分析的反例」
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