二重积分经过变量变换后，为什么原有闭区域的边界点也是新区域的边界点？
变量替换后的二重积分，原有闭区域的边界点也成为新区域的边界点，这个结论的背后是连续性和拓扑映射的性质。我们来详细地解释一下：
1. 理解二重积分的变量变换
首先，我们回忆一下二重积分的变量变换公式：
设 $D$ 是 $xy$ 平面上的一个闭区域，我们考虑一个从 $uv$ 平面上的闭区域 $D'$ 到 $xy$ 平面的映射（变换） $x = phi(u, v)$，$y = psi(u, v)$。
如果这个映射满足以下条件：
连续可微性: 映射函数 $phi(u, v)$ 和 $psi(u, v)$ 在 $D'$ 上及其边界上都具有一阶连续偏导数。
单射性: 在 $D'$ 的内部，映射是单射的（一一对应），即不同的 $(u, v)$ 对映射到不同的 $(x, y)$ 对。
雅可比行列式非零: 雅可比行列式 $J = frac{partial(x, y)}{partial(u, v)} = det egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix}$ 在 $D'$ 的内部不为零（通常要求不等于零，或者在有限个曲面上为零但不会影响积分）。
那么，二重积分可以表示为：
$$ iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(phi(u, v), psi(u, v)) , |J| , du , dv $$
这里的核心是将积分从旧的坐标系 $(x, y)$ 转换到新的坐标系 $(u, v)$，并且需要乘以雅可比行列式的绝对值来修正面积的缩放。
2. 边界点的重要性
在二重积分的计算中，积分区域的性质非常重要。对于一个闭区域 $D$，它的边界（边界线）是积分计算的关键部分，例如在某些情况下可以使用格林公式等。当进行变量变换时，我们希望保持这种区域结构，以便能够在新区域 $D'$ 上进行积分计算。
3. 为什么边界点能够对应
现在我们来详细说明为什么原有闭区域 $D$ 的边界点，在变量变换下，会成为新区域 $D'$ 的边界点。这涉及到以下几个关键概念：
连续映射的性质: 函数 $x = phi(u, v)$ 和 $y = psi(u, v)$ 的连续性是根本原因。连续映射有一个重要的性质：连续映射将紧集映射到紧集，将连通集映射到连通集，并将边界映射到边界（或包含边界）。
闭区域是紧集: 在实数域 $mathbb{R}^2$ 中，闭区域 $D$ 是一个闭集且有界，因此是紧集。
连续映射保持紧性: 由于 $(x, y) = (phi(u, v), psi(u, v))$ 是连续的，它会将 $uv$ 平面上的紧集（包括 $D'$ 的边界）映射到一个紧集，这个紧集就是 $xy$ 平面上的区域 $D$。
边界的映射: 假设 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的一个边界点。根据映射的定义，$(x_0, y_0)$ 是某个 $(u_0, v_0) in D'$ 的像。如果 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点，意味着在 $D$ 的任意一个邻域内都既包含 $D$ 的内部点也包含 $D$ 的外部点。
单射性和边界的保持:
D' 的边界与 D 的边界的关系: 让我们考虑 $D'$ 的边界 $partial D'$。由于映射是单射的（在 $D'$ 的内部），它会将 $D'$ 的内部点一一映射到 $D$ 的内部点，并且将 $D'$ 的边界 $partial D'$ 映射到 $D$ 的边界 $partial D$。
证明思路（反证法）:
假设存在 $D'$ 的一个边界点 $(u_b, v_b) in partial D'$，它映射到的点 $(x_b, y_b)$ 并不是 $D$ 的边界点。
如果 $(x_b, y_b)$ 不是 $D$ 的边界点，那么它要么是 $D$ 的内部点，要么是 $D$ 的外部点。
如果 $(x_b, y_b)$ 是 $D$ 的内部点，那么存在一个以 $(x_b, y_b)$ 为中心的开球 $B((x_b, y_b), epsilon)$ 完全包含在 $D$ 的内部。由于映射是连续的，存在一个以 $(u_b, v_b)$ 为中心的开球 $B((u_b, v_b), delta)$，使得其像完全包含在 $B((x_b, y_b), epsilon)$ 中。但 $(u_b, v_b)$ 是 $D'$ 的边界点，所以在其任何邻域内都存在 $D'$ 的内部点和外部点。这个邻域内的内部点会映射到 $D$ 的内部，而这个邻域内的外部点又会映射到哪里？
更直接地说，如果 $(u_b, v_b)$ 是 $D'$ 的边界点，那么在其任意邻域 $N(u_b, v_b)$ 中，都存在点 $u in N(u_b, v_b) cap D'$（内部点）和点 $u' in N(u_b, v_b) setminus D'$（外部点）。
由于映射连续，点 $u$ 的像 $(x, y) = (phi(u, v), psi(u, v))$ 会趋近于 $(x_b, y_b)$。
如果 $(x_b, y_b)$ 是 $D$ 的内部点，那么对于足够靠近 $(u_b, v_b)$ 的 $u in D'$，其像 $(x, y)$ 也会在 $D$ 的内部。
关键是单射性: 由于映射在 $D'$ 的内部是单射的，并且雅可比行列式非零，这保证了映射在局部是“可逆”的，或者说不会“坍缩”或“重叠”。当一个点 $(u_b, v_b)$ 在 $D'$ 的边界上时，它的任何一个微小的扰动（在 $D'$ 的内部或外部）都会导致其像在 $D$ 的相应区域的边界上或外侧。
直观理解: 想象一下将一个橡皮膜（代表 $D'$）拉伸或变形后贴合在一个区域（代表 $D$）。如果橡皮膜边缘的某个点不是贴合区域的边缘，那么这个点要么被拉进了区域内部，要么被推到了区域外部。但是，如果映射是“良好”的（连续、单射、雅可比非零），那么橡皮膜的边缘就应该对应到贴合区域的边缘。
反过来考虑: 设 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点。由于映射是满射（或者说 $D$ 是由 $D'$ 的像构成的），$(x_0, y_0)$ 必然是某个 $(u_0, v_0) in D'$ 的像。如果 $(u_0, v_0)$ 是 $D'$ 的内部点，那么由于单射性和雅可比非零，其像 $(x_0, y_0)$ 将是 $D$ 的内部点（因为映射局部保持“结构”）。这与 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点矛盾。因此，$(u_0, v_0)$ 必须是 $D'$ 的边界点。
闭区域的边界是所有满足“既不完全在内部，也不完全在外部”的点集。 变量变换作为连续映射，保持了这种“边界”的性质。如果一个点在原始区域的边界上，意味着它的任何小邻域都与该区域内部和外部都有交集。变换后，这个性质仍然被保留，只不过是在新的坐标系下体现。
4. 雅可比行列式的作用
雅可比行列式 $|J|$ 的绝对值在积分变换公式中起着面积缩放因子的作用。它表示了在 $(u, v)$ 的一个无穷小区域 $du , dv$ 被映射到 $(x, y)$ 平面时，面积被放大了多少倍。它的非零性保证了局部上是从一个“面积”映射到另一个“面积”，而不是将一个区域“压扁”成线段或点。
总结一下关键点：
1. 连续性是基础： 变量变换函数是连续的，连续映射可以将紧集的边界保持为目标区域的边界（或包含目标区域的边界）。
2. 单射性和雅可比非零保证了“不压缩”： 在 $D'$ 的内部，一对一的映射并且雅可比行列式非零，保证了原始区域的边界上的点不会被映射到新区域的内部。
3. 满射性保证覆盖： 整个区域 $D$ 是由 $D'$ 映射过来的，所以 $D$ 的边界点必然是 $D'$ 的边界点在映射下的像。
4. 拓扑性质： 从更抽象的拓扑学角度看，这个映射是一个同胚（homeomorphism）或在一定条件下是紧致保持的连续映射，它保持了集合的边界结构。
因此，当我们将二重积分从 $xy$ 坐标系变换到 $uv$ 坐标系时，原闭区域 $D$ 的边界的每一点，都必然是新闭区域 $D'$ 的边界上的某一点的像，反之亦然（在满足单射性等条件下）。这使得我们可以在新的区域 $D'$ 上进行积分计算，而不需要担心边界的对应关系出错。
1. 理解二重积分的变量变换
首先，我们回忆一下二重积分的变量变换公式：
设 $D$ 是 $xy$ 平面上的一个闭区域，我们考虑一个从 $uv$ 平面上的闭区域 $D'$ 到 $xy$ 平面的映射（变换） $x = phi(u, v)$，$y = psi(u, v)$。
如果这个映射满足以下条件：
连续可微性: 映射函数 $phi(u, v)$ 和 $psi(u, v)$ 在 $D'$ 上及其边界上都具有一阶连续偏导数。
单射性: 在 $D'$ 的内部，映射是单射的（一一对应），即不同的 $(u, v)$ 对映射到不同的 $(x, y)$ 对。
雅可比行列式非零: 雅可比行列式 $J = frac{partial(x, y)}{partial(u, v)} = det egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix}$ 在 $D'$ 的内部不为零（通常要求不等于零，或者在有限个曲面上为零但不会影响积分）。
那么，二重积分可以表示为：
$$ iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(phi(u, v), psi(u, v)) , |J| , du , dv $$
这里的核心是将积分从旧的坐标系 $(x, y)$ 转换到新的坐标系 $(u, v)$，并且需要乘以雅可比行列式的绝对值来修正面积的缩放。
2. 边界点的重要性
在二重积分的计算中，积分区域的性质非常重要。对于一个闭区域 $D$，它的边界（边界线）是积分计算的关键部分，例如在某些情况下可以使用格林公式等。当进行变量变换时，我们希望保持这种区域结构，以便能够在新区域 $D'$ 上进行积分计算。
3. 为什么边界点能够对应
现在我们来详细说明为什么原有闭区域 $D$ 的边界点，在变量变换下，会成为新区域 $D'$ 的边界点。这涉及到以下几个关键概念：
连续映射的性质: 函数 $x = phi(u, v)$ 和 $y = psi(u, v)$ 的连续性是根本原因。连续映射有一个重要的性质：连续映射将紧集映射到紧集，将连通集映射到连通集，并将边界映射到边界（或包含边界）。
闭区域是紧集: 在实数域 $mathbb{R}^2$ 中，闭区域 $D$ 是一个闭集且有界，因此是紧集。
连续映射保持紧性: 由于 $(x, y) = (phi(u, v), psi(u, v))$ 是连续的，它会将 $uv$ 平面上的紧集（包括 $D'$ 的边界）映射到一个紧集，这个紧集就是 $xy$ 平面上的区域 $D$。
边界的映射: 假设 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的一个边界点。根据映射的定义，$(x_0, y_0)$ 是某个 $(u_0, v_0) in D'$ 的像。如果 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点，意味着在 $D$ 的任意一个邻域内都既包含 $D$ 的内部点也包含 $D$ 的外部点。
单射性和边界的保持:
D' 的边界与 D 的边界的关系: 让我们考虑 $D'$ 的边界 $partial D'$。由于映射是单射的（在 $D'$ 的内部），它会将 $D'$ 的内部点一一映射到 $D$ 的内部点，并且将 $D'$ 的边界 $partial D'$ 映射到 $D$ 的边界 $partial D$。
证明思路（反证法）:
假设存在 $D'$ 的一个边界点 $(u_b, v_b) in partial D'$，它映射到的点 $(x_b, y_b)$ 并不是 $D$ 的边界点。
如果 $(x_b, y_b)$ 不是 $D$ 的边界点，那么它要么是 $D$ 的内部点，要么是 $D$ 的外部点。
如果 $(x_b, y_b)$ 是 $D$ 的内部点，那么存在一个以 $(x_b, y_b)$ 为中心的开球 $B((x_b, y_b), epsilon)$ 完全包含在 $D$ 的内部。由于映射是连续的，存在一个以 $(u_b, v_b)$ 为中心的开球 $B((u_b, v_b), delta)$，使得其像完全包含在 $B((x_b, y_b), epsilon)$ 中。但 $(u_b, v_b)$ 是 $D'$ 的边界点，所以在其任何邻域内都存在 $D'$ 的内部点和外部点。这个邻域内的内部点会映射到 $D$ 的内部，而这个邻域内的外部点又会映射到哪里？
更直接地说，如果 $(u_b, v_b)$ 是 $D'$ 的边界点，那么在其任意邻域 $N(u_b, v_b)$ 中，都存在点 $u in N(u_b, v_b) cap D'$（内部点）和点 $u' in N(u_b, v_b) setminus D'$（外部点）。
由于映射连续，点 $u$ 的像 $(x, y) = (phi(u, v), psi(u, v))$ 会趋近于 $(x_b, y_b)$。
如果 $(x_b, y_b)$ 是 $D$ 的内部点，那么对于足够靠近 $(u_b, v_b)$ 的 $u in D'$，其像 $(x, y)$ 也会在 $D$ 的内部。
关键是单射性: 由于映射在 $D'$ 的内部是单射的，并且雅可比行列式非零，这保证了映射在局部是“可逆”的，或者说不会“坍缩”或“重叠”。当一个点 $(u_b, v_b)$ 在 $D'$ 的边界上时，它的任何一个微小的扰动（在 $D'$ 的内部或外部）都会导致其像在 $D$ 的相应区域的边界上或外侧。
直观理解: 想象一下将一个橡皮膜（代表 $D'$）拉伸或变形后贴合在一个区域（代表 $D$）。如果橡皮膜边缘的某个点不是贴合区域的边缘，那么这个点要么被拉进了区域内部，要么被推到了区域外部。但是，如果映射是“良好”的（连续、单射、雅可比非零），那么橡皮膜的边缘就应该对应到贴合区域的边缘。
反过来考虑: 设 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点。由于映射是满射（或者说 $D$ 是由 $D'$ 的像构成的），$(x_0, y_0)$ 必然是某个 $(u_0, v_0) in D'$ 的像。如果 $(u_0, v_0)$ 是 $D'$ 的内部点，那么由于单射性和雅可比非零，其像 $(x_0, y_0)$ 将是 $D$ 的内部点（因为映射局部保持“结构”）。这与 $(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的边界点矛盾。因此，$(u_0, v_0)$ 必须是 $D'$ 的边界点。
闭区域的边界是所有满足“既不完全在内部，也不完全在外部”的点集。 变量变换作为连续映射，保持了这种“边界”的性质。如果一个点在原始区域的边界上，意味着它的任何小邻域都与该区域内部和外部都有交集。变换后，这个性质仍然被保留，只不过是在新的坐标系下体现。
4. 雅可比行列式的作用
雅可比行列式 $|J|$ 的绝对值在积分变换公式中起着面积缩放因子的作用。它表示了在 $(u, v)$ 的一个无穷小区域 $du , dv$ 被映射到 $(x, y)$ 平面时，面积被放大了多少倍。它的非零性保证了局部上是从一个“面积”映射到另一个“面积”，而不是将一个区域“压扁”成线段或点。
总结一下关键点：
1. 连续性是基础： 变量变换函数是连续的，连续映射可以将紧集的边界保持为目标区域的边界（或包含目标区域的边界）。
2. 单射性和雅可比非零保证了“不压缩”： 在 $D'$ 的内部，一对一的映射并且雅可比行列式非零，保证了原始区域的边界上的点不会被映射到新区域的内部。
3. 满射性保证覆盖： 整个区域 $D$ 是由 $D'$ 映射过来的，所以 $D$ 的边界点必然是 $D'$ 的边界点在映射下的像。
4. 拓扑性质： 从更抽象的拓扑学角度看，这个映射是一个同胚（homeomorphism）或在一定条件下是紧致保持的连续映射，它保持了集合的边界结构。
因此，当我们将二重积分从 $xy$ 坐标系变换到 $uv$ 坐标系时，原闭区域 $D$ 的边界的每一点，都必然是新闭区域 $D'$ 的边界上的某一点的像，反之亦然（在满足单射性等条件下）。这使得我们可以在新的区域 $D'$ 上进行积分计算，而不需要担心边界的对应关系出错。
网友意见
设 是一同胚， 为开域，那么 将内点映为内点，边界点映为边界点.
证：反证法.
- 若边界点 ，但 是内点，存在开球 ，则 ，故 是 含在 内的开邻域，于是 是 的内点，这与题设矛盾；
- 若内点 ，但 是边界点，由于 也是同胚，则由上一种情况可知， 也是边界点，矛盾.
而一般的积分变换 ，满足Jacobi 行列式非零，等价于积分变换 是满秩的，即 是一个光滑浸没（Submersion），而光滑浸没是局部微分同胚（ Local diffeomorphism）.
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