请问二重积分的换元法中，雅克比矩阵是怎么转化成雅克比行列式的？
二重积分的换元法是积分计算中一个非常强大和常用的技巧。当被积函数或者积分区域的形状比较复杂时，通过引入新的变量，将积分转化为在更简单区域上的积分，可以大大简化计算。而这个转换过程中，雅可比行列式扮演着至关重要的角色，它负责描述了新旧坐标系下面积（或者更准确地说，是面积的无穷小变化）之间的比例关系。
下面我将详细地解释二重积分换元法中，雅可比矩阵是如何转化为雅可比行列式的，以及它在换元过程中所起的作用。
1. 背景：二重积分的几何意义
首先，我们回顾一下二重积分的几何意义。对于一个在 $xy$ 平面上定义的函数 $f(x, y)$，其在区域 $D$ 上的二重积分 $iint_D f(x, y) , dA$ 可以理解为在 $D$ 区域上方，由曲面 $z = f(x, y)$ 所围成的体积（如果 $f(x, y) ge 0$）。
这里的 $dA$ 代表了积分区域 $D$ 中的一个无穷小面积元素。在直角坐标系下，$dA = dx , dy$。
2. 换元的必要性
考虑一个场景：我们想计算一个在极坐标系下描述的区域上的二重积分。例如，计算一个圆盘区域上的积分。如果直接在直角坐标系下进行，积分上下限可能会非常复杂，需要分段积分。然而，如果转换到极坐标系 $(r, heta)$，积分区域会变成一个矩形区域 $[r_1, r_2] imes [ heta_1, heta_2]$，被积函数也相应地转化为 $f(r cos heta, r sin heta)$。
在这种换元的过程中，我们发现积分元素 $dA$ 也需要相应地进行转换。我们不能简单地用 $dr , d heta$ 来代替 $dx , dy$。这里就需要雅可比行列式出场了。
3. 从雅可比矩阵到雅可比行列式
3.1. 变量替换函数
假设我们有从新坐标系 $(u, v)$ 到旧坐标系 $(x, y)$ 的映射关系，即：
$x = x(u, v)$
$y = y(u, v)$
这是一个由两个变量映射到两个变量的函数。
3.2. 无穷小面积元素的转换
我们关注的是一个无穷小的面积元素 $dA$ 在新旧坐标系下的关系。在直角坐标系下，我们可以想象一个由 $dx$ 和 $dy$ 定义的无穷小矩形区域。
在新坐标系下，我们考虑由 $du$ 和 $dv$ 定义的无穷小矩形区域。
当 $u$ 变化 $du$ 时， $x$ 的变化为 $Delta x approx frac{partial x}{partial u} du$， $y$ 的变化为 $Delta y approx frac{partial y}{partial u} du$。
当 $v$ 变化 $dv$ 时， $x$ 的变化为 $Delta x approx frac{partial x}{partial v} dv$， $y$ 的变化为 $Delta y approx frac{partial y}{partial v} dv$。
因此，在 $(u, v)$ 平面上，由 $du$ 和 $dv$ 定义的无穷小矩形区域，在 $(x, y)$ 平面上会映射成一个近似的平行四边形。这个平行四边形的两个相邻边向量可以用偏导数表示：
向量 1: 从 $(u, v)$ 到 $(u+du, v)$ 的点在 $(x, y)$ 平面上的映射。这个向量近似为 $(frac{partial x}{partial u} du, frac{partial y}{partial u} du)$。
向量 2: 从 $(u, v)$ 到 $(u, v+dv)$ 的点在 $(x, y)$ 平面上的映射。这个向量近似为 $(frac{partial x}{partial v} dv, frac{partial y}{partial v} dv)$。
3.3. 雅可比矩阵的构造
这两个向量的组合就构成了 $(x, y)$ 平面上无穷小面积元素的“基”。
我们可以将这两个向量按列排成一个矩阵，这就是雅可比矩阵 $J$：
$J = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix}$
这个矩阵的每一列代表了当其中一个新变量变化时，旧变量的变化率。
3.4. 雅可比行列式的由来：面积的比例
现在，我们来看这个平行四边形的面积。在一个二维空间中，由两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2)$ 张成的平行四边形的面积可以通过向量叉乘的模来计算。在二维情况下，我们可以将向量看作三维空间中的向量，其 $z$ 分量为0：$mathbf{a} = (a_1, a_2, 0)$， $mathbf{b} = (b_1, b_2, 0)$。
$mathbf{a} imes mathbf{b} = egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ a_1 & a_2 & 0 \ b_1 & b_2 & 0 end{vmatrix} = (a_1 b_2 a_2 b_1) mathbf{k}$
平行四边形的面积就是这个叉乘向量的模，即 $|a_1 b_2 a_2 b_1|$。
将我们上面得到的两个向量代入：
向量 1: $(frac{partial x}{partial u} du, frac{partial y}{partial u} du)$
向量 2: $(frac{partial x}{partial v} dv, frac{partial y}{partial v} dv)$
面积 $dA$（在新坐标系下表示）在旧坐标系下的映射面积的无穷小变化 $dA_{xy}$ 是：
$dA_{xy} approx | (frac{partial x}{partial u} du) (frac{partial y}{partial v} dv) (frac{partial y}{partial u} du) (frac{partial x}{partial v} dv) |$
我们将 $du cdot dv$ 提取出来：
$dA_{xy} approx | frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial y}{partial u} frac{partial x}{partial v} | , du , dv$
这里的 $| frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial y}{partial u} frac{partial x}{partial v} |$ 就是雅可比矩阵的行列式，记作 $det(J)$ 或 $J$：
$J = det egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix} = frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial u}$
所以，$dA_{xy} = |J| , dA_{uv}$，其中 $dA_{uv} = du , dv$ 是在新坐标系下的无穷小面积元素。
关键点：
雅可比矩阵本身是一个矩阵，它描述了从新坐标空间到旧坐标空间的线性映射（在无穷小范围内）。
雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式的值。这个值代表了在无穷小范围内，新坐标系下的一个“单位面积”（或者说，由 $du imes dv$ 构成的无穷小矩形）在旧坐标系下被拉伸（或压缩）的比例因子。
这个比例因子必须是绝对值，因为面积是正的。
3.5. 换元公式
基于上述关系，当我们在二重积分中进行变量替换时，积分元素 $dA$ 需要乘以这个雅可比行列式的绝对值：
$iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) , |J| , du , dv$
其中，$D'$ 是区域 $D$ 在 $(u, v)$ 坐标系下的对应区域。
4. 举例：从直角坐标到极坐标
我们知道，从直角坐标 $(x, y)$ 到极坐标 $(r, heta)$ 的变换关系为：
$x = r cos heta$
$y = r sin heta$
现在，我们来计算这个变换的雅可比矩阵和雅可比行列式。
4.1. 计算偏导数
$frac{partial x}{partial r} = cos heta$
$frac{partial x}{partial heta} = r sin heta$
$frac{partial y}{partial r} = sin heta$
$frac{partial y}{partial heta} = r cos heta$
4.2. 构建雅可比矩阵
将这些偏导数代入雅可比矩阵：
$J = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial r} & frac{partial x}{partial heta} \ frac{partial y}{partial r} & frac{partial y}{partial heta} end{pmatrix} = egin{pmatrix} cos heta & r sin heta \ sin heta & r cos heta end{pmatrix}$
4.3. 计算雅可比行列式
现在计算这个矩阵的行列式：
$det(J) = (cos heta)(r cos heta) (r sin heta)(sin heta)$
$= r cos^2 heta + r sin^2 heta$
$= r (cos^2 heta + sin^2 heta)$
$= r cdot 1$
$= r$
4.4. 换元公式的应用
因此，在极坐标换元时，我们有 $dA = dx , dy = |r| , dr , d heta$。由于半径 $r$ 通常是非负的，所以 $|r| = r$。
换元公式变为：
$iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(r cos heta, r sin heta) , r , dr , d heta$
这个公式我们非常熟悉，在处理涉及圆、圆盘等区域的积分时是必不可少的。这里的因子 $r$ 就是极坐标变换的雅可比行列式。它告诉我们，在极坐标系下一个无穷小面积元素 $dr , d heta$ 在直角坐标系下对应的面积是它本身乘以 $r$。这是因为在极坐标系中，随着半径 $r$ 的增大，角度 $d heta$ 所覆盖的弧长在增加，从而导致了实际面积的增大。
5. 总结
雅可比矩阵是描述从新坐标系到旧坐标系变量变换的偏导数构成的矩阵。它反映了在新坐标系中，各个坐标的变化如何影响旧坐标系中的变化。
雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式的值。在二重积分的换元中，雅可比行列式的绝对值代表了新旧坐标系下无穷小面积元素的比例因子。它衡量了坐标变换对面积的“拉伸”或“压缩”程度。
换元公式 $iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) , |J| , du , dv$ 表明，在进行变量替换时，需要用新的积分变量表示被积函数，并用雅可比行列式的绝对值乘以新的积分元素 $du , dv$ 来代替旧的积分元素 $dx , dy$。
理解雅可比行列式是理解二重积分换元法的核心。它连接了不同坐标系下微观的面积元素变化，从而保证了积分计算的正确性。
下面我将详细地解释二重积分换元法中，雅可比矩阵是如何转化为雅可比行列式的，以及它在换元过程中所起的作用。
1. 背景：二重积分的几何意义
首先，我们回顾一下二重积分的几何意义。对于一个在 $xy$ 平面上定义的函数 $f(x, y)$，其在区域 $D$ 上的二重积分 $iint_D f(x, y) , dA$ 可以理解为在 $D$ 区域上方，由曲面 $z = f(x, y)$ 所围成的体积（如果 $f(x, y) ge 0$）。
这里的 $dA$ 代表了积分区域 $D$ 中的一个无穷小面积元素。在直角坐标系下，$dA = dx , dy$。
2. 换元的必要性
考虑一个场景：我们想计算一个在极坐标系下描述的区域上的二重积分。例如，计算一个圆盘区域上的积分。如果直接在直角坐标系下进行，积分上下限可能会非常复杂，需要分段积分。然而，如果转换到极坐标系 $(r, heta)$，积分区域会变成一个矩形区域 $[r_1, r_2] imes [ heta_1, heta_2]$，被积函数也相应地转化为 $f(r cos heta, r sin heta)$。
在这种换元的过程中，我们发现积分元素 $dA$ 也需要相应地进行转换。我们不能简单地用 $dr , d heta$ 来代替 $dx , dy$。这里就需要雅可比行列式出场了。
3. 从雅可比矩阵到雅可比行列式
3.1. 变量替换函数
假设我们有从新坐标系 $(u, v)$ 到旧坐标系 $(x, y)$ 的映射关系，即：
$x = x(u, v)$
$y = y(u, v)$
这是一个由两个变量映射到两个变量的函数。
3.2. 无穷小面积元素的转换
我们关注的是一个无穷小的面积元素 $dA$ 在新旧坐标系下的关系。在直角坐标系下，我们可以想象一个由 $dx$ 和 $dy$ 定义的无穷小矩形区域。
在新坐标系下，我们考虑由 $du$ 和 $dv$ 定义的无穷小矩形区域。
当 $u$ 变化 $du$ 时， $x$ 的变化为 $Delta x approx frac{partial x}{partial u} du$， $y$ 的变化为 $Delta y approx frac{partial y}{partial u} du$。
当 $v$ 变化 $dv$ 时， $x$ 的变化为 $Delta x approx frac{partial x}{partial v} dv$， $y$ 的变化为 $Delta y approx frac{partial y}{partial v} dv$。
因此，在 $(u, v)$ 平面上，由 $du$ 和 $dv$ 定义的无穷小矩形区域，在 $(x, y)$ 平面上会映射成一个近似的平行四边形。这个平行四边形的两个相邻边向量可以用偏导数表示：
向量 1: 从 $(u, v)$ 到 $(u+du, v)$ 的点在 $(x, y)$ 平面上的映射。这个向量近似为 $(frac{partial x}{partial u} du, frac{partial y}{partial u} du)$。
向量 2: 从 $(u, v)$ 到 $(u, v+dv)$ 的点在 $(x, y)$ 平面上的映射。这个向量近似为 $(frac{partial x}{partial v} dv, frac{partial y}{partial v} dv)$。
3.3. 雅可比矩阵的构造
这两个向量的组合就构成了 $(x, y)$ 平面上无穷小面积元素的“基”。
我们可以将这两个向量按列排成一个矩阵，这就是雅可比矩阵 $J$：
$J = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix}$
这个矩阵的每一列代表了当其中一个新变量变化时，旧变量的变化率。
3.4. 雅可比行列式的由来：面积的比例
现在，我们来看这个平行四边形的面积。在一个二维空间中，由两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2)$ 张成的平行四边形的面积可以通过向量叉乘的模来计算。在二维情况下，我们可以将向量看作三维空间中的向量，其 $z$ 分量为0：$mathbf{a} = (a_1, a_2, 0)$， $mathbf{b} = (b_1, b_2, 0)$。
$mathbf{a} imes mathbf{b} = egin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ a_1 & a_2 & 0 \ b_1 & b_2 & 0 end{vmatrix} = (a_1 b_2 a_2 b_1) mathbf{k}$
平行四边形的面积就是这个叉乘向量的模，即 $|a_1 b_2 a_2 b_1|$。
将我们上面得到的两个向量代入：
向量 1: $(frac{partial x}{partial u} du, frac{partial y}{partial u} du)$
向量 2: $(frac{partial x}{partial v} dv, frac{partial y}{partial v} dv)$
面积 $dA$（在新坐标系下表示）在旧坐标系下的映射面积的无穷小变化 $dA_{xy}$ 是：
$dA_{xy} approx | (frac{partial x}{partial u} du) (frac{partial y}{partial v} dv) (frac{partial y}{partial u} du) (frac{partial x}{partial v} dv) |$
我们将 $du cdot dv$ 提取出来：
$dA_{xy} approx | frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial y}{partial u} frac{partial x}{partial v} | , du , dv$
这里的 $| frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial y}{partial u} frac{partial x}{partial v} |$ 就是雅可比矩阵的行列式，记作 $det(J)$ 或 $J$：
$J = det egin{pmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v} \ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{pmatrix} = frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial v} frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial u}$
所以，$dA_{xy} = |J| , dA_{uv}$，其中 $dA_{uv} = du , dv$ 是在新坐标系下的无穷小面积元素。
关键点：
雅可比矩阵本身是一个矩阵，它描述了从新坐标空间到旧坐标空间的线性映射（在无穷小范围内）。
雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式的值。这个值代表了在无穷小范围内，新坐标系下的一个“单位面积”（或者说，由 $du imes dv$ 构成的无穷小矩形）在旧坐标系下被拉伸（或压缩）的比例因子。
这个比例因子必须是绝对值，因为面积是正的。
3.5. 换元公式
基于上述关系，当我们在二重积分中进行变量替换时，积分元素 $dA$ 需要乘以这个雅可比行列式的绝对值：
$iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) , |J| , du , dv$
其中，$D'$ 是区域 $D$ 在 $(u, v)$ 坐标系下的对应区域。
4. 举例：从直角坐标到极坐标
我们知道，从直角坐标 $(x, y)$ 到极坐标 $(r, heta)$ 的变换关系为：
$x = r cos heta$
$y = r sin heta$
现在，我们来计算这个变换的雅可比矩阵和雅可比行列式。
4.1. 计算偏导数
$frac{partial x}{partial r} = cos heta$
$frac{partial x}{partial heta} = r sin heta$
$frac{partial y}{partial r} = sin heta$
$frac{partial y}{partial heta} = r cos heta$
4.2. 构建雅可比矩阵
将这些偏导数代入雅可比矩阵：
$J = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial r} & frac{partial x}{partial heta} \ frac{partial y}{partial r} & frac{partial y}{partial heta} end{pmatrix} = egin{pmatrix} cos heta & r sin heta \ sin heta & r cos heta end{pmatrix}$
4.3. 计算雅可比行列式
现在计算这个矩阵的行列式：
$det(J) = (cos heta)(r cos heta) (r sin heta)(sin heta)$
$= r cos^2 heta + r sin^2 heta$
$= r (cos^2 heta + sin^2 heta)$
$= r cdot 1$
$= r$
4.4. 换元公式的应用
因此，在极坐标换元时，我们有 $dA = dx , dy = |r| , dr , d heta$。由于半径 $r$ 通常是非负的，所以 $|r| = r$。
换元公式变为：
$iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(r cos heta, r sin heta) , r , dr , d heta$
这个公式我们非常熟悉，在处理涉及圆、圆盘等区域的积分时是必不可少的。这里的因子 $r$ 就是极坐标变换的雅可比行列式。它告诉我们，在极坐标系下一个无穷小面积元素 $dr , d heta$ 在直角坐标系下对应的面积是它本身乘以 $r$。这是因为在极坐标系中，随着半径 $r$ 的增大，角度 $d heta$ 所覆盖的弧长在增加，从而导致了实际面积的增大。
5. 总结
雅可比矩阵是描述从新坐标系到旧坐标系变量变换的偏导数构成的矩阵。它反映了在新坐标系中，各个坐标的变化如何影响旧坐标系中的变化。
雅可比行列式是雅可比矩阵的行列式的值。在二重积分的换元中，雅可比行列式的绝对值代表了新旧坐标系下无穷小面积元素的比例因子。它衡量了坐标变换对面积的“拉伸”或“压缩”程度。
换元公式 $iint_D f(x, y) , dx , dy = iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) , |J| , du , dv$ 表明，在进行变量替换时，需要用新的积分变量表示被积函数，并用雅可比行列式的绝对值乘以新的积分元素 $du , dv$ 来代替旧的积分元素 $dx , dy$。
理解雅可比行列式是理解二重积分换元法的核心。它连接了不同坐标系下微观的面积元素变化，从而保证了积分计算的正确性。
网友意见
重积分换元的关键是考查面积微元变换前后的比例伸缩。假设题主对外积很熟悉，推导如下：
最后在等式两边同取模即可。
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