f（x,y）->(x,y),是定义在一个2维空间开集上的 一一映射函数，f连续，它的象是否一定是开集？
是的，如果 $f(x,y) o (x,y)$ 是定义在一个二维空间开集 $U$ 上的一个连续的、一对一的映射函数，那么它的像 $f(U)$ 一定是开集。
这个结论是拓扑学中的一个基本定理，称为 开映射定理（Open Mapping Theorem）或者更具体地说，是关于 同胚（Homeomorphism）的性质。在这种情况下，我们实际上是在探讨一个 局部同胚 的性质。
下面我们来详细解释一下为什么会这样：
1. 理解定义和性质：
二维空间开集 $U$： 在二维空间（例如 $mathbb{R}^2$）中，一个开集是指对于集中的每一个点，都存在一个以该点为中心的小圆盘（不包含边界），这个圆盘完全包含在集合内。简单来说，开集没有“边界上的点”。
一对一映射（Injective）： 对于 $U$ 中的任意两个不同的点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，它们的像 $f(x_1, y_1)$ 和 $f(x_2, y_2)$ 也一定是不同的。也就是说，$f$ 没有“将不同的点映射到同一个点”。
连续映射（Continuous）： 如果 $(x,y)$ 在 $U$ 中接近某个点 $(x_0, y_0)$，那么它们的像 $f(x,y)$ 在 $f(U)$ 中也会接近 $f(x_0, y_0)$。换句话说，映射不会“突然跳跃”。
像 $f(U)$： 这是集合 $U$ 中所有点经过函数 $f$ 映射后得到的点的集合。
2. 为什么 $f(U)$ 是开集？
我们需要证明对于 $f(U)$ 中的任意一个点，都存在一个以该点为中心的小圆盘，这个圆盘完全包含在 $f(U)$ 中。
让我们取 $f(U)$ 中的任意一个点，记为 $v$。由于 $v$ 是 $f(U)$ 中的一个点，那么必然存在 $U$ 中的一个点 $(x_0, y_0)$，使得 $f(x_0, y_0) = v$。
现在，我们的任务是证明在 $v$ 的周围存在一个足够小的圆盘 $B(v, epsilon) = { w in mathbb{R}^2 mid |w v| < epsilon }$，使得 $B(v, epsilon) subseteq f(U)$。
以下是证明的思路，它依赖于连续性和一对一映射的性质，并巧妙地利用了逆映射的局部存在性：
证明思路：
1. 考虑逆映射的局部存在性：
由于 $f$ 是一个连续的一对一映射，而且我们是在二维空间上讨论，这满足了 布劳威尔不动点定理 和 格拉姆施密特正交化 等更广泛的理论所能支持的框架。更直接地，我们可以利用 雅可比行列式 的概念。
如果 $f$ 的雅可比行列式在 $(x_0, y_0)$ 处不为零，那么根据 隐函数定理，在 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内，存在一个逆映射 $f^{1}$，它将 $f$ 的像的某个邻域映射回 $f$ 定义域的某个邻域。这个逆映射 $f^{1}$ 也是连续的。
2. 连续性保证了像的“连通性”：
我们知道 $f$ 是连续的。这意味着如果我们在 $U$ 中选择一个开的圆盘 $B((x_0, y_0), delta)$（这个圆盘当然是 $U$ 的一个开集），那么它的像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 会是一个包含 $v=f(x_0, y_0)$ 的“连通集”。
3. 一对一性保证了逆映射在局部是“连续可逆”的：
因为 $f$ 是一对一的，所以 $f^{1}$ 在 $f(U)$ 的定义域上是良定义的（至少对于那些 $f$ 的雅可比行列式非零的点）。
关键在于，对于一个从开集到开集的连续一对一映射，其逆映射也必定是连续的。
4. 开映射定理 (或反函数定理的推广)：
更严谨地说，这个结论可以直接由开映射定理得到。开映射定理是泛函分析中的一个重要定理，它表明从巴拿赫空间到巴拿赫空间（在某些条件下，例如映射是线性和有界的）的连续满射一定是开映射。
在这里，我们是在欧几里得空间 $mathbb{R}^2$ 上讨论，$mathbb{R}^2$ 是一个巴拿赫空间。如果 $f: U o V$ 是一个从开集 $U$ 到某个集合 $V$ 的连续一对一映射，并且 $f$ 是一个 局部同胚（local homeomorphism），那么 $V$ 必然是开集。
在二维欧几里得空间中，一个连续一对一映射如果其雅可比行列式处处不为零，它就是一个局部同胚。而我们题目中的映射 $f(x,y) o (x,y)$ 的雅可比行列式就是恒等于 1（即单位矩阵的行列式），所以它在任何地方都是非零的。
具体推导过程的另一种角度：利用逆映射
假设 $f: U o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一对一映射，其中 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 的一个开集。我们想证明 $f(U)$ 是一个开集。
考虑 $U$ 中的一个任意点 $(x_0, y_0)$，设 $v_0 = f(x_0, y_0)$。我们想证明存在一个 $epsilon > 0$ 使得 $B(v_0, epsilon) subseteq f(U)$。
由于 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 点连续，对于任意的 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得：
如果 $|(x,y) (x_0, y_0)| < delta$ 且 $(x,y) in U$，那么 $|f(x,y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
这表示开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) cap U$ 的像被包含在开圆盘 $B(v_0, epsilon')$ 中。
然而，我们想要证明的是：对于 $f(U)$ 中的一个点 $v_0$，存在一个 $f(U)$ 的开邻域。 这意味着我们需要找到一个 $epsilon > 0$ 使得 $B(v_0, epsilon)$ 的所有点都能被 $f$ 映射过来，即 $B(v_0, epsilon) subseteq f(U)$。
这里可以使用一个更强的结果：如果 $f: U o V$ 是一个开集到开集的连续一对一映射，那么 $f^{1}: V o U$ 也是连续的。
怎么证明 $f^{1}$ 是连续的呢？
假设我们有一个点 $v_0 in f(U)$，我们想证明对于 $v_0$ 的任何一个邻域 $N$（我们关心的邻域是圆盘 $B(v_0, epsilon)$），它的原像 $f^{1}(N)$ 在 $f(U)$ 的拓扑意义下是开集。换句话说，对于 $v_0$ 的任意一个邻域 $B(v_0, epsilon)$，我们需要证明 $f^{1}(B(v_0, epsilon))$ 是 $U$ 的一个开集（或者说，包含 $f^{1}(v_0)$ 的一个开集）。
对于 $U$ 中的每一个点 $(x_0, y_0)$，由于 $f$ 是连续的，并且 $f$ 是一对一的，我们可以考虑以 $(x_0, y_0)$ 为中心的足够小的开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) subseteq U$。
其像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 是一个包含 $v_0 = f(x_0, y_0)$ 的集合。
现在，我们需要证明这个像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 本身就是一个包含 $v_0$ 的开集。
如果 $f$ 是一个 局部同胚（Local Homeomorphism），那么它就能保证这个。一个连续映射 $f$ 是局部同胚的，如果对于定义域中的每一点，都存在一个邻域，使得映射到这个邻域的像也是开集。
在 $mathbb{R}^n$ 中，连续的一对一映射的雅可比行列式处处非零，就保证了它是局部同胚。
因为 $f(x,y) o (x,y)$ 是单位映射（或者说，它将点映到自身），它的雅可比矩阵是单位矩阵：
$$ J_f = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial x} & frac{partial x}{partial y} \ frac{partial y}{partial x} & frac{partial y}{partial y} end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} $$
这个雅可比矩阵的行列式是 $1 imes 1 0 imes 0 = 1$，它处处不为零。
因此，$f$ 是一个局部同胚。
这意味着，对于 $U$ 中的任何一点 $(x_0, y_0)$，存在一个开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) subseteq U$，其像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 是 $f(U)$ 中的一个开集，并且 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 包含了 $f(x_0, y_0)$。
我们知道 $f(x,y) = (x,y)$。所以 $f(B((x_0, y_0), delta)) = B((x_0, y_0), delta)$。
而 $B((x_0, y_0), delta)$ 本身就是一个开集。
所以，对于 $f(U)$ 中的任意一点 $v_0 = (x_0, y_0)$，它存在一个开邻域 $B((x_0, y_0), delta)$，这个邻域就是 $f(U)$ 的一个开集。
所以 $f(U)$ 是一个开集。
总结：
这个结论是基于一个更普遍的定理：在欧几里得空间中，一个从开集出发的连续一对一映射，如果其雅可比行列式处处非零，那么它就是一个开映射，其像也必然是开集。
在您给出的例子 $f(x,y) o (x,y)$ 中，函数是恒等映射，它显然是连续的、一对一的，并且其雅可比行列式恒等于1（非零）。因此，它是一个开映射，其像一定是开集。
更重要的是，这个结论适用于任何满足条件的函数，而不仅仅是单位映射。例如，一个稍微变形的映射，只要它在定义域内是可微的、一对一的、并且雅可比行列式处处非零，它的像就一定是开集。
所以，答案是：是的，它的象一定是开集。
这个结论是拓扑学中的一个基本定理，称为 开映射定理（Open Mapping Theorem）或者更具体地说，是关于 同胚（Homeomorphism）的性质。在这种情况下，我们实际上是在探讨一个 局部同胚 的性质。
下面我们来详细解释一下为什么会这样：
1. 理解定义和性质：
二维空间开集 $U$： 在二维空间（例如 $mathbb{R}^2$）中，一个开集是指对于集中的每一个点，都存在一个以该点为中心的小圆盘（不包含边界），这个圆盘完全包含在集合内。简单来说，开集没有“边界上的点”。
一对一映射（Injective）： 对于 $U$ 中的任意两个不同的点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，它们的像 $f(x_1, y_1)$ 和 $f(x_2, y_2)$ 也一定是不同的。也就是说，$f$ 没有“将不同的点映射到同一个点”。
连续映射（Continuous）： 如果 $(x,y)$ 在 $U$ 中接近某个点 $(x_0, y_0)$，那么它们的像 $f(x,y)$ 在 $f(U)$ 中也会接近 $f(x_0, y_0)$。换句话说，映射不会“突然跳跃”。
像 $f(U)$： 这是集合 $U$ 中所有点经过函数 $f$ 映射后得到的点的集合。
2. 为什么 $f(U)$ 是开集？
我们需要证明对于 $f(U)$ 中的任意一个点，都存在一个以该点为中心的小圆盘，这个圆盘完全包含在 $f(U)$ 中。
让我们取 $f(U)$ 中的任意一个点，记为 $v$。由于 $v$ 是 $f(U)$ 中的一个点，那么必然存在 $U$ 中的一个点 $(x_0, y_0)$，使得 $f(x_0, y_0) = v$。
现在，我们的任务是证明在 $v$ 的周围存在一个足够小的圆盘 $B(v, epsilon) = { w in mathbb{R}^2 mid |w v| < epsilon }$，使得 $B(v, epsilon) subseteq f(U)$。
以下是证明的思路，它依赖于连续性和一对一映射的性质，并巧妙地利用了逆映射的局部存在性：
证明思路：
1. 考虑逆映射的局部存在性：
由于 $f$ 是一个连续的一对一映射，而且我们是在二维空间上讨论，这满足了 布劳威尔不动点定理 和 格拉姆施密特正交化 等更广泛的理论所能支持的框架。更直接地，我们可以利用 雅可比行列式 的概念。
如果 $f$ 的雅可比行列式在 $(x_0, y_0)$ 处不为零，那么根据 隐函数定理，在 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内，存在一个逆映射 $f^{1}$，它将 $f$ 的像的某个邻域映射回 $f$ 定义域的某个邻域。这个逆映射 $f^{1}$ 也是连续的。
2. 连续性保证了像的“连通性”：
我们知道 $f$ 是连续的。这意味着如果我们在 $U$ 中选择一个开的圆盘 $B((x_0, y_0), delta)$（这个圆盘当然是 $U$ 的一个开集），那么它的像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 会是一个包含 $v=f(x_0, y_0)$ 的“连通集”。
3. 一对一性保证了逆映射在局部是“连续可逆”的：
因为 $f$ 是一对一的，所以 $f^{1}$ 在 $f(U)$ 的定义域上是良定义的（至少对于那些 $f$ 的雅可比行列式非零的点）。
关键在于，对于一个从开集到开集的连续一对一映射，其逆映射也必定是连续的。
4. 开映射定理 (或反函数定理的推广)：
更严谨地说，这个结论可以直接由开映射定理得到。开映射定理是泛函分析中的一个重要定理，它表明从巴拿赫空间到巴拿赫空间（在某些条件下，例如映射是线性和有界的）的连续满射一定是开映射。
在这里，我们是在欧几里得空间 $mathbb{R}^2$ 上讨论，$mathbb{R}^2$ 是一个巴拿赫空间。如果 $f: U o V$ 是一个从开集 $U$ 到某个集合 $V$ 的连续一对一映射，并且 $f$ 是一个 局部同胚（local homeomorphism），那么 $V$ 必然是开集。
在二维欧几里得空间中，一个连续一对一映射如果其雅可比行列式处处不为零，它就是一个局部同胚。而我们题目中的映射 $f(x,y) o (x,y)$ 的雅可比行列式就是恒等于 1（即单位矩阵的行列式），所以它在任何地方都是非零的。
具体推导过程的另一种角度：利用逆映射
假设 $f: U o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一对一映射，其中 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 的一个开集。我们想证明 $f(U)$ 是一个开集。
考虑 $U$ 中的一个任意点 $(x_0, y_0)$，设 $v_0 = f(x_0, y_0)$。我们想证明存在一个 $epsilon > 0$ 使得 $B(v_0, epsilon) subseteq f(U)$。
由于 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 点连续，对于任意的 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得：
如果 $|(x,y) (x_0, y_0)| < delta$ 且 $(x,y) in U$，那么 $|f(x,y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
这表示开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) cap U$ 的像被包含在开圆盘 $B(v_0, epsilon')$ 中。
然而，我们想要证明的是：对于 $f(U)$ 中的一个点 $v_0$，存在一个 $f(U)$ 的开邻域。 这意味着我们需要找到一个 $epsilon > 0$ 使得 $B(v_0, epsilon)$ 的所有点都能被 $f$ 映射过来，即 $B(v_0, epsilon) subseteq f(U)$。
这里可以使用一个更强的结果：如果 $f: U o V$ 是一个开集到开集的连续一对一映射，那么 $f^{1}: V o U$ 也是连续的。
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对于 $U$ 中的每一个点 $(x_0, y_0)$，由于 $f$ 是连续的，并且 $f$ 是一对一的，我们可以考虑以 $(x_0, y_0)$ 为中心的足够小的开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) subseteq U$。
其像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 是一个包含 $v_0 = f(x_0, y_0)$ 的集合。
现在，我们需要证明这个像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 本身就是一个包含 $v_0$ 的开集。
如果 $f$ 是一个 局部同胚（Local Homeomorphism），那么它就能保证这个。一个连续映射 $f$ 是局部同胚的，如果对于定义域中的每一点，都存在一个邻域，使得映射到这个邻域的像也是开集。
在 $mathbb{R}^n$ 中，连续的一对一映射的雅可比行列式处处非零，就保证了它是局部同胚。
因为 $f(x,y) o (x,y)$ 是单位映射（或者说，它将点映到自身），它的雅可比矩阵是单位矩阵：
$$ J_f = egin{pmatrix} frac{partial x}{partial x} & frac{partial x}{partial y} \ frac{partial y}{partial x} & frac{partial y}{partial y} end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} $$
这个雅可比矩阵的行列式是 $1 imes 1 0 imes 0 = 1$，它处处不为零。
因此，$f$ 是一个局部同胚。
这意味着，对于 $U$ 中的任何一点 $(x_0, y_0)$，存在一个开圆盘 $B((x_0, y_0), delta) subseteq U$，其像 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 是 $f(U)$ 中的一个开集，并且 $f(B((x_0, y_0), delta))$ 包含了 $f(x_0, y_0)$。
我们知道 $f(x,y) = (x,y)$。所以 $f(B((x_0, y_0), delta)) = B((x_0, y_0), delta)$。
而 $B((x_0, y_0), delta)$ 本身就是一个开集。
所以，对于 $f(U)$ 中的任意一点 $v_0 = (x_0, y_0)$，它存在一个开邻域 $B((x_0, y_0), delta)$，这个邻域就是 $f(U)$ 的一个开集。
所以 $f(U)$ 是一个开集。
总结：
这个结论是基于一个更普遍的定理：在欧几里得空间中，一个从开集出发的连续一对一映射，如果其雅可比行列式处处非零，那么它就是一个开映射，其像也必然是开集。
在您给出的例子 $f(x,y) o (x,y)$ 中，函数是恒等映射，它显然是连续的、一对一的，并且其雅可比行列式恒等于1（非零）。因此，它是一个开映射，其像一定是开集。
更重要的是，这个结论适用于任何满足条件的函数，而不仅仅是单位映射。例如，一个稍微变形的映射，只要它在定义域内是可微的、一对一的、并且雅可比行列式处处非零，它的像就一定是开集。
所以，答案是：是的，它的象一定是开集。
网友意见
谢邀。
只要证明下式即可:
反证法：
于是可以选取点列
又因为函数是单的，即存在反函数，并且有
由函数的连续性，
而 X₀ 是 A 的内点，于是当 ε 充分小时，有
这就产生了矛盾!
Q. E. D
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