f'(x)=f(f(x))这类迭代常微分方程是否有相应的方法求它们的性质？
f'(x) = f(f(x)) 这样的方程，学界通常称之为 函数迭代型常微分方程（Functional Iteration Ordinary Differential Equations）。这类方程之所以特殊且迷人，是因为它们将函数本身的性质（导数）与其自身的映射（函数值作为自变量）紧密地联系在一起。直接求解这类方程的解析表达式通常是极其困难的，甚至是不存在的。然而，数学家们已经发展出了一系列分析工具和方法来研究它们的性质。
下面我将尝试详细地、有条理地介绍一下我们通常如何着手分析这类方程，并且尽量避免生硬的AI痕迹。
1. 理解方程的本质：自指与复杂性
首先，我们需要认识到 f'(x) = f(f(x)) 的核心特征。它是一个 隐式方程，而且是关于函数 f 本身的高度非线性的关系。导数 f'(x) 的值不仅依赖于 x，还依赖于函数 f 在 x 处的函数值 f(x) 处的值。这种“自指”的性质是其复杂性的根源。
想象一下，如果你要计算 f'(x)，你需要先知道 f(x) 的值。而 f(x) 的值又依赖于你之前计算过的 f 的值。这就像一个不断回溯的链条，使得直接应用标准的ODE求解技巧（如分离变量、常数变易法等）变得不奏 असतील。
2. 解的存在性与唯一性：一个棘手的起点
在研究任何微分方程时，首要的问题通常是解是否存在以及是否唯一。对于 f'(x) = f(f(x))，这个问题本身就充满了挑战。
初值问题 (Initial Value Problem, IVP): 如果我们给定一个初值条件，比如 f(x₀) = y₀，那么在这个初值点附近，解是否存在并唯一呢？这通常需要利用 PicardLindelöf 定理（或称存在唯一性定理）的推广。但是，PicardLindelöf 定理通常作用于形如 y' = G(x, y) 的方程。在这里，我们的方程是 f'(x) = f(f(x))。如果我们将 f(x) 视为未知函数 y(x)，那么方程可以写成 y'(x) = f(y(x))。关键在于，这里的右侧函数是 f 自身的取值，而不是一个显式的关于 x 和 y 的函数 G(x, y)。这使得直接应用标准的定理变得复杂。
Lipschitz 条件： 要应用 PicardLindelöf 定理，通常需要右侧函数满足 Lipschitz 条件。在这个方程中，如果我们要分析 y'(x) = f(y(x))，那么我们需要 f 本身在某个区域内是 Lipschitz 连续的。而且，即使 f 是 Lipschitz 的，我们还需要考虑 f(y(x)) 这个复合函数的行为，这又增加了分析的难度。
全局解 vs. 局部解： 即使在初值点附近存在局部解，我们也不能轻易断言全局解的存在。函数 f 的行为可能会在某些地方变得非常“奇怪”，导致解在有限的区域内“爆炸”或失效。
3. 特殊解的探索：寻找“好”的妻子
虽然一般解难以获得，但我们总可以尝试寻找一些特殊的、具有良好性质的解，这些解可能揭示方程的一些内在特性。
常数解： 如果 f(x) = c（常数），那么 f'(x) = 0。代入方程，我们得到 0 = f(c) = c。所以，f(x) = 0 是一个平凡的常数解。这是一个很重要的起点，它告诉我们，零函数是满足该方程的一个简单情况。
线性解： 考虑 f(x) = ax + b。那么 f'(x) = a。代入方程：
a = f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a²x + ab + b
为了使这个等式对所有 x 都成立，我们必须有 a² = 0 并且 ab + b = 0。
从 a² = 0，我们得到 a = 0。代入 ab + b = 0，得到 0b + b = 0，即 b = 0。
这又回到了 f(x) = 0 这个常数解。所以，方程没有非零的线性解。
幂函数解： 尝试 f(x) = x^p。则 f'(x) = px^(p1)。
px^(p1) = f(f(x)) = f(x^p) = (x^p)^p = x^(p²)
为了使这个等式成立，我们需要 p = p² 且 p1 = p²。
p = p² 意味着 p=0 或 p=1。
如果 p=0，f(x) = x⁰ = 1 (对于 x≠0)。f'(x) = 0。方程变为 0 = f(1) = 1，矛盾。
如果 p=1，f(x) = x。f'(x) = 1。方程变为 1 = f(1) = 1。这似乎是一个解！
但是，f(x)=x 的导数 f'(x)=1。代入方程 f'(x) = f(f(x))：
1 = f(x) = x。
这只在 x=1 时成立，不是对所有 x 都成立的解。
让我们更仔细地检查 p 的条件：p = p² 和 p1 = p²。
p = p² 意味着 p=0 或 p=1。
p1 = p² 意味着 p² p + 1 = 0。这个二次方程的判别式是 (1)² 4(1)(1) = 1 4 = 3 < 0。所以它没有实数解。
这意味着不存在形如 f(x) = x^p 的非平凡解。
4. 稳定性分析与不动点
很多微分方程的研究都聚焦于其 不动点 (Fixed Points)。对于 f'(x) = f(f(x))，我们可以考虑那些 恒等映射 之外的特殊不动点。
如果存在一个点 x₀ 使得 f(x₀) = x₀，那么我们称 x₀ 是函数 f 的一个不动点。
将 x₀ 代入方程：
f'(x₀) = f(f(x₀)) = f(x₀) = x₀
所以，如果函数 f 在其不动点 x₀ 处是可微的，并且 f'(x₀) = x₀，那么这个不动点具有特殊的性质。
更进一步，我们可以考虑 周期轨道 (Periodic Orbits)。如果存在一个 T > 0 使得 f(x+T) = f(x)（函数是周期函数），并且我们能找到满足方程的周期函数，那将是非常有意义的。然而，对于 f'(x) = f(f(x))，周期解的分析同样充满挑战。
5. 数值方法的应用与性质推断
由于解析方法的局限性，数值计算在研究这类方程时扮演着至关重要的角色。
数值求解： 我们可以选择一个初始函数（例如，一个泰勒展开的前几项，或者一个简单的已知函数），然后通过数值方法（如 RungeKutta 方法，尽管直接应用需要特殊处理）来迭代计算 f 的值和导数。但请注意，这里不是传统的 ODE 数值求解，因为我们不知道 f(x) 的具体表达式。我们更可能是在一个离散的点集 {x₀, x₁, x₂, ...} 上，尝试近似计算 f(xᵢ) 和 f'(xᵢ)。
迭代逼近： 另一种数值方法可能是从一个猜测的函数开始，例如 f₀(x)，然后生成序列 f_{n+1}(x) 使得 f'_{n+1}(x) ≈ f_n(f_n(x))。然后通过某种方法（例如，用多项式拟合或插值）来“更新”函数。这是一个非常具有挑战性的过程，需要精巧的数值算法设计。
性质推断： 通过大量数值模拟，我们可以观察到一些模式：
收敛性： 在某些初值和初始函数下，是否 f(x) 会趋于某个常数或某个特定的函数？
振荡行为： 函数是否会表现出振荡？振荡的周期和幅度如何？
分岔现象 (Bifurcation)： 当我们改变方程中的参数（如果存在的话）时，解的行为是否会发生突变？
吸引子 (Attractors)： 数值计算是否会收敛到某些“吸引子”？
6. 理论工具的拓展
对于这类方程，数学家们会借用一些更高级的理论工具：
泛函分析 (Functional Analysis)： 将函数看作是函数空间（如 Banach 空间或 Hilbert 空间）中的点，然后研究方程在这些空间中的性质。这有助于理解全局性质和存在性。
动力系统理论 (Dynamical Systems Theory)： 即使没有显式的解析解，我们也可以将函数迭代看作是一种动力系统。研究其相空间中的轨迹、极限集、稳定性等。f'(x) = f(f(x)) 本身就可以被看作是描述了一个由函数 f 引导的“动力”。
谱理论 (Spectral Theory)： 对于线性化后的方程（如果能找到的话），可以分析其特征值来理解稳定性。
7. 具体例子与研究方向
虽然一般性的方法很难，但在某些特定情况下，人们确实找到了解析解或深入分析了其性质。
一个具体的例子（可能不是直接的f'(x)=f(f(x))，但概念相似）： 有些研究会关注形如 f'(x) = g(f(x)) 的方程，其中 g 是一个已知的简单函数。例如，如果 g(y) = y, f'(x) = f(x)，则 f(x) = Ce^x。如果 g(y) = cy, f'(x) = c f(x)，则 f(x) = C e^(cx)。
对 f'(x) = f(f(x)) 的研究：
周期解的分析： 寻找满足方程的周期函数。这通常需要结合微积分、傅里叶分析以及可能的不定积分和复分析技巧。
渐近行为： 当 x → ∞ 或 x → ∞ 时，解 f(x) 的行为是什么样的？是趋于常数，还是发散，还是周期性？
分岔和混沌： 是否存在参数（如果有的话）导致解出现分岔甚至混沌行为？
与特定函数类的联系： 是否存在满足该方程的特殊函数类，如三角函数、指数函数、超几何函数等？
总结
总而言之，f'(x) = f(f(x)) 这样的函数迭代常微分方程是一个非常具有挑战性的研究领域。它们 没有通用的解析求解方法，其性质的分析往往需要结合：
1. 严格的数学分析： 从存在性、唯一性入手，研究不动点、周期性等。
2. 数值计算： 通过数值模拟来观察和推断函数行为。
3. 抽象的数学理论： 动用泛函分析、动力系统理论等工具来建立更一般的理论框架。
这类方程的研究更多的是 探索性 的，通过各种数学工具试图揭示其背后隐藏的复杂数学结构。每找到一个性质、一个特殊解，都可能是一项重要的数学发现。
希望这些分析能帮助你理解我们通常如何处理这类方程。这确实是一个需要耐心和多方面知识才能深入探讨的领域。
下面我将尝试详细地、有条理地介绍一下我们通常如何着手分析这类方程，并且尽量避免生硬的AI痕迹。
1. 理解方程的本质：自指与复杂性
首先，我们需要认识到 f'(x) = f(f(x)) 的核心特征。它是一个 隐式方程，而且是关于函数 f 本身的高度非线性的关系。导数 f'(x) 的值不仅依赖于 x，还依赖于函数 f 在 x 处的函数值 f(x) 处的值。这种“自指”的性质是其复杂性的根源。
想象一下，如果你要计算 f'(x)，你需要先知道 f(x) 的值。而 f(x) 的值又依赖于你之前计算过的 f 的值。这就像一个不断回溯的链条，使得直接应用标准的ODE求解技巧（如分离变量、常数变易法等）变得不奏 असतील。
2. 解的存在性与唯一性：一个棘手的起点
在研究任何微分方程时，首要的问题通常是解是否存在以及是否唯一。对于 f'(x) = f(f(x))，这个问题本身就充满了挑战。
初值问题 (Initial Value Problem, IVP): 如果我们给定一个初值条件，比如 f(x₀) = y₀，那么在这个初值点附近，解是否存在并唯一呢？这通常需要利用 PicardLindelöf 定理（或称存在唯一性定理）的推广。但是，PicardLindelöf 定理通常作用于形如 y' = G(x, y) 的方程。在这里，我们的方程是 f'(x) = f(f(x))。如果我们将 f(x) 视为未知函数 y(x)，那么方程可以写成 y'(x) = f(y(x))。关键在于，这里的右侧函数是 f 自身的取值，而不是一个显式的关于 x 和 y 的函数 G(x, y)。这使得直接应用标准的定理变得复杂。
Lipschitz 条件： 要应用 PicardLindelöf 定理，通常需要右侧函数满足 Lipschitz 条件。在这个方程中，如果我们要分析 y'(x) = f(y(x))，那么我们需要 f 本身在某个区域内是 Lipschitz 连续的。而且，即使 f 是 Lipschitz 的，我们还需要考虑 f(y(x)) 这个复合函数的行为，这又增加了分析的难度。
全局解 vs. 局部解： 即使在初值点附近存在局部解，我们也不能轻易断言全局解的存在。函数 f 的行为可能会在某些地方变得非常“奇怪”，导致解在有限的区域内“爆炸”或失效。
3. 特殊解的探索：寻找“好”的妻子
虽然一般解难以获得，但我们总可以尝试寻找一些特殊的、具有良好性质的解，这些解可能揭示方程的一些内在特性。
常数解： 如果 f(x) = c（常数），那么 f'(x) = 0。代入方程，我们得到 0 = f(c) = c。所以，f(x) = 0 是一个平凡的常数解。这是一个很重要的起点，它告诉我们，零函数是满足该方程的一个简单情况。
线性解： 考虑 f(x) = ax + b。那么 f'(x) = a。代入方程：
a = f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a²x + ab + b
为了使这个等式对所有 x 都成立，我们必须有 a² = 0 并且 ab + b = 0。
从 a² = 0，我们得到 a = 0。代入 ab + b = 0，得到 0b + b = 0，即 b = 0。
这又回到了 f(x) = 0 这个常数解。所以，方程没有非零的线性解。
幂函数解： 尝试 f(x) = x^p。则 f'(x) = px^(p1)。
px^(p1) = f(f(x)) = f(x^p) = (x^p)^p = x^(p²)
为了使这个等式成立，我们需要 p = p² 且 p1 = p²。
p = p² 意味着 p=0 或 p=1。
如果 p=0，f(x) = x⁰ = 1 (对于 x≠0)。f'(x) = 0。方程变为 0 = f(1) = 1，矛盾。
如果 p=1，f(x) = x。f'(x) = 1。方程变为 1 = f(1) = 1。这似乎是一个解！
但是，f(x)=x 的导数 f'(x)=1。代入方程 f'(x) = f(f(x))：
1 = f(x) = x。
这只在 x=1 时成立，不是对所有 x 都成立的解。
让我们更仔细地检查 p 的条件：p = p² 和 p1 = p²。
p = p² 意味着 p=0 或 p=1。
p1 = p² 意味着 p² p + 1 = 0。这个二次方程的判别式是 (1)² 4(1)(1) = 1 4 = 3 < 0。所以它没有实数解。
这意味着不存在形如 f(x) = x^p 的非平凡解。
4. 稳定性分析与不动点
很多微分方程的研究都聚焦于其 不动点 (Fixed Points)。对于 f'(x) = f(f(x))，我们可以考虑那些 恒等映射 之外的特殊不动点。
如果存在一个点 x₀ 使得 f(x₀) = x₀，那么我们称 x₀ 是函数 f 的一个不动点。
将 x₀ 代入方程：
f'(x₀) = f(f(x₀)) = f(x₀) = x₀
所以，如果函数 f 在其不动点 x₀ 处是可微的，并且 f'(x₀) = x₀，那么这个不动点具有特殊的性质。
更进一步，我们可以考虑 周期轨道 (Periodic Orbits)。如果存在一个 T > 0 使得 f(x+T) = f(x)（函数是周期函数），并且我们能找到满足方程的周期函数，那将是非常有意义的。然而，对于 f'(x) = f(f(x))，周期解的分析同样充满挑战。
5. 数值方法的应用与性质推断
由于解析方法的局限性，数值计算在研究这类方程时扮演着至关重要的角色。
数值求解： 我们可以选择一个初始函数（例如，一个泰勒展开的前几项，或者一个简单的已知函数），然后通过数值方法（如 RungeKutta 方法，尽管直接应用需要特殊处理）来迭代计算 f 的值和导数。但请注意，这里不是传统的 ODE 数值求解，因为我们不知道 f(x) 的具体表达式。我们更可能是在一个离散的点集 {x₀, x₁, x₂, ...} 上，尝试近似计算 f(xᵢ) 和 f'(xᵢ)。
迭代逼近： 另一种数值方法可能是从一个猜测的函数开始，例如 f₀(x)，然后生成序列 f_{n+1}(x) 使得 f'_{n+1}(x) ≈ f_n(f_n(x))。然后通过某种方法（例如，用多项式拟合或插值）来“更新”函数。这是一个非常具有挑战性的过程，需要精巧的数值算法设计。
性质推断： 通过大量数值模拟，我们可以观察到一些模式：
收敛性： 在某些初值和初始函数下，是否 f(x) 会趋于某个常数或某个特定的函数？
振荡行为： 函数是否会表现出振荡？振荡的周期和幅度如何？
分岔现象 (Bifurcation)： 当我们改变方程中的参数（如果存在的话）时，解的行为是否会发生突变？
吸引子 (Attractors)： 数值计算是否会收敛到某些“吸引子”？
6. 理论工具的拓展
对于这类方程，数学家们会借用一些更高级的理论工具：
泛函分析 (Functional Analysis)： 将函数看作是函数空间（如 Banach 空间或 Hilbert 空间）中的点，然后研究方程在这些空间中的性质。这有助于理解全局性质和存在性。
动力系统理论 (Dynamical Systems Theory)： 即使没有显式的解析解，我们也可以将函数迭代看作是一种动力系统。研究其相空间中的轨迹、极限集、稳定性等。f'(x) = f(f(x)) 本身就可以被看作是描述了一个由函数 f 引导的“动力”。
谱理论 (Spectral Theory)： 对于线性化后的方程（如果能找到的话），可以分析其特征值来理解稳定性。
7. 具体例子与研究方向
虽然一般性的方法很难，但在某些特定情况下，人们确实找到了解析解或深入分析了其性质。
一个具体的例子（可能不是直接的f'(x)=f(f(x))，但概念相似）： 有些研究会关注形如 f'(x) = g(f(x)) 的方程，其中 g 是一个已知的简单函数。例如，如果 g(y) = y, f'(x) = f(x)，则 f(x) = Ce^x。如果 g(y) = cy, f'(x) = c f(x)，则 f(x) = C e^(cx)。
对 f'(x) = f(f(x)) 的研究：
周期解的分析： 寻找满足方程的周期函数。这通常需要结合微积分、傅里叶分析以及可能的不定积分和复分析技巧。
渐近行为： 当 x → ∞ 或 x → ∞ 时，解 f(x) 的行为是什么样的？是趋于常数，还是发散，还是周期性？
分岔和混沌： 是否存在参数（如果有的话）导致解出现分岔甚至混沌行为？
与特定函数类的联系： 是否存在满足该方程的特殊函数类，如三角函数、指数函数、超几何函数等？
总结
总而言之，f'(x) = f(f(x)) 这样的函数迭代常微分方程是一个非常具有挑战性的研究领域。它们 没有通用的解析求解方法，其性质的分析往往需要结合：
1. 严格的数学分析： 从存在性、唯一性入手，研究不动点、周期性等。
2. 数值计算： 通过数值模拟来观察和推断函数行为。
3. 抽象的数学理论： 动用泛函分析、动力系统理论等工具来建立更一般的理论框架。
这类方程的研究更多的是 探索性 的，通过各种数学工具试图揭示其背后隐藏的复杂数学结构。每找到一个性质、一个特殊解，都可能是一项重要的数学发现。
希望这些分析能帮助你理解我们通常如何处理这类方程。这确实是一个需要耐心和多方面知识才能深入探讨的领域。
网友意见
正如Mathoverflow回答里说的那样，“Nothing is new under the Moon...”，这个问题在Mathoverflow[1]和StackExchange的Mathematics[2]版都被问过了，而且即使是Mathoverflow也是给出了这个问题在AoPS Online的大学数学社区里的回答[3]。实际上这一类“迭代函数”的微分方程，Mathoverflow上该问题[1]的一个回答给出了该问题相应的求解技巧的来源——陈的论文[4]综述了迭代函数微分方程的光滑解的求解技巧。包含形如 项（以及包含有限次迭代的项）的微分方程问题学术上被称为Iterative Functional Differential Equations，即迭代函数的微分方程，即对于
如下方程为迭代函数的微分方程：
迭代函数是在分形和动力系统中深入研究的对象，迭代函数的微分方程是动力系统的重要课题。这一类问题相关的文献相当的多，例如专门归纳研究这一类问题的教材[5]，这已经是90年代的老书了。
至于为什么你本科的常微分课本不教，嘛，这是研究生课程，而且方向不涉及微分方程的都不会碰的这个的，你不学是正常的，微分方程是很难的学问，如果还掺进了迭代函数，那就别想有几个人及格了。你没发现，当分析、代数、几何、拓扑等学科都在系统地建立知识体系的时候，微分方程的课却往往只是抛给你几个“形如XXX的微分方程”么？因为这门课水太深了。
就这个问题而言，AoPS Online的回答[3]最为详细，如果有空我再翻译，否则还是请题主学点英语（捂脸）。不过这个问题在Mathoverflow[1]的一个简单回复我还是可以翻译一下的，尽管我不是做方程的，不过翻译一下简单的回复还是可以做到的，这个问题有两个闭式解：
.
对于一般的情形，即 有解
其中 和 是方程组
的解.
这个回答来自于Anixx (https://mathoverflow.net/users/10059/anixx), Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL (version: 2012-11-01): https://mathoverflow.net/q/111096[6]
同样这名答主还给出了基于泰勒级数的通解所具有的形式[7]。一样是有空再翻译吧（捂脸
最后知乎里应该还是有不少做动力系统的童鞋的，他们应该比我答得好，我就做了点苦力搜了搜文献，抛砖引玉。写了半天发现评论区有人找到了啊，来，找他答吧，这不就逮着一个做方程的 @Lewis Liou
参考
- ^ a b c https://mathoverflow.net/questions/111066/are-there-any-techniques-for-solving-a-differential-equation-of-the-form-f-x
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/916967/how-do-you-solve-fx-ffx
- ^ a b https://artofproblemsolving.com/community/c7h321705
- ^Cheng S S. Smooth solutions of iterative functional differential equations[J]. Proceedings, pp, 2004, 228: 252. http://faculty.kfupm.edu.sa/math/akca/papers/cheng.pdf
- ^ Kuczma M, Choczewski B, Ger R. Iterative functional equations[M]. Cambridge University Press, 1990.
- ^Anixx, Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL(version: 2012-11-01): https://mathoverflow.net/q/111096
- ^Anixx, Are there any techniques for solving a differential equation of the form $f ' (x) = f( f( x ) )$?, URL (version: 2012-11-02): https://mathoverflow.net/q/111179
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这道题问的是，能否找到四个人（多项式）f(x), g(x), m(y), n(y)，让他们通过一种特定的组合方式，生成一个特定的“成果”（多项式 (xy)²+xy+1）。这里的“成果”有点特别，因为它里面混合了x和y。这给问题增加了一些难度，就像要用不同工具和材料，去组合出一个包含两种基本元素（比如.............
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想弄明白函数 $f(x) = frac{log(x)}{x}$ 的 $n$ 阶导数到底长什么样，咱们得一步一步来，就像剥洋葱一样，一层一层地揭开它的神秘面纱。这可不是那种一看就知道答案的简单函数，需要一点耐心和技巧。第一步：初探函数，熟悉“脾气”在深入计算之前，咱们先得对 $f(x)$ 有个初步的认.............
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好的，咱们来聊聊怎么求函数 $f(x) = sin x + sin 2x + sin 3x$ 的值域。这问题虽然看起来有点小挑战，但一步一步来，你会发现并不难。咱们就把它当成一次数学探险，看看这个函数能取得哪些值。首先，咱们拿到这个函数 $f(x) = sin x + sin 2x + sin 3x.............
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