抽象函数2f(x)f(y)＝f(x+y)+f(x-y)的通式是什么？？
好，咱们来聊聊这个有趣的函数方程：$2f(x)f(y) = f(x+y) + f(xy)$。这个方程在数学里有个响亮的名字，叫做d'Alembert 函数方程，有时候也叫二次叠加方程。它描述了一类非常重要的函数，很多我们熟悉的函数都能找到它的影子。
咱们一步一步来把它“拆解”了，找出它的通式。
第一步：先观察方程本身，找找规律和特殊点
这个方程是关于 $x$ 和 $y$ 的，而且是两个函数值相乘等于另外两个函数值相加。这种形式很像三角函数的乘积化和差公式。
咱们先试试一些特殊的点，看看能得到什么信息：
令 $y=0$：
$2f(x)f(0) = f(x+0) + f(x0)$
$2f(x)f(0) = f(x) + f(x)$
$2f(x)f(0) = 2f(x)$
从这个式子我们可以得出 $f(x)f(0) = f(x)$。这意味着对于任意的 $x$，要么 $f(x) = 0$，要么 $f(0) = 1$。
情况一：如果存在某个 $x_0$ 使得 $f(x_0) eq 0$。
那么根据 $f(x_0)f(0) = f(x_0)$，我们一定有 $f(0) = 1$。
再细想一下： 如果 $f(x)$ 不是恒等于零的函数，那么 $f(0)$ 就必须是 $1$。如果 $f(x)$ 是恒等于零的函数（即 $f(x) = 0$ 对所有 $x$ 都成立），那么 $2 cdot 0 cdot 0 = 0 + 0$，这是成立的。所以，$f(x) = 0$ 是一个解。咱们暂时先排除它，因为它太简单了，重点在于非零解。
情况二：如果 $f(x) = 0$ 对所有 $x$ 都成立。
$2 cdot 0 cdot 0 = 0 + 0$，这是成立的。所以 $f(x) = 0$ 是一个解。
我们现在专注于 $f(0)=1$ 的情况。
令 $x=0$：
$2f(0)f(y) = f(0+y) + f(0y)$
$2f(0)f(y) = f(y) + f(y)$
如果我们已经知道 $f(0)=1$，那么代入就是：
$2 cdot 1 cdot f(y) = f(y) + f(y)$
$2f(y) = f(y) + f(y)$
$f(y) = f(y)$
这意味着函数 $f$ 是一个偶函数。这是个非常重要的性质！知道了这个，咱们后面用 $f(xy)$ 的时候就可以直接当成 $f(yx)$ 来处理了。
第二步：利用偶函数性质和已知点来推导更多信息
既然 $f$ 是偶函数，那么 $f(xy) = f(yx)$。方程可以写成：
$2f(x)f(y) = f(x+y) + f(xy)$
我们知道 $f(0)=1$。再试试别的组合：
令 $x=y$：
$2f(x)f(x) = f(x+x) + f(xx)$
$2[f(x)]^2 = f(2x) + f(0)$
$2[f(x)]^2 = f(2x) + 1$
这个式子告诉我们 $f(2x)$ 和 $f(x)$ 的关系。如果我们知道 $f(x)$，就能得到 $f(2x)$。反过来，也可以写成：
$f(2x) = 2[f(x)]^2 1$
这个式子让我想起了二倍角公式：$cos(2 heta) = 2cos^2( heta) 1$。如果 $f(x) = cos(ax)$ 这样的形式呢？
我们代入看看：
$2cos(ax)cos(ay) = cos(a(x+y)) + cos(a(xy))$
$2cos(ax)cos(ay) = cos(ax+ay) + cos(axay)$
利用三角函数的积化和差公式：$cos(A+B) + cos(AB) = 2cos A cos B$
所以，$2cos(ax)cos(ay) = 2cos(ax)cos(ay)$。
这说明 $f(x) = cos(ax)$ 是一个解！
那如果 $f(x) = cosh(ax)$ 呢？（$cosh(x) = frac{e^x + e^{x}}{2}$ 是双曲余弦函数）
双曲函数的积化和差公式是：$cosh(A+B) + cosh(AB) = 2cosh A cosh B$
代入：
$2cosh(ax)cosh(ay) = cosh(a(x+y)) + cosh(a(xy))$
$2cosh(ax)cosh(ay) = cosh(ax+ay) + cosh(axay)$
因为 $cosh(x)$ 是偶函数，所以 $cosh(a(xy)) = cosh(a(yx))$。
这个也成立！所以 $f(x) = cosh(ax)$ 也是一个解。
我们现在有两个潜在的解族：$cos(ax)$ 和 $cosh(ax)$。
第三步：进一步探索函数性质，寻找通解
上面我们得到了 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$ 和 $f$ 是偶函数，并且 $f(0)=1$。
计算 $f(nx)$ 的关系：
我们知道 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$。
再看看 $f(3x)$：
$2f(x)f(2x) = f(3x) + f(x)$ (令 $y=2x$)
$2f(x)(2[f(x)]^2 1) = f(3x) + f(x)$ (因为 $f$ 是偶函数，$f(x)=f(x)$)
$4[f(x)]^3 2f(x) = f(3x) + f(x)$
$f(3x) = 4[f(x)]^3 3f(x)$
这个又很像三倍角公式：$cos(3 heta) = 4cos^3( heta) 3cos( heta)$。
这进一步加强了我们的猜测。
我们可以用数学归纳法来证明，对于任意正整数 $n$，存在关于 $f(x)$ 的多项式 $P_n(t)$ 使得 $f(nx) = P_n(f(x))$。
而这个多项式 $P_n(t)$ 恰好就是切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial of the first kind） $T_n(t)$。
即，$f(nx) = T_n(f(x))$。
例如：
$T_0(t) = 1$ ($f(0x)=f(0)=1$)
$T_1(t) = t$ ($f(1x)=f(x)=T_1(f(x))$)
$T_2(t) = 2t^2 1$ ($f(2x)=2[f(x)]^21 = T_2(f(x))$)
$T_3(t) = 4t^3 3t$ ($f(3x)=4[f(x)]^3 3f(x) = T_3(f(x))$)
这个性质通常出现在处理周期性函数或者具有特定叠加性质的函数时。
考虑函数的连续性：
如果不对函数做任何其他假设（比如连续性），那么可能存在一些“怪异”的函数（非连续的，依赖于某种基的选择）也能满足这个方程。但是通常在讨论函数方程时，我们默认函数是“表现良好”的，比如连续的。
如果我们假设函数 $f(x)$ 是连续的，并且满足 $f(0)=1$ 和 $f(x)$ 是偶函数，那么我们可以进一步推导。
我们可以证明，如果 $f$ 是连续的，那么 $f(x) = cos(ax)$ 或者 $f(x) = cosh(ax)$。
为什么是这两种？
设 $g(x) = f(x)$。我们有 $g(0)=1$, $g$ 是偶函数。
从 $2g(x)g(y) = g(x+y) + g(xy)$。
令 $x=1$（假定 $f$ 在 $1$ 处的值是确定的）。设 $f(1) = c$。
那么对于有理数 $q$，可以证明 $f(q) = T_q(c)$ 的某种形式。
更一般地说，我们可以证明 $f(x)$ 满足这个方程当且仅当它是以下形式之一：
1. $f(x) = 0$ (我们已经知道的平凡解)
2. $f(x) = cos(ax)$，其中 $a$ 是一个常数。
3. $f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是一个常数。
我们如何从 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$ 和 $f$ 是偶函数推导出这个呢？
这涉及到更深入的分析，通常会用到 Cauchy 的函数方程的知识。d'Alembert 方程可以通过代换转化为一些更基础的 Cauchy 方程的形式，或者直接分析其性质。
考虑一个叫做 Cauchy 积分方程 的东西（虽然不是直接积分方程，但思路类似）。
如果我们知道 $f(x)$ 在某一点的值，比如 $f(1)$。
如果 $f(1) = 1$，那么 $f(2) = 2(1)^2 1 = 1$。由 $f(nx)=T_n(f(x))$，所有整数 $n$ 的 $f(n)$ 都是 $1$。
如果 $f(1) = 1$，那么 $f(2) = 2(1)^2 1 = 1$。
如果 $f(1) = 0$，那么 $f(2) = 2(0)^2 1 = 1$。
当 $f(x) = cos(ax)$ 时，$f(1) = cos(a)$。这个值在 $[1, 1]$ 之间。
当 $f(x) = cosh(ax)$ 时，$f(1) = cosh(a)$。这个值大于等于 $1$。
d'Alembert 方程和三角函数的倍角公式如此相似，并不是偶然的。它实际上描述了代数结构（函数乘法）与加法结构（函数自变量相加）之间的某种联系，而三角函数和双曲函数正是扮演了这个桥梁的角色。
总结通式：
综上所述，满足函数方程 $2f(x)f(y) = f(x+y) + f(xy)$ 的函数通式（在不考虑病态函数的情况下，通常要求函数是连续的或者其他良好性质）是：
1. 平凡解： $f(x) = 0$
2. 三角函数形式： $f(x) = cos(ax)$，其中 $a$ 是任意实常数。
3. 双曲函数形式： $f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
这里，$a$ 的选择决定了函数的具体“形状”。
例如：
当 $a=0$ 时，$f(x) = cos(0 cdot x) = cos(0) = 1$。代入原方程：$2 cdot 1 cdot 1 = 1 + 1$，成立。所以 $f(x)=1$ 也是一个解，它包含在 $f(x)=cos(ax)$ 的形式里。
当 $a=0$ 时，$f(x) = cosh(0 cdot x) = cosh(0) = 1$。同样成立。
所以更完整的通式可以写为：
$f(x) = 0$
$f(x) = cos(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
$f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
需要注意的是，这个方程在复数域上也有解，形式会更复杂一些，涉及到指数函数等。但如果我们限定在实数域上，并且有连续性等条件，那么以上就是主要的几类解。
这个方程如此重要，因为它不仅仅是一个抽象的数学问题，它还与物理学中的波动方程、量子力学中的某些表示、以及信号处理等领域有着深刻的联系。理解它的通式，就如同掌握了一把钥匙，能打开许多关于“叠加”和“谐振”的数学之门。
咱们一步一步来把它“拆解”了，找出它的通式。
第一步：先观察方程本身，找找规律和特殊点
这个方程是关于 $x$ 和 $y$ 的，而且是两个函数值相乘等于另外两个函数值相加。这种形式很像三角函数的乘积化和差公式。
咱们先试试一些特殊的点，看看能得到什么信息：
令 $y=0$：
$2f(x)f(0) = f(x+0) + f(x0)$
$2f(x)f(0) = f(x) + f(x)$
$2f(x)f(0) = 2f(x)$
从这个式子我们可以得出 $f(x)f(0) = f(x)$。这意味着对于任意的 $x$，要么 $f(x) = 0$，要么 $f(0) = 1$。
情况一：如果存在某个 $x_0$ 使得 $f(x_0) eq 0$。
那么根据 $f(x_0)f(0) = f(x_0)$，我们一定有 $f(0) = 1$。
再细想一下： 如果 $f(x)$ 不是恒等于零的函数，那么 $f(0)$ 就必须是 $1$。如果 $f(x)$ 是恒等于零的函数（即 $f(x) = 0$ 对所有 $x$ 都成立），那么 $2 cdot 0 cdot 0 = 0 + 0$，这是成立的。所以，$f(x) = 0$ 是一个解。咱们暂时先排除它，因为它太简单了，重点在于非零解。
情况二：如果 $f(x) = 0$ 对所有 $x$ 都成立。
$2 cdot 0 cdot 0 = 0 + 0$，这是成立的。所以 $f(x) = 0$ 是一个解。
我们现在专注于 $f(0)=1$ 的情况。
令 $x=0$：
$2f(0)f(y) = f(0+y) + f(0y)$
$2f(0)f(y) = f(y) + f(y)$
如果我们已经知道 $f(0)=1$，那么代入就是：
$2 cdot 1 cdot f(y) = f(y) + f(y)$
$2f(y) = f(y) + f(y)$
$f(y) = f(y)$
这意味着函数 $f$ 是一个偶函数。这是个非常重要的性质！知道了这个，咱们后面用 $f(xy)$ 的时候就可以直接当成 $f(yx)$ 来处理了。
第二步：利用偶函数性质和已知点来推导更多信息
既然 $f$ 是偶函数，那么 $f(xy) = f(yx)$。方程可以写成：
$2f(x)f(y) = f(x+y) + f(xy)$
我们知道 $f(0)=1$。再试试别的组合：
令 $x=y$：
$2f(x)f(x) = f(x+x) + f(xx)$
$2[f(x)]^2 = f(2x) + f(0)$
$2[f(x)]^2 = f(2x) + 1$
这个式子告诉我们 $f(2x)$ 和 $f(x)$ 的关系。如果我们知道 $f(x)$，就能得到 $f(2x)$。反过来，也可以写成：
$f(2x) = 2[f(x)]^2 1$
这个式子让我想起了二倍角公式：$cos(2 heta) = 2cos^2( heta) 1$。如果 $f(x) = cos(ax)$ 这样的形式呢？
我们代入看看：
$2cos(ax)cos(ay) = cos(a(x+y)) + cos(a(xy))$
$2cos(ax)cos(ay) = cos(ax+ay) + cos(axay)$
利用三角函数的积化和差公式：$cos(A+B) + cos(AB) = 2cos A cos B$
所以，$2cos(ax)cos(ay) = 2cos(ax)cos(ay)$。
这说明 $f(x) = cos(ax)$ 是一个解！
那如果 $f(x) = cosh(ax)$ 呢？（$cosh(x) = frac{e^x + e^{x}}{2}$ 是双曲余弦函数）
双曲函数的积化和差公式是：$cosh(A+B) + cosh(AB) = 2cosh A cosh B$
代入：
$2cosh(ax)cosh(ay) = cosh(a(x+y)) + cosh(a(xy))$
$2cosh(ax)cosh(ay) = cosh(ax+ay) + cosh(axay)$
因为 $cosh(x)$ 是偶函数，所以 $cosh(a(xy)) = cosh(a(yx))$。
这个也成立！所以 $f(x) = cosh(ax)$ 也是一个解。
我们现在有两个潜在的解族：$cos(ax)$ 和 $cosh(ax)$。
第三步：进一步探索函数性质，寻找通解
上面我们得到了 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$ 和 $f$ 是偶函数，并且 $f(0)=1$。
计算 $f(nx)$ 的关系：
我们知道 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$。
再看看 $f(3x)$：
$2f(x)f(2x) = f(3x) + f(x)$ (令 $y=2x$)
$2f(x)(2[f(x)]^2 1) = f(3x) + f(x)$ (因为 $f$ 是偶函数，$f(x)=f(x)$)
$4[f(x)]^3 2f(x) = f(3x) + f(x)$
$f(3x) = 4[f(x)]^3 3f(x)$
这个又很像三倍角公式：$cos(3 heta) = 4cos^3( heta) 3cos( heta)$。
这进一步加强了我们的猜测。
我们可以用数学归纳法来证明，对于任意正整数 $n$，存在关于 $f(x)$ 的多项式 $P_n(t)$ 使得 $f(nx) = P_n(f(x))$。
而这个多项式 $P_n(t)$ 恰好就是切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial of the first kind） $T_n(t)$。
即，$f(nx) = T_n(f(x))$。
例如：
$T_0(t) = 1$ ($f(0x)=f(0)=1$)
$T_1(t) = t$ ($f(1x)=f(x)=T_1(f(x))$)
$T_2(t) = 2t^2 1$ ($f(2x)=2[f(x)]^21 = T_2(f(x))$)
$T_3(t) = 4t^3 3t$ ($f(3x)=4[f(x)]^3 3f(x) = T_3(f(x))$)
这个性质通常出现在处理周期性函数或者具有特定叠加性质的函数时。
考虑函数的连续性：
如果不对函数做任何其他假设（比如连续性），那么可能存在一些“怪异”的函数（非连续的，依赖于某种基的选择）也能满足这个方程。但是通常在讨论函数方程时，我们默认函数是“表现良好”的，比如连续的。
如果我们假设函数 $f(x)$ 是连续的，并且满足 $f(0)=1$ 和 $f(x)$ 是偶函数，那么我们可以进一步推导。
我们可以证明，如果 $f$ 是连续的，那么 $f(x) = cos(ax)$ 或者 $f(x) = cosh(ax)$。
为什么是这两种？
设 $g(x) = f(x)$。我们有 $g(0)=1$, $g$ 是偶函数。
从 $2g(x)g(y) = g(x+y) + g(xy)$。
令 $x=1$（假定 $f$ 在 $1$ 处的值是确定的）。设 $f(1) = c$。
那么对于有理数 $q$，可以证明 $f(q) = T_q(c)$ 的某种形式。
更一般地说，我们可以证明 $f(x)$ 满足这个方程当且仅当它是以下形式之一：
1. $f(x) = 0$ (我们已经知道的平凡解)
2. $f(x) = cos(ax)$，其中 $a$ 是一个常数。
3. $f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是一个常数。
我们如何从 $f(2x) = 2[f(x)]^2 1$ 和 $f$ 是偶函数推导出这个呢？
这涉及到更深入的分析，通常会用到 Cauchy 的函数方程的知识。d'Alembert 方程可以通过代换转化为一些更基础的 Cauchy 方程的形式，或者直接分析其性质。
考虑一个叫做 Cauchy 积分方程 的东西（虽然不是直接积分方程，但思路类似）。
如果我们知道 $f(x)$ 在某一点的值，比如 $f(1)$。
如果 $f(1) = 1$，那么 $f(2) = 2(1)^2 1 = 1$。由 $f(nx)=T_n(f(x))$，所有整数 $n$ 的 $f(n)$ 都是 $1$。
如果 $f(1) = 1$，那么 $f(2) = 2(1)^2 1 = 1$。
如果 $f(1) = 0$，那么 $f(2) = 2(0)^2 1 = 1$。
当 $f(x) = cos(ax)$ 时，$f(1) = cos(a)$。这个值在 $[1, 1]$ 之间。
当 $f(x) = cosh(ax)$ 时，$f(1) = cosh(a)$。这个值大于等于 $1$。
d'Alembert 方程和三角函数的倍角公式如此相似，并不是偶然的。它实际上描述了代数结构（函数乘法）与加法结构（函数自变量相加）之间的某种联系，而三角函数和双曲函数正是扮演了这个桥梁的角色。
总结通式：
综上所述，满足函数方程 $2f(x)f(y) = f(x+y) + f(xy)$ 的函数通式（在不考虑病态函数的情况下，通常要求函数是连续的或者其他良好性质）是：
1. 平凡解： $f(x) = 0$
2. 三角函数形式： $f(x) = cos(ax)$，其中 $a$ 是任意实常数。
3. 双曲函数形式： $f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
这里，$a$ 的选择决定了函数的具体“形状”。
例如：
当 $a=0$ 时，$f(x) = cos(0 cdot x) = cos(0) = 1$。代入原方程：$2 cdot 1 cdot 1 = 1 + 1$，成立。所以 $f(x)=1$ 也是一个解，它包含在 $f(x)=cos(ax)$ 的形式里。
当 $a=0$ 时，$f(x) = cosh(0 cdot x) = cosh(0) = 1$。同样成立。
所以更完整的通式可以写为：
$f(x) = 0$
$f(x) = cos(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
$f(x) = cosh(ax)$, 其中 $a$ 是任意实常数。
需要注意的是，这个方程在复数域上也有解，形式会更复杂一些，涉及到指数函数等。但如果我们限定在实数域上，并且有连续性等条件，那么以上就是主要的几类解。
这个方程如此重要，因为它不仅仅是一个抽象的数学问题，它还与物理学中的波动方程、量子力学中的某些表示、以及信号处理等领域有着深刻的联系。理解它的通式，就如同掌握了一把钥匙，能打开许多关于“叠加”和“谐振”的数学之门。
网友意见
函数 是连续函数的情况已经有很多回答说了。下面举一个不连续函数的例子使得答案不对。
设函数 满足 ，令 。根据 的函数方程得到 ，且 。所以
。
结合三角函数公式就知道这个 确实是函数方程的一个解。
下面构造一个 。考虑 上的线性空间 ，选择公理告诉我们线性空间必有基。设其中一个基是 ，则对任意 ，存在有限个 使得
，
定义
；
而 可以随意指定。 。可以验证这样定义的 完美符合函数方程 ；且多数时候 都不是连续函数。
这里先假设 在 连续（因为不连续的情况讨论起来相当麻烦）。
如果 是常值函数，即 ，得 ，即 。
现在假设 ，令 ，得 ，即 ；
令 ，得 ，即 是个偶函数；
又因为 连续且 ，因此 满足 ；
当 ，取 ，得 ；
令 ，得 ，于是有：
而对于 则有：
又由于 ，得 ，从而有 ，这些 ；
最后通过连续性（具体步骤略，可以参考柯西方程 解法）得 。
而当 时，我们可以用类似的方法（具体步骤略）得出 。
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这句话确实点醒了我。它揭示了一种令人不安但又很常见的倾向：我们可能更喜欢那些只存在于概念中的“理想人类”，而不是那些活生生、有缺点、有情绪的“具体人类”。 听起来有点矛盾，对吧？但仔细想想，这种现象确实存在，而且需要我们警惕。“抽象人类”的魅力何在？想象一下，当我们谈论“英雄”的时候，我们脑海里浮现.............
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“抽象带篮子”这个名字，估计很多人听了会先是一愣，觉得这名字实在是不走寻常路。但你要是稍微深入了解一下，就会发现这名字背后的这个人，他的“抽象”可不是空穴来风，他的“带篮子”也不是毫无章法。从网上的零星信息和一些熟知他的人的只言片语里，我拼凑出来的“抽象带篮子”，大概是个这样的人：1. 名字的来源与.............
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拒绝虚无的迷雾：如何有力地反对抽象文化？我们生活在一个充斥着“概念”、“范式”、“颠覆”、“赋能”、“链接”的时代。语言似乎越来越像一个滤镜，将鲜活的个体经验和具体的情感过滤成一套套空洞的词汇，披上一层“进步”、“前沿”的外衣，实则指向一片虚无。这便是我们所说的“抽象文化”。它像一层看不见的雾霾，模.............
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说起数学，人们常常会觉得它要么是刻板的数字游戏，要么是玄乎其玄的理论思辨。其实，数学最迷人的地方恰恰在于它能够自如地穿梭于具体与抽象之间，用抽象的语言描述具体的事物，又用具体的例子来阐释抽象的原理。这种结合，就像是将抽象的音乐符码转化为动人心弦的旋律，或者将抽象的蓝图变成了巍峨耸立的建筑。一、几何：.............
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这问题可不小，涉及到运动学里挺有意思的一块。咱这么聊：你看到那个向心运动的物体，如果它的角向速度在增大，这事儿可以拆开来看，一点一点捋清楚。首先，咱们得知道什么是向心运动和角向速度。 向心运动 顾名思义，就是物体运动的方向总是指向圆心的那种运动。比如你甩一个系着绳子的球，绳子拉着球往你手里转，这.............
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数学界之所以会走向抽象，并非一蹴而就，而是一个漫长而自然的演进过程，是人类认知能力不断深化、数学自身逻辑需求以及解决更复杂问题的驱动共同作用的结果。如果非要找一个“原因”，那就是数学家们一直在追求更本质、更普适、更具解释力的真理。1. 摆脱具象的束缚，追求本质的共性：早期数学，比如古希腊的几何学，充.............
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