求问学抽象代数的大佬，如果f(x)的次数为n，那么分裂域E/F的次数为什么是n!，分裂域的次数是什么?

你好！很高兴能为你解答关于抽象代数中分裂域的问题。这个问题涉及到域扩张、多项式根以及群论中的对称群，是抽象代数中一个非常重要且有趣的概念。

我们来一步步地、详细地剖析这个问题。

核心概念梳理

在深入讲解之前，我们先明确几个核心概念：

1. 域 (Field, F)：一个包含加法和乘法运算，并且这些运算满足一系列良好性质的集合。最熟悉的域是实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$。
2. 域扩张 (Field Extension, E/F)：如果一个域 $E$ 包含另一个域 $F$，并且 $E$ 和 $F$ 上的域运算（加法和乘法）是相同的，我们就说 $E$ 是 $F$ 的一个域扩张，记作 $E/F$。
3. 多项式 (Polynomial, f(x)): 形如 $a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$ 的表达式，其中 $a_i$ 是域 $F$ 中的元素。
4. f(x) 在 E 中分裂 (f(x) splits in E)：如果多项式 $f(x) in F[x]$ 可以在域 $E$ 中分解成一次因子的乘积，即 $f(x) = c(x alpha_1)(x alpha_2)dots(x alpha_n)$，其中 $c in F$ 是常数，$alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n in E$ 是 $f(x)$ 的根。
5. 分裂域 (Splitting Field, E)：对于域 $F$ 中的一个多项式 $f(x)$，它的分裂域是包含 $F$ 的最小的域 $E$，使得 $f(x)$ 在 $E$ 中分裂。换句话说，如果 $K$ 是另一个包含 $F$ 并且 $f(x)$ 在 $K$ 中分裂的域，那么 $E$ 必须包含于 $K$。
6. 域扩张的次数 (Degree of a Field Extension, [E:F]): 这是域 $E$ 作为域 $F$ 上的向量空间的维度。它表示将 $E$ 表示为 $F$ 的线性组合所需的“基本元素”的数量。

问题的核心：为什么是 $n!$？

你问的“如果 $f(x)$ 的次数为 $n$，那么分裂域 $E/F$ 的次数为什么是 $n!$？”这是一个非常好的问题，但答案并不总是 $n!$。$n!$ 是分裂域次数的一个上限，而且通常在 $f(x)$ 是不可约多项式且其根的置换具有最大的对称性时才会达到。

我们来仔细分析。

1. 分裂域的存在性与唯一性（在同构意义下）

首先，对于域 $F$ 中的任意一个多项式 $f(x)$，其分裂域总是存在的。我们可以通过不断地扩张域来包含 $f(x)$ 的根，直到 $f(x)$ 在扩张后的域中分裂为止。

更重要的是，对于给定的 $f(x)$，其分裂域是在域同构的意义下唯一确定的。这意味着，虽然可能存在不同的域 $E_1, E_2, dots$ 使得它们都是 $f(x)$ 的分裂域，但它们之间总是存在一个域同构，使得一个域的结构可以完美地映射到另一个域的结构。因此，我们通常讨论“分裂域”而不必担心它具体是哪个域，因为它们的结构是等价的。

2. 分裂域的次数与多项式的根的性质

分裂域 $E$ 的次数 $[E:F]$ 的关键在于 $f(x)$ 的根。假设 $f(x) in F[x]$ 的次数为 $n$，并且它在域 $E$ 中分裂成 $n$ 个根：$alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n$。那么分裂域 $E$ 就是 $F$ 包含所有这些根的最小域，即 $E = F(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n)$。

域扩张的次数 $[F(alpha_1, dots, alpha_n):F]$ 是由这些根的代数性质决定的。

什么时候次数是 $n!$？

次数为 $n!$ 的情况，通常出现在以下几种特殊而又重要的情况下：

$f(x)$ 是一个不可约多项式：如果 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中是不可约的，那么 $F$ 扩张到包含 $f(x)$ 的一个根 $alpha$ 的域 $F(alpha)$ 的次数就是 $deg(f(x)) = n$。这是因为 $f(x)$ 本身就是 $alpha$ 作为 $F$ 上的最小多项式。
$f(x)$ 的 $n$ 个根在 $F$ 上是“独立的”或“对称的”：当 $f(x)$ 是不可约的，并且它的所有 $n$ 个根 $alpha_1, dots, alpha_n$ 都恰好是不同的（即 $f(x)$ 在 $E$ 中是 $n$ 个一次因子的乘积），并且这些根的置换可以“自由地”发生，这通常意味着分裂域的次数是 $n!$。

最典型的例子是 $x^n a$ 这种形式的多项式（在特定条件下）。

考虑一个不可约多项式 $f(x) in F[x]$，次数为 $n$，并且它有 $n$ 个不同的根 $alpha_1, dots, alpha_n$。分裂域 $E = F(alpha_1, dots, alpha_n)$。

我们可以分步构造这个域扩张：
1. 首先，我们添加一个根 $alpha_1$。那么 $[F(alpha_1):F] = n$。
2. 然后，我们考虑 $F(alpha_1)$ 扩张到包含下一个根 $alpha_2$ 的域 $F(alpha_1, alpha_2)$。这个扩张的次数 $[F(alpha_1, alpha_2):F(alpha_1)]$ 取决于 $alpha_2$ 在 $F(alpha_1)$ 上的最小多项式的次数。
3. 我们继续这个过程，直到包含所有根。

如果 $f(x)$ 是一个在 $F$ 上不可约的、具有 $n$ 个不同根的多项式，那么其分裂域的自同构群（即保持 $F$ 不变的，将 $E$ 映射到自身的域同构的集合）的阶数恰好是分裂域的次数，并且这个群就是由这些根的置换构成的对称群 $S_n$。

关键点是：分裂域的自同构群的阶数等于域扩张的次数。

当 $f(x)$ 是一个不可约多项式，并且其 $n$ 个根的置换可以在分裂域中通过 $F$ 上的自同构来实现时，这个自同构群就是 $S_n$，因此分裂域的次数就是 $|S_n| = n!$。

什么时候一个不可约多项式的根的置换会构成 $S_n$？
这通常发生在 $f(x)$ 的根之间没有特殊的代数关系，除了由 $f(x)$ 本身强加的那些关系。例如，考虑复数域 $mathbb{C}$ 上关于一个变量的不可约多项式 $f(x)$。如果 $f(x)$ 的 $n$ 个根 $alpha_1, dots, alpha_n$ 满足：对于任何一对 $(i, j)$，存在一个 $mathbb{C}$ 上的域自同构 $sigma$，使得 $sigma(alpha_i) = alpha_j$，那么分裂域的次数就是 $n!$。

一个更具体的例子：$f(x) = x^n a in F[x]$

假设 $F$ 是一个包含 $n$ 次单位根（比如 $mathbb{Q}$ 包含非常数次单位根的例子）的域。
考虑 $f(x) = x^n a in F[x]$，假设 $a in F$ 并且 $f(x)$ 在 $F$ 上是不可约的。
设 $alpha$ 是 $f(x)$ 的一个根，那么 $F(alpha)$ 的次数是 $n$。
$f(x)$ 的所有根可以表示为 $alpha, alpha omega, alpha omega^2, dots, alpha omega^{n1}$，其中 $omega$ 是 $n$ 次单位根。
分裂域 $E = F(alpha, omega)$。

如果 $F$ 本身已经包含 $n$ 次单位根 $omega$（例如 $F=mathbb{Q}(omega)$），那么分裂域就是 $E = F(alpha)$，其次数就是 $n$。

但是，如果我们考虑一个 “一般” 的 $x^n a$，或者 $f(x)$ 是一个“通用的”不可约多项式，它的根之间没有其他简单的关系，那么分裂域的次数就可能是 $n!$。

例子：$f(x) = x^p a in mathbb{Q}[x]$，其中 $p$ 是素数，$a in mathbb{Q}$ 且 $a$ 不是某个数的 $p$ 次方。

如果 $a=1$, $f(x) = x^p 1$: 这个多项式在 $mathbb{Q}[x]$ 上通常是不可约的（由车比雪夫多项式相关性质）。它的根是 $p$ 次单位根，例如 $1, zeta, zeta^2, dots, zeta^{p1}$。分裂域是 $mathbb{Q}(zeta)$。$[mathbb{Q}(zeta):mathbb{Q}] = phi(p) = p1$。这里不是 $p!$。
如果 $f(x) = x^p 2 in mathbb{Q}[x]$: 这个多项式是不可约的（用爱森斯坦判别法）。它的根是 $sqrt[p]{2}, sqrt[p]{2}zeta, dots, sqrt[p]{2}zeta^{p1}$，其中 $zeta$ 是一个本原 $p$ 次单位根。分裂域是 $E = mathbb{Q}(sqrt[p]{2}, zeta)$。
$[mathbb{Q}(sqrt[p]{2}):mathbb{Q}] = p$。
而 $[mathbb{Q}(sqrt[p]{2}, zeta):mathbb{Q}(sqrt[p]{2})]$ 是 $zeta$ 在 $mathbb{Q}(sqrt[p]{2})$ 上的最小多项式次数。通常情况下，$zeta$ 的最小多项式是 $Phi_p(x) = 1+x+dots+x^{p1}$，它的次数是 $p1$。
所以，$[E:mathbb{Q}] = [mathbb{Q}(sqrt[p]{2}, zeta):mathbb{Q}(sqrt[p]{2})] cdot [mathbb{Q}(sqrt[p]{2}):mathbb{Q}] = (p1)p$。

这也不是 $p!$。

那么，什么时候是 $n!$ 呢？
当 $f(x)$ 的不可约因子非常特殊时。例如，如果 $f(x)$ 是一个可约多项式，它的不可约因子都是 $n$ 次不可约多项式，并且它们的根的置换构成 $S_n$ 的子群，那么总次数可能很复杂。

关键在于多项式 $f(x)$ 的伽罗瓦群 (Galois Group) 的性质。
分裂域 $E$ 的伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ 是一个群，它由所有保持 $F$ 中元素不变，并且将 $E$ 中的元素映射到 $E$ 中的元素（域同构）的映射组成。
对于一个多项式 $f(x)$，其分裂域 $E$ 的伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ 与 $f(x)$ 的根的置换群密切相关。
如果 $f(x)$ 的伽罗瓦群是 $S_n$，那么分裂域的次数就是 $|S_n| = n!$。

什么时候 $f(x)$ 的伽罗瓦群是 $S_n$？

对于不可约多项式 $f(x)$：当 $f(x)$ 的 $n$ 个根的置换可以形成所有的 $n!$ 种排列时，其伽罗瓦群就是 $S_n$。
经典例子:
考虑域 $F=mathbb{Q}$。
多项式 $f(x) = x^n a$ (在 $mathbb{Q}$ 上不可约且 $a otin mathbb{Q}^n$) 的伽罗瓦群通常不是 $S_n$。
很多二次域的例子可以说明问题: 例如，$f(x) = x^2 2 in mathbb{Q}[x]$ 的根是 $pm sqrt{2}$。分裂域是 $mathbb{Q}(sqrt{2})$。$[mathbb{Q}(sqrt{2}):mathbb{Q}] = 2$。这里 $n=2$, $n!=2$。伽罗瓦群是 $C_2$ (阶为 2)。
三次不可约多项式: 很多三次不可约多项式在 $mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群是 $S_3$，这时分裂域的次数就是 $3! = 6$。例如 $x^3 x 1$ 在 $mathbb{Q}[x]$ 上。
四次不可约多项式: 很多四次不可约多项式在 $mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群是 $S_4$，这时分裂域的次数就是 $4! = 24$。

总结一下，对于一个次数为 $n$ 的多项式 $f(x)$：

分裂域 $E/F$ 的次数 $[E:F]$ 并不总是 $n!$。
$[E:F]$ 的值取决于 $f(x)$ 的根的代数性质以及它们在域扩张中的行为。
$n!$ 是一个可能的、并且是“普遍的”次数上限。 当 $f(x)$ 的所有根的置换都可以在分裂域的自同构群中实现时，次数就是 $n!$。
如果 $f(x)$ 是一个在 $F$ 上不可约的多项式，并且其伽罗瓦群是 $S_n$，那么分裂域的次数就是 $n!$。

什么时候分裂域的次数是 $n$？

当 $f(x)$ 在 $F$ 中已经分裂成一次因子时，分裂域就是 $F$ 本身，次数为 1。
当 $f(x)$ 是一个不可约多项式，并且其根的置换是平凡的（例如只有单位元），那么分裂域的次数就是 $n$。这种情况比较少见，除非 $F$ 本身“足够大”，已经包含了 $f(x)$ 的所有根。或者 $f(x)$ 是一个线性多项式 $ax+b$ ($a eq 0$)，其根是 $b/a in F$，分裂域就是 $F$，次数为 1。

如何计算分裂域的次数？

计算分裂域的次数通常需要以下步骤：

1. 确定 $f(x)$ 的根: 找到 $f(x)$ 的所有根 $alpha_1, dots, alpha_n$。
2. 构造分裂域: $E = F(alpha_1, dots, alpha_n)$。
3. 使用域扩张定理: $[E:F] = [F(alpha_1, dots, alpha_n):F] = [F(alpha_1, dots, alpha_n):F(alpha_1, dots, alpha_{n1})] cdots [F(alpha_1):F]$。
4. 确定中间域上的最小多项式: 关键在于计算 $[F(alpha_1, dots, alpha_k):F(alpha_1, dots, alpha_{k1})]$，这需要找到 $alpha_k$ 在 $F(alpha_1, dots, alpha_{k1})$ 上的最小多项式。
5. 关联伽罗瓦群: 如果能确定 $f(x)$ 的伽罗瓦群是 $G$，并且 $G$ 的阶数是 $m$，那么分裂域的次数就是 $m$。对于不可约多项式，它的伽罗瓦群是 $S_n$ 的一个子群。

结论

分裂域的次数是分裂域 $E$ 作为基域 $F$ 的向量空间的维度，记作 $[E:F]$。
$n!$ 的情况：当多项式 $f(x)$ 的不可约因子（或它本身，如果不可约）的根的置换构成了 $n$ 个变量的对称群 $S_n$ 时，分裂域的次数就是 $n!$。这是当 $f(x)$ 的根在代数上是“足够一般”的，没有额外的特殊关系时发生的。

举个例子来区分：

1. $f(x) = x^2 2 in mathbb{Q}[x]$
次数 $n=2$。
根是 $pm sqrt{2}$。
分裂域 $E = mathbb{Q}(sqrt{2})$。
$[E:mathbb{Q}] = 2$。
这里 $n=2$, $n!=2$。虽然次数是 $n!$，但这不是因为“任意性”，而是因为这个多项式非常简单。

2. $f(x) = x^3 2 in mathbb{Q}[x]$
次数 $n=3$。
根是 $sqrt[3]{2}, sqrt[3]{2}omega, sqrt[3]{2}omega^2$（$omega$ 是本原三次单位根）。
分裂域 $E = mathbb{Q}(sqrt[3]{2}, omega)$。
$sqrt[3]{2}$ 的最小多项式在 $mathbb{Q}[x]$ 上是 $x^3 2$，次数为 3。
$omega$ 的最小多项式在 $mathbb{Q}[x]$ 上是 $x^2 + x + 1$，次数为 2。
$[E:mathbb{Q}] = [mathbb{Q}(sqrt[3]{2}, omega):mathbb{Q}(sqrt[3]{2})] cdot [mathbb{Q}(sqrt[3]{2}):mathbb{Q}]$。
$omega$ 不在 $mathbb{Q}(sqrt[3]{2})$ 中（这是伽罗瓦理论的一个重要结论，与迹和范数等概念有关）。所以 $omega$ 在 $mathbb{Q}(sqrt[3]{2})$ 上的最小多项式仍然是 $x^2+x+1$，次数为 2。
$[E:mathbb{Q}] = 2 imes 3 = 6$。
这里 $n=3$, $n!=6$。这个例子也碰巧是 $n!$。这是因为 $x^32$ 在 $mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群恰好是 $S_3$。

3. $f(x) = x^3 x 1 in mathbb{Q}[x]$
这是一个三次不可约多项式。
其伽罗瓦群在 $mathbb{Q}$ 上恰好是 $S_3$（可以通过计算判别式和检查置换性质来证明）。
因此，其分裂域的次数是 $|S_3| = 3! = 6$。

4. $f(x) = (x^22)(x^23) in mathbb{Q}[x]$
次数 $n=4$。
根是 $pm sqrt{2}, pm sqrt{3}$。
分裂域是 $E = mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})$。
$sqrt{2}$ 的最小多项式是 $x^22$，次数为 2。
$sqrt{3}$ 在 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 上的最小多项式是 $x^23$（因为 $sqrt{3} otin mathbb{Q}(sqrt{2})$），次数为 2。
$[E:mathbb{Q}] = [mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3}):mathbb{Q}(sqrt{2})] cdot [mathbb{Q}(sqrt{2}):mathbb{Q}] = 2 imes 2 = 4$。
这里 $n=4$, $n!=24$。显然，分裂域的次数远小于 $n!$。这是因为这个多项式是可约的，而且根之间存在关系。

希望这个详细的解释能帮助你理解分裂域的次数与 $n!$ 之间的关系！如果还有其他问题，随时提出。

举个粟子

考虑单代数扩域的过程:

为了方便说明，设F=Q有理数域。

Q(√2)就是在Q的基础上添加了代数元√2。

Q(√2)实际上是一个线性空间，维数为2, {1,√2}是它的一组基底，其中的任意元素都可以写作a+b√2的形式，其中a,b∈Q, 线性空间的八条公理可以逐条验证。

问: Q(√2):Q=2成立吗？这个和Q(√2)维数是2有什么关系？

答: 成立。Q(√2):Q的次数可等价表述为: Q(√2)中的元素总可以经过一个2次多项式变换为Q中的元素。并且这个次数不能更小。

比如:(x-a)²=2b∈Q(可以将a+b√2代入验证)。

这个次数其实和维数是相等的，后面我们就会明白为什么。

问: 多项式f和这个有关系吗？

答: 比如√2其实就是方程x²-2=0的根。Q(√2)是Q在关于方程x²-2=0的分裂域。

这个时候( 敲黑板，老师: 我要变形了！)，

我们在Q(√2)的基础上再添加∛3，即

Q(√2)(∛3)

那这个时候Q(√2)(∛3):Q的维数是多少？

有人说，基底变成

{1,√2,∛3}

于是维数是3，错误。

实际上，基底应该是

{1,√2,∛3,∛3²,√2∛3,√2∛3²}

维数应该是6。新添加的元素与原有的元素也是可以相互组合的！

Q(√2):Q=2=2!

Q(√2)(∛3):Q=3!=6

是不是明白了什么？

最终话

事实上，通过维数公式:

D:F=(D:E)•(E:F)

即

Q(√2)(∛3):Q=[Q(√2)(∛3):Q(√2)]•[Q(√2):Q]

也就是说，我们只要计算Q(√2)(∛3):Q(√2)就可以了。Q(√2)(∛3)中的元素只要通过一个3次变换就可以进入到Q(√2)中，即

Q(√2)(∛3):Q(√2)=3，

于是

Q(√2)(∛3):Q=3x2=3！

这里显然有一个递推关系，于是造成了阶乘的产生。

那么，更一般地，有

F(ⁿ√p):F=n

于是每一次的单扩域都造成了次数变为之前的n倍，于是就有了如题所述之现象。

注: 通过论述发现，n!实际上是一个上界，f如果有重根，那这个扩张的过程就打折扣了。

有不严谨的地方，请各位指教。实在不行，我就删帖。(⌒▽⌒)