如果你要向一位学过初级的抽象代数的本科生推销数学工具「正合序列」，你会如何介绍它？
想象一下，你刚刚入门抽象代数，学了群、环、模，可能还接触了向量空间。你是不是觉得，哇，这些东西的概念好清晰，结构好明确。但问题来了，当我们要研究一些稍微复杂点的结构，或者想把这些结构“联系”起来的时候，单凭单个概念描述就会变得有些吃力，甚至无法表达出它们之间精妙的相互作用。
这就好比，你学会了怎么做一块块砖头，知道了它们的形状、大小、材料。但如果你想盖一座宏伟的建筑，你就需要知道这些砖头是怎么堆砌起来的，它们之间如何连接，承重关系如何，这些整体的结构信息才是关键。
正合序列，就是我们理解和描述这些“整体结构”和“联系”的利器。
它到底是什么？
简单来说，正合序列就是一串“对象”和连接它们的“态射”（在群论里就是同态，在模论里就是模同态，在向量空间里就是线性映射），按照一个特定的规则排列起来。这个规则的核心在于，每个态射的像（image）正好等于它后面那个态射的核（kernel）。
听起来有点绕？别急，我们来拆解一下：
对象（Objects）： 这可以是各种数学结构，比如群、环、模、向量空间，甚至是更一般的代数结构。
态射（Morphisms）： 这就是连接这些对象的“桥梁”，它们是保持对象结构特性的映射。比如从群G到群H的同态f，就是把G里的元素映射到H里，并且保持了群运算。
像（Image）： 一个态射f: A → B，它的像就是f作用在A的所有元素后所得到的所有B中的元素的集合。你可以想象成f“覆盖”了B的哪些部分。
核（Kernel）： 同一个态射f: A → B，它的核是A中所有被映射到B中零元（或单位元，取决于具体结构）的元素组成的集合。核告诉你f把A里多少“非零”的东西都挤到了零上，也就是“丢失”了多少信息。
正合的含义：像 = 核
那么，什么叫做“正合”呢？在一个序列 `... → A → B → C → ...` 中，如果态射 `f: A → B` 的像（image of f）等于态射 `g: B → C` 的核（kernel of g），我们就说在B这一点是“正合的”。
序列 `... → A → B → C → ...` 如果在每一个中间的对象（除了首尾）都满足这个“像等于核”的条件，那么我们称整个序列是正合的。
为什么这很重要？
这个“像等于核”的条件，听起来简单，但它蕴含着非常深刻的信息，尤其是在连接不同层级或不同性质的代数结构时。
1. “无损映射”与“信息丢失”的平衡： 当一个态射的像恰好等于下一个态射的核时，这意味着第一个态射“输出”的所有信息，都被第二个态射“吸收”并且恰好“消灭”了。没有多余的输出，也没有漏掉任何需要被消灭的东西。这是一种非常“有效”的信息传递和转化。
2. 分解复杂结构： 正合序列常常用来把一个复杂的代数结构，分解成一系列更小的、更容易理解的部分，并且描述这些部分之间的关系。比如：
短正合序列 (Short Exact Sequence): `0 → A → B → C → 0`。 这个形式非常常见。
第一个 `0 → A` 表示一个“单射”（injective）映射，即把A中的元素无损地放入B中，并且A中的元素在B中保持了“独立性”。
最后一个 `B → C → 0` 表示一个“满射”（surjective）映射，即B中的所有元素都被映射到了C中，C中的每一个元素都至少有一个前驱。
中间的 `A → B → C` 这一段是正合的，即A在B中的像等于B到C的核。
这个 `0 → A → B → C → 0` 序列，本质上就是在说：结构B可以被“看作”是结构A和结构C的某种“合并”或“扩展”。就像一个集合B被分成两部分：一部分（同构于A）在映射到C时变成了零，另一部分（构成C的“剩余”）则形成了C。这提供了一种理解B如何“包含”A并“映射到”C的视角。
3. 推导同调代数（Homological Algebra）的基础： 如果你继续深入学习，会发现正合序列是同调代数的核心概念。同调代数就是研究代数结构中的“洞”（homology）的，而正合序列提供了一种系统地计算这些“洞”的工具，比如我们熟悉的群上同调、李代数上同调等等，它们的定义和计算都离不开正合序列，尤其是长正合序列。
4. 构建和验证数学定理： 很多重要的定理的证明，都会用到正合序列。通过构造适当的正合序列，我们可以利用已知的关于序列两端对象的信息，来推断中间对象的性质，或者反过来。例如，在某些情况下，如果我们知道 `0 → A → B → C → 0` 中A和C的性质，就可以反推出B的性质，或者在某个范畴下，某些性质（如上同调群的性质）会沿着正合序列传递。
举个例子（为了好理解，我们用向量空间，因为它最直观）：
考虑向量空间，态射就是线性映射。
一个短正合序列是 `0 → V → W → Z → 0`。
这里：
`0 → V` 是一个线性映射 `i: V → W`，它必须是单射（injective）。这意味着 `ker(i) = {0}`。因为 `i` 是单射，它的像 `im(i)` 在 `W` 中“占据”了一个子空间，它就是 `V` 的一个副本。
`W → Z → 0` 是一个线性映射 `p: W → Z`，它必须是满射（surjective）。这意味着 `im(p) = Z`。
正合条件要求 `im(i) = ker(p)`。也就是说，`V` 在 `W` 中的像，恰好是所有被映射到 `Z` 的零向量的 `W` 中的元素（也就是 `p` 的核）。
这个序列 `0 → V → W → Z → 0` 在向量空间范畴下，就意味着：向量空间 `W` 可以被看作是另一个向量空间 `V` 和一个商空间 `W/V`（同构于Z）的“直和”（direct sum）或更一般的“扩张”（extension）。
简单地说，就是 `W` 里面有一个子空间（同构于 `V`），你把它“除掉”（映射到 `Z`），剩下的部分就是 `Z`。这个就像是你把一个大盒子 `W`，里面有核心部件 `V`，然后把 `V` 的部分“剥离”出去，剩下的东西就构成了 `Z`。这个 `V` 就是 `W` 中“被映射到零”的部分。
更广泛的应用：
正合序列的应用远不止向量空间。在群论中，它用于研究群的扩张，比如有限单群的分类；在环论中，它描述了理想与商环的关系；在模论中，它构成了模表示论的基石。甚至在代数拓扑中，同调群的计算也大量使用长正合序列。
总结一下：
如果你觉得抽象代数里的概念像一个个孤立的岛屿，那么正合序列就是连接这些岛屿的“航线”和“桥梁”。它提供了一种抽象且强大的语言，来描述不同数学对象之间的“信息传递”、“结构分解”和“相互关系”。掌握了正合序列，你就能更深入地理解数学结构的本质，并解锁更高级、更精妙的数学工具和理论。
刚开始接触可能觉得有点抽象，但随着你学习的深入，你会越来越体会到它的“威力”。它不是一个孤立的概念，而是串联起大量数学分支的“线索”。所以，不妨把它当作一个值得你去探索和掌握的宝贵数学工具吧！
网友意见
下面可能会提到Abel范畴这个概念，它说的不是“交换的代数对象构成范畴”，而是某种特殊的范畴，并且，某个环上的模范畴，以及Abel群构成的范畴，是Abel范畴。群范畴不是Abel范畴。（如果读者关心定义的话，它是“态射有交换的加法，有0对象，有同构的积和直和，有kernel和cokernel，且单态射都是kernel，满态射都是cokernel”的范畴）
Mitchell嵌入定理告诉我们，每个（小）Abel范畴都是某个环上的模范畴的一个完全子范畴。为了防止误解，Abel范畴不一定有projective和injective对象。（这句话不懂可以不用管）
另外，同态基本定理在Abel范畴是废话（是定义的一部分），但是非Abel范畴也没有正合列，所以不太能用正合列简单看出同态基本定理。
正合列不是天生用来研究群的，而是天生用来研究Abel范畴的，也就是天生用来研究模的，但是本科生抽象代数又过于局限于群，所以以下的主题是Abel群。另外，下面所述也可以原封不动的应用在线性空间上。
在本科生抽象代数课上，我们或多或少会问这样的问题：“怎么由两个小群/模出发，构造更大的群/模？”我们当然知道直积是一种构造；但显然大模不一定只有直积，例如 看起来就是一个 和另一个 不相交的粘在一起，但其实完全不是直积。但是， 商掉一个显然的 就是 。我们把这个商映射记作 ，把 到 的含入映射记作 ，那么 的kernel就是i的image。换句话说，i这个映射的像被 ”压缩”成了 ，而 恰好把 的像“压缩”成 。
我们用一个图来表示这个过程：
它表示的意思是，我们在 中通过映射 把 消灭掉，剩下的是 。（暂时先不要管 是从哪来的）
好奇的同学可能会问：“你这不就把商群给重新写了一遍吗？”别着急，我们接着往下看。
假如现在有一个映射 。按照上面的想法，假如有一个群 ，使得 在把 消灭掉之后正好剩下 ，那么 一定恰好由那些被 映到 的元素构成，于是就应当有 。可惜事实并不是如此。 把 消灭掉之后，还剩下的部分应该是 ，也就是 。为了说明 与 的不同，我们再从 中把 消灭掉，剩下的部分应该是 ，也就是 。
我们再用一张图来表示这个过程：
它表示，我们在 中把 消灭掉之后，得到的是 中的 ；再把 消灭掉，得到的是 。
仔细观察的同学可能已经看出来，假如这种图的局部长成 这样，那么在 中消灭了 ，也就是 的像之后，得到的部分恰好是 。稍作推导可以得到，上述命题其实等价于 。我们把处处满足上述等式的一列这样的箭头叫做“正合列”。
习题：如果有正合列 ，那么 。如果有正合列 ，那么 ，且中间的箭头必是同构。
由上面的讨论可以看出，正合列是一个非常强有力的工具，因为我们确定了一个正合列在一个点旁边的情况，基本上也就确定了这个点的情况。
下面这个命题也可以帮助读者验证对正合列的直观感觉。
习题：假如我们有有限阶Abel群的正合列 ，那么 。假如我们有有限维 -线性空间的正合列 ，那么 。
11.3更新。
喜欢问问题的同学可能要问：“你这正合列还是要我们自己把它写出来，没啥用啊！”那么接下来的定理则要告诉我们，正合列可以怎么产生。这样，我们就可以愉快的用正合列来做题啦！
具体而言，（初级）同调代数中最重要的定理大概是这个，因形状而被命名为snake lemma：（图片来自Wikipedia）
如果 正合， 正合，且中间的小方块都交换（也就是，在映射的复合下，“怎么走都一样”），那么这诱导正合列
（顺便说一句，其中映射的取法，是“尽量让映射交换”的取法。注意，这还给出了良定义性。不过一般来说可以不用太关心映射到底是怎么取的。）
读者可以不用深究这个定理的证明过程，但就算背结论都要把这个定理背下来（很重要！），因为这直接关系到我们接下来对同调群的讨论。另外，这个证明也不难，是只要花时间就能证出来的那种，所以请读者自行完成证明。
这个定理其实不算太直观，接受有这样的事实就好了。这基本上就是“怎么造正合列给我们用”这个问题的答案了。我们以后可能会遇到更多正合列构造方法，但不外乎由snake lemma产生。
下面这个定理就非常直观了，它因为形状被命名为five lemma：（图片来自Wikipedia）
如果横行正合，小块交换， 都是同构，那么 也是同构。形象地来说，这就是“两边两个同构夹一个同构”。这也验证了前文所提到的，正合列在一个点的两侧被确定了，那么中间就几乎被唯一确定了。
注意，满足正合列 的问号位置的交换群不唯一，因为我们在证明中要求了小块交换。
这个证明也是读者自证不难。
习题：上网搜索3*3 lemma，并在强行假设群范畴是Abel范畴（从而可以套结论）的前提下，证明以下定理： 。事实上，这个结论也是正确的，大致证明就是照抄3*3 lemma的证明。另外，群范畴其实是半Abel范畴，“正合列”这个说法是无效的，但如果把态射限定在某种“正规映射”上，仍然能强行假装它Abel（只是limit和colimit不封闭而已）。
（待更新：同调群；正合函子，初等范畴论；拟同构，Kan extension，projective消解，导出函子；群的上同调，拓扑空间的上同调，层的上同调。想到哪讲到哪，保证不会写完这么多，否则就去出版教科书了。）
（本文遵从CC BY-SA 3.0协议。）
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