如果 f(x) 与 g(x) 均为周期函数，判断其相加后的周期性？
这确实是一个很有意思的问题，我们来好好聊聊两个周期函数相加后，它们的“合体”会是什么样子，周期性又会怎么变化。
首先，我们得明白什么是周期函数。一个函数 f(x) 如果存在一个非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x + T) = f(x) 成立，那么我们就说 f(x) 是周期函数，而最小的正数 T 称为 f(x) 的最小正周期。
现在，假设我们有两个周期函数 f(x) 和 g(x)。我们想知道 f(x) + g(x) 这个新函数（我们称之为 h(x)）是否还是周期函数，以及它的周期性会是什么样的。
情况一：f(x) 和 g(x) 有相同的最小正周期
如果 f(x) 和 g(x) 都有同一个最小正周期 T，也就是说：
f(x + T) = f(x) 对所有 x 都成立
g(x + T) = g(x) 对所有 x 都成立
那么，我们来看看 h(x) = f(x) + g(x) 的表现：
h(x + T) = f(x + T) + g(x + T)
根据周期函数的定义，我们可以将 f(x + T) 替换为 f(x)，将 g(x + T) 替换为 g(x)：
h(x + T) = f(x) + g(x)
而 f(x) + g(x) 正是 h(x) 本身。
所以，h(x + T) = h(x)。
这意味着，当两个周期函数有相同的最小正周期 T 时，它们的和 h(x) 至少 是以 T 为周期的。
但是，要注意一个细节： h(x) 的最小正周期 不一定 还是 T。为什么呢？
举个例子：
f(x) = sin(x)，最小正周期是 2π。
g(x) = sin(x)，最小正周期也是 2π。
h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + (sin(x)) = 0。
函数 h(x) = 0 是一个常数函数。常数函数是周期函数，它的周期是任意非零的实数。我们可以说它的周期是 2π，但它同时也可以以 π、π/2、任何非零数 T 为周期。在这种情况下，h(x) 的“性质”比 T 更简单，它的周期性就变得不那么“显眼”或者说“收缩”了。
另一个例子：
f(x) = sin(2x)，最小正周期是 π。
g(x) = cos(2x)，最小正周期也是 π。
h(x) = sin(2x) + cos(2x)。
我们知道 sin(θ) + cos(θ) = √2 sin(θ + π/4)。
所以 h(x) = √2 sin(2x + π/4)。
这个函数的最小正周期仍然是 π。
情况二：f(x) 和 g(x) 的最小正周期不同
假设 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂。
这意味着：
f(x + T₁) = f(x)
g(x + T₁) ≠ g(x)（除非 T₁ 是 g(x) 的周期）
g(x + T₂) = g(x)
f(x + T₂) ≠ f(x)（除非 T₂ 是 f(x) 的周期）
我们寻找 h(x) = f(x) + g(x) 的周期 T。
h(x + T) = f(x + T) + g(x + T)。
为了使 h(x + T) = h(x)，我们需要同时满足：
f(x + T) = f(x) 并且 g(x + T) = g(x)。
也就是说，T 必须是 f(x) 的周期，并且 也要是 g(x) 的周期。
我们知道，如果 T₁ 是 f(x) 的周期，那么 k T₁ (k 为整数) 也是 f(x) 的周期。
同理，如果 T₂ 是 g(x) 的周期，那么 m T₂ (m 为整数) 也是 g(x) 的周期。
所以，我们寻找的 T 必须是 T₁ 的整数倍，同时 也是 T₂ 的整数倍。
这样的数 T 叫做 T₁ 和 T₂ 的公倍数。
所有 T₁ 和 T₂ 的公倍数组成的集合，其最小的正数就是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 (LCM)。
因此，如果 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂，那么它们的和 h(x) = f(x) + g(x) 的周期 T 至少 是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数。
然而，又到了“但是”的时候了！
即使我们找到了 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 LCM(T₁, T₂)，并且 h(x) 以 LCM(T₁, T₂) 为周期，但 h(x) 的最小正周期 可能小于 LCM(T₁, T₂)。
什么时候会出现这种情况呢？
当 f(x) 和 g(x) 的“组合”具有更强的周期性时。
例如：
f(x) = sin(x)，最小正周期 T₁ = 2π。
g(x) = sin(2x)，最小正周期 T₂ = π。
T₁ 和 T₂ 的最小公倍数是 LCM(2π, π) = 2π。
那么 h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + sin(2x)。
我们想知道 h(x) 的最小正周期。
h(x + T) = sin(x + T) + sin(2(x + T)) = sin(x + T) + sin(2x + 2T)。
我们需要 sin(x + T) = sin(x) 且 sin(2x + 2T) = sin(2x)。
这意味着 T 必须是 2π 的整数倍，同时 2T 必须是 2π 的整数倍（也就是 T 必须是 π 的整数倍）。
所以 T 必须是 2π 的整数倍。
因此，h(x) = sin(x) + sin(2x) 的最小正周期就是 2π。
再来一个例子：
f(x) = sin(x)，最小正周期 T₁ = 2π。
g(x) = cos(x + π/2)，最小正周期 T₂ = 2π。
注意，cos(x + π/2) = sin(x)。
所以 h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + cos(x + π/2) = sin(x) sin(x) = 0。
我们又回到了前面的情况，h(x) 是常数函数，周期性非常“宽松”。
更微妙的情况：周期之比为有理数
如果两个周期函数的周期之比 T₁/T₂ 是一个有理数（即 T₁/T₂ = p/q，其中 p, q 为互质整数），那么它们的和的周期就是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数。
例如，T₁ = 2π, T₂ = π。 T₁/T₂ = 2π/π = 2/1，是有理数。LCM(2π, π) = 2π。
更复杂的情况：周期之比为无理数
如果两个周期函数的周期之比 T₁/T₂ 是一个无理数，例如 f(x) = sin(x) (T₁ = 2π) 和 g(x) = sin(√2 x) (T₂ = 2π/√2 = √2π)。
T₁/T₂ = 2π / (√2π) = 2/√2 = √2，这是一个无理数。
在这种情况下，f(x) + g(x) = sin(x) + sin(√2 x) 不是 周期函数。
为什么呢？
假设 h(x) = f(x) + g(x) 存在一个周期 T。
那么 h(x + T) = h(x)。
f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x)。
sin(x + T) + sin(√2(x + T)) = sin(x) + sin(√2x)。
sin(x + T) + sin(√2x + √2T) = sin(x) + sin(√2x)。
为了让这个等式对所有 x 都成立，我们需要：
1. T 必须是 f(x) 的周期，即 T = 2πk₁ (k₁ 为整数)。
2. T 必须是 g(x) 的周期，即 T = √2πk₂ (k₂ 为整数)。
所以，2πk₁ = √2πk₂。
2k₁ = √2k₂。
k₁/k₂ = √2/2 = 1/√2。
然而，k₁ 和 k₂ 都是整数，所以 k₁/k₂ 必须是有理数。但是 √2/2 是无理数。
这导致了一个矛盾：我们无法找到这样的整数 k₁ 和 k₂ 来满足等式。
所以，sin(x) + sin(√2 x) 就不是周期函数。
总结一下：
1. 同周期相加： 如果 f(x) 和 g(x) 的最小正周期都是 T，那么 f(x) + g(x) 至少 是以 T 为周期的。但它的最小正周期可能小于 T，甚至可能变得非常“简单”（如常数函数）。
2. 不同周期相加： 如果 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂，那么 f(x) + g(x) 的周期 T 至少 是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 LCM(T₁, T₂)。但它的最小正周期可能小于 LCM(T₁, T₂)。
3. 周期之比决定最终命运：
如果 T₁/T₂ 是有理数，则 f(x) + g(x) 是周期函数，其最小正周期为 LCM(T₁, T₂)，但也可能小于这个值。
如果 T₁/T₂ 是无理数，则 f(x) + g(x) 不是周期函数。
所以，两个周期函数相加，其周期性不是简单的“相加”或“取最小公倍数”就能完全确定的，它取决于这两个周期函数本身的周期关系，以及它们相加后是否会产生“抵消”或“协调”出更强的周期性。理解这一点，需要我们跳出“机械计算”的模式，去体会函数“组合”后带来的新特性。
首先，我们得明白什么是周期函数。一个函数 f(x) 如果存在一个非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x + T) = f(x) 成立，那么我们就说 f(x) 是周期函数，而最小的正数 T 称为 f(x) 的最小正周期。
现在，假设我们有两个周期函数 f(x) 和 g(x)。我们想知道 f(x) + g(x) 这个新函数（我们称之为 h(x)）是否还是周期函数，以及它的周期性会是什么样的。
情况一：f(x) 和 g(x) 有相同的最小正周期
如果 f(x) 和 g(x) 都有同一个最小正周期 T，也就是说：
f(x + T) = f(x) 对所有 x 都成立
g(x + T) = g(x) 对所有 x 都成立
那么，我们来看看 h(x) = f(x) + g(x) 的表现：
h(x + T) = f(x + T) + g(x + T)
根据周期函数的定义，我们可以将 f(x + T) 替换为 f(x)，将 g(x + T) 替换为 g(x)：
h(x + T) = f(x) + g(x)
而 f(x) + g(x) 正是 h(x) 本身。
所以，h(x + T) = h(x)。
这意味着，当两个周期函数有相同的最小正周期 T 时，它们的和 h(x) 至少 是以 T 为周期的。
但是，要注意一个细节： h(x) 的最小正周期 不一定 还是 T。为什么呢？
举个例子：
f(x) = sin(x)，最小正周期是 2π。
g(x) = sin(x)，最小正周期也是 2π。
h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + (sin(x)) = 0。
函数 h(x) = 0 是一个常数函数。常数函数是周期函数，它的周期是任意非零的实数。我们可以说它的周期是 2π，但它同时也可以以 π、π/2、任何非零数 T 为周期。在这种情况下，h(x) 的“性质”比 T 更简单，它的周期性就变得不那么“显眼”或者说“收缩”了。
另一个例子：
f(x) = sin(2x)，最小正周期是 π。
g(x) = cos(2x)，最小正周期也是 π。
h(x) = sin(2x) + cos(2x)。
我们知道 sin(θ) + cos(θ) = √2 sin(θ + π/4)。
所以 h(x) = √2 sin(2x + π/4)。
这个函数的最小正周期仍然是 π。
情况二：f(x) 和 g(x) 的最小正周期不同
假设 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂。
这意味着：
f(x + T₁) = f(x)
g(x + T₁) ≠ g(x)（除非 T₁ 是 g(x) 的周期）
g(x + T₂) = g(x)
f(x + T₂) ≠ f(x)（除非 T₂ 是 f(x) 的周期）
我们寻找 h(x) = f(x) + g(x) 的周期 T。
h(x + T) = f(x + T) + g(x + T)。
为了使 h(x + T) = h(x)，我们需要同时满足：
f(x + T) = f(x) 并且 g(x + T) = g(x)。
也就是说，T 必须是 f(x) 的周期，并且 也要是 g(x) 的周期。
我们知道，如果 T₁ 是 f(x) 的周期，那么 k T₁ (k 为整数) 也是 f(x) 的周期。
同理，如果 T₂ 是 g(x) 的周期，那么 m T₂ (m 为整数) 也是 g(x) 的周期。
所以，我们寻找的 T 必须是 T₁ 的整数倍，同时 也是 T₂ 的整数倍。
这样的数 T 叫做 T₁ 和 T₂ 的公倍数。
所有 T₁ 和 T₂ 的公倍数组成的集合，其最小的正数就是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 (LCM)。
因此，如果 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂，那么它们的和 h(x) = f(x) + g(x) 的周期 T 至少 是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数。
然而，又到了“但是”的时候了！
即使我们找到了 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 LCM(T₁, T₂)，并且 h(x) 以 LCM(T₁, T₂) 为周期，但 h(x) 的最小正周期 可能小于 LCM(T₁, T₂)。
什么时候会出现这种情况呢？
当 f(x) 和 g(x) 的“组合”具有更强的周期性时。
例如：
f(x) = sin(x)，最小正周期 T₁ = 2π。
g(x) = sin(2x)，最小正周期 T₂ = π。
T₁ 和 T₂ 的最小公倍数是 LCM(2π, π) = 2π。
那么 h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + sin(2x)。
我们想知道 h(x) 的最小正周期。
h(x + T) = sin(x + T) + sin(2(x + T)) = sin(x + T) + sin(2x + 2T)。
我们需要 sin(x + T) = sin(x) 且 sin(2x + 2T) = sin(2x)。
这意味着 T 必须是 2π 的整数倍，同时 2T 必须是 2π 的整数倍（也就是 T 必须是 π 的整数倍）。
所以 T 必须是 2π 的整数倍。
因此，h(x) = sin(x) + sin(2x) 的最小正周期就是 2π。
再来一个例子：
f(x) = sin(x)，最小正周期 T₁ = 2π。
g(x) = cos(x + π/2)，最小正周期 T₂ = 2π。
注意，cos(x + π/2) = sin(x)。
所以 h(x) = f(x) + g(x) = sin(x) + cos(x + π/2) = sin(x) sin(x) = 0。
我们又回到了前面的情况，h(x) 是常数函数，周期性非常“宽松”。
更微妙的情况：周期之比为有理数
如果两个周期函数的周期之比 T₁/T₂ 是一个有理数（即 T₁/T₂ = p/q，其中 p, q 为互质整数），那么它们的和的周期就是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数。
例如，T₁ = 2π, T₂ = π。 T₁/T₂ = 2π/π = 2/1，是有理数。LCM(2π, π) = 2π。
更复杂的情况：周期之比为无理数
如果两个周期函数的周期之比 T₁/T₂ 是一个无理数，例如 f(x) = sin(x) (T₁ = 2π) 和 g(x) = sin(√2 x) (T₂ = 2π/√2 = √2π)。
T₁/T₂ = 2π / (√2π) = 2/√2 = √2，这是一个无理数。
在这种情况下，f(x) + g(x) = sin(x) + sin(√2 x) 不是 周期函数。
为什么呢？
假设 h(x) = f(x) + g(x) 存在一个周期 T。
那么 h(x + T) = h(x)。
f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x)。
sin(x + T) + sin(√2(x + T)) = sin(x) + sin(√2x)。
sin(x + T) + sin(√2x + √2T) = sin(x) + sin(√2x)。
为了让这个等式对所有 x 都成立，我们需要：
1. T 必须是 f(x) 的周期，即 T = 2πk₁ (k₁ 为整数)。
2. T 必须是 g(x) 的周期，即 T = √2πk₂ (k₂ 为整数)。
所以，2πk₁ = √2πk₂。
2k₁ = √2k₂。
k₁/k₂ = √2/2 = 1/√2。
然而，k₁ 和 k₂ 都是整数，所以 k₁/k₂ 必须是有理数。但是 √2/2 是无理数。
这导致了一个矛盾：我们无法找到这样的整数 k₁ 和 k₂ 来满足等式。
所以，sin(x) + sin(√2 x) 就不是周期函数。
总结一下：
1. 同周期相加： 如果 f(x) 和 g(x) 的最小正周期都是 T，那么 f(x) + g(x) 至少 是以 T 为周期的。但它的最小正周期可能小于 T，甚至可能变得非常“简单”（如常数函数）。
2. 不同周期相加： 如果 f(x) 的最小正周期是 T₁，g(x) 的最小正周期是 T₂，那么 f(x) + g(x) 的周期 T 至少 是 T₁ 和 T₂ 的最小公倍数 LCM(T₁, T₂)。但它的最小正周期可能小于 LCM(T₁, T₂)。
3. 周期之比决定最终命运：
如果 T₁/T₂ 是有理数，则 f(x) + g(x) 是周期函数，其最小正周期为 LCM(T₁, T₂)，但也可能小于这个值。
如果 T₁/T₂ 是无理数，则 f(x) + g(x) 不是周期函数。
所以，两个周期函数相加，其周期性不是简单的“相加”或“取最小公倍数”就能完全确定的，它取决于这两个周期函数本身的周期关系，以及它们相加后是否会产生“抵消”或“协调”出更强的周期性。理解这一点，需要我们跳出“机械计算”的模式，去体会函数“组合”后带来的新特性。
网友意见
以前我学数学分析的时候也考虑过类似的问题，几番思索过后，并没有得到什么好/系统的结果，所以转而思考反例，在这个过程中参考了几本反例书，在里面看到了几个有用的例子。相关部分截图/拍照贴上来
《数学分析中的问题和反例》
《实分析中的反例》
后面发现一本英文书《微积分中的反例》上面也有两个例子，不过要浅显得多，截图如下
总的来说，研究反例对这个问题还是有帮助的，当然我们更想看到的是正面这个刚题目的，以下给出两份资料上类似但不相同的结果。
在谢惠民等编的《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》第一册里有如此一命题
感兴趣的朋友还可以按页末所给信息查找资料阅读
而在另一本书《数学分析拾遗》（赵显曾 著）里则有更强的定理，更多的例子，截图如下
希望能对题主有所帮助！
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