(f(x),g(x))=1 在线性代数里是什么意思？
在数学，特别是在线性代数和数论的语境下，表达式 $(f(x), g(x)) = 1$ 的含义取决于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 代表的对象。下面我将从最常见的两种情况进行详细阐述：
情况一：$f(x)$ 和 $g(x)$ 是整数
这是最经典的情况，通常出现在数论中。当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示整数时，$(f(x), g(x))$ 通常表示这两个整数的最大公约数 (Greatest Common Divisor, GCD)。
所以，$(f(x), g(x)) = 1$ 的意思就是：整数 $f(x)$ 和整数 $g(x)$ 是互质的（coprime 或 relatively prime）。
详细解释：
约数 (Divisor)： 如果一个整数 $d$ 能够整除另一个整数 $n$（即 $n div d$ 的余数为 0），那么我们就说 $d$ 是 $n$ 的一个约数。
公约数 (Common Divisor)： 如果一个整数 $d$ 既是 $f(x)$ 的约数，也是 $g(x)$ 的约数，那么我们就说 $d$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个公约数。
最大公约数 (Greatest Common Divisor, GCD)： 在所有 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公约数中，最大的那个被称为它们的最大公约数。
当 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，意味着 $f(x)$ 和 $g(x)$ 除了 $1$ 和 $1$ 之外，没有其他公共的约数。通常我们在讨论最大公约数时，会关注正约数，所以 $1$ 是它们唯一的正公约数。
举例：
如果 $f(x) = 6$ 且 $g(x) = 35$：
$f(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 6, 1, 2, 3, 6$
$g(x)$ 的约数有：$1, 5, 7, 35, 1, 5, 7, 35$
它们的公约数有：$1, 1$
最大公约数是 $1$。所以 $(6, 35) = 1$。 $6$ 和 $35$ 是互质的。
如果 $f(x) = 12$ 且 $g(x) = 18$：
$f(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 4, 6, 12, ldots$
$g(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 6, 9, 18, ldots$
它们的公约数有：$1, 2, 3, 6, ldots$
最大公约数是 $6$。所以 $(12, 18) = 6 eq 1$。 $12$ 和 $18$ 不是互质的。
在许多数论定理中，互质是一个非常重要的概念。例如，欧几里得算法就是用来高效计算两个整数的最大公约数的。
情况二：$f(x)$ 和 $g(x)$ 是多项式
在代数和多项式理论中，$f(x)$ 和 $g(x)$ 通常表示多项式（例如，在某个域 $K$ 上，记作 $f(x), g(x) in K[x]$）。在这种情况下，$(f(x), g(x))$ 通常表示这两个多项式的最大公因式 (Greatest Common Divisor, GCD)。
所以，$(f(x), g(x)) = 1$ 的意思就是：多项式 $f(x)$ 和多项式 $g(x)$ 是互质的（coprime）。
详细解释：
因式 (Factor)： 如果一个多项式 $d(x)$ 能够整除另一个多项式 $n(x)$（即 $n(x) = d(x) cdot q(x)$，其中 $q(x)$ 也是一个多项式），那么我们就说 $d(x)$ 是 $n(x)$ 的一个因式。
公因式 (Common Factor)： 如果一个多项式 $d(x)$ 既是 $f(x)$ 的因式，也是 $g(x)$ 的因式，那么我们就说 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个公因式。
最大公因式 (Greatest Common Divisor, GCD)： 在所有 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式中，如果存在一个公因式 $d(x)$，使得所有其他的公因式 $c(x)$ 都能整除 $d(x)$，那么我们就称 $d(x)$ 是它们的一个最大公因式。在某些域上，最大公因式通常被定义为首一多项式 (monic polynomial)，即最高次项系数为 $1$ 的多项式。
当 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，意味着 $f(x)$ 和 $g(x)$ 除了常数多项式（非零常数，例如 $1$ 或任何非零的 $c in K$）之外，没有其他公共的非常数因式。如果我们将最大公因式规范化为首一多项式，那么 $(f(x), g(x)) = 1$ 就意味着它们的最大公因式就是多项式 $1$。
举例：
设在实数域 $mathbb{R}[x]$ 上：
$f(x) = x^2 1 = (x1)(x+1)$
$g(x) = x + 2$
$f(x)$ 的因式有：$1, x1, x+1, (x1)(x+1)$ (以及它们的常数倍)
$g(x)$ 的因式有：$1, x+2$ (以及它们的常数倍)
它们唯一的非常数公因式是 $1$（或任何非零常数）。
所以 $(x^2 1, x + 2) = 1$。这两个多项式是互质的。
设在实数域 $mathbb{R}[x]$ 上：
$f(x) = x^2 1 = (x1)(x+1)$
$g(x) = x 1$
$f(x)$ 的因式有：$1, x1, x+1, (x1)(x+1)$ (以及它们的常数倍)
$g(x)$ 的因式有：$1, x1$ (以及它们的常数倍)
它们有公因式 $x1$（以及它的常数倍）。
如果我们将最大公因式规范化为首一多项式，则 $(x^2 1, x 1) = x 1 eq 1$。这两个多项式不是互质的。
在多项式理论中，互质的两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 具有 Bézout 等式：存在多项式 $a(x)$ 和 $b(x)$ 使得 $a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1$。这类似于整数情况下的 Bézout 等式。
总结
在线性代数及其相关的数学领域中，当您看到 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，最可能的意思是：
1. 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示整数： 它们是互质的整数，最大公约数为 $1$。
2. 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示多项式： 它们是互质的多项式，最大公因式为 $1$（或一个非零常数，在规范化为首一多项式后为 $1$）。
这两种情况都表达了“没有比 $1$ 更大的公因子”这一核心概念，只是因子所在的数学结构不同（整数或多项式）。在实际应用中，需要根据上下文来判断 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的具体含义。
情况一：$f(x)$ 和 $g(x)$ 是整数
这是最经典的情况，通常出现在数论中。当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示整数时，$(f(x), g(x))$ 通常表示这两个整数的最大公约数 (Greatest Common Divisor, GCD)。
所以，$(f(x), g(x)) = 1$ 的意思就是：整数 $f(x)$ 和整数 $g(x)$ 是互质的（coprime 或 relatively prime）。
详细解释：
约数 (Divisor)： 如果一个整数 $d$ 能够整除另一个整数 $n$（即 $n div d$ 的余数为 0），那么我们就说 $d$ 是 $n$ 的一个约数。
公约数 (Common Divisor)： 如果一个整数 $d$ 既是 $f(x)$ 的约数，也是 $g(x)$ 的约数，那么我们就说 $d$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个公约数。
最大公约数 (Greatest Common Divisor, GCD)： 在所有 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公约数中，最大的那个被称为它们的最大公约数。
当 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，意味着 $f(x)$ 和 $g(x)$ 除了 $1$ 和 $1$ 之外，没有其他公共的约数。通常我们在讨论最大公约数时，会关注正约数，所以 $1$ 是它们唯一的正公约数。
举例：
如果 $f(x) = 6$ 且 $g(x) = 35$：
$f(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 6, 1, 2, 3, 6$
$g(x)$ 的约数有：$1, 5, 7, 35, 1, 5, 7, 35$
它们的公约数有：$1, 1$
最大公约数是 $1$。所以 $(6, 35) = 1$。 $6$ 和 $35$ 是互质的。
如果 $f(x) = 12$ 且 $g(x) = 18$：
$f(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 4, 6, 12, ldots$
$g(x)$ 的约数有：$1, 2, 3, 6, 9, 18, ldots$
它们的公约数有：$1, 2, 3, 6, ldots$
最大公约数是 $6$。所以 $(12, 18) = 6 eq 1$。 $12$ 和 $18$ 不是互质的。
在许多数论定理中，互质是一个非常重要的概念。例如，欧几里得算法就是用来高效计算两个整数的最大公约数的。
情况二：$f(x)$ 和 $g(x)$ 是多项式
在代数和多项式理论中，$f(x)$ 和 $g(x)$ 通常表示多项式（例如，在某个域 $K$ 上，记作 $f(x), g(x) in K[x]$）。在这种情况下，$(f(x), g(x))$ 通常表示这两个多项式的最大公因式 (Greatest Common Divisor, GCD)。
所以，$(f(x), g(x)) = 1$ 的意思就是：多项式 $f(x)$ 和多项式 $g(x)$ 是互质的（coprime）。
详细解释：
因式 (Factor)： 如果一个多项式 $d(x)$ 能够整除另一个多项式 $n(x)$（即 $n(x) = d(x) cdot q(x)$，其中 $q(x)$ 也是一个多项式），那么我们就说 $d(x)$ 是 $n(x)$ 的一个因式。
公因式 (Common Factor)： 如果一个多项式 $d(x)$ 既是 $f(x)$ 的因式，也是 $g(x)$ 的因式，那么我们就说 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个公因式。
最大公因式 (Greatest Common Divisor, GCD)： 在所有 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式中，如果存在一个公因式 $d(x)$，使得所有其他的公因式 $c(x)$ 都能整除 $d(x)$，那么我们就称 $d(x)$ 是它们的一个最大公因式。在某些域上，最大公因式通常被定义为首一多项式 (monic polynomial)，即最高次项系数为 $1$ 的多项式。
当 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，意味着 $f(x)$ 和 $g(x)$ 除了常数多项式（非零常数，例如 $1$ 或任何非零的 $c in K$）之外，没有其他公共的非常数因式。如果我们将最大公因式规范化为首一多项式，那么 $(f(x), g(x)) = 1$ 就意味着它们的最大公因式就是多项式 $1$。
举例：
设在实数域 $mathbb{R}[x]$ 上：
$f(x) = x^2 1 = (x1)(x+1)$
$g(x) = x + 2$
$f(x)$ 的因式有：$1, x1, x+1, (x1)(x+1)$ (以及它们的常数倍)
$g(x)$ 的因式有：$1, x+2$ (以及它们的常数倍)
它们唯一的非常数公因式是 $1$（或任何非零常数）。
所以 $(x^2 1, x + 2) = 1$。这两个多项式是互质的。
设在实数域 $mathbb{R}[x]$ 上：
$f(x) = x^2 1 = (x1)(x+1)$
$g(x) = x 1$
$f(x)$ 的因式有：$1, x1, x+1, (x1)(x+1)$ (以及它们的常数倍)
$g(x)$ 的因式有：$1, x1$ (以及它们的常数倍)
它们有公因式 $x1$（以及它的常数倍）。
如果我们将最大公因式规范化为首一多项式，则 $(x^2 1, x 1) = x 1 eq 1$。这两个多项式不是互质的。
在多项式理论中，互质的两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 具有 Bézout 等式：存在多项式 $a(x)$ 和 $b(x)$ 使得 $a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1$。这类似于整数情况下的 Bézout 等式。
总结
在线性代数及其相关的数学领域中，当您看到 $(f(x), g(x)) = 1$ 时，最可能的意思是：
1. 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示整数： 它们是互质的整数，最大公约数为 $1$。
2. 如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示多项式： 它们是互质的多项式，最大公因式为 $1$（或一个非零常数，在规范化为首一多项式后为 $1$）。
这两种情况都表达了“没有比 $1$ 更大的公因子”这一核心概念，只是因子所在的数学结构不同（整数或多项式）。在实际应用中，需要根据上下文来判断 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的具体含义。
网友意见
(f(x),g(x))=1
等价于
存在两个多项式u(x)与v(x)，使得
f*u+g*v=1
成立。
这个关系同样也被称为f与g互素。
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