f（x,y)->(x,y),是2维实数空间的 一一映射函数，f连续，f的反函数是否也连续，why？
这个问题涉及到拓扑学中的一个重要概念：开集与逆连续性。对于二维实数空间 $mathbb{R}^2$，如果一个函数 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一一映射（也称为同胚），那么它的反函数 $f^{1}$ 一定也是连续的。
下面我将从几个层面详细解释“为什么”：
1. 理解核心概念：
一一映射 (Bijection):
单射 (Injective): 对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意两个不同的点 $(x_1, y_1) eq (x_2, y_2)$，它们的像也不同，即 $f(x_1, y_1) eq f(x_2, y_2)$。这保证了函数没有“合并”任何点。
满射 (Surjective): 对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个点 $(x', y')$，都存在 $mathbb{R}^2$ 中的一个点 $(x, y)$，使得 $f(x, y) = (x', y')$。这保证了函数覆盖了整个目标空间 $mathbb{R}^2$。
结合起来，一一映射意味着函数在输入和输出之间建立了一种“一对一”的对应关系。
连续性 (Continuity):
直观理解: 连续性意味着函数的图像没有“断裂”或“跳跃”。微小的输入变化只会导致微小的输出变化。
εδ 定义: 一个函数 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon$。这里 $| cdot |$ 通常表示欧几里得距离。
反函数 (Inverse Function):
如果 $f: A o B$ 是一个一一映射，那么它的反函数 $f^{1}: B o A$ 定义为：对于任意 $y in B$， $f^{1}(y) = x$ 当且仅当 $f(x) = y$。
在本例中，$f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$，所以 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$。
2. 从连续性的定义出发证明反函数的连续性：
我们需要证明 $f^{1}$ 是连续的。根据连续性的εδ定义，我们需要证明：
对于任意目标点 $(x'_0, y'_0) in mathbb{R}^2$，和任意 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta' > 0$，使得当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
让我们一步步来：
设 $(x_0, y_0) = f^{1}(x'_0, y'_0)$ 并且 $(x, y) = f^{1}(x', y')$。这意味着 $f(x_0, y_0) = (x'_0, y'_0)$ 并且 $f(x, y) = (x', y')$。
我们要证明的是：当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
我们已知 $f$ 是连续的。这意味着对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon$。
我们将这个事实应用到我们的目标上。我们想要证明 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
我们选择 ε = ε'。因为 $f$ 是连续的，对于这个选定的 $epsilon' > 0$，必然存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，让我们看看 $|f(x, y) f(x_0, y_0)|$ 是什么。它就是 $|(x', y') (x'_0, y'_0)|$。
所以，我们有：如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们现在需要的是从 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 推导出 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
将上面的推理重写一下：我们已经知道，对于任意的 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得：
如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
将这个不等式中的两个部分进行调换，我们得到：
如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| ge epsilon'$，那么 $|(x, y) (x_0, y_0)| ge delta$。
现在，我们取 $delta' = epsilon'$。那么，如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$，也就是 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
从上面的逆否命题我们知道，如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$，那么 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$。
我们一开始就说了，如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
换句话说，如果我们让 $delta' = delta$，那么当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$ 时，我们就能推导出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这里的关键是，我们选择 $epsilon = epsilon'$，然后利用 $f$ 的连续性找到了对应的 $delta$。这个 $delta$ 就是我们需要的 $f^{1}$ 的 $delta'$。
总结这个证明思路：
要证明 $f^{1}$ 在 $(x'_0, y'_0)$ 处连续，我们需要找到一个 $delta'$ 使得 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 能推出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们反过来想：我们想要限制 $f^{1}$ 的输出（即点 $(x, y)$ 之间的距离）小于 $epsilon'$。也就是说，我们想要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
由于 $f$ 是连续的，对于这个 $epsilon'$（我们把它看作是 $f$ 的输出的“容忍度”），存在一个 $delta$（$f$ 的输入的“容忍度”），使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，我们把不等式换一下位置：
$|f(x, y) f(x_0, y_0)| = |(x', y') (x'_0, y'_0)|$
$|(x, y) (x_0, y_0)| = |f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)|$
所以，我们有：
如果 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们想要的是：
如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$，那么 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
将上上个不等式中的 $delta$ 和 $epsilon'$ 交换角色，再取个倒数（或者更直接地）：
令 $delta' = delta$。那么，当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，由上面推导可知 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < delta$ 是不对的。
我们回到正确的思路：
目标：证明 $f^{1}$ 连续。
令 $(x'_0, y'_0)$ 是 $f^{1}$ 的定义域中的一个点。令 $(x_0, y_0) = f^{1}(x'_0, y'_0)$。
我们需要对于任意 $epsilon' > 0$，找到一个 $delta' > 0$，使得当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们知道 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处是连续的。这意味着对于任意 $eta > 0$，存在一个 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < eta$。
现在，我们希望限制 $f^{1}$ 的输出，即 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这相当于我们想要限制 $f$ 的输入，即 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
将这个 $epsilon'$ 作为 $f$ 的输入的容忍度。那么存在一个 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
换句话说，我们想让 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < zeta$。
为了得到这个，我们需要限制 $f$ 的输出，即 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < eta$。
我们现在需要找到一个 $delta'$，使得 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 能推出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
让我们反过来：我们想要的是 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这意味着我们想要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
由于 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续，对于我们想要的输出范围 $epsilon'$，存在一个输入范围 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，我们把这个 $delta$ 作为 $f$ 的输出的容忍度。
我们希望 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < delta$。
因为 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| = |(x', y') (x'_0, y'_0)| $，
所以我们设定我们想要的输出范围为 $delta$，即 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$。
那么，根据 $f$ 的连续性，我们知道存在一个输入范围 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < delta$。
现在我们把它们联系起来：
如果我们选择 $delta' = delta$，那么当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，我们就需要保证 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$.
而 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| = |(x, y) (x_0, y_0)|$.
所以我们需要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
由 $f$ 的连续性，对于 $epsilon' > 0$，存在 $delta > 0$ 使得：
若 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$, 则 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
令 $delta' = epsilon'$. 那么，若 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$, 即 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$.
我们需要的是 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$，也就是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
现在我们反过来：
我们想要 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这就是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
因为 $f$ 是连续的，对于 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
我们现在需要的是从 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 推导出 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
让我们选择 $delta' = delta$. 那么，当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$ 时，我们知道 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
但我们需要的不是 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$, 而是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
这个证明需要使用拓扑学中的开集概念，它会更清晰。
3. 从拓扑学角度理解（更简洁和本质）：
在拓扑学中，连续性的一个等价定义是：一个函数 $f: X o Y$ 是连续的，当且仅当对于 $Y$ 中的任意一个开集 $V$，其原像 $f^{1}(V) = {x in X mid f(x) in V}$ 也是 $X$ 中的一个开集。
$mathbb{R}^2$ 上的拓扑: 在 $mathbb{R}^2$ 上，我们通常使用标准的欧几里得距离诱导的拓扑。开集就是所有以欧几里得距离定义的开球的并集。
反函数的连续性: 要证明 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是连续的，我们需要证明：对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个开集 $U$，其原像 $(f^{1})^{1}(U)$ 在 $mathbb{R}^2$ 中是开集。
关键等式: $(f^{1})^{1}(U) = {y in mathbb{R}^2 mid f^{1}(y) in U} = {y in mathbb{R}^2 mid f(f^{1}(y)) in f(U)} = {y in mathbb{R}^2 mid y in f(U)} = f(U)$。
这里的关键是，$f$ 是一个一一映射，所以 $f$ 将一个集合中的点一一映射到另一个集合中的点。如果 $f^{1}(y)$ 在 $U$ 中，那么 $y = f(f^{1}(y))$ 必然在 $f(U)$ 中。反之亦然。
利用 $f$ 的连续性: 我们知道 $f$ 是连续的。这意味着对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个开集 $U$，其原像 $f^{1}(U)$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
将两者结合:
1. 设 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个任意开集。
2. 我们要证明 $(f^{1})^{1}(U)$ 是开集。
3. 我们已经知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
4. 我们需要证明 $f(U)$ 是开集。
这里就出现了一个问题：虽然 $f$ 连续且一一，但这并不能保证 $f(U)$ 对于任意开集 $U$ 都是开集。 举个例子，如果 $f$ 是将一个开区间映射到一个点，那也不是一个一一映射。
所以，我们必须引入一个更强的条件：
4. 更强的定理和条件：
对于一个函数 $f: X o Y$，如果满足以下条件，那么 $f$ 是一个同胚（Homeomorphism），即 $f$ 是连续的一一映射且 $f^{1}$ 也是连续的：
$f$ 是连续的。
$f$ 是一一映射。
$f$ 是开映射 (Open Map)。 一个函数 $f$ 是开映射，如果对于 $X$ 中的任意开集 $U$，它的像 $f(U)$ 也是 $Y$ 中的开集。
在 $mathbb{R}^n$ 的情况下，有一个非常重要的定理叫做“invariance of domain theorem” (定义域不变性定理)，或者更一般的，在局部欧几里得流形上的定理。对于 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^n$ 的连续一对一映射，它自动是开映射（也因此是闭映射，即连续映射开集为开集，闭集为闭集）。
因此，对于 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$，如果 $f$ 是连续的一一映射，那么它一定是一个开映射。
现在，我们回到拓扑学的证明：
1. 设 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个任意开集。
2. 我们要证明 $(f^{1})^{1}(U)$ 在 $mathbb{R}^2$ 中是开集。
3. 我们知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
4. 因为 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一一映射，它也必然是一个开映射（这是 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^n$ 的连续一对一映射的一个重要性质，由定义域不变性定理保证）。
5. 因此，$f(U)$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
6. 所以，$(f^{1})^{1}(U)$ 是开集，这意味着 $f^{1}$ 是连续的。
为什么连续的一一映射在 $mathbb{R}^n$ 上是开映射？
这个证明不是平凡的，通常需要用到布劳威尔不动点定理的推广或者度量空间理论的一些更深入的结果。直观上，连续性和一一性意味着它不会“粘合”任何东西。在 $mathbb{R}^n$ 这种“光滑”的空间中，这种不粘合性就保证了它会“展开”任何区域，所以开集会被映射到开集。
总结性的回答：
是的，对于二维实数空间 $mathbb{R}^2$，如果 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一一映射，那么它的反函数 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 也一定是连续的。
原因在于：
1. 从定义域不变性定理看（最关键的依据）： 在 $mathbb{R}^n$（包括 $mathbb{R}^2$）中，任何连续的一一映射都是一个开映射（以及闭映射）。这意味着它会将 $mathbb{R}^2$ 中的每一个开集映射到 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
2. 利用开映射证明 $f^{1}$ 的连续性：
根据连续性的拓扑定义，一个函数是连续的，当且仅当它将开集的原像映射到开集。
我们要证明 $f^{1}$ 连续，即证明对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意开集 $U$，其原像 $(f^{1})^{1}(U)$ 是开集。
通过函数复合的性质，我们知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
因为 $f$ 是一个连续的一一映射，根据上面的定义域不变性定理，它也是一个开映射。这意味着对于任意开集 $U$， $f(U)$ 必然是开集。
所以 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$ 是开集，这证明了 $f^{1}$ 是连续的。
简而言之，连续性保证了“不跳跃”，一一性保证了“不合并”，而它们在 $mathbb{R}^2$ 这个特殊空间中的结合，通过定义域不变性定理，额外保证了“不挤压”，使得开集能够“完整地”被映射。这种“完整性”是反函数连续性的根本原因。
注意： 这个结论（连续一一映射的反函数连续）并非对所有拓扑空间都成立。只有当映射具有“足够好”的性质（例如在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的情况，或者在更一般的流形上）时，这个性质才成立。例如，考虑 $[0, 1) cup [2, 3]$ 到单位圆周 $S^1$ 的一个连续一一映射，它的反函数就不是连续的。但对于 $mathbb{R}^2$ 这样没有“边界”或“破洞”的空间，结论成立。
下面我将从几个层面详细解释“为什么”：
1. 理解核心概念：
一一映射 (Bijection):
单射 (Injective): 对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意两个不同的点 $(x_1, y_1) eq (x_2, y_2)$，它们的像也不同，即 $f(x_1, y_1) eq f(x_2, y_2)$。这保证了函数没有“合并”任何点。
满射 (Surjective): 对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个点 $(x', y')$，都存在 $mathbb{R}^2$ 中的一个点 $(x, y)$，使得 $f(x, y) = (x', y')$。这保证了函数覆盖了整个目标空间 $mathbb{R}^2$。
结合起来，一一映射意味着函数在输入和输出之间建立了一种“一对一”的对应关系。
连续性 (Continuity):
直观理解: 连续性意味着函数的图像没有“断裂”或“跳跃”。微小的输入变化只会导致微小的输出变化。
εδ 定义: 一个函数 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon$。这里 $| cdot |$ 通常表示欧几里得距离。
反函数 (Inverse Function):
如果 $f: A o B$ 是一个一一映射，那么它的反函数 $f^{1}: B o A$ 定义为：对于任意 $y in B$， $f^{1}(y) = x$ 当且仅当 $f(x) = y$。
在本例中，$f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$，所以 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$。
2. 从连续性的定义出发证明反函数的连续性：
我们需要证明 $f^{1}$ 是连续的。根据连续性的εδ定义，我们需要证明：
对于任意目标点 $(x'_0, y'_0) in mathbb{R}^2$，和任意 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta' > 0$，使得当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
让我们一步步来：
设 $(x_0, y_0) = f^{1}(x'_0, y'_0)$ 并且 $(x, y) = f^{1}(x', y')$。这意味着 $f(x_0, y_0) = (x'_0, y'_0)$ 并且 $f(x, y) = (x', y')$。
我们要证明的是：当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
我们已知 $f$ 是连续的。这意味着对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon$。
我们将这个事实应用到我们的目标上。我们想要证明 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
我们选择 ε = ε'。因为 $f$ 是连续的，对于这个选定的 $epsilon' > 0$，必然存在一个 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，让我们看看 $|f(x, y) f(x_0, y_0)|$ 是什么。它就是 $|(x', y') (x'_0, y'_0)|$。
所以，我们有：如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们现在需要的是从 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 推导出 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
将上面的推理重写一下：我们已经知道，对于任意的 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得：
如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
将这个不等式中的两个部分进行调换，我们得到：
如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| ge epsilon'$，那么 $|(x, y) (x_0, y_0)| ge delta$。
现在，我们取 $delta' = epsilon'$。那么，如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$，也就是 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
从上面的逆否命题我们知道，如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$，那么 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$。
我们一开始就说了，如果 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$，那么 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
换句话说，如果我们让 $delta' = delta$，那么当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$ 时，我们就能推导出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这里的关键是，我们选择 $epsilon = epsilon'$，然后利用 $f$ 的连续性找到了对应的 $delta$。这个 $delta$ 就是我们需要的 $f^{1}$ 的 $delta'$。
总结这个证明思路：
要证明 $f^{1}$ 在 $(x'_0, y'_0)$ 处连续，我们需要找到一个 $delta'$ 使得 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 能推出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们反过来想：我们想要限制 $f^{1}$ 的输出（即点 $(x, y)$ 之间的距离）小于 $epsilon'$。也就是说，我们想要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
由于 $f$ 是连续的，对于这个 $epsilon'$（我们把它看作是 $f$ 的输出的“容忍度”），存在一个 $delta$（$f$ 的输入的“容忍度”），使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，我们把不等式换一下位置：
$|f(x, y) f(x_0, y_0)| = |(x', y') (x'_0, y'_0)|$
$|(x, y) (x_0, y_0)| = |f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)|$
所以，我们有：
如果 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < delta$，那么 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们想要的是：
如果 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$，那么 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
将上上个不等式中的 $delta$ 和 $epsilon'$ 交换角色，再取个倒数（或者更直接地）：
令 $delta' = delta$。那么，当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，由上面推导可知 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < delta$ 是不对的。
我们回到正确的思路：
目标：证明 $f^{1}$ 连续。
令 $(x'_0, y'_0)$ 是 $f^{1}$ 的定义域中的一个点。令 $(x_0, y_0) = f^{1}(x'_0, y'_0)$。
我们需要对于任意 $epsilon' > 0$，找到一个 $delta' > 0$，使得当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，就有 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
我们知道 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处是连续的。这意味着对于任意 $eta > 0$，存在一个 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < eta$。
现在，我们希望限制 $f^{1}$ 的输出，即 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这相当于我们想要限制 $f$ 的输入，即 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
将这个 $epsilon'$ 作为 $f$ 的输入的容忍度。那么存在一个 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
换句话说，我们想让 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < zeta$。
为了得到这个，我们需要限制 $f$ 的输出，即 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < eta$。
我们现在需要找到一个 $delta'$，使得 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 能推出 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
让我们反过来：我们想要的是 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这意味着我们想要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$。
由于 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续，对于我们想要的输出范围 $epsilon'$，存在一个输入范围 $delta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$。
现在，我们把这个 $delta$ 作为 $f$ 的输出的容忍度。
我们希望 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < delta$。
因为 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| = |(x', y') (x'_0, y'_0)| $，
所以我们设定我们想要的输出范围为 $delta$，即 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$。
那么，根据 $f$ 的连续性，我们知道存在一个输入范围 $zeta > 0$，使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < zeta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < delta$。
现在我们把它们联系起来：
如果我们选择 $delta' = delta$，那么当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 时，我们就需要保证 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$.
而 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| = |(x, y) (x_0, y_0)|$.
所以我们需要 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
由 $f$ 的连续性，对于 $epsilon' > 0$，存在 $delta > 0$ 使得：
若 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$, 则 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
令 $delta' = epsilon'$. 那么，若 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$, 即 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < epsilon'$.
我们需要的是 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$，也就是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
现在我们反过来：
我们想要 $|f^{1}(x', y') f^{1}(x'_0, y'_0)| < epsilon'$。
这就是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
因为 $f$ 是连续的，对于 $epsilon' > 0$，存在一个 $delta > 0$ 使得当 $|(x, y) (x_0, y_0)| < delta$ 时，就有 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
我们现在需要的是从 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta'$ 推导出 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
让我们选择 $delta' = delta$. 那么，当 $|(x', y') (x'_0, y'_0)| < delta$ 时，我们知道 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$.
但我们需要的不是 $|f(x, y) f(x_0, y_0)| < epsilon'$, 而是 $|(x, y) (x_0, y_0)| < epsilon'$.
这个证明需要使用拓扑学中的开集概念，它会更清晰。
3. 从拓扑学角度理解（更简洁和本质）：
在拓扑学中，连续性的一个等价定义是：一个函数 $f: X o Y$ 是连续的，当且仅当对于 $Y$ 中的任意一个开集 $V$，其原像 $f^{1}(V) = {x in X mid f(x) in V}$ 也是 $X$ 中的一个开集。
$mathbb{R}^2$ 上的拓扑: 在 $mathbb{R}^2$ 上，我们通常使用标准的欧几里得距离诱导的拓扑。开集就是所有以欧几里得距离定义的开球的并集。
反函数的连续性: 要证明 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是连续的，我们需要证明：对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个开集 $U$，其原像 $(f^{1})^{1}(U)$ 在 $mathbb{R}^2$ 中是开集。
关键等式: $(f^{1})^{1}(U) = {y in mathbb{R}^2 mid f^{1}(y) in U} = {y in mathbb{R}^2 mid f(f^{1}(y)) in f(U)} = {y in mathbb{R}^2 mid y in f(U)} = f(U)$。
这里的关键是，$f$ 是一个一一映射，所以 $f$ 将一个集合中的点一一映射到另一个集合中的点。如果 $f^{1}(y)$ 在 $U$ 中，那么 $y = f(f^{1}(y))$ 必然在 $f(U)$ 中。反之亦然。
利用 $f$ 的连续性: 我们知道 $f$ 是连续的。这意味着对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意一个开集 $U$，其原像 $f^{1}(U)$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
将两者结合:
1. 设 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个任意开集。
2. 我们要证明 $(f^{1})^{1}(U)$ 是开集。
3. 我们已经知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
4. 我们需要证明 $f(U)$ 是开集。
这里就出现了一个问题：虽然 $f$ 连续且一一，但这并不能保证 $f(U)$ 对于任意开集 $U$ 都是开集。 举个例子，如果 $f$ 是将一个开区间映射到一个点，那也不是一个一一映射。
所以，我们必须引入一个更强的条件：
4. 更强的定理和条件：
对于一个函数 $f: X o Y$，如果满足以下条件，那么 $f$ 是一个同胚（Homeomorphism），即 $f$ 是连续的一一映射且 $f^{1}$ 也是连续的：
$f$ 是连续的。
$f$ 是一一映射。
$f$ 是开映射 (Open Map)。 一个函数 $f$ 是开映射，如果对于 $X$ 中的任意开集 $U$，它的像 $f(U)$ 也是 $Y$ 中的开集。
在 $mathbb{R}^n$ 的情况下，有一个非常重要的定理叫做“invariance of domain theorem” (定义域不变性定理)，或者更一般的，在局部欧几里得流形上的定理。对于 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^n$ 的连续一对一映射，它自动是开映射（也因此是闭映射，即连续映射开集为开集，闭集为闭集）。
因此，对于 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$，如果 $f$ 是连续的一一映射，那么它一定是一个开映射。
现在，我们回到拓扑学的证明：
1. 设 $U$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个任意开集。
2. 我们要证明 $(f^{1})^{1}(U)$ 在 $mathbb{R}^2$ 中是开集。
3. 我们知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
4. 因为 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一一映射，它也必然是一个开映射（这是 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^n$ 的连续一对一映射的一个重要性质，由定义域不变性定理保证）。
5. 因此，$f(U)$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
6. 所以，$(f^{1})^{1}(U)$ 是开集，这意味着 $f^{1}$ 是连续的。
为什么连续的一一映射在 $mathbb{R}^n$ 上是开映射？
这个证明不是平凡的，通常需要用到布劳威尔不动点定理的推广或者度量空间理论的一些更深入的结果。直观上，连续性和一一性意味着它不会“粘合”任何东西。在 $mathbb{R}^n$ 这种“光滑”的空间中，这种不粘合性就保证了它会“展开”任何区域，所以开集会被映射到开集。
总结性的回答：
是的，对于二维实数空间 $mathbb{R}^2$，如果 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 是一个连续的一一映射，那么它的反函数 $f^{1}: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ 也一定是连续的。
原因在于：
1. 从定义域不变性定理看（最关键的依据）： 在 $mathbb{R}^n$（包括 $mathbb{R}^2$）中，任何连续的一一映射都是一个开映射（以及闭映射）。这意味着它会将 $mathbb{R}^2$ 中的每一个开集映射到 $mathbb{R}^2$ 中的一个开集。
2. 利用开映射证明 $f^{1}$ 的连续性：
根据连续性的拓扑定义，一个函数是连续的，当且仅当它将开集的原像映射到开集。
我们要证明 $f^{1}$ 连续，即证明对于 $mathbb{R}^2$ 中的任意开集 $U$，其原像 $(f^{1})^{1}(U)$ 是开集。
通过函数复合的性质，我们知道 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$。
因为 $f$ 是一个连续的一一映射，根据上面的定义域不变性定理，它也是一个开映射。这意味着对于任意开集 $U$， $f(U)$ 必然是开集。
所以 $(f^{1})^{1}(U) = f(U)$ 是开集，这证明了 $f^{1}$ 是连续的。
简而言之，连续性保证了“不跳跃”，一一性保证了“不合并”，而它们在 $mathbb{R}^2$ 这个特殊空间中的结合，通过定义域不变性定理，额外保证了“不挤压”，使得开集能够“完整地”被映射。这种“完整性”是反函数连续性的根本原因。
注意： 这个结论（连续一一映射的反函数连续）并非对所有拓扑空间都成立。只有当映射具有“足够好”的性质（例如在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的情况，或者在更一般的流形上）时，这个性质才成立。例如，考虑 $[0, 1) cup [2, 3]$ 到单位圆周 $S^1$ 的一个连续一一映射，它的反函数就不是连续的。但对于 $mathbb{R}^2$ 这样没有“边界”或“破洞”的空间，结论成立。
网友意见
感谢再次邀请。
命题： 连续双射 f ：A→f(A)，且 A 是 R² 的紧子集，则 f⁻¹ 在 f(A) 上连续。
反证法：
若在某点Y₀处，存在序列
由 f 之连续性可知 f(A) 亦为紧集 ，序列极限Y₀是 f(A) 的聚点；序列满足关系式：
由Borel定理：有界序列必存在收敛子列
X₀’ 是闭集 A 的聚点。再由函数在 A 连续
以及双射性质
于是有
这导致了序列 Y 极限不唯一，矛盾。
Q.E.D
证明改来改去，基本功还是不够扎实。以上给出了条件稍强的情况下，反函数连续的证明，也就是大佬们所说的平凡结论。虽然凭我目前的能力，是证明不了更一般性的结论了，不过，这个定理相信足以应对绝大多数情况。请大佬们赐教 @王筝 @胖胖 @王靖
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