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问题

如何用变分法证明圆是同等周长下，面积最大的平面图形？

回答
咱们聊聊一个挺有意思的问题：为什么在周长相同的情况下，圆的面积是最大的？这可不是空穴来风，用一种叫做“变分法”的数学工具，咱们可以把这件事儿说得明明白白。

变分法：这玩意儿是干嘛的？

你想想，我们平时解方程，找到的是一个确定的数值，比如 $x=5$。但变分法不是找一个数值，而是找一个“函数”，这个函数能让某个特定的“积分值”达到最大或最小。这就像是在一片风景里找一条路，这条路能让你从起点到终点消耗最少的体力（或者走最快的速度）。

在咱们这个问题里，“函数”就是那个“平面图形”的边界，“积分值”就是这个图形的“面积”。我们要做的就是，在周长固定（也就是“路程”固定）的情况下，找到那个能围出最大面积的“边界函数”。

问题怎么摆上变分法的台面？

咱们的问题可以这么转化：已知一个闭合曲线的长度（周长）是固定的，比如 $L$。我们想找到这条曲线的方程，使得它围成的面积最大。

为了用变分法，我们需要把“面积”和“周长”都用积分的形式表示出来。假设我们的曲线可以用参数 $t$ 来描述，比如它的坐标是 $(x(t), y(t))$，其中 $t$ 从 $a$ 变到 $b$。

1. 周长怎么算？
曲线的弧长公式我们都见过：
$L = int_a^b sqrt{left(frac{dx}{dt} ight)^2 + left(frac{dy}{dt} ight)^2} dt$
这个 $L$ 是一个常数，咱们就先设它为 $L_0$。

2. 面积怎么算？
利用格林公式，一个闭合曲线围成的面积可以用这个积分表示：
$A = oint_C x , dy$ 或者 $A = oint_C y , dx$ 或者 $A = frac{1}{2} oint_C (x , dy y , dx)$
用参数 $t$ 来写的话，就是：
$A = int_a^b x(t) y'(t) dt$ （这里我们先选这个形式，后面可能会稍微调整）

变分法的核心：欧拉拉格朗日方程

变分法有个非常重要的工具，叫做“欧拉拉格朗日方程”。如果你要找一个函数 $y(x)$ 使得积分 $int_a^b F(x, y, y') dx$ 的值最大或最小，那么满足这个条件的 $y(x)$ 必须满足：

$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx}left(frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$

把我们的问题扔进欧拉拉格朗日方程的锅里

这有点棘手，因为我们有两个变量 $x(t)$ 和 $y(t)$，而且还有个固定周长的约束。通常处理这种约束问题，我们会用到一种叫做“乘子法”的东西，或者把周长约束直接嵌入到我们要优化的泛函里面。

咱们尝试用一个稍微简单点的思路来引入“约束”。想象一下，我们不是直接去找那个函数，而是找一个“泛函” $J$，这个泛函是我们要优化的目标（面积），并且我们希望它满足周长是固定的。

引入拉格朗日乘子

为了处理固定周长这个“硬性约束”，我们可以引入一个拉格朗日乘子 $lambda$。我们的目标函数不再是单纯的面积 $A$，而是变成一个组合项：

$J = int_a^b left( frac{1}{2} (x y' y x') ight) dt lambda left( int_a^b sqrt{x'^2 + y'^2} dt L_0 ight)$

这里面的 $F$ 现在是关于 $x, y, x', y'$ 的函数：

$F(x, y, x', y') = frac{1}{2} (x y' y x') lambda sqrt{x'^2 + y'^2}$

对 $x$ 和 $y$ 分别应用欧拉拉格朗日方程

现在，我们的 $F$ 是关于 $x, y, x', y'$ 的。对 $x$ 应用欧拉拉格朗日方程，我们有：

$frac{partial F}{partial x} frac{d}{dt}left(frac{partial F}{partial x'} ight) = 0$

让我们来计算一下：

$frac{partial F}{partial x} = frac{1}{2} y'$
$frac{partial F}{partial x'} = frac{1}{2} y lambda frac{1}{2sqrt{x'^2 + y'^2}} (2x') = frac{1}{2} y lambda frac{x'}{sqrt{x'^2 + y'^2}}$

代入方程：

$frac{1}{2} y' frac{d}{dt}left(frac{1}{2} y lambda frac{x'}{sqrt{x'^2 + y'^2}} ight) = 0$
$frac{1}{2} y' + frac{1}{2} frac{dy}{dt} + lambda frac{d}{dt}left(frac{x'}{sqrt{x'^2 + y'^2}} ight) = 0$

这个地方好像有点问题，我用的 $y'$ 是 $frac{dy}{dt}$，所以 $frac{dy}{dt}$ 应该是 $y''$ 了。

让我们重新梳理一下。通常变分法中，我们处理的是一个函数的“曲线”，比如 $y(x)$。当涉及到参数化曲线 $(x(t), y(t))$ 时，情况会更复杂一些，需要使用更一般的变分法框架，比如索菲·热尔曼恒等式或者直接处理变分导数。

另一种更常见的切入点：等周不等式

数学上，证明圆具有同等周长下的最大面积，通常是通过“等周不等式”来完成的。等周不等式就是 $( ext{周长})^2 ge 4pi imes ext{面积}$，而等号成立当且仅当图形是圆。

虽然直接用变分法推导等周不等式本身很复杂，但我们可以“借用”变分法的思想来理解这个过程。

想象我们手里有一个周长固定的曲线 $C$。如果它不是圆，我们总能对它进行“微调”，让它的面积变大，同时保持周长不变。这种“微调”就是变分法的精髓。

几何上的直觉和微扰

我们先从一个非圆形的图形开始，比如一个椭圆。如果我们稍微“拉伸”一下椭圆的短轴，同时“压缩”一下长轴，让它的周长保持不变，我们会发现它的面积会增加。这个过程就像是在对函数的“形状”进行微小的扰动，然后观察它对目标值（面积）的影响。

假设我们的曲线不是圆。那么它一定存在一个地方，在那一点的曲率不是处处相等（否则就是圆了）。在曲率较小的地方，我们可以“挤压”它一点，在曲率较大的地方，我们可以“拉伸”一点。

这个过程可以用变分法的语言来描述：我们考虑在当前的曲线附近，引入一个微小的“扰动”函数。这个扰动函数会稍微改变曲线的形状。然后我们计算这个扰动对面积和周长变化的影响。

引入一个更有趣的“泛函”

为了绕开复杂的参数化和乘子法，我们也可以尝试一个更直观的泛函构造。

考虑一个闭合的曲线，我们可以用它在某个方向（比如 $x$ 轴）的投影来定义一个“函数”。但这仍然会涉及到参数化。

从更基础的几何性质出发

很多关于“圆是最大面积”的证明，并不直接从变分法开始，而是先证明一个更强的结论，然后再应用变分法或者其他数学工具来收尾。

比如，可以先证明一个“区域的边界是光滑的，并且在任意一点，它都具有相同的曲率”这个性质（这是欧拉拉格朗日方程应用的一个结果）。

如果我们假设图形是光滑且连续的，那么在面积最大的情况下，其边界必然满足某些“最优性条件”。变分法正是用来寻找这些最优性条件的。

Let's try a simpler case: Curve on a line

考虑一个更简单的问题：给定一个固定长度的曲线段 $L$，要围成一个区域，并且与一条直线（比如 $x$ 轴）相交。我们希望围成的面积最大。

设曲线由 $y(x)$ 给出，在区间 $[a, b]$ 上。周长是 $int_a^b sqrt{1 + (y')^2} dx$，面积是 $int_a^b y(x) dx$。

我们希望最大化 $A = int_a^b y(x) dx$，约束是 $L = int_a^b sqrt{1 + (y')^2} dx$。

引入拉格朗日乘子 $lambda$。我们的泛函是：

$J = int_a^b y(x) dx lambda int_a^b sqrt{1 + (y')^2} dx$

$F(y, y') = y lambda sqrt{1 + (y')^2}$

欧拉拉格朗日方程：
$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx}left(frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$

$frac{partial F}{partial y} = 1$
$frac{partial F}{partial y'} = lambda frac{1}{2sqrt{1+(y')^2}} (2y') = frac{lambda y'}{sqrt{1+(y')^2}}$

所以，
$1 frac{d}{dx}left(frac{lambda y'}{sqrt{1+(y')^2}} ight) = 0$
$1 + lambda frac{d}{dx}left(frac{y'}{sqrt{1+(y')^2}} ight) = 0$

让我们来计算那个导数：
$frac{d}{dx}left(frac{y'}{sqrt{1+(y')^2}} ight) = frac{y''sqrt{1+(y')^2} y' frac{1}{2sqrt{1+(y')^2}}(2y'y'')}{1+(y')^2}$
$= frac{y''(1+(y')^2) (y')^2 y''}{(1+(y')^2)^{3/2}} = frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}}$

代回去：
$1 + lambda frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}} = 0$
$frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}} = frac{1}{lambda}$

注意到，$frac{y''}{(1+(y')^2)^{3/2}}$ 正是曲线的“曲率” $kappa$（符号可能不同，但数值是一样的）。所以我们得到：
$kappa = frac{1}{lambda}$

这意味着，在面积最大的情况下，曲线的曲率 $kappa$ 是一个常数。一个平面上曲率处处相等的闭合曲线，就是一个圆！

这个简化模型给了我们重要的启示：通过变分法找到的“最优性条件”，往往会指向一个非常对称的几何形状，比如圆。

回到原始问题：参数化曲线的周长约束

对于参数化曲线 $(x(t), y(t))$ 来说，情况要复杂一些，因为我们要同时优化 $x(t)$ 和 $y(t)$。而周长约束 $int_a^b sqrt{x'^2 + y'^2} dt = L_0$ 是一个全局约束。

最严谨的证明通常会涉及“达布西蒙斯定理”或类似的高级变分法技术，或者通过证明等周不等式来间接实现。

等周不等式的变分推导（概述）

等周不等式的变分推导是一个相当有挑战性的课题，但其核心思想是：

1. 构造一个泛函： 考虑一个用 $t$ 参数化的闭合曲线 $(x(t), y(t))$，其中 $t in [0, T]$。
面积 $A = frac{1}{2} int_0^T (x y' y x') dt$
周长 $L = int_0^T sqrt{x'^2 + y'^2} dt$

2. 引入一个特定的“基准”曲线： 假设我们有一个周长为 $L$ 的圆。我们可以用它的参数化来定义一个基准。

3. 利用CauchySchwarz不等式或类似的分析工具： 对上述面积和周长的表达式进行数学操作，并且巧妙地引入周长作为约束。

一个更直接但可能不完全严谨的“变分法”思路（类比）

我们可以想象，如果一个图形不是圆，那么它一定存在不均匀的“拉伸”和“压缩”。

假设我们有一个周长 $L$ 的图形。如果这个图形不是圆，那么它的边界 $C$ 不是一个完美的圆。我们可以在 $C$ 上选取一点，并沿着法线方向进行微小的位移 $delta mathbf{r}$。

如果我们在某个地方“推”进去一点（减小曲率），同时在另一些地方“拉”出来一点（增大曲率），并且保持周长不变，我们希望看到面积是增加的。

总而言之，变分法的核心在于：

1. 定义一个目标函数（泛函）：在这里是图形的面积。
2. 设定约束条件：在这里是固定的周长。
3. 寻找满足最优性条件的函数（曲线）：这些条件通常由欧拉拉格朗日方程或其他变分原理导出。

对于“圆是同等周长下面积最大的图形”这个问题，直接且严谨的变分法证明往往会指向等周不等式本身，而等周不等式的证明本身就需要用到复杂的分析工具。

然而，变分法的思想（通过微扰和优化来寻找最优解）无疑是理解这一几何事实的强大工具。当欧拉拉格朗日方程应用于特定形式的泛函时，它“自然而然”地导出了曲率必须是常数的结论，而唯一满足这一条件的平面图形就是圆。

希望这个解释能让你对变分法在其中的作用有个更清晰的认识，而且尽量不显得那么“机器”！

网友意见

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设D为图形的区域，则 为图形边界，图形周长为2πR，因此题目的问题可以改写为：

根据格林公式： ，我们不妨设 ，则目标函数可以被转化为： 。因此，我们可以使用拉格朗日乘数法构造：

则S被称作泛函，F被称作为泛函核。当泛函S取极值时，其核函数F必须满足欧拉-拉格朗日方程：

其中：

把 代入到(1)式，得：

两侧同时积分，得：

把 代入到(2)式，得：

两侧同时积分，得：

(3)+(4)，得：

由于x和y有无数种参数方程表示，所以我们只取其中一种方式（设 ）：

因此 ，把 代入到优化问题的限制条件中：

由于 ，所以 ，因此周长为L且面积最大图形的直角坐标表达式为：

即圆形。

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