如何利用拉式方程或者变分法导出悬链线方程？
探索悬链线：从拉格朗日方程到变分法的优雅推导
我们生活中常常能见到悬链线，比如挂在两根柱子间的缆绳，或者拱桥的轮廓。它那优美的曲线背后，隐藏着深刻的物理和数学原理。今天，我们就来深入探讨一下，如何利用两种强大的数学工具——拉格朗日方程和变分法，来推导出悬链线方程。这将是一次充满挑战但又极富启发的旅程。
第一站：拉格朗日方程的视角——最小作用量原则
要理解悬链线，我们首先要明白，一根自由悬挂的缆绳会自然地选择一种能使其总势能最低的状态。这是一种普遍存在的自然规律，即“最小作用量原则”。在力学中，拉格朗日方程正是描述这种最小作用量原则的有力工具。
1. 建立物理模型与坐标系：
想象一根均匀的、不可伸长的缆绳，其总质量为 $M$，长度为 $L$。它被固定在两个点上，我们将其置于一个二维直角坐标系中。假设两固定点的高度相同，且关于 $y$ 轴对称。我们将缆绳最低点设在 $y$ 轴上，这样可以简化问题。
我们将缆绳上的任意一点的位置表示为 $(x, y)$。由于缆绳是不可伸长的，我们关心的是缆绳的形状，即 $y$ 作为 $x$ 的函数 $y(x)$。
2. 定义动能与势能：
在研究静力学问题时，我们更侧重于势能。对于悬链线，其势能主要来自于重力。我们设定 $y=0$ 的高度为零势能参考面。那么，缆绳上无穷小的一段长度 $ds$ 的质量为 $frac{M}{L} ds$，其势能为 $dU = (frac{M}{L} ds) g y$。
总势能 $U$ 就是对整根缆绳上的所有无穷小段的势能进行积分：
$U = int dU = int_A^B (frac{M}{L} g y) ds$
其中，$A$ 和 $B$ 是缆绳的两个固定端点。
$ds$ 是弧长微分，在直角坐标系中，它可以表示为 $ds = sqrt{1 + (y')^2} dx$，其中 $y' = frac{dy}{dx}$。
所以，总势能可以写成：
$U(y(x)) = frac{Mg}{L} int_A^B y sqrt{1 + (y')^2} dx$
3. 应用拉格朗日方程（欧拉拉格朗日方程）：
虽然我们这里只考虑势能，但拉格朗日方程的本质是描述系统的演化，而系统的演化总是倾向于最小化作用量（动能减去势能）。在这里，我们可以将其理解为系统会趋向于最小化总势能。
对于一个由函数 $y(x)$ 描述的系统，如果其“拉格朗日量” $L = T V$（其中 $T$ 是动能，$V$ 是势能），那么系统的运动方程由以下欧拉拉格朗日方程给出：
$frac{partial L}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial L}{partial y'} ight) = 0$
在这个静态问题中，我们可以直接将势能 $U$ 看作需要被最小化的泛函。我们可以将其形式上套用欧拉拉格朗日方程，或者更直接地，我们可以将其看作一个泛函变分问题。
令我们的“拉格朗日函数” $f(y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$，那么总势能为：
$U = frac{Mg}{L} int_A^B f(y, y') dx$
根据欧拉拉格朗日方程的变分形式，使泛函 $J[y] = int_a^b F(x, y, y') dx$ 极值的必要条件是：
$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$
在这里，$F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$（我们忽略了常数 $frac{Mg}{L}$，因为它不影响极值的位置）。
4. 推导过程：
首先计算偏导数：
$frac{partial F}{partial y} = sqrt{1 + (y')^2}$
$frac{partial F}{partial y'} = y cdot frac{1}{2sqrt{1 + (y')^2}} cdot 2y' = frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}}$
接下来计算 $frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight)$:
$frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = frac{(y'(y') + y y'')sqrt{1 + (y')^2} yy' cdot frac{1}{2sqrt{1 + (y')^2}} cdot 2y'y''}{1 + (y')^2}$
$= frac{(y'^2 + yy'')sqrt{1 + (y')^2} frac{y(y')^2y''}{sqrt{1 + (y')^2}}}{1 + (y')^2}$
通分：
$= frac{(y'^2 + yy'')(1 + (y')^2) y(y')^2y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
$= frac{y'^2 + y'^4 + yy'' + yy''(y')^2 y(y')^2y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
$= frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
将偏导数代入欧拉拉格朗日方程：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}} = 0$
乘以 $(1 + (y')^2)^{3/2}$:
$sqrt{1 + (y')^2} cdot (1 + (y')^2)^{3/2} (y'^2 + y'^4 + yy'') = 0$
$(1 + (y')^2)^2 y'^2 y'^4 yy'' = 0$
$1 + 2(y')^2 + (y')^4 y'^2 y'^4 yy'' = 0$
$1 + (y')^2 yy'' = 0$
整理一下，得到描述悬链线形状的微分方程：
$yy'' = 1 + (y')^2$
第二站：变分法的直接推导——寻找极值函数
变分法是直接研究如何找到使某个泛函取极值的函数。它与拉格朗日方程的精神是一致的，都是基于“最小作用量”或“最小势能”的原理。
我们已经知道，悬链线是缆绳在重力作用下达到势能最低的状态。因此，我们需要找到一个函数 $y(x)$，使得总势能泛函 $U(y(x))$ 取最小值。
总势能为：
$U(y(x)) = frac{Mg}{L} int_A^B y sqrt{1 + (y')^2} dx$
令 $F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$。我们的目标是找到使积分 $J[y] = int_A^B F(x, y, y') dx$ 取极值的函数 $y(x)$。
1. 引入微小扰动：
假设 $y(x)$ 是使泛函 $J[y]$ 取极值的函数。我们考虑一个微小的扰动 $delta y(x)$，使得新的函数为 $y(x) + epsilon eta(x)$，其中 $epsilon$ 是一个无穷小的参数，而 $eta(x)$ 是一个任意的、在端点处为零的函数（$eta(A) = eta(B) = 0$），以保证端点固定。
我们将新的函数代入泛函 $J[y]$：
$J[y + epsilon eta] = int_A^B (y + epsilon eta) sqrt{1 + (y' + epsilon eta')^2} dx$
为了找到极值，我们需要 $J[y]$ 关于 $epsilon$ 的一阶导数在 $epsilon=0$ 时为零。即：
$left. frac{d}{depsilon} J[y + epsilon eta] ight|_{epsilon=0} = 0$
2. 计算一阶变分：
首先对被积函数 $F(x, y + epsilon eta, y' + epsilon eta')$ 关于 $epsilon$ 求导：
$frac{d}{depsilon} F(x, y + epsilon eta, y' + epsilon eta') = frac{partial F}{partial y} frac{partial (y + epsilon eta)}{partial epsilon} + frac{partial F}{partial y'} frac{partial (y' + epsilon eta')}{partial epsilon}$
$= frac{partial F}{partial y} eta + frac{partial F}{partial y'} eta'$
将此代入导数式：
$left. frac{d}{depsilon} J[y + epsilon eta] ight|_{epsilon=0} = int_A^B left( frac{partial F}{partial y} eta + frac{partial F}{partial y'} eta' ight) dx = 0$
这个积分可以写成两部分：
$int_A^B frac{partial F}{partial y} eta dx + int_A^B frac{partial F}{partial y'} eta' dx = 0$
对第二部分进行分部积分：
$int_A^B frac{partial F}{partial y'} eta' dx = left[ frac{partial F}{partial y'} eta ight]_A^B int_A^B frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) eta dx$
由于 $eta(A) = eta(B) = 0$，第一项的边界值为零：
$left[ frac{partial F}{partial y'} eta ight]_A^B = frac{partial F}{partial y'} (B) eta(B) frac{partial F}{partial y'} (A) eta(A) = 0 0 = 0$
所以，变分方程变为：
$int_A^B frac{partial F}{partial y} eta dx int_A^B frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) eta dx = 0$
$int_A^B left( frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) ight) eta dx = 0$
3. 德里克拉格朗日引理（Fundamental Lemma of Calculus of Variations）：
德里克拉格朗日引理告诉我们，如果对于任意的 $eta(x)$（在端点处为零），上述积分都为零，那么被积函数必须恒等于零：
$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$
这正是欧拉拉格朗日方程，它提供了使泛函取极值的必要条件。
4. 求解微分方程：
从这里开始，推导过程与使用拉格朗日方程时完全相同。我们将 $F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$ 代入，得到：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = 0$
我们已经推导过 $frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$。
代入后得到：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}} = 0$
化简后得到我们熟悉的微分方程：
$yy'' = 1 + (y')^2$
5. 解出悬链线方程：
这是一个二阶非线性常微分方程。我们尝试寻找它的解。
注意到方程的右边是 $1 + (y')^2$，而左边有一个 $y$ 和 $y''$ 的乘积。这提示我们令 $p = y'$，则 $y'' = frac{dp}{dx} = frac{dp}{dy} frac{dy}{dx} = p frac{dp}{dy}$。
代入方程：
$y left( p frac{dp}{dy} ight) = 1 + p^2$
$yp frac{dp}{dy} = 1 + p^2$
这是一个可分离变量的方程：
$frac{p}{1 + p^2} dp = frac{1}{y} dy$
两边积分：
$int frac{p}{1 + p^2} dp = int frac{1}{y} dy$
左边的积分可以使用变量替换法，令 $u = 1 + p^2$，则 $du = 2p dp$，所以 $p dp = frac{1}{2} du$：
$int frac{1}{2u} du = frac{1}{2} ln|u| = frac{1}{2} ln(1 + p^2)$ （因为 $1+p^2$ 恒大于零）
右边的积分是：
$int frac{1}{y} dy = ln|y|$
所以，积分结果为：
$frac{1}{2} ln(1 + p^2) = ln|y| + C_1$
两边取指数：
$sqrt{1 + p^2} = e^{ln|y| + C_1} = e^{C_1} |y|$
令 $e^{C_1} = A > 0$，并且考虑到我们通常关注 $y>0$ 的区域（缆绳最低点以上），可以写成：
$sqrt{1 + p^2} = Ay$
平方两边：
$1 + p^2 = (Ay)^2$
$p^2 = (Ay)^2 1$
$p = sqrt{(Ay)^2 1}$ （这里我们选择正根，因为 $p=y'$，在最低点附近，$y$ 增大，$p$ 也是增大的，且我们通常让 $A>1$ 以保证根号有意义）
将 $p = y'$ 代回：
$y' = sqrt{(Ay)^2 1}$
$frac{dy}{dx} = sqrt{(Ay)^2 1}$
再次分离变量：
$frac{dy}{sqrt{(Ay)^2 1}} = dx$
积分：
$int frac{dy}{sqrt{(Ay)^2 1}} = int dx$
为了计算左边的积分，我们进行一个变量替换：令 $u = Ay$，则 $du = A dy$，所以 $dy = frac{1}{A} du$。
$int frac{1}{A} frac{du}{sqrt{u^2 1}} = frac{1}{A} int frac{du}{sqrt{u^2 1}}$
这个积分是 $ ext{arccosh}(u)$ 或 $ln(u + sqrt{u^2 1})$ 的导数。
$int frac{du}{sqrt{u^2 1}} = ext{arccosh}(u) + C_2$
$frac{1}{A} ext{arccosh}(Ay) + C_2 = x$
$ ext{arccosh}(Ay) = A(x C_2)$
令 $C_3 = AC_2$ 且 $A = frac{1}{c}$ （因为通常使用 $y = c cosh(x/c)$ 的形式），则 $c = 1/A$。
$ ext{arccosh}(y/c) = (x C_3)/c$
根据 $ ext{arccosh}(z) = ln(z + sqrt{z^2 1})$ 的定义，或者直接通过 $cosh$ 函数的定义来化简：
$y/c = cosh((x C_3)/c)$
$y = c cosh((x C_3)/c)$
由于我们最初假设了对称性，并将最低点放在 $y$ 轴上，这意味着当 $x=0$ 时，$y$ 取得最小值。而 $cosh(z)$ 的最小值在 $z=0$ 时取得，所以 $(0 C_3)/c = 0$，即 $C_3 = 0$。
最终，我们得到了悬链线的标准方程：
$y = c cosh(x/c)$
其中，$c$ 是一个常数，取决于缆绳的长度和两端固定点的距离以及拉力。这个常数 $c$ 与缆绳承受的张力有关。
总结与升华
通过拉格朗日方程或变分法的视角，我们发现悬链线的形成源于一个基本的物理原理——势能最小化。这两种数学工具都引导我们走向了同一个描述缆绳形状的微分方程。从这个方程出发，通过一系列的数学推导，我们最终揭示了悬链线那优雅的 $cosh$ 函数形式。
这个过程不仅展示了数学工具的强大威力，也体现了自然界中普遍存在的“最经济”原则。无论是力学中的最小作用量，还是几何中的最短路径（测地线），抑或是物理中的能量最低，它们都指向了同一个数学语言——变分法。悬链线方程的推导，正是这一深刻联系的绝佳例证。
我们生活中常常能见到悬链线，比如挂在两根柱子间的缆绳，或者拱桥的轮廓。它那优美的曲线背后，隐藏着深刻的物理和数学原理。今天，我们就来深入探讨一下，如何利用两种强大的数学工具——拉格朗日方程和变分法，来推导出悬链线方程。这将是一次充满挑战但又极富启发的旅程。
第一站：拉格朗日方程的视角——最小作用量原则
要理解悬链线，我们首先要明白，一根自由悬挂的缆绳会自然地选择一种能使其总势能最低的状态。这是一种普遍存在的自然规律，即“最小作用量原则”。在力学中，拉格朗日方程正是描述这种最小作用量原则的有力工具。
1. 建立物理模型与坐标系：
想象一根均匀的、不可伸长的缆绳，其总质量为 $M$，长度为 $L$。它被固定在两个点上，我们将其置于一个二维直角坐标系中。假设两固定点的高度相同，且关于 $y$ 轴对称。我们将缆绳最低点设在 $y$ 轴上，这样可以简化问题。
我们将缆绳上的任意一点的位置表示为 $(x, y)$。由于缆绳是不可伸长的，我们关心的是缆绳的形状，即 $y$ 作为 $x$ 的函数 $y(x)$。
2. 定义动能与势能：
在研究静力学问题时，我们更侧重于势能。对于悬链线，其势能主要来自于重力。我们设定 $y=0$ 的高度为零势能参考面。那么，缆绳上无穷小的一段长度 $ds$ 的质量为 $frac{M}{L} ds$，其势能为 $dU = (frac{M}{L} ds) g y$。
总势能 $U$ 就是对整根缆绳上的所有无穷小段的势能进行积分：
$U = int dU = int_A^B (frac{M}{L} g y) ds$
其中，$A$ 和 $B$ 是缆绳的两个固定端点。
$ds$ 是弧长微分，在直角坐标系中，它可以表示为 $ds = sqrt{1 + (y')^2} dx$，其中 $y' = frac{dy}{dx}$。
所以，总势能可以写成：
$U(y(x)) = frac{Mg}{L} int_A^B y sqrt{1 + (y')^2} dx$
3. 应用拉格朗日方程（欧拉拉格朗日方程）：
虽然我们这里只考虑势能，但拉格朗日方程的本质是描述系统的演化，而系统的演化总是倾向于最小化作用量（动能减去势能）。在这里，我们可以将其理解为系统会趋向于最小化总势能。
对于一个由函数 $y(x)$ 描述的系统，如果其“拉格朗日量” $L = T V$（其中 $T$ 是动能，$V$ 是势能），那么系统的运动方程由以下欧拉拉格朗日方程给出：
$frac{partial L}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial L}{partial y'} ight) = 0$
在这个静态问题中，我们可以直接将势能 $U$ 看作需要被最小化的泛函。我们可以将其形式上套用欧拉拉格朗日方程，或者更直接地，我们可以将其看作一个泛函变分问题。
令我们的“拉格朗日函数” $f(y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$，那么总势能为：
$U = frac{Mg}{L} int_A^B f(y, y') dx$
根据欧拉拉格朗日方程的变分形式，使泛函 $J[y] = int_a^b F(x, y, y') dx$ 极值的必要条件是：
$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$
在这里，$F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$（我们忽略了常数 $frac{Mg}{L}$，因为它不影响极值的位置）。
4. 推导过程：
首先计算偏导数：
$frac{partial F}{partial y} = sqrt{1 + (y')^2}$
$frac{partial F}{partial y'} = y cdot frac{1}{2sqrt{1 + (y')^2}} cdot 2y' = frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}}$
接下来计算 $frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight)$:
$frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = frac{(y'(y') + y y'')sqrt{1 + (y')^2} yy' cdot frac{1}{2sqrt{1 + (y')^2}} cdot 2y'y''}{1 + (y')^2}$
$= frac{(y'^2 + yy'')sqrt{1 + (y')^2} frac{y(y')^2y''}{sqrt{1 + (y')^2}}}{1 + (y')^2}$
通分：
$= frac{(y'^2 + yy'')(1 + (y')^2) y(y')^2y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
$= frac{y'^2 + y'^4 + yy'' + yy''(y')^2 y(y')^2y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
$= frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$
将偏导数代入欧拉拉格朗日方程：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}} = 0$
乘以 $(1 + (y')^2)^{3/2}$:
$sqrt{1 + (y')^2} cdot (1 + (y')^2)^{3/2} (y'^2 + y'^4 + yy'') = 0$
$(1 + (y')^2)^2 y'^2 y'^4 yy'' = 0$
$1 + 2(y')^2 + (y')^4 y'^2 y'^4 yy'' = 0$
$1 + (y')^2 yy'' = 0$
整理一下，得到描述悬链线形状的微分方程：
$yy'' = 1 + (y')^2$
第二站：变分法的直接推导——寻找极值函数
变分法是直接研究如何找到使某个泛函取极值的函数。它与拉格朗日方程的精神是一致的，都是基于“最小作用量”或“最小势能”的原理。
我们已经知道，悬链线是缆绳在重力作用下达到势能最低的状态。因此，我们需要找到一个函数 $y(x)$，使得总势能泛函 $U(y(x))$ 取最小值。
总势能为：
$U(y(x)) = frac{Mg}{L} int_A^B y sqrt{1 + (y')^2} dx$
令 $F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$。我们的目标是找到使积分 $J[y] = int_A^B F(x, y, y') dx$ 取极值的函数 $y(x)$。
1. 引入微小扰动：
假设 $y(x)$ 是使泛函 $J[y]$ 取极值的函数。我们考虑一个微小的扰动 $delta y(x)$，使得新的函数为 $y(x) + epsilon eta(x)$，其中 $epsilon$ 是一个无穷小的参数，而 $eta(x)$ 是一个任意的、在端点处为零的函数（$eta(A) = eta(B) = 0$），以保证端点固定。
我们将新的函数代入泛函 $J[y]$：
$J[y + epsilon eta] = int_A^B (y + epsilon eta) sqrt{1 + (y' + epsilon eta')^2} dx$
为了找到极值，我们需要 $J[y]$ 关于 $epsilon$ 的一阶导数在 $epsilon=0$ 时为零。即：
$left. frac{d}{depsilon} J[y + epsilon eta] ight|_{epsilon=0} = 0$
2. 计算一阶变分：
首先对被积函数 $F(x, y + epsilon eta, y' + epsilon eta')$ 关于 $epsilon$ 求导：
$frac{d}{depsilon} F(x, y + epsilon eta, y' + epsilon eta') = frac{partial F}{partial y} frac{partial (y + epsilon eta)}{partial epsilon} + frac{partial F}{partial y'} frac{partial (y' + epsilon eta')}{partial epsilon}$
$= frac{partial F}{partial y} eta + frac{partial F}{partial y'} eta'$
将此代入导数式：
$left. frac{d}{depsilon} J[y + epsilon eta] ight|_{epsilon=0} = int_A^B left( frac{partial F}{partial y} eta + frac{partial F}{partial y'} eta' ight) dx = 0$
这个积分可以写成两部分：
$int_A^B frac{partial F}{partial y} eta dx + int_A^B frac{partial F}{partial y'} eta' dx = 0$
对第二部分进行分部积分：
$int_A^B frac{partial F}{partial y'} eta' dx = left[ frac{partial F}{partial y'} eta ight]_A^B int_A^B frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) eta dx$
由于 $eta(A) = eta(B) = 0$，第一项的边界值为零：
$left[ frac{partial F}{partial y'} eta ight]_A^B = frac{partial F}{partial y'} (B) eta(B) frac{partial F}{partial y'} (A) eta(A) = 0 0 = 0$
所以，变分方程变为：
$int_A^B frac{partial F}{partial y} eta dx int_A^B frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) eta dx = 0$
$int_A^B left( frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) ight) eta dx = 0$
3. 德里克拉格朗日引理（Fundamental Lemma of Calculus of Variations）：
德里克拉格朗日引理告诉我们，如果对于任意的 $eta(x)$（在端点处为零），上述积分都为零，那么被积函数必须恒等于零：
$frac{partial F}{partial y} frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} ight) = 0$
这正是欧拉拉格朗日方程，它提供了使泛函取极值的必要条件。
4. 求解微分方程：
从这里开始，推导过程与使用拉格朗日方程时完全相同。我们将 $F(x, y, y') = y sqrt{1 + (y')^2}$ 代入，得到：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = 0$
我们已经推导过 $frac{d}{dx} left( frac{yy'}{sqrt{1 + (y')^2}} ight) = frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$。
代入后得到：
$sqrt{1 + (y')^2} frac{y'^2 + y'^4 + yy''}{(1 + (y')^2)^{3/2}} = 0$
化简后得到我们熟悉的微分方程：
$yy'' = 1 + (y')^2$
5. 解出悬链线方程：
这是一个二阶非线性常微分方程。我们尝试寻找它的解。
注意到方程的右边是 $1 + (y')^2$，而左边有一个 $y$ 和 $y''$ 的乘积。这提示我们令 $p = y'$，则 $y'' = frac{dp}{dx} = frac{dp}{dy} frac{dy}{dx} = p frac{dp}{dy}$。
代入方程：
$y left( p frac{dp}{dy} ight) = 1 + p^2$
$yp frac{dp}{dy} = 1 + p^2$
这是一个可分离变量的方程：
$frac{p}{1 + p^2} dp = frac{1}{y} dy$
两边积分：
$int frac{p}{1 + p^2} dp = int frac{1}{y} dy$
左边的积分可以使用变量替换法，令 $u = 1 + p^2$，则 $du = 2p dp$，所以 $p dp = frac{1}{2} du$：
$int frac{1}{2u} du = frac{1}{2} ln|u| = frac{1}{2} ln(1 + p^2)$ （因为 $1+p^2$ 恒大于零）
右边的积分是：
$int frac{1}{y} dy = ln|y|$
所以，积分结果为：
$frac{1}{2} ln(1 + p^2) = ln|y| + C_1$
两边取指数：
$sqrt{1 + p^2} = e^{ln|y| + C_1} = e^{C_1} |y|$
令 $e^{C_1} = A > 0$，并且考虑到我们通常关注 $y>0$ 的区域（缆绳最低点以上），可以写成：
$sqrt{1 + p^2} = Ay$
平方两边：
$1 + p^2 = (Ay)^2$
$p^2 = (Ay)^2 1$
$p = sqrt{(Ay)^2 1}$ （这里我们选择正根，因为 $p=y'$，在最低点附近，$y$ 增大，$p$ 也是增大的，且我们通常让 $A>1$ 以保证根号有意义）
将 $p = y'$ 代回：
$y' = sqrt{(Ay)^2 1}$
$frac{dy}{dx} = sqrt{(Ay)^2 1}$
再次分离变量：
$frac{dy}{sqrt{(Ay)^2 1}} = dx$
积分：
$int frac{dy}{sqrt{(Ay)^2 1}} = int dx$
为了计算左边的积分，我们进行一个变量替换：令 $u = Ay$，则 $du = A dy$，所以 $dy = frac{1}{A} du$。
$int frac{1}{A} frac{du}{sqrt{u^2 1}} = frac{1}{A} int frac{du}{sqrt{u^2 1}}$
这个积分是 $ ext{arccosh}(u)$ 或 $ln(u + sqrt{u^2 1})$ 的导数。
$int frac{du}{sqrt{u^2 1}} = ext{arccosh}(u) + C_2$
$frac{1}{A} ext{arccosh}(Ay) + C_2 = x$
$ ext{arccosh}(Ay) = A(x C_2)$
令 $C_3 = AC_2$ 且 $A = frac{1}{c}$ （因为通常使用 $y = c cosh(x/c)$ 的形式），则 $c = 1/A$。
$ ext{arccosh}(y/c) = (x C_3)/c$
根据 $ ext{arccosh}(z) = ln(z + sqrt{z^2 1})$ 的定义，或者直接通过 $cosh$ 函数的定义来化简：
$y/c = cosh((x C_3)/c)$
$y = c cosh((x C_3)/c)$
由于我们最初假设了对称性，并将最低点放在 $y$ 轴上，这意味着当 $x=0$ 时，$y$ 取得最小值。而 $cosh(z)$ 的最小值在 $z=0$ 时取得，所以 $(0 C_3)/c = 0$，即 $C_3 = 0$。
最终，我们得到了悬链线的标准方程：
$y = c cosh(x/c)$
其中，$c$ 是一个常数，取决于缆绳的长度和两端固定点的距离以及拉力。这个常数 $c$ 与缆绳承受的张力有关。
总结与升华
通过拉格朗日方程或变分法的视角，我们发现悬链线的形成源于一个基本的物理原理——势能最小化。这两种数学工具都引导我们走向了同一个描述缆绳形状的微分方程。从这个方程出发，通过一系列的数学推导，我们最终揭示了悬链线那优雅的 $cosh$ 函数形式。
这个过程不仅展示了数学工具的强大威力，也体现了自然界中普遍存在的“最经济”原则。无论是力学中的最小作用量，还是几何中的最短路径（测地线），抑或是物理中的能量最低，它们都指向了同一个数学语言——变分法。悬链线方程的推导，正是这一深刻联系的绝佳例证。
网友意见
用拉格朗日力学推到悬链线方程！
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