如何利用群论的知识解决三阶魔方？

要用群论的知识解开三阶魔方，我们得先把魔方变成一个看得懂的数学模型。就像我们想研究一个乐队的演奏，首先得知道他们有多少个成员，每个成员分别扮演什么角色，以及他们之间如何互动一样。

第一步：魔方是什么？群的元素是什么？

首先，我们得认识清楚三阶魔方。它有多少个独立的“小块”？它们是怎么运动的？

中心块（Centers）：这是魔方的核心，不会改变相对位置，只是自己原地旋转。它们决定了魔方的六个面的颜色。比如，一个白色的中心块永远在对面有一个黄色的中心块。它们就像乐队的“指挥”，虽然自己也在动，但总的来说是指挥着全局的颜色分布。

棱块（Edges）：这些是位于两个面之间的块。一个棱块有两个颜色。三阶魔方一共有12个棱块。它们可以互相交换位置，也可以自己原地翻转。想象一下乐队里的“贝斯手”和“鼓手”，他们是节奏的骨架，位置很重要，而且有时也会改变演奏的节奏。

角块（Corners）：这些是位于三个面交汇处的块。一个角块有三个颜色。三阶魔方一共有8个角块。它们也可以互相交换位置，也可以自己原地旋转（翻转）。这就像乐队的“主唱”和“吉他手”，他们通常是舞台的焦点，虽然在台上的站位可以变，演奏的姿势也可以有些变化。

群的定义：在群论里，一个群就是一堆元素（比如我们魔方的状态）和一种运算（比如我们转动魔方的某一个面）。这个运算必须满足几个条件：

1. 封闭性：你用这个运算作用在群里的元素上，结果仍然在这个群里。比如，你转动魔方一个面，得到的新状态还是魔方的一个可能状态。
2. 结合律：运算的顺序不影响最终结果，比如 (A B) C = A (B C)。这个很好理解，你先转右面再转上面，和先转上面再转右面，最后得到的状态是同一个。
3. 单位元：群里有一个“什么都不做”的元素，它作用在任何元素上都不会改变那个元素。在魔方里，这就是魔方处于“完全解开”状态的时候，你什么都不做，它就还是解开的。
4. 逆元：群里的每一个元素都有一个“逆操作”，这个逆操作作用在它身上会回到单位元。比如，你顺时针转动右面一次，那么逆时针转动右面一次就是它的逆操作，两相结合就回到了原来的状态。

魔方群：
魔方群（也叫魔方复原群）就是由所有可能的魔方状态（你可以想象成魔方每一个小块的位置和朝向的组合）组成的集合，而那个运算就是“对魔方进行一次或多次转动”。我们把每一次魔方的一个面（比如右面、上面）的转动看作是“基本操作”或“生成元”。通过组合这些基本操作，我们可以得到所有其他的操作，进而改变魔方的状态。

第二步：魔方是怎么被“打乱”的？群的生成元和关系。

魔方之所以需要我们去解，是因为它被“打乱”了。这个“打乱”的过程，在群论里就是通过对基本操作（转动面）进行一系列的组合。

基本操作（生成元）：我们可以定义几个基本转动，比如：
R: 右面顺时针转90度
L: 左面顺时针转90度
U: 上面顺时针转90度
D: 下面顺时针转90度
F: 前面顺时针转90度
B: 后面顺时针转90度

还有它们的逆操作：R', L', U', D', F', B' （分别代表逆时针转90度）。

任意转动：任何一个你能在魔方上实现的转动（也就是魔方的一个状态），都可以通过以上这些基本操作的有限次组合来实现。比如，你要把右面顺时针转180度，那就是 R R (或 R²)。你要把右面逆时针转90度，那就是 R'。

魔方群的阶（元素数量）：这个群的“阶”（也就是有多少个不同的魔方状态）是相当大的！粗略估计一下：
8个角块可以互相排列，有 8! 种排列。每个角块有3种朝向，所以有 3⁸ 种朝向。
12个棱块可以互相排列，有 12! 种排列。每个棱块有2种朝向，所以有 2¹² 种朝向。
但并非所有这些组合都是有效的。魔方有一个“奇偶性”限制：你无法只交换两个角块而不改变其他任何块的位置或朝向。所以，角块的排列和棱块的排列必须保持同一种奇偶性。这会把总数除以2。
最终，三阶魔方群的阶是 43,252,003,274,489,856,000，一个天文数字！

第三步：如何用群论的方法来“解”魔方？

“解”魔方，在群论里就相当于从一个被打乱的状态（群里的一个非单位元元素）回到“完全解开”的状态（群里的单位元元素）。我们怎么做呢？

1. 找到“解法”（公式）：任何一个打乱的魔方，我们都能找到一系列的基本转动操作，把它们组合起来，最终回到解开的状态。这些操作的组合，就是我们常说的“公式”或“算法”。在群论里，一个公式就是一个从打乱状态到解开状态的映射，即一个乘积（比如 R U R' U R U² R'）。

2. 子群与陪集：这是一个更深入的概念，通常用于更专业的群论解法。你可以想象一下，我们把魔方所有的状态按照某种性质分成几类，每一类就是一个“陪集”。解魔方的问题，可以看作是找到一个“公式”把当前陪集中的元素（打乱状态）映射到另一个陪集，直到到达“解开”所在的那个“子群”（所有解开状态的集合）。

3. 共轭与变位（Conjugation）：这是解魔方非常关键的思想。如果我们有一个公式A（比如R U R'），想把它应用到魔方的另一个位置，比如想让那个位置的两个棱块交换位置，而不是我们熟悉的某两个棱块交换，怎么办？
这时我们就用到“共轭”的概念。假设我们有一个目标操作X（比如交换a和b两个棱块）。如果我们有一个公式P，能执行这个操作X（即P = X）。那么，如果我们想在魔方的“另一部分”执行同样的交换，我们可以这样做：
先用一系列操作G把我们想操作的a和b块“移到”A公式能操作的位置。
然后执行A（也就是P）。
最后用G的逆操作G'把它们“移回”原来的位置。

这样，我们执行的操作就是 G P G'。这个 GPG' 的操作就叫做 P 在 G 下的“共轭”。
重要性：通过共轭，我们可以把一个已知能完成某个特定任务（比如交换两个棱块，或者翻转一个角块）的“公式”，应用到魔方的任意位置上。我们只需要找到正确的“搬运”公式G就可以了。这大大简化了我们学习和记忆公式的过程。例如，很多魔方教学里会教你如何“定向”一个棱块（让它颜色正确地朝向），然后教你如何“换位”两个棱块。这些定向和换位的基本动作，都可以通过找到特定的生成元组合（公式）来实现，再通过共轭把它们应用到任何需要的地方。

4. 对偶群（Permutation Group）和计数论证：魔方群本质上是一个非常复杂的对偶群（permutation group）。群论的很多证明会用到对偶群的性质来证明某些操作是不可能的（比如前面提到的奇偶性限制）。

实际解法与群论的联系：

我们平时学到的“层先法”、“CFOP”、“Roux”等等这些解魔方的方法，其实都是基于群论的原理在实践中的应用。

层先法（First Layer, Second Layer, Third Layer）：
第一层：找中心块，然后把底层的四个角块和棱块归位到第一层。这个过程没有用到太复杂的群论，更多是直观操作。
第二层：将第二层的棱块放到正确的位置。这里会用到一些简单的公式，比如用来交换两个棱块的公式（可能涉及共轭的简单形式）。
第三层：
顶层棱块定向（OLL Orienting Last Layer）：让顶层所有块的颜色朝上。这通常需要学习一个叫做 OLL 的公式集，里面包含了几十种不同的情况，每种情况对应一个特定的公式。每个公式都是基本转动的组合，目的是改变顶层棱块和角块的朝向，但不打乱下面两层的状态。
顶层角块换位（PLL Permuting Last Layer）：将顶层的角块放到正确的位置，同时顶层的棱块也可能需要换位。这又是一个公式集（PLL），里面包含了几十种公式。这些公式的设计，正是为了在不改变已经正确定向的顶层块的朝向的情况下，实现顶层块的位置调整。

你看到的那些看似复杂的公式（比如F R U R' U' F'），它们本质上是基本转动的乘积，最终实现了特定的目的，比如交换特定位置的两个棱块，或者翻转一个特定位置的角块。而“共轭”的思想，就体现在你学习一个基本公式后，可以通过变换“参照点”（G）来把它应用到不同的位置上。比如，你学会了如何在“前面”交换两个顶层棱块的公式，通过“把想要交换的棱块移到前面”，然后使用那个公式，再“把它们移回来”，你就能实现任意两个顶层棱块的交换。

总结来说，利用群论解魔方，就是：

1. 理解魔方可以抽象成一个群：元素是所有可能的魔方状态，运算是转动面。
2. 识别群的生成元：基本的面转动是生成元。
3. 认识到任意状态都可以由生成元组合产生：这是魔方可解性的基础。
4. 利用群的性质来设计解法：特别是共轭的概念，允许我们将一个“基本操作”（比如交换两个棱块）应用到魔方的任意部分。
5. 将解魔方的过程分解为一系列“子目标”：比如定向棱块、归位角块等，然后为每个子目标找到对应的基本转动组合（公式）。

你看到的那些魔方公式，它们不是随随便便编出来的，而是经过精确计算的群论表达式。通过学习这些“公式”，你实际上是在学习如何运用群的“乘法”和“共轭”来操纵魔方，最终达到“单位元”（即完全解开的状态）。

这就像一个乐队的指挥，他不需要知道每一个音符是如何被吹奏出来的，但他知道如何通过一系列的指挥（转动）来协调所有乐器（小块），最终奏出美妙的乐章（解开的魔方）。群论提供了理解和实现这种协调的语言和工具。

网友意见

HTM法,也就是人类用Thistlethwaite算法,(西斯尔思韦特,可能是这么读的...)

原文: Thislethwaite Method 识破天整理

另一个版本: 降群法详解 - ★ 其他速解法 (Other Methods) - 魔方吧·中文魔方俱乐部

英文原文: Human Thistlethwaite Algorithm

阅读需要魔方基本公式的基础, 不需要群论基础.

Thistlethwaite Method 最初是计算机用来解魔方所用的步骤。

过程中只是在调整块与块之间的全局关系，魔方始终是乱的，没有一个面被还原，只在最后一步，寥寥几下转动，整个魔方被复原。

Thistlethwaite Method 降解子群的四个步骤：

G0=<U,D,L,R,F,B> ,
G1=<U,D,L,R,F2,B2>,
G2=<U,D,L2,R2,F2,B2>,
G3=<U2,D2,L2,R2,F2,B2>,
G4=<I> (还原态)

普通解法是通过逐块还原来减少下一步剩余块的排列数，最后所有块还原。

Thistlethwaite方法（TM）则与此有本质的不同。

魔方的任何一种块排列状态与魔方群的群元素是一一对应的。

TM的思想就是逐步降解魔方所处的群到更小的子群，最后到单位子群，也即还原状态。

所以在还原的每一步实体魔方看起来还是乱的，但实际上状态数是随所处的群的减小而规则的减小的。

考虑到有些朋友不熟悉群论的语言，我就加个形象点的解释帮助理解。如果魔方通过<U，D，L，R，F，B>六个基本动作打乱，那么它的混乱状态可以达到最大，有10^20次方种。

但假如我只用<U2,D2,L2,R2,F2,B2>来打乱魔方，显然魔方没有前一种情况乱，只有60万种。

极端一点的，我只用R转动打乱魔方，那么魔方就只有四种混乱状态。

上面这个逐步降解到子群的过程，就是把魔方由最大打乱状态一步一步的变到更小的打乱状态，最后达到复原状态。

Phase 1 对好所有楞块方向

从G0到G1有个缩小因子2,048(2^11)，它表示在这一步魔方状态数减少了2048倍。

楞块有2^11种朝向，这一步就是调整楞块到某一种朝向模式。

原因是，若要翻转一个楞块，必须利用到FRU三个正交转动的组合，但是经过Phase1调整后，不能有F操作（只能有F2），所有楞块方向不能再翻转。所以才有下面这个定义：

定义：如果能通过转动群<U,D,L,R,F2,B2>使得某个楞块还原，那么这个楞块朝向就是好的。反之则是错的.

Phase1就是将所有朝向错的楞块变好。

方法很简单，首先找到所有朝向错误的楞块，然后把四个朝向错的楞块通过<U,D,L,R,F2,B2>转动移到F面（或者B面）上来，做一个F转动，这四个则变为好的。

如果只有两个错的，把其中一个移到F面，做一个F转动，这个错的变为对的，F面上另三个对的变为错的。

这样就凑足了四个错的，用上述方法调正。

下面为了叙述方便，我把魔方放置为：顶层黄色，底层白色，左面蓝色，右面绿色，前面红色后面橙色。

我把黄色白色合称YW色，蓝色绿色合称BG色，红色橙色合称RO色。

说道某个面是YW色时就指这个面上可以有黄色白色两种颜色。说到某个块的贴片是YW色时就是指这个贴片可以是黄色也可以是白色。

其他类推。

Phase 2 将中间层楞块放到中间层，并调整好角块朝向

注意这一步魔方已经处于G1子群了，在这一步，所有操作只能由G1群<U,D,L,R,F2,B2>生成，目的是把魔方降解到G2群<U,D,L2,R2,F2,B2>。

这一步群的大小减小3^7 *12!/(8!4!)倍。

3^7 对应于角块方向，12!/(8!4!)表示中间层楞块放到中间层楞块排列数的减少的倍数。

它的物理原因是，要想改变角块的朝向，URF这三个正交转动必须用到两个。

G2群是八个角块位置的置换群，始终保持角块的方向不变。

同理，<U,D,L2,R2,F2,B2>生成的转动不可能把上下层转到中间层。

这就是要求这一步要把中间层的楞块放回中间层。再调整角块朝向之后，U面或者D面只有黄白两种颜色。

下面说具体怎么做。

中层楞块放回中层：等价的说法就是要把YW色楞块全部放在顶底面，做两个YW色的Cross。

通过L，R转动，使得顶面有三个楞块是YW色，底面也有三个楞块的YW色朝下。

他们缺的那块转到L/R侧面，剩下两个YW色楞块必定在中间层，也转到这个侧面，做一个L/R转动，中间层楞块全部回到中间层。

此后，除非必要，便不可在用LR操作，免得移走中间层楞块。

调整角块朝向：就是使角块的YW色处于U或者D面上。把两个朝向错误的角块一个放在LUF，一个放在FDR，R’D-L2-D’R操作即可以把它们的YW色调到U/D面上。

也可以放在RUF，LFD两个位置，用操作 LD’-R2-DL’ 翻转它们的朝向。

Phase 3 调整F/B面为RO色，L/R面为BG色，并调整角块相对位置

这一步所有操作只能通过G2群的转动<U,D,L2,R2,F2,B2>生成。

上一步把U/D调整为YW色，这一步类似，要调整两个侧面为对色。

或者换一个说法，上一步已经把E层（中间层）楞块放回E层了，这一步就是把M层（M slice）上的楞块调到M层，S层（S slice）上的楞块调到S层。

显然这是G3群<U2,D2,L2,R2,F2,B2>决定的状态。但这还不够，G3群还决定了角块的相对位置。八个角块分为两组，第一组四个角块{ULB，URF，RDB，LFD}在{ULB，URF，RDB，LFD}这四个顶角位置置换，另一组四个角块{ULF，URB，LDB，RDF}在{ULF，URB，LDB，RDF}这四个顶角位置置换。

比如，如果URB角块处于URF顶角上，它的位置就是错的，要处于RDF顶角上则是对的。

这一步使状态数减少了29,400 （=[8!/(4!4!)]2 *2*3）倍，8!/(4!4!)]2对应于M层S层楞块放回M层S层，6对应于两组角块每一组的四个相对位置正确。

下面介绍怎么做到这一点。

角块调整难度大一些，要首先调整角块位置。可以直接在上面两组对角线上找，看是不是该组角块处于该组，不是则调为是。

但这样比较麻烦。简单的做法是，先黄色角块全部调到U层，同时白色角块都回到D层。这时，看U/D层各自的四个角块相对位置是不是正确。比如U层角块，有三种状态，如图：

一种侧面颜色完全匹配；第二种不匹配，有且只有一个侧面同色；第三种完全不匹配。底面同样判断。

如果U和D面都是完全匹配或者完全不匹配（一三），（操作R2F2R2可以使情况一三互相变换），那么两组角块的相对位置都正确。否则需要调整。

R'FR' - B2 - RF'R ，这个操作交换U层ULB，URB两个角块，同时交换D层DLB，DRF两个角块。

转动<U,D,L2,R2,F2,B2>使角块处于合适位置，用这个互换操作即可把两组角块相对位置调整正确。

接着处理棱块。

注意这时上下角块要处于正确的相对位置（注意这个相对，没必要浪费步数把每个角块都放到正确位置）。首先把四个RO色楞块调到U层，把四个BG色楞块调到D层。

D’-M2-D 则把M层上的两棱调到了M层，S层上的两楞块调到了S层。如果M层有一个S层的棱，当然S层也只有一个M层的棱，就先用D’-M2-D把它变为两个再用上述步骤。

群被降解到了G3.

Phase 4 一步还原所有角块楞块

这时只能用G3群的转动<U2,D2,L2,R2,F2,B2>。

同理，如果必要用到某个90度角转动如R，必须跟着它的逆，R{ U2,D2,L2,R2,F2,B2}R’ 。

这一步所需的技巧很简单，如果想练得话，可以把还原好的魔方用转动{U2,D2,L2,R2,F2,B2}打乱，再还原。熟练之后全凭直觉即可还原。

最直观的做法先还原上下两层，首先还原两个相邻角块，这时剩下六个角块都自动对好还原。

用公式U2M2U2对调M层上两对楞块,用公式U2R2U2R2U2R2将M层一对楞块和E层一对楞块对调。其他情形都可以变为这两种。

先定一个小目标：用群论的知识计算出魔方一共有多少种组合。

魔方旋转变换群的阶_图文_百度文库

摘要：一个3×3×3、每面有同一种颜色的魔方经各层的旋转变换,可产生8!×12!× × 种不同的状态。本文应用初等群论的方法给以证明。

当我们能熟练地用群论知识计算出魔方的组合数时，我们就可以进入第二个阶段：如何用群论的知识还原魔方。

不过我自己也就停留在第一个阶段就是了。

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